大二信號(hào)與系統(tǒng)第19講

1、信號(hào)與系統(tǒng)第 19 講教材位置: 第9章 拉普拉斯變換 9.7內(nèi)容概要: 用拉普拉斯變換分析和表征LTI系統(tǒng)；2022/7/25信號(hào)與系統(tǒng)第19講2開(kāi)講前言前講回顧零極點(diǎn)圖對(duì)傅里葉變換幾何求值拉普拉斯變換的頻域信息采用幾何求值得到拉普拉斯變換性質(zhì)線性時(shí)移、頻移尺度變換共軛、卷積時(shí)域微分、s域微分時(shí)域積分初值定理、終值定理2022/7/25信號(hào)與系統(tǒng)第19講3開(kāi)講前言本講導(dǎo)入拉普拉斯變換特點(diǎn)運(yùn)算簡(jiǎn)單與傅里葉變換對(duì)應(yīng)，能分析頻率響應(yīng)信號(hào)非絕對(duì)可積也能分析運(yùn)用拉普拉斯變換分析系統(tǒng)分析系統(tǒng)的頻率響應(yīng)分析系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性分析微分方程表示的系統(tǒng)運(yùn)用拉普拉斯變換設(shè)計(jì)系統(tǒng)通過(guò)功能要求描述系統(tǒng)頻率響應(yīng)及系統(tǒng)

2、函數(shù)得到系統(tǒng)的微分方程描述得到系統(tǒng)的流圖描述得到系統(tǒng)基本功能單元及其關(guān)系的描述2022/7/25信號(hào)與系統(tǒng)第19講49.7用拉普拉斯變換分析和表征LTI系統(tǒng)0.系統(tǒng)函數(shù)的概念LTI系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系在時(shí)域描述LTI系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系在s域描述1.因果性因果系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)在t0時(shí)應(yīng)為0，h(t)是一個(gè)右邊信號(hào)2022/7/25信號(hào)與系統(tǒng)第19講59.7用拉普拉斯變換分析和表征LTI系統(tǒng)因果性舉例1反因果系統(tǒng)2022/7/25信號(hào)與系統(tǒng)第19講69.7用拉普拉斯變換分析和表征LTI系統(tǒng)2.穩(wěn)定性穩(wěn)定系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)是絕對(duì)可積的穩(wěn)定系統(tǒng)的頻率響應(yīng)是存在的2022/7/25信號(hào)與系統(tǒng)第19講79

3、.7用拉普拉斯變換分析和表征LTI系統(tǒng)穩(wěn)定的因果系統(tǒng)2022/7/25信號(hào)與系統(tǒng)第19講89.7用拉普拉斯變換分析和表征LTI系統(tǒng)3.由線性常系數(shù)微分方程表征的LTI系統(tǒng)傅里葉變換可用于求解線性常系數(shù)微分方程的解用拉普拉斯變換求解更方便2022/7/25信號(hào)與系統(tǒng)第19講99.7用拉普拉斯變換分析和表征LTI系統(tǒng)一般線性常系數(shù)微分方程表征的LTI系統(tǒng)2022/7/25信號(hào)與系統(tǒng)第19講109.7用拉普拉斯變換分析和表征LTI系統(tǒng)4. 系統(tǒng)特性與系統(tǒng)函數(shù)的關(guān)系舉例(1)已知輸入輸出，求解系統(tǒng)特性2022/7/25信號(hào)與系統(tǒng)第19講119.7用拉普拉斯變換分析和表征LTI系統(tǒng)(2)根據(jù)條件求系統(tǒng)特

