排列組合十種解題技巧與易錯題歸納總結(jié)

1、排列組合問題十種題型及其解題技巧、易錯歸納（一）至少變恰好例題1 某地區(qū)甲、乙、丙三所單位進行招聘，其中甲單位招聘2名，乙單位招聘2名，丙單位招聘1名， 并且甲單位要至少招聘一名男生，現(xiàn)有3男3女參加三所單位的招聘，則不同的錄取方案種數(shù)為（）A. 36B. 72C. 108D. 144【解析】根據(jù)題意，分3步進行分析:單位甲在6人中任選2人招聘，要求至少招聘一名男生，有C2 -C3 = 12種情況，單位乙在剩下的4人中任選2人招聘，有C 2 = 6種情況，4單位丙在剩下的2人中任選1人招聘，有C1 = 2種情況，2則有12 x 6 x 2 = 144種不同的錄取方案，選D鞏固1 2019年高考

2、結(jié)束了，有5為同學（其中巴蜀、一中各2人，八中1人）高考發(fā)揮不好，為了實現(xiàn)“南 開夢”來到南開復讀，現(xiàn)在學校決定把他們分到1、2、3三個班，每個班至少分配1位同學，為了讓他們能更好 的融入新的班級，規(guī)定來自同一學校的同學不能分到同一個班，則不同的分配方案種數(shù)為（）A. 84B. 48C. 36D. 28【解析】設(shè)這五人分別為4BB2, C1, C2，若A單獨為一組時，只要2種分組方法；若A組含有兩人時，有 C;C；= 8種分組方法；若A組含有三人時，有C；C； = 4種分組情況；于是共有14種分組方法，所以分 配方案總數(shù)共有14 A3 = 84，故選A.（二）插空法例題2 電視臺在電視劇開播前

3、連續(xù)播放6個不同的廣告，其中4個商業(yè)廣告2個公益廣告，現(xiàn)要求2個 公益廣告不能連續(xù)播放，則不同的播放方式共有（）A. A4 - A2B. C4 CC. A4 - A2D. C4 C【解析】先排4個商業(yè)廣告，有A4種排法，然后利用插空法，4個商業(yè)廣告之間有5個空，插2個公益廣 4告，有A；種排法，根據(jù)分步計數(shù)原理，所以共有A4 A;種排法，選A.鞏固2 某小區(qū)有排成一排的7個車位，現(xiàn)有3輛不同型號的車需要停放，如果要求剩下的4個車位連在一 起，那么不同的停放方法的種數(shù)為（）A. 18B. 24C. 32D. 64【解析】首先安排三輛車的位置，假設(shè)車位是從左到右一共7個，當三輛車都在最左邊時，有車

4、之間的一個排列A3，當左邊兩輛，最右邊一輛時，有車之間的一個排列43 , 33當左邊一輛，最右邊兩輛時，有車之間的一個排列A當最右邊三輛時，有車之間的一個排列A總上可知，共有不同的排列法4x A3 = 24種結(jié)果，所以選B（三）特殊元素優(yōu)先例題3 某所大學在10月份舉行秋季越野接力賽，每個專業(yè)四人一組，其中計算機專業(yè)的甲、乙、丙、丁 四位大學生將代表本專業(yè)參加拉力賽，需要安排第一棒到第四棒的順序，四個人去詢問教練的安排，教練 對甲說：“根據(jù)訓練成績，你和乙都不適合跑最后一棒；然后又對乙說：“你還不適合安排在第一棒”，僅從 教練回答的信息分析，要對這四名同學講行合理的比賽棒次安排，那么不同情形的

5、種數(shù)共有（）A. 6B. 8C. 12D. 24【解析】根據(jù)條件乙只能安排在第二棒或第三棒；若乙”安排在第二棒，此時有：C;A; = 4種，若“乙”安排在第三棒，此時有：C2 A2 = 4種，則一共有8種，選B.（四）捆綁法例題4 為迎接雙流中學建校80周年校慶，雙流區(qū)政府計劃提升雙流中學辦學條件.區(qū)政府聯(lián)合雙流中學組 成工作組，與某建設(shè)公司計劃進行6個重點項目的洽談，考慮到工程時間緊迫的現(xiàn)狀，工作組對項目洽談的 順序提出了如下要求：重點項目甲必須排在前三位，且項目丙、丁必須排在一起，則這六個項目的不同安 排方案共有（）A. 240種B. 188種C. 156種D. 120種【解析】第一類：當

