曲線擬合問題

1、曲線擬合問題（三）一、摘要本文采用最小二乘法、最小一乘法的分析方法，通過建立非線性規(guī)劃模型 利用Matlab、Lingo編程實(shí)現(xiàn)曲線擬合，以探究兩個(gè)相關(guān)量y量與x量之間的關(guān) 系。對(duì)于問題一，在擬合準(zhǔn)則為絕對(duì)偏差總和最小的前提下，采用最小一乘法， 并將無約束不可微最優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為解決非線性規(guī)劃問題，通過Matlab編程得 到，構(gòu)造非線性規(guī)劃模型，得到a = 0.160，b = -0.805，c = 1.000，則 y = 0.16回-0. 8h05 1為所擬合的曲線。對(duì)于問題二，在擬合準(zhǔn)則為最大偏差極小化的前提下，也是構(gòu)造非線性規(guī) 劃模型，得到a = 0.025，b = 0.766，c = 0.

2、469，則 y = 0.05 x2 40.766 xQ469 為 所擬合的曲線。對(duì)于問題三，要求擬合的是二次曲線，擬合完后發(fā)現(xiàn)均呈現(xiàn)函數(shù)值與觀測 值都存在一定的偏差，說明擬合的曲線并非是關(guān)于y量和x量的最佳擬合曲線。 故而可以重新觀察散點(diǎn)圖的圖像特點(diǎn)，充分考慮之前擬合曲線中的奇異點(diǎn)的位 置，分別嘗試擬合指數(shù)函數(shù)曲線和對(duì)數(shù)函數(shù)曲線，以找到關(guān)于y量和x量的最佳 擬合曲線。關(guān)鍵詞最小二乘法；最小一乘法；線性規(guī)劃；曲線擬合CURVE FITTING QUESTION (3)ABSTRACTUsing the least squares method, a multiplication of the m

3、inimum analytical methods, through the establishment of a linear programming model and nonlinear programming model and other means, the amount of volume between the two related to the amount of use of Matlab, Lingo programming curve fitting to inquiry relationship.For a problem in fitting the guidel

4、ines for the next smallest deviation absolute sum of the premise, with a minimum of a multiplication, and no Nondifferentiable optimization problem into a nonlinear programming problem solving, obtained by Matlab programming, a nonlinear programming model, get 0.160, -0.805, 1.000, compared with the

5、 fitted curve.For question two, in the case fit the guidelines for the maximum deviation of minimizing the premise of non-linear programming model is constructed to give 0.025, 0.766, 0.469, compared with the fitted curve.For question three, it requires fitting a quadratic curve fitting after the di

6、scovery showed a function and observed values there are some deviations, indicating fitted curve is not the best fit on the amount and quantity. Therefore the characteristics of the observed image can be re-scatter plot, curve fitting position before take full account of the singular points, respect

7、ively, to try to fit an exponential function and logarithmic function curve, in order to find the best fit curve on the amount and quantity.Key words: Least squares; least absolute deviation; linear programming; curve fitting目錄 TOC o 1-5 h z 摘要1問題重述4問題分析4 HYPERLINK l bookmark29 o Current Document 模型

8、的建立與求解54.1針對(duì)問題一中的擬合準(zhǔn)則求解問題54.2針對(duì)問題二中的擬合準(zhǔn)則求解問題64.3問題三模型的建立和解答7模型評(píng)價(jià)8參考文獻(xiàn)8附錄9二、問題重述已知一個(gè)量y依賴于另一個(gè)量x?，F(xiàn)收集有數(shù)據(jù)如下:x0.00.51.01.51.92.53.03.54.04.5y1.00.90.71.52.02.43.22.02.73.5（1）求擬合以上數(shù)據(jù)的曲線y =心2+ bx + cx，目標(biāo)為使y的各個(gè)觀察值同按 直線關(guān)系所預(yù)期的值的絕對(duì)偏差總和為最小。（2）求擬合以上數(shù)據(jù)的曲線y =心2+ bx + cx，目標(biāo)為使y的各個(gè)觀察值同預(yù) 期值的最大偏差為最小。（3）求擬合以上數(shù)據(jù)的最小二乘擬合曲線）

9、= qx2+ bx + c。對(duì)以上結(jié)果進(jìn)行 比較分析。三、問題分析由題目可知，y量依賴于x量，也就是說y量與x量之間存在著必然的聯(lián)系。這就要求我們通過曲線擬合的方式來探究y量與x量之間的關(guān)系。對(duì)于問題一，擬合題中所給數(shù)據(jù)的曲線y = ax2 + bx + c，目標(biāo)為使y的 各個(gè)觀察值同按曲線關(guān)系所預(yù)期的值的絕對(duì)偏差總和為最小。對(duì)于要在擬合準(zhǔn)則 絕對(duì)偏差總和最小的情況下擬合曲線，應(yīng)采用最小一乘法原理，又因求解存在一 定的困難，其困難就在于絕對(duì)值的存在，應(yīng)設(shè)法化去絕對(duì)值，所以在所要求擬合 的曲線函數(shù)形式簡單的前提下，將問題轉(zhuǎn)化為了非線性規(guī)劃的求解問題。對(duì)于問題二，擬合題中所給數(shù)據(jù)的曲線y = ax

