電磁場于電磁波指導書

1、第五章恒定磁場重點和難點該章重點及處理方法與靜電場類似。但是磁感應強度 的定義需要 詳細介紹，尤其要強調(diào)磁場與運動電荷之間 沒有能量交換，電流元受 到的磁場力垂直于電流的流動 方向。說明磁導率與介電常數(shù)不同，磁導率可以小于 1,而 且大多數(shù)媒 質(zhì)的磁刀率接近1。講解恒定磁場時，應與靜電場進行對比。例如，靜電場是無散場， 而恒定磁場是無旋場。在任何邊界上電場 強度的切向分量是連續(xù)的， 而磁感應強度的法向分量是 連續(xù)的。重要公式F = q v BF = Idl BT = m B根據(jù)運動電荷受力根據(jù)電流元受力：根據(jù)電流環(huán)受力：真空中恒定磁場方程：積分形式：If? dl % I : B? dS = 0

2、微分形式：、B= 0J7 B =0已知電流分布求解電場強度：J(r)，1，A r) ofvB(r尸些J(川)dV畢奧薩伐定律4 兀 r -r*B .dl=.fl安培環(huán)路定律。Js(r )、sr r IA(r)=dS面電流產(chǎn)生的矢量磁位及磁感應強度分別為Js (r ) (r-r s r-r3dSA(r Vldl_B(r) 41dl ()r-r4 二1r-r、2A二-aJ矢量磁位滿足的微分方程：線電流產(chǎn)生的矢量磁位及磁感應強度分別為無源區(qū)中標量磁位滿足的微分方程：媒質(zhì)中恒定磁場方程:積分形式：H, dl = IFB S = 0微分形式：H = J磁性能均勻線性各向同性的媒質(zhì)場方程積分形式：-B?

3、dl 1 I - H dS = 0IB矢量磁位微分方程：矢量磁位微分方程的解場方程微分形式：= JA(r)=0產(chǎn)斗1V、BJ H -0恒定磁場邊界條件1, Et =H2t。對于各向同性的線性媒質(zhì)，Bit _ B2tKF一 J 2, Bm = B2n的線.媒質(zhì),n H1 n 1n2n對于各向同性5-1在均勻線性各向同性的非磁性與電媒質(zhì)（即-中，當存在恒定電流時，試證磁感應強度應滿足拉普拉0 0證在均勻線性各向同性的非磁性導電媒質(zhì)中，由B - -0H 及 H 二 J,得B = % J對等式兩邊同時取旋度，得： E _ I oJ）斯方程，即2B二但是I J =0 ,考慮到恒等式 一一mA 2 A,得

4、可（可 B ） V AB= 0又知8二0,由上式求得、，B=05-2設兩個半徑相等的同軸電流環(huán)沿 x軸放置，如習題 試證在中點P處，磁感應強度沿x軸的變化率等于零d2 Bd 2dx2 =0圖5-2所示即dx習題圖5-2解 設電流環(huán)的半徑為a,為了求解方便，將原題中坐標軸x換為坐標軸z,如圖示。那么，中點P的坐標為（z,0, 0）,電流環(huán)位于-M處，電流環(huán)位于Z+i處。I 2 JI 2 JBir -r4”?3根據(jù)畢奧一沙伐定律，求得電流環(huán)在P點產(chǎn)生的磁感 應強度為(r y I dh = eAlad?)0exB ,y 聽 0L- exH,y A0y*d XdH ,y 02y令y 0的區(qū)域中磁場強度

5、為H2,那么，在y =0的邊界上，ey H 2 - Hi = J s1由此求得H7s0,因此2s0-exs0exBi吐 cos n4 二 r習題圖5-12冗pDS /)1 12 :時，中心B值多大？ 解如習題 圖5-12所示，載流線圈每邊在中心0 處產(chǎn)生的磁感應強度為5-13若表面電流J s位于x二X)平面內(nèi)，試證、B = ? %J (x-x)式中：(X - X )為在X ?處取極值的一維：函數(shù) 解 由安培環(huán)路定理得 知，B dI因I = J d S,再利用斯托克斯定理得由3函數(shù)的定義可知，一維(x x)函數(shù)的量綱為長度的倒數(shù)。因此，Js、： x_x,為體電流密度，即I = J d S = J