6、甲在第1位時，第一步，丙、丁捆綁成的整體有4種方法，第二步，丙、丁內(nèi)部排列用A；種方法，第三步，其他三人共A3種方法，共4A2A3 = 4X2x6 = 48種方法；第二類：當甲在第2位時，第一步，丙、丁捆綁成的整體有3種方法，后面兩步與第一類方法相同，共3A2A3 = 3 x 2 x 6 = 36種方法；23第三類：當甲在第3為時，與第二類相同，共36種方法；總計，完成這件事的方法數(shù)為N = 48 + 36 + 36 = 120，故選D.鞏固3 某校迎新晚會上有6個節(jié)目，考慮整體效果，對節(jié)目演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在前三位，且節(jié)目丙、丁必須排在一起.則該校迎新晚會節(jié)目演出順序的編排方案

7、共有（）A. 120種B. 156種C. 188種D. 240種【解析】先考慮將丙、丁排在一起的排法種數(shù)，將丙、丁捆綁在一起，與其他四人形成五個元素，排法種數(shù)為售彎=2x 120 = 240 , 利用對稱性思想，節(jié)目甲放在前三位或后三位的排法種數(shù)是一樣的，2401 ”因此，該校迎新晚會節(jié)目演出順序的編排方案共有；一二 120種，選A.不在問題的間接法例題5 某教師準備對一天的五節(jié)課進行課程安排，要求語文、數(shù)學、外語、物理、化學每科分別要排一節(jié)課，3 A . 20則數(shù)學不排第一節(jié)，物理不排最后一節(jié)的情況下，化學排第四節(jié)的概率是()B.堂C. 7D史13978【解析】設(shè)事件A :數(shù)學不排第一節(jié)，物

8、理不排最后一節(jié).設(shè)事件B :化學排第四節(jié).如八 A4 + C1C1 A3 78A3 + C1C1A2 14P (AB) 7A55P(a)= 4 I 力二 ，P(AB) = at a二，故滿足條件的概率是 ()二.故選C.A5A5A5A5P(A) 395555鞏固4某公司安排五名大學生從事A、B、C、D四項工作，每項工作至少安排一人且每人只能安排一項工作，A項工作僅安排一人，甲同學不能從事B項工作，則不同的分配方案的種數(shù)為()A . 96B. 120C . 132D . 240【解析】若甲同學在A項工作，則剩余4人安排在B、C、D三項工作中，共有C1C2C2C1=36種若甲同學不在A項工作，則在

9、C或D工作，共有C4C2(C1 + C：C;+ C2)=96種，共36+96=132種，選C鞏固5某次文藝匯演為，要將A，B，C，D，E，F(xiàn)這六個不同節(jié)目編排成節(jié)目單，如下表：序號123456節(jié)目如果A，B兩個節(jié)目要相鄰，且都不排在第3號位置，那么節(jié)目單上不同的排序方式有A . 192 種B . 144 種C . 96 種D . 72 種【解析】由題意知A，B兩個節(jié)目要相鄰，且都不排在第3號位置，可以把這兩個元素看做一個，再讓他們兩個元素之間還有一個排列，A，B兩個節(jié)目可以排在1，2兩個位置，可以排在4，5兩個位置，可以排在5，6兩個位置，這兩個元素共有二二:種排法，其他四個元素要在剩下的四個

10、位置全排列，節(jié)目單上不同的排序方式有T二二=二4,選B .（六）走街道問題 例題6 如圖，某城市中，M、N兩地有整齊的道路網(wǎng)，若規(guī)定只能向東或向北兩個方向沿途中路線前進，則從M到N不同的走法共有（）A. 10B. 13C. 15D. 25【解析】因為只能向東或向北兩個方向，向北走的路有5條，向東走的路有3條，走路時向北走的路有5種結(jié)果，向東走的路有3種結(jié)果，根據(jù)分步計數(shù)原理知共有3 x5 = 15種結(jié)果，選C（七）隔板法例題7 設(shè)有n +1個不同顏色的球，放入n個不同的盒子中，要求每個盒子中至少有一個球，則不同的放法有（）A. （n +1）!種B. n.(n +1)!種C. 2(n +1)!種