10、2 + bx + c，目標(biāo)為使y的 各個(gè)觀察值同按直線關(guān)系所預(yù)期的值的最大偏差為最小。對(duì)于要在擬合準(zhǔn)則最大 偏差為最小的情況下擬合曲線，可以在第一問的基礎(chǔ)上加以改進(jìn)，繼續(xù)采用非線 性規(guī)劃模型，并利用Lingo編程進(jìn)行問題的求解。對(duì)于問題三，因?yàn)橐髷M合的是二次曲線，擬合完后發(fā)現(xiàn)均呈現(xiàn)函數(shù)值與觀 測值都存在一定的偏差，說明擬合的曲線并非是關(guān)于y量和x量的最佳擬合曲 線。故而可以重新觀察散點(diǎn)圖的圖像特點(diǎn)，充分考慮之前擬合曲線中的奇異點(diǎn)的 位置，分別嘗試擬合指數(shù)函數(shù)曲線和對(duì)數(shù)函數(shù)曲線，以找到關(guān)于y量和x量的最 佳擬合曲線。四、模型的建立與求解設(shè)中（x）（i = 1,2, n）表示按擬合曲線 =中（x

11、）求得的近似值，它不同于實(shí)測 i值），兩者之間的差值匕=中（土）-七就是大家熟知的偏差（或殘差）。通常我們構(gòu)造擬合曲線有2種準(zhǔn)則可供選擇（即如題所問），具體內(nèi)容如下：1、最大偏差達(dá)到最小：max釧=min.2、偏差的絕對(duì)值之和達(dá)到最?。翰粅匕| = min i-1模型的建立和解答4.1針對(duì)問題一中的擬合準(zhǔn)則求解問題對(duì)于擬合準(zhǔn)則為絕對(duì)偏差總和最小，通過建立如下非線性規(guī)劃模型min 云 kJ =云niiti （環(huán) + 跆）,i-i i-i ,8 = y - cx 2 一 bx 2 一 a8 = u v和利用Matlab編程（詳見附錄1）得出a = 0.1601, b = -0.805, c = 1

12、.000,即 可得出擬合的函數(shù)曲線方程為y = 0.160 x2 0.805 +1.000。擬合后的圖像如下圖1：*/圖2,函數(shù)擬合結(jié)果，246810124.2針對(duì)問題二中的擬合準(zhǔn)則求解問題對(duì)于擬合準(zhǔn)則為絕對(duì)偏差總和最小，通過非線性規(guī)劃模型作=y - cx 2 - bx 2 - a i i i i ，& - u 一 V和利用Lingo編程（詳見附錄2）得出a =0.025，b = -0.766，c = 0.469，即可 得出擬合的函數(shù)曲線方程為y = 0.025x2 + 0.766x + 0.469，擬合后的圖像如下圖2：y=0.025 (x2)-K)766 x-0.4694.3問題模型的建立

13、和解答重新觀察散點(diǎn)圖的圖像特點(diǎn)，充分考慮之前擬合曲線中的奇異點(diǎn)的位置，分 別嘗試擬合指數(shù)函數(shù)曲線和對(duì)數(shù)函數(shù)曲線，以找到關(guān)于y量和x量的最佳擬合曲 線（采用最小二乘法）。4.3.1擬合指數(shù)函數(shù)曲線利用Matlab編程（詳見附錄1）得出擬合的函數(shù)曲線方程為y = 0.943（0.240 ）x擬合后的圖像如下圖：4.3.2擬合對(duì)數(shù)函數(shù)曲線利用Matlab編程（詳見附錄1）得出擬合的函數(shù)曲線方程為y = 2.566ln （x + 0.809）擬合后的圖像如下圖:由圖像觀察可得，因擬合得的指數(shù)函數(shù)的圖像較對(duì)數(shù)函數(shù)圖像，以及前兩問中擬 合的二次函數(shù)圖像而言，指數(shù)函數(shù)的圖像中的分散點(diǎn)在曲線上更為均勻地分布，

14、奇異點(diǎn)較少，且更為美觀，故而將y量與x量之間的關(guān)系擬合為指數(shù)函數(shù)的曲線更為合適。五、模型的評(píng)價(jià)優(yōu)點(diǎn)1、曲線擬合轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)規(guī)劃模型，降低了算法的難度，增強(qiáng)了結(jié)果的準(zhǔn)確性。2、建立的模型對(duì)于實(shí)際應(yīng)用具有一定意義。缺點(diǎn)1、算法較為簡單，不夠嚴(yán)謹(jǐn)。2、曲線擬合方法只采用了最小二乘法，方法較為單一，應(yīng)嘗試多種方法，以求 得更為完善的模型?？偨Y(jié)與第一二問擬合相比較，可以看出指數(shù)函數(shù)的圖像中的分散點(diǎn)在曲線上更為均勻 地分布，奇異點(diǎn)較少，且更為美觀，故而將y量與x量之間的關(guān)系擬合為指數(shù) 函數(shù)的曲線更為合適。在這次得課程設(shè)計(jì)中不僅檢驗(yàn)了我所學(xué)習(xí)得知識(shí)，也培養(yǎng) 了我們?nèi)绾稳グ盐?、如何去做好一件事，培養(yǎng)自我學(xué)習(xí)的能