6、 s6(x-x)d Ss- B d S - %J S x-x , d S(恁B - % J s6(x xj)d S = 0上式對于任何表面都成立，因此被積函數(shù)為零，即B 二 J s x x5-14若位于圓柱坐標系中(ro, o)處的無限長線電流的、(r (-)、？ B=e zj ol ro電流為I ,方向與正Z軸一致，試證磁感應強度為解 由3函數(shù)的定義可知，00為二維3函數(shù)在ro圓柱坐標系中的表示，其量綱為面積的倒數(shù)。因此，ezi。-為位于r。,。處的z方向的電流密度。RH么由安培環(huán)路定律得知,-BAd = %1，即z oS再利用斯托克斯定理，? B d =評漢B)d S，求得r-B-e打一沙

7、八。0上式對于任何表面均成立，因此被積函數(shù)為零，即 z) 2a -習題圖5-15戈提示：利用函數(shù):在r處的奇點特性)。? r -r。-014_ ar45-15若無限長的半徑為a的圓柱體中電流密度分布函 數(shù)j =ez(r1 24r), r dV% fJ(rF24a33求得5-16證明矢量磁位A滿足的方程式i 2A -0j的解為已知=Ad (l r )r 一 r 1因此 2 A 二一v J r L 仁 r L 0 J rBx5-17已知空間y0區(qū)域為磁性媒質(zhì)，其相對磁刀率-5000, y 0區(qū)域為空氣。試求：當空氣中的磁感應強度Bo =3x0.5 一 e y10)mT時，磁性媒質(zhì)中的磁感應強度B

8、;當磁性媒質(zhì)中的磁感應強度 B=10 - e yO.5)mT時，空氣中的磁感應強度Bo。解根據(jù)題意，建立的直角坐 標如圖5-17所示。 設磁性媒質(zhì)中的磁感應B =exBx eyBy習題圖5-17強度為已知在此邊界上磁感因此By -10)8=055000% 9求得-102500, 應強度的法向分量連續(xù)，磁場強度的切向分量連續(xù)Bo = (ex0.002 ey0.5)mT5-18已知均勻繞制的長螺線管的匝數(shù)為N，長度為L ,半徑為a,電流為I,如習題圖5-18(a)所示。試求：螺線管內(nèi)部中點o處的磁感應強度；LB 二 ez %INa2為了計算螺線管外的場強，可將螺線管看作為由N個同軸電流環(huán)組螺線管外

9、部P點的磁感應強度，圖中d . . L,d . ? a4 z a習題圖5-18習題圖5-18(b)解 線線管可看作是線密度為一的圓柱面電流，如圖 L習題圖5-18(b)所示。由題5-9的結(jié)果得知，電流為 一dz i L J d的電流環(huán)在中點o處產(chǎn)生的磁感應強度為%INa2L a2 y23dz 二 ez 4 :利用高斯定理，同時考慮到J =0,求得 dz成。已知在xoy平面內(nèi)，單個電流環(huán)I 在P r f |點產(chǎn)生的矢量磁位為I 22 J考慮到式中 r =牛 +a2 2ra s b fco S* , di = eAad?。_L_L 1 +R LI 蘆%la 2A 口二 e k71ra ,那么因此a

10、sin j cos cos de斗丁4rA la2歹 er 2cosve 寸 sin vTT當電流環(huán)位于xoy平面時，=:,產(chǎn)=d,那么，在叩瑋1處產(chǎn)生的磁感應強度為% la24d3考慮到d? .L,對于P點而言，可以認為每個電流 環(huán)均處于xoy平面內(nèi)。因此，P點磁感應強度增加N倍，即%Nla2B = N B p = e 3-4d5-19 根據(jù)式（5-2-9 b）,證明 7 A = 0 o式（5-2-9 b）為4|r r dV4vJ rvjm1!J dV廠 Jr-d S但由電流連續(xù)性原理獲知，耳鋁d S= 0o因此，、A = 0 o5-20證明在邊界上矢量磁位 A的切向分量是連續(xù)的 解已知磁通