11、D. 2n(n +1)!種 TOC o 1-5 h z 八 .n，【解析】將兩個顏色的球捆綁在一起，再全排列得。2 n!=尋（n +1）!選D n+12鞏固6將4個大小相同，顏色互不相同的球全部放入編號為1和2的兩個盒子里，使得放入每個盒子里球的個數(shù)不小于該盒子的編號，則不同的放球方法有（）種. HYPERLINK l bookmark68 o Current Document A. 7B. 10C. 14D. 20【解析】根據(jù)題意，每個盒子里的球的個數(shù)不小于該盒子的編號，分析可得，1號盒子至少放一個，最多放2個小球，分情況討論：1號盒子中放1個球，其余3個放入2號盒子，有C41=4種方法；1

12、號盒子中放2個球，其余2個放入2號盒子，有C42=6種方法；則不同的放球方法有4+6=10種，選B.（八）回歸原始的方法例題8 某次演出共有6位演員參加，規(guī)定甲只能排在第一個或最后一個出場，乙和丙必須排在相鄰的順 序出場，請問不同的演出順序共有（）A. 24 種B. 144 種C. 48 種D. 96 種【解析】第一步，先安排甲有力種方案；第二步，安排乙和丙有A2A1種方案；第三步，安排剩余的三個22 4演員有A；種方案，根據(jù)分步計數(shù)原理可得共有A； A； A： A； = 96種方案.故選D.鞏固7 如圖，下有七張卡片，現(xiàn)這樣組成一個三位數(shù)：甲從這七張卡片中隨機抽出一張，把卡片上的數(shù)字寫在百位

13、，然后把卡片放回；乙再從這七張卡片中隨機抽出一張，把卡片上的數(shù)字寫在十位，然后把卡 片放回；丙又從這七張卡片中隨機抽出一張，把卡片上的數(shù)字寫在個位，然后把卡片放回。則這樣組成的 三位數(shù)的個數(shù)為（ ）A. 21B. 48C. 64D. 81【解析】第一步：甲從七張卡片中隨機抽出一張，抽到的不同取值為1,2,3,4,共4種情況；第二步：乙從七張卡片中隨機抽出一張，抽到的不同取值為1,2,3,4，共4種情況； 第三步：丙從七張卡片中隨機抽出一張，抽到的不同取值為1,2,3,4，共4種情況； 因此，這樣組成的三位數(shù)的個數(shù)為4x4x4 = 64，故選C（九）涂色例題9 現(xiàn)有5種不同的顏色，給四棱錐的五個

14、頂點涂色，要求同一條棱上的兩個頂點顏色不能相同，一 共有（）種方法.A. 240B. 360C. 420D. 480【解析】當頂點A,C同色時，頂點P有5種顏色可供選擇，點A有4種顏色可供選擇，點B有3種顏色可 供選擇，此時C只能與A同色，1種顏色可選，點D就有3種顏色可選，共有5x4x3x1x3 =180種； 當頂點A,C不同色時，頂點P有5種顏色可供選擇，點A有4種顏色可供選擇，點B有3種顏色可供選擇， 此時C與A不同色，2種顏色可選，點D就有2種顏色可選，共有5x4x3x2x2 = 240種；綜上可得共有 180 + 240 = 420 種，故選 C.鞏固8 一個正方形花圃，被分為5份A

15、、B、C、D、E，種植紅、黃、藍、綠4種顏色不同的花，要求相 鄰兩部分種植不同顏色的花，則不同的種植方法有（）.A. 24 種B. 48 種C. 84 種D. 96 種 【解析】區(qū)域A、C、D兩兩相鄰，共有二二二種不同的種植方法，當區(qū)域E與區(qū)域A種植相同顏色的花時，種植B、E有,：；二：種不同的種植方法，當區(qū)域E與區(qū)域A種植不同顏色的花時，種植B、E有：=：種不同的種植方法，.不同的種植方法有二i1 =：種，選d鞏固9 如圖為我國數(shù)學家趙爽約3世紀初在為周髀算經(jīng)作注時驗證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在提供5種顏色給其中5個小區(qū)域涂色，規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不同，貝則T區(qū)域涂色不相同的概