15、力。我學(xué)習(xí)到了如何 用最小二乘法求擬合曲線的，并且會(huì)簡單的運(yùn)用MATLAB軟件。以上結(jié)果可以看到用最小二乘擬合來求解問題時(shí)，有時(shí)候他的結(jié)果很接近實(shí)際 情況，有時(shí)候跟實(shí)際情況里的太遠(yuǎn)，因?yàn)樗蟮枚囗?xiàng)式次數(shù)太小時(shí)數(shù)據(jù)點(diǎn)之間差 別很大，次數(shù)最大時(shí)誤差最小但是有時(shí)后不符合實(shí)際情況，所以用最小二乘法時(shí) 次數(shù)要取合適一點(diǎn)。從上面的擬合中也可以得到多項(xiàng)式擬合誤差平方和隨著擬合 多項(xiàng)式次數(shù)的增加而逐漸減小，擬合的曲線更靠近實(shí)際數(shù)據(jù)。擬合更準(zhǔn)確。課程設(shè)計(jì)是我們專業(yè)課程知識(shí)綜合應(yīng)用的實(shí)踐訓(xùn)練，著是我們邁向社會(huì)， 從事職業(yè)工作前一個(gè)必不少的過程.”千里之行始于足下”，通過這次課程設(shè)計(jì)， 我深深體會(huì)到這句千古名言的真

16、正含義.我今天認(rèn)真的進(jìn)行課程設(shè)計(jì)，學(xué)會(huì)腳踏 實(shí)地邁開這一步，就是為明天能穩(wěn)健地在社會(huì)大潮中奔跑打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。六、參考文獻(xiàn)王福昌，胡順昌，張艷芳，最小一乘回歸系數(shù)估計(jì)及其MATLAB實(shí)現(xiàn)，防 災(zāi)科技學(xué)院學(xué)報(bào)，2007年12月。張小勇，徐香勤，基于LINGO的曲線擬合，2007年1月。楊啟帆，何勇，談之奕，數(shù)學(xué)建模，浙江：浙江大學(xué)出版社，2006年5 月。劉衛(wèi)國主編.MATLAB程序設(shè)計(jì)教程（第1版）.北京：中國水利水電出版 社，2006： 142-146.李慶揚(yáng) 王能超.數(shù)值分析（第4版）.武漢：華中科技大學(xué)出版社， 2014:105-139， 163-185.李榮華.偏微分方程數(shù)值解法（第二

17、版）.北京:高等教育處版社，2014:88-95.七、附錄附錄一：matlab相關(guān)程序%數(shù)據(jù)為題目所給源數(shù)據(jù)，手動(dòng)輸入%計(jì)算結(jié)果為生成擬合函數(shù)的相關(guān)系數(shù)%大部分程序?yàn)轫樞蚪Y(jié)構(gòu)，部分運(yùn)用了創(chuàng)建和調(diào)用函數(shù)的方法，結(jié)合循環(huán)結(jié)構(gòu)完 成算法*%第三問求解%猜測使用指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)來擬合題目所給數(shù)據(jù)%數(shù)據(jù)來源同上%運(yùn)用matlab的擬合工具箱，以及設(shè)定擬合形式來進(jìn)行最小二乘擬合%結(jié)果為函數(shù)的相關(guān)系數(shù)%程序?yàn)轫樞蚪Y(jié)構(gòu)*%指數(shù)函數(shù)擬合x=0.0 0.5 1.0 1.5 1.9 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5;y=1.0 0.9 0.7 1.5 2.0 2.4 3.2 2.0 2.7 3.5;cftool

18、(x,y)%調(diào)用擬合工具箱*%對(duì)數(shù)函數(shù)擬合clear all;clc;x=0.0 0.5 1.0 1.5 1.9 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5;y=1.0 0.9 0.7 1.5 2.0 2.4 3.2 2.0 2.7 3.5;f = fittype(a*log(x+b); %擬合自定義函數(shù)的形式fit1 = fit(x,y,f,StartPoint,x(1) y(1);a = fit1.a; % a 的值b = fit1.b; % b 的值fdata = feval(fit1,x); %用擬合函數(shù)來計(jì)算yfigureplot(x,y,*r); hold onplot(x,fdata,r); hold offlegend(Ori data, Fitting data);% 作圖例附錄二：lingo相關(guān)程序!數(shù)據(jù)為題目所給源數(shù)據(jù)，手動(dòng)輸入；!運(yùn)用lingo的線性規(guī)劃工具進(jìn)行求解，；!輸出所求的最小距離；!程序?yàn)轫樞蚪Y(jié)構(gòu);*!第一、二問求解；model:sets:f/1.19/:x