對數(shù)函數(shù),指數(shù)函數(shù),冪函數(shù)

1、 11/11 對數(shù)的公理化定義真數(shù)式子沒根號那就只要求真數(shù)式大于零,如果有根號,要求真數(shù)大于零還要保證根號里的式子大于等于零， 底數(shù)則要大于0且不為1 對數(shù)函數(shù)的底數(shù)為什么要大于0且不為1？ 【在一個普通對數(shù)式里 a0,或=1 的時候是會有相應(yīng)b的值的。但是，根據(jù)對數(shù)定義: logaa=1；如果a=1或=0那么logaa就可以等于一切實數(shù)（比如log1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根據(jù)定義運算公式：loga Mn = nloga M 如果a0且a1時,M0,N0，那么： （1）log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); （2）log(a)(M/N)=log(a)

2、(M)-log(a)(N); （3）log(a)(Mn)=nlog(a)(M) （nR） （4）換底公式：log(A)M=log(b)M/log(b)A (b0且b1） (5) a(log(b)n)=n(log(b)a) 證明： 設(shè)a=nx 則a(log(b)n)=（nx）log(b)n=n（xlog(b)n）=nlog(b)（nx）=n(log(b)a) (6)對數(shù)恒等式：alog（a)N=N; log（a）ab=b 對數(shù)與指數(shù)之間的關(guān)系當(dāng)a0且a1時,ax=N x=(a)N 對數(shù)函數(shù)右圖給出對于不同大小a所表示的函數(shù)圖形： 可以看到對數(shù)函數(shù)的圖形只不過的指數(shù)函數(shù)的圖形的關(guān)于直線y=x的對稱

3、圖形，因為它們互為反函數(shù)。 （1） 對數(shù)函數(shù)的定義域為大于0的實數(shù)集合。 （2） 對數(shù)函數(shù)的 HYPERLINK /view/543477.htm t _blank 值域為全部實數(shù)集合。 （3） 函數(shù)圖像總是通過（1，0）點。 （4） a大于1時，為單調(diào)增函數(shù)，并且上凸；a小于1大于0時，函數(shù)為單調(diào)減函數(shù)，并且下凹。 （5） 顯然對數(shù)函數(shù)無界。 對數(shù)函數(shù)的常用簡略表達(dá)方式： （1）log(a)(b)=log(a)(b) （2）lg(b)=log(10)(b) （3）ln(b)=log(e)(b) 對數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì)： 如果a0，且a不等于1,M0,N0，那么： （1）log(a)(MN)=lo

4、g(a)(M)+log(a)(N); （2）log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N); （3）log(a)(Mn)=nlog(a)(M) （n屬于R） （4）log(ak)(Mn)=(n/k)log(a)(M) （n屬于R） 對數(shù)與指數(shù)之間的關(guān)系 當(dāng)a大于0,a不等于1時,a的X次方=N等價于log(a)Nlog(ak)(Mn)=(n/k)log(a)(M) （n屬于R） 換底公式 （很重要） log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)= lnN/lna=lgN/lga ln 自然對數(shù) 以e為底 e為無限不循環(huán)小數(shù) lg 常用對數(shù) 以10為底 對數(shù)函數(shù)的常

5、用簡略表達(dá)方式（1）常用對數(shù):lg(b)=log(10)(b) （2）自然對數(shù):ln(b)=log(e)(b) e=2.718281828.通常情況下只取e=2.71828對數(shù)函數(shù)的定義 對數(shù)函數(shù)的一般形式為 y=(a)x，它實際上就是指數(shù)函數(shù)的 HYPERLINK /view/359.htm t _blank 反函數(shù)(圖象關(guān)于直線y=x對稱的兩函數(shù)互為反函數(shù)），可表示為x=ay。因此 HYPERLINK /view/331648.htm t _blank 指數(shù)函數(shù)里對于a的規(guī)定（a0且a1），同樣適用于對數(shù)函數(shù)。 右圖給出對于不同大小a所表示的函數(shù)圖形： 可以看到對數(shù)函數(shù)的圖形只不過的指數(shù)函