16、率為E【解析】提供5種顏色給其中5個小區(qū)域涂色，規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不同，根據(jù)題意，如圖，設(shè)5個區(qū)域依次為二三二分4步進行分析：；，對于區(qū)域-有5種顏色可選；二，對于區(qū)域三與-區(qū)域相鄰，有4種顏色可選；玉，對于區(qū)域三，與二三區(qū)域相鄰，有3種顏色可選；三，對于區(qū)域二。，若二與三顏色相同，：區(qū)域有3種顏色可選，若：與三顏色不相同，二區(qū)域有2種顏色可選，區(qū)域有2種顏色可選，則區(qū)域二：有：2二-種選擇，則不同的涂色方案有=：5 :、二二】種，其中，二區(qū)域涂色不相同的情況有：二，對于區(qū)域一有5種顏色可選；：，對于區(qū)域三與二區(qū)域相鄰，有4種顏色可選；M，對于區(qū)域三與二三.:區(qū)域相鄰，有2

17、種顏色可選；三，對于區(qū)域二。，若二與三顏色相同，：區(qū)域有2種顏色可選，若：與三顏色不相同，二區(qū)域有2種顏色可選，三區(qū)域有1種顏色可選，則區(qū)域二有-=種選擇，不同的涂色方案有=：二二:種，二T區(qū)域涂色不相同的概率為：二三二T，故選D. 馬q U /（十）平均分堆與不平均分堆例題10數(shù)術(shù)記遺是算經(jīng)十書中的一部，相傳是漢末徐岳（約公元2世紀）所著，該書主要記述了：積算（即籌算）太乙、兩儀、三才、五行、八卦、九宮、運籌、了知、成數(shù)、把頭、龜算、珠算計數(shù)14種計算器械的使用方法某研究性學習小組3人分工搜集整理14種計算器械的相關(guān)資料，其中一人4種、另兩人每人5種計算器械，則不同的分配方法有（）C4 C5

18、 C5A3A141053A22B.C4 C5 C5A2141052A3C.C4 C5 C514_10_5A22D. C4 C5 C514 10 5C4C5C5再排給3個人，方法數(shù)有T4 1X A3種，A232C 4 C 5 C 5【解析】先將14種計算器械分為三組，方法數(shù)有一14 種，A22故選A.鞏固10為了落實中央提出的精準扶貧政策，永濟市人力資源和社會保障局派3人到開張鎮(zhèn)石橋村包扶5戶 貧困戶，要求每戶都有且只有1人包扶，每人至少包扶1戶，則不同的包扶方案種數(shù)為（）A. 30B. 90C. 150D. 210【解析】由題意可知，這3人所包扶的戶數(shù)分別為1、1、3或1、2、2，利用分步計數(shù)

19、原理知，不同的包扶方案種數(shù)為C + 孚2窖=0 + 浮X6 = 150,選C.I 5A； ） 3 2 ）鞏固11某班有50人，從中選10人均分2組（即每組5人），一組打掃教室，一組打掃操場，那么不同的 選派法有（）A.C10 C5qC. C10 C5 A250102D.C；0 C45 A;【解析】先分組得C50 C10，再一組打掃教室，一組打掃操場，得不同選法曳盤0 A2=C10C5,選a 2225010常見11類錯誤題型（一）至少問題例題1某班有20名女生和19名男生，從中選出5人組成一個垃圾分類宣傳小組，要求女生和男生均不少于2人的選法共有（）A. C；0 C2 Ci5B. C59 - C