11、G m與矢量磁位A的關(guān)系為類似證明磁場強度的切向分量是連續(xù)的方法，緊靠邊界 作一個閉合矩 形方框。當方框面積趨近零時，穿過方框 的磁通門m也為零，那么求 得A dl = 0這樣，由此獲知入二A2t,即邊界上矢量磁位A的切向分 量是連續(xù)的。5-21當磁導率為的磁棒插入電流為I的螺線管中，若單位長螺線管 的匝數(shù)為N,磁棒的半徑為a,螺線管的內(nèi)徑為b(b a)。試求：r二 a及a :二r :二b區(qū)域中的磁感應強度B,磁場強度H及磁化強度P m ;磁棒中的磁化電流解根據(jù)題意，2b 2aBC螺線管中磁棒習題圖5-22位置密度J及磁棒表面的表面磁化電流密度 Js于螺線管內(nèi)壁，其長度為I。沿該矩形閉合回路積

12、分，由安培環(huán)路定律知;H dl 二 INI可以認為，螺線管中的磁場強度方向均與螺線管的軸線 平行，螺線管 外附近無漏磁。那么當矩形回路的 BC邊 位于磁棒內(nèi)時，若令磁棒內(nèi) 的磁場強度為Hi,則上述閉合積分變?yōu)锽C H id l 工 I NI 二 H J= ezIN因此，磁棒內(nèi)的磁場強度為t：b=ezIN磁棒內(nèi)的磁感應強度為Bj =：e/INRm =早一 H i 二 ez -1IN1 n磁棒內(nèi)的磁化強度為若令磁棒與螺線管壁之間的磁場強度為H2,則上述閉合積分變?yōu)锽C H 2 d l 工 INI 二 H 2 工 ezIN磁棒與螺線管壁之間的磁感應強度為B2 二 ez%IN磁棒與螺線管壁之間磁化強度

13、為c E0 2IJ1 1 0 . 11kleP - H - oIN =0u1 u磁棒中的磁化電流密度為J Rm 八-1)INez=0磁棒側(cè)面的表面磁化電流密度為Js 二 Pim en 二 ez -1 IN eA eJ T IN5-22已知半徑為a的鐵氧體球內(nèi)部的磁化強度Pm = ezPom,試求：球內(nèi)磁化電流密度 J 及球面的表面磁化電流密度Js ；磁化電流在球心處產(chǎn)生的磁感應強度B。解球內(nèi)磁化電流密度為J = Pm 八ezFOm =0球面的表面磁化電流密度為Js = P m en = ez Fom= er cost - e_, sin Fom二 e F0m sin :由題5-9的結(jié)果獲知，位

14、于r處寬度為ad,的環(huán)行電 流Jsadr在球心產(chǎn)生的磁感應強度d B2lPJ I 2a3a(asin 日)d H 2a d B =e z那么，整個球面上磁化電流在球心產(chǎn)生的磁感應強度為UG工寄)235-23當磁矩為25Am 2的磁針位于磁感應強度B = 2T的均勻磁場中，試求磁針承受的最大轉(zhuǎn)矩。TT解當磁矩方向與磁感應強度方向垂直，即夾角-時，磁針承受的轉(zhuǎn)矩最大，因此磁針承受的最大轉(zhuǎn)矩為mHTmax = Pm Bsin25 2 1 =50Nm2325-24已知體積為1m的均勻磁化棒的磁矩為10Am ,若棒內(nèi)磁感應強度B二ez0.02T, ez為軸線方向。試求棒內(nèi)磁場強度 解由磁化強度定義，求得棒內(nèi)磁化強度為那么，棒內(nèi)磁場強度為B0.02M弋 3尺 10 -10 A ez1.59 104 A/m05-25已知位于坐標原點的磁化球的半徑為a,若球內(nèi)的 磁化強度M二ez(Az2 B),式中A, B均為常數(shù)，試求球內(nèi)及球面上的磁化電流解球內(nèi)的磁化電流密度為jy= T 泊 ez Az2 B i=0因此，球內(nèi)的磁化電流為零。球面上的表面磁化電流密度為J s = M en - A a cosn 2 +B(er cos 日- 豈 sin 日嚴 er二 e Aa2