6、數(shù)的圖形的關(guān)于直線y=x的對稱圖形，因為它們互為反函數(shù)。 性質(zhì)定義域求解：對數(shù)函數(shù)y=loga x 的定義域是x x0，但如果遇到對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域的求解，除了要注意真數(shù)大于0以外，還應(yīng)注意底數(shù)大于0且不等于1，如求函數(shù)y=logx（2x-1）的定義域，需滿足x0且x1 。 2x-10 =x1/2且x1，即其定義域為 x x1/2且x1值域：實數(shù)集R 定點：函數(shù)圖像恒過定點（1，0）。 單調(diào)性：a1時，在定義域上為單調(diào)增函數(shù)，并且上凸； HYPERLINK /image/5af4d7eaff286ff8d439c937 o 查看圖片 t _blank 0a0且1) (xR)，從上面我們關(guān)于

7、 HYPERLINK /view/331644.htm t _blank 冪函數(shù)的討論就可以知道，要想使得x能夠取整個實數(shù)集合為定義域，則只有使得 如圖所示為a的不同大小影響函數(shù)圖形的情況。 在函數(shù)y=ax中可以看到： （1） 指數(shù)函數(shù)的定義域為所有實數(shù)的集合，這里的前提是a大于0且不等于1，對于a不大于0的情況，則必然使得函數(shù)的定義域不存在連續(xù)的區(qū)間，因此我們不予考慮， 同時a等于函數(shù)無意義一般也不考慮。 （2） 指數(shù)函數(shù)的值域為大于0的實數(shù)集合。 （3） 函數(shù)圖形都是下凸的。 （4） a大于1，則指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增；a小于1大于0，則為單調(diào)遞減的。 （5） 可以看到一個顯然的規(guī)律，就是當(dāng)a從

8、0趨向于無窮大的過 HYPERLINK /image/b6045da927498abe1e17a297 o 查看圖片 t _blank 指數(shù)函數(shù)程中（當(dāng)然不能等于0），函數(shù)的曲線從分別接近于Y軸與X軸的正半軸的單調(diào)遞減函數(shù)的位置，趨向分別接近于Y軸的正半軸與X軸的負(fù)半軸的單調(diào)遞增函數(shù)的位置。其中水平直線y=1是從遞減到遞增的一個過渡位置。 （6） 函數(shù)總是在某一個方向上無限趨向于X軸,并且永不相交。 （7） 函數(shù)總是通過（0，1）這點,(若y=ax+b,則函數(shù)定過點(0,1+b) （8） 顯然指數(shù)函數(shù)無界。 （9） 指數(shù)函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。 （10）當(dāng)兩個指數(shù)函數(shù)中的a互為倒數(shù)時，兩

9、個函數(shù)關(guān)于y軸對稱，但這兩個函數(shù)都不具有奇偶性。 （11）當(dāng)指數(shù)函數(shù)中的自變量與因變量一一映射時，指數(shù)函數(shù)具有反函數(shù)。 HYPERLINK /view/331648.htm 編輯本段底數(shù)的平移：對于任何一個有意義的指數(shù)函數(shù)： 在指數(shù)上加上一個數(shù)，圖像會向左平移；減去一個數(shù)，圖像會向右平移。 在f(X)后加上一個數(shù)，圖像會向上平移；減去一個數(shù)，圖像會向下平移。 即“上加下減，左加右減” HYPERLINK /view/331648.htm 編輯本段底數(shù)與指數(shù)函數(shù)圖像： HYPERLINK /image/cbc17b3876ca4b0097ddd8e6 o 查看圖片 t _blank 指數(shù)函數(shù)（1

10、）由指數(shù)函數(shù)y=ax與直線x=1相交于點（1，a)可知：在y軸右側(cè)，圖像從下到上相應(yīng)的底數(shù)由小變大。 （2）由指數(shù)函數(shù)y=ax與直線x=-1相交于點（-1，1/a）可知：在y軸左側(cè)，圖像從下到上相應(yīng)的底數(shù)由大變小。 （3）指數(shù)函數(shù)的底數(shù)與圖像間的關(guān)系可概括的記憶為：在y軸右邊“底大圖高”；在y軸左邊“底大圖低”。（如右圖）。 HYPERLINK /view/331648.htm 編輯本段冪的大小比較：比較大小常用方法：（1）比差（商）法：（2）函數(shù)單調(diào)性法；（3）中間值法：要比較A與B的大小，先找一個中間值C，再比較A與C、B與C的大小，由不等式的傳遞性得到A與B之間的大小。 比較兩個冪的大小