20、* - C59c. C59 - C20C4 - c；0C：9d.。方 + c；0C2【解析】從中選出5人組成一個垃圾分類宣傳小組，要求女生和男生均不少于2人當選出5人為2女3男時，共有不同選法為。；0。3種，當選出5人為3女2男時，共有不同選法為C；0C19種即選出5人組成一個垃圾分類宣傳小組，要求女生和男生均不少于2人選法有C2C39 + CCj種，選D鞏固1假設(shè)200件產(chǎn)品中有3件次品，現(xiàn)在從中任取5件，其中至少有2件次品的抽法有（）A. C2C128 種B. （C2C1397 + C3C12 7）種C. % - C47 種D. J;。- C3C4 7）種【解析】根據(jù)題意，“至少有2件次品

21、”可分為“有2件次品”與“有3件次品”兩種情況“有2件次品”的抽取方法有C32C1973種，“有3件次品”的抽取方法有C33C1972種則共有C32C1973+C33C1972種不同的抽取方法，故選B（二）不相鄰問題插空法例題2有紅色、黃色小球各兩個，藍色小球一個，所有小球彼此不同，現(xiàn)將五球排成一行，顏色相同者不相鄰，不同的排法共有（）種A. 48B. 72C. 78D. 84【解析】五個小球全排列共有：代5 = 120種排法當兩個紅色小球與兩個黃色小球都相鄰時，共有：A2彎A3 = 24種排法當兩個紅色小球相鄰，兩個黃色小球不相鄰時，共有：A2A2A2 = 24種排法 2 2 3當兩個紅色小

22、球不相鄰，兩個黃色小球相鄰時，共有：A2A2A2 = 24種排法223顏色相同的小球不相鄰的排法共有：120-24-24-24 = 48種排法，選A鞏固2 7人并排站成一行，如果甲、乙兩人不相鄰，那么不同的排法總數(shù)是A. 1440B. 3600C. 4320D. 4800【解析】除甲、乙以外的5人全排列，共有A5種結(jié)果，5人排隊后會出現(xiàn)6個空，從中選出2個排甲、乙，5 TOC o 1-5 h z 有A2種結(jié)果。所以滿足條件的排隊總數(shù)=A5A2 = 120 x 30 = 3600 （種），故選B 656（三）相鄰問題大元素法例題3 2位男生和3位女生共5位同學站成一排，若3位女生中有且只有兩位女

23、生相鄰，則不同排法的種 HYPERLINK l bookmark104 o Current Document 數(shù)是（） HYPERLINK l bookmark111 o Current Document A.36B.24C.72D.144【解析】根據(jù)題意，把3位女生的兩位捆綁在一起看做一個復合元素，和剩下的一位女生，插入到2位男生全排列后形成的3個空中的2個空中，故有A;A;A; = 72種，選C .鞏固32019年7月1日迎來了我國建黨98周年，6名老黨員在這天相約來到革命圣地之一的西柏坡.6名老黨員中有3名黨員當年在同一個班，他們站成一排拍照留念時，要求同班的3名黨員站在一起，且滿足 條

24、件的每種排法都要拍一張照片，若將照片洗出來，每張照片0.5元（不含過塑費），且有一半的照片需要 過塑，每張過塑費為0.75元.若將這些照片平均分給每名老黨員（過塑的照片也要平均分），則每名老黨員 需要支付的照片費為（） 【解析】捆綁法求得照片總數(shù)為乎廣144，每名老黨員需要支付照片費為144x爵：7M0.75 = 21元A. 20.5B. 21 元C. 21.5 元D. 22 元（四）分配問題例題4 高三年級有8個班級，分派4位數(shù)學老師任教，每個教師教兩個班，則不同的分派方法有（） C2C2C2C2A A2A2A2A2b C2C2C2C2C C2C2C2C2A4d C8 C6 匕 C28 6

25、4 28 6 4 28 6 4 2 44!C 2C 2C 2C 2【解析】分兩步，第一步將高三8個班級，兩兩一組分4組，共有 種分法，第二步將4位數(shù)學A44C2C2C2C2老師分配到這4組，共有&種情況，所以不同的分派方法有8 6 4 2 A4= C2C2C2C2，選B4&4864 24鞏固4 將3名教師，5名學生分成3個小組，分別安排到甲、乙、丙三地參加社會實踐活動，每地至少去1名教師和1名學生，則不同的安排方法總數(shù)為（）A . 1800B . 1440C . 300D . 900【解析】先將3名教師安排到甲、乙、丙三地有A; 二 6種分法然后安排5名學生，將5名學生可分為1，1，3三組，也

26、可分為2, 2，1三組則安排到三地有f CCC3 + C2C2C1 A3 =150種方法 TOC o 1-5 h z （A2A2J 3七2 7根據(jù)分步乘法原理，可知不同的安排方法總數(shù)為6 x150 = 900種，故選D.（五）特殊元素優(yōu)先例題5 10名運動員中有2名老隊員和8名新隊員，現(xiàn)從中選3人參加團體比賽，要求老隊員至多1人入選且新隊員甲不能入選的選法有（）A . 77 種B . 144 種C . 35 種D . 72 種【解析】按照老隊員的人數(shù)分兩類：（1）只選一名老隊員，則新隊員選2名（不含甲）有C； - C2 = 42（2）沒有選老隊員，則選3名新隊員（不含甲）有C3 = 357所以

27、老隊員至多1人入選且新隊員甲不能入選的選法有：42+35 = 77種，故選A鞏固5 中國古代儒家要求學生掌握六種基本才能（六藝）：禮、樂、射、御、書、數(shù)。某校國學社團周末 開展“六藝”課程講座活動，一天連排六節(jié)，每藝一節(jié)，排課有如下要求：“射”不能排在第一，“數(shù)”不能排在 最后，則“六藝”講座不同的排課順序共有 種.【解析】第一種情況，當“射”排最后一位時，共有A； = 120種方法第二種情況，當“射”排中間4個位置中的1個時共有Ai Ai A4 = 384種方法 不同的排列方式共有384+120 = 504種，所以“六藝”講座不同的排課順序共有504種鞏固62位男生和3位女生共5位同學站成一

28、排，若3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是（）A. 36B. 24C. 72D. 144【解析】根據(jù)題意，把3位女生的兩位捆綁在一起看做一個復合元素，和剩下的一位女生，插入到2位男生全排列后形成的3個空中的2個空中，故有A;A;A; = 72種，選C（六）涂色問題例題6 如圖，用5種不同的顏色把圖中A、 B、 C、 D四塊區(qū)域分開，若相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色， 則不同的涂法共有（）A. 200 種B. 160 種C. 240 種D. 180 種【解析】涂A有5種涂法，B有4種，C有3種，因為D可與A同色，故D有3種，.由分步乘法計數(shù)原理知，不同涂法有5 x 4 x 3x 3 =

29、180種.故答案選D。鞏固7 如圖，有一種游戲畫板，要求參與者用六種顏色給畫板涂色，這六種顏色分別為紅色、黃色1、黃 色2、黃色3、金色1、金色2,其中黃色1、黃色2、黃色3是三種不同的顏色，金色1、金色2是兩種不 同的顏色，要求紅色不在兩端，黃色1、黃色2、黃色3有且僅有兩種相鄰，則不同的涂色方案有（ ）：A. 120種B. 240種C. 144 種D. 288種【解析】不考慮紅色的位置，黃色1、黃色2、黃色3有且僅有兩個相鄰的涂色方案有(C; A2 ). A3 - A2=432種.這種情況下，紅色在左右兩端的涂色方案有(c2 A2 )3 2C2 .A； Af =144種；從而所求的結(jié)果為4

30、32 -144 = 288 種，故選 D.鞏固8 如圖所示的幾何體是由一個正三棱錐P-ABC與正三棱柱ABC-A1B1C1組合而成，現(xiàn)用3種不同 顏色對這個幾何體的表面染色（底面A1B1C1不涂色），要求相鄰的面均不同色，則不同的染色方案共有（）A. 24 種B. 18 種C. 16 種D. 12 種 TOC o 1-5 h z 【解析】先對正三棱錐P-ABC三個表面染色，有A；種，再對正三棱柱ABC-ABC三個表面染色有A； 種，所以共有A3 A2 = 12種，選D. 32（七）數(shù)字整除問題例題7由數(shù)字0, 1，2, 3組成的無重復數(shù)字且能被3整除的非一位數(shù)的個數(shù)為（） HYPERLINK