11、時，除了上述一般方法之外，還應(yīng)注意： （1）對于底數(shù)相同，指數(shù)不同的兩個冪的大小比較，可以利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來判斷。 例如：y1=34,y2=35，因為3大于1所以函數(shù)單調(diào)遞增（即x的值越大，對應(yīng)的y值越大），因為5大于4，所以y2大于y1. （2）對于底數(shù)不同，指數(shù)相同的兩個冪的大小比較，可 HYPERLINK /image/d089b986a87b3a7c67096e8b o 查看圖片 t _blank 指數(shù)函數(shù)以利用指數(shù)函數(shù)圖像的變化規(guī)律來判斷。 例如：y1=1/24,y2=34,因為1/2小于1所以函數(shù)圖像在定義域上單調(diào)遞減；3大于1，所以函數(shù)圖像在定義域上單調(diào)遞增，在x=0是兩個函

12、數(shù)圖像都過（0，1）然后隨著x的增大，y1圖像下降，而y2上升，在x等于4時，y2大于y1. （3）對于底數(shù)不同，且指數(shù)也不同的冪的大小比較，則可以利用中間值來比較。如： 對于三個（或三個以上）的數(shù)的大小比較，則應(yīng)該先根據(jù)值的大小（特別是與0、1的大小）進(jìn)行分組，再比較各組數(shù)的大小即可。 在比較兩個冪的大小時，如果能充分利用“1”來搭“橋”（即比較它們與“1”的大?。?，就可以快速的得到答案。那么如何判斷一個冪與“1”大小呢？由指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)可知“同大異小”。即當(dāng)?shù)讛?shù)a和1與指數(shù)x與0之間的不等號同向（例如： a 1且x 0，或0 a 1且 x 0）時，ax大于1，異向時ax小于1. 3例

13、：下列函數(shù)在R上是增函數(shù)還是減函數(shù)？說明理由. y=4x 因為41，所以y=4x在R上是增函數(shù)； y=(1/4)x 因為01/40且a1） （4）a1時，曲線由左向右逐漸上升即a1時，函數(shù)在（-，+）上是增函數(shù)；0a1是，曲線逐漸下降即0a0，則a可以是任意實數(shù)； 排除了為0這種可能，即對于x0的所有實數(shù)，q不能是偶數(shù)； 排除了為負(fù)數(shù)這種可能，即對于x為大于或等于0的所有實數(shù)，a就不能是負(fù)數(shù)。 HYPERLINK /view/331644.htm 編輯本段定義域總結(jié)起來，就可以得到當(dāng)a為不同的數(shù)值時，冪函數(shù)的定義域的不同情況如下： 如果a為任意實數(shù)，則函數(shù)的定義域為大于0的所有實數(shù)； 如果a為

14、負(fù)數(shù)，則x肯定不能為0，不過這時函數(shù)的定義域還必須根據(jù)q的 HYPERLINK /view/580425.htm t _blank 奇偶性來確定，即如果同時q為偶數(shù)，則x不能小于0，這時函數(shù)的定義域為大于0的所有實數(shù)；如果同時q為奇數(shù)，則函數(shù)的定義域為不等于0 的所有實數(shù)。 在x大于0時，函數(shù)的值域總是大于0的實數(shù)。 在x小于0時，則只有同時q為奇數(shù)，函數(shù)的值域為非零的實數(shù)。 而只有a為正數(shù)，0才進(jìn)入函數(shù)的 HYPERLINK /view/543477.htm t _blank 值域。 由于x大于0是對a的任意取值都有意義的， 因此下面給出冪函數(shù)在第一象限的各自情況. HYPERLINK /view/331644.htm 編輯本段第一象限可以看到： （1）所有的圖形都通過（1，1）這點.(a0) a0時 圖象過點（0，0）和（1，1） （2）當(dāng)a大于0時，冪函數(shù)為單調(diào)遞增的，而a小于0時，冪函數(shù)為單