31、l bookmark148 o Current Document A. 12B. 20C. 30D. 31【解析】兩位數(shù)：含數(shù)字1，2的數(shù)有A;個，或含數(shù)字3, 0的數(shù)有1個.三位數(shù)：含數(shù)字0, 1，2的數(shù)有C2A; 個，含數(shù)字1，2，3有A33個.四位數(shù)：有Ci A33個.所以共有1 + A; + C;A; + A; + C;A; = 31個，故選D. 鞏固9 如果把個位數(shù)是1，且恰有3個數(shù)字相同的四位數(shù)叫做“偽豹子數(shù)”那么在由1，2，3，4，5五個 數(shù)字組成的有重復數(shù)字的四位數(shù)中，“偽豹子數(shù)”共有（）個A. 16B. 12C. 28D. 20【解析】相同數(shù)不為1時，四位數(shù)的個位數(shù)是1，其他

32、3個相同的數(shù)可能是2,3,4,5共4種相同數(shù)為1時，四位數(shù)的個位數(shù)是1，在2,3,4,5中選一個數(shù)放在十位或百位或千位上，共有C4 x Ci = 12種 則共有4+12=16種，故選A（八）正難則反例題8 某電商為某次活動設(shè)計了“和諧”、“愛國”、“敬業(yè)”三種紅包，活動規(guī)定每人可以依次點擊4次，每 次都會獲得三種紅包的一種，若集全三種即可獲獎，但三種紅包出現(xiàn)的順序不同對應(yīng)的獎次也不同員工甲 按規(guī)定依次點擊了 4次，直到第4次才獲獎則他獲得獎次的不同情形種數(shù)為（ ）A. 9B. 12C. 18D. 24【解析】根據(jù)題意，若員工甲直到第4次才獲獎，則其第4次才集全“和諧”、“愛國”、“敬業(yè)”三種紅

33、包則甲第4次獲得的紅包有3種情況，前三次獲得的紅包為其余的2種，有23-2 = 6種情況則他獲得獎次的不同情形種數(shù)為3x6 = 18種，選C鞏固10把20個相同的小球裝入編號分別為的4個盒子里，要求號盒每盒至少3個球， 號盒每盒至少4個球，共有（ ）種方法.A. C3B. C39C. C3A4D. C24C3【解析】設(shè)四個盒子中裝的小球個數(shù)分別為a，b，c，d，則a + b + c + d = 20要求號盒每盒至少3個球，號盒每盒至少4個球令 w = a - 2，x = b - 2，y = c - 3，z = d - 3，則 ，%，y，乙都大于或等于1，且 w + x + y + z =10問

34、題相當于將10個球分成四部分，在10個球的9個間隔里選三個隔開，有C3種方法，選A9（九）避免出錯一徹底分類例題9 今有6個人組成的旅游團，包括4個大人，2個小孩，去廬山旅游，準備同時乘纜車觀光，現(xiàn)有三輛 不同的纜車可供選擇，每輛纜車最多可乘3人，為了安全起見，小孩乘纜車必須要大人陪同，則不同的乘 車方式有（）種A. 204B. 288C. 348D. 396【解析】第一類：只用兩輛纜車，若兩個小孩坐在一塊，則有C2C1C2A2 = 24種乘車方式；34 22八C2C2 八，. 一 、.若兩個小孩不坐在一塊，則有勺夜廣C2A； = 36種乘車萬式2第二類：用三輛纜車；若兩個小孩坐在一塊，則有C

35、1C 2C 2 A3 = 72種乘車方式4 2 33八C1C1 .一，、.若兩個小孩不坐在一塊，則有C;7A2 A3 = 216種乘車萬式2綜上不同的乘車方式有24 + 36 + 72 + 216 = 348種，故選C鞏固11某學校要安排2名高二的同學，2名高一的同學和1名初三的同學去參加電視節(jié)目變形記，有五 個鄉(xiāng)村小鎮(zhèn)A、B、C、D，E （每名同學選擇一個小鎮(zhèn)）由于某種原因高二的同學不去小鎮(zhèn)A，高一的同學 不去小鎮(zhèn)B，初三的同學不去小鎮(zhèn)D和E，則共有 種不同的安排方法（用數(shù)字作）【解析】如果初三學生去A，則高二學生選1人去B，另外三人去C，D，E，故方法數(shù)有C1 A3 = 12種如果初三學生

36、去B，則高一學生選1人去A，另外三人去c,D,E，故方法數(shù)有C1 A3 = 12種如果初三學生去C ,則高二學生選1人去B，高一學生選1人去A，另外兩人去D，E，有c 1C1A2 = 8種故總的方法數(shù)有12+12+8 = 32種（十）空間幾何體與排列組合例題10已知兩條異面直線a，b上分別有5個點和8個點，則這13個點可以確定不同的平面?zhèn)€數(shù)為A. 40B. 16 C. 13D. 10【解析】分兩類情況討論：第1類，直線a分別與直線b上的8個點可以確定8個不同的平面；第2類， 直線b分別與直線a上的5個點可以確定5個不同的平面.根據(jù)分類加法計數(shù)原理知，共可以確定8+5 = 13個不同的平面，故選

37、C.鞏固12在一個質(zhì)地均勻的四面體中，一個面上標有數(shù)字1，一個面上標有數(shù)字2,另外有兩個面上標有數(shù)字3,將該正四面體拋擲三次，則向下一面的數(shù)字之和為7的情況有 種【解析】因為四面體中，一個面上標有數(shù)字1,一個面上標有數(shù)字2,另外有兩個面上標有數(shù)字3,當將該正四面 體拋擲三次，則向下一面的數(shù)字之和為7的情況有兩類：當組合為2,2,3時,可能有qq = 6種情況，當組合為1,3,3時,可能有C3C2C2 = 12種情況綜上可知，所有出現(xiàn)向下一面的數(shù)字之和為7的情況有6 +12 = 18種（十一）排列組合綜合問題例題11空間中不共面的4點A，B，C，D，若其中3點到平面a的距離相等且為第四個點到平面

38、a的2 倍，這樣的平面a的個數(shù)為（）A.8B.16C.32D.48【解析】第一種情況，A，B，C，D點在平面a的同側(cè).當平面a 平面BCD時，A與平面a的距離是a與平面BCD的距離的2倍.這種情況下有4個平面.第二種情況，A，B，C，D中有3個點在平面a的一側(cè)，第4個點在平面a的另一側(cè)，這時又有兩種情形: 一種情形是平面a與平面BCD平行，且A與平面a距離是平面a與平面BCD距離的2倍.這時有4個平面.另一種情形如圖a所示，圖中E, F分別是AB, AC的中點，K是AD的三等分點中靠近A的分點，A, B, C到平面EFK （即平面a ）的距離是D到平面EFK距離的一半.,:EF可以是AB，AC

39、的中點的連線，又可以是AB，BC的中點的連線，或AC，BC的中點的連線，.這種情形下的平面a有3x4=12 （個）.第三種情況，如圖b所示，在A，B，C，D四點中，平面a兩側(cè)各種有兩點.容易看出：點A到平面EFMN （平面a ）的距離是B，C，D到該平面距離的2倍。就A，C與B，D分別位于平面a兩側(cè)的情形來看，就有A離平面a遠，b離平面a遠，c離平面a遠，D離平面a遠這四種情況.又AC，BD異面，則這樣的異面直線共有3對.平面a有4x3=12 （個）.綜上分析，平面a有4+4+12+12=32 （個），選C鞏固13若矩陣f* ：2 ：3 ：4滿足下列條件：每行中的四個數(shù)均為集合1，2, 3, 4中不同元素； b b b b ）四列中有且只有兩列的上下兩數(shù)是相同的，則滿足條件的矩陣的個數(shù)為）A. 48B. 72C. 144D. 264【解析】第一步，排列第一行，有A4 = 24種排列方法；4第二步，由題意知有且只有兩列的上下兩數(shù)是相同的，選擇1，2,3,4中的兩個數(shù)作為與上列相同的數(shù)字， 有C 2 = 6種取法，而對于剩余兩數(shù)，為使不與上列數(shù)字相同，有且只有一種排法，4因此，滿足題中條件的矩陣的個數(shù)共有24x6 = 144個，故選C