4、性2022/7/25信號(hào)與系統(tǒng)第19講129.7用拉普拉斯變換分析和表征LTI系統(tǒng)5. 巴特沃斯濾波器設(shè)計(jì)巴特沃斯濾波器，其要求為2022/7/25信號(hào)與系統(tǒng)第19講139.7用拉普拉斯變換分析和表征LTI系統(tǒng)巴特沃斯濾波器極點(diǎn)分析列出N=1,2,3,6的極點(diǎn)位置，分析可知分子的常數(shù)保證系統(tǒng)函數(shù)在s=0時(shí)的模為1 2022/7/25信號(hào)與系統(tǒng)第19講14本講小結(jié)拉普拉斯變換用于系統(tǒng)特性的分析系統(tǒng)特性：因果性穩(wěn)定性微分方程表示的系統(tǒng)的分析系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)收斂域與系統(tǒng)特性系統(tǒng)特性分析舉例巴特沃斯濾波器設(shè)計(jì)從系統(tǒng)函數(shù)的約束性要求到系統(tǒng)方程的推導(dǎo)信號(hào)與系統(tǒng)第 19 次課外作業(yè)教材習(xí)題: 9.25(b)

5、(d)(f)、 9.27、 9.312022/7/25信號(hào)與系統(tǒng)第19講16補(bǔ)充：系統(tǒng)的穩(wěn)定性1、系統(tǒng)的穩(wěn)定及其條件時(shí)域分析穩(wěn)定系統(tǒng)的定義：對(duì)于有限（有界）的激勵(lì)只能產(chǎn)生有限（有界）的響應(yīng)。若 |e (t)| Me 0 t 則 | r (t)| Mr 0 t n ，s 在無(wú)窮大處有（m n ）階極點(diǎn)，而無(wú)窮大在虛軸上，穩(wěn)定系統(tǒng)在虛軸上不能有重階極點(diǎn)，故有 m n 1，既得 m n +1。2022/7/25信號(hào)與系統(tǒng)第19講18補(bǔ)充：系統(tǒng)的穩(wěn)定性反饋系統(tǒng)E(s) G(s) = Y(s)R(s) H(s)Y(s)G(s) =Y(s)R(s)G(s) = Y(s)1+H(s)G(s)這里 T(s)

6、是整個(gè)反饋系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，G(s) H(s) 為開(kāi)環(huán)轉(zhuǎn)移函數(shù)。G(s)H(s)R(s)+-E(s)Y(s)2022/7/25信號(hào)與系統(tǒng)第19講19補(bǔ)充：系統(tǒng)的穩(wěn)定性2、通過(guò)轉(zhuǎn)移函數(shù)，初步判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性穩(wěn)定系統(tǒng)的極點(diǎn)必須位于S的左半平面內(nèi)極點(diǎn)位于虛軸上稱為臨界穩(wěn)定.極點(diǎn)位于S右半平面上不穩(wěn)定.穩(wěn)定系統(tǒng)在虛軸上只能有單階極點(diǎn). 在復(fù)變函數(shù)理論中,s=0,s=的點(diǎn)都落在虛軸上.當(dāng)mn時(shí),s時(shí),虛軸上就會(huì)有m-n階極點(diǎn),為保證系統(tǒng)穩(wěn)定m-n=1,只有一階極點(diǎn)。2022/7/25信號(hào)與系統(tǒng)第19講20補(bǔ)充：系統(tǒng)的穩(wěn)定性多項(xiàng)式分解，用系數(shù)判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性（必要條件）將H(s)的分母D(s)多項(xiàng)式分解，穩(wěn)

7、定系統(tǒng)只出現(xiàn)：(s+a)實(shí)根，(s2+bs+c)復(fù)根，(s2+d)虛根。（a、b、c、d為正）多項(xiàng)式 系數(shù)ana0都應(yīng)為正值(或全部為負(fù)值）D(s)多項(xiàng)式從最高次冪排列到最低次冪應(yīng)無(wú)缺項(xiàng)，僅允許a0=0。此時(shí)有一零根系統(tǒng)臨界穩(wěn)定的必要條件若D(s)缺全部的偶次項(xiàng)(包括a0項(xiàng))，或缺全部的奇次項(xiàng)。系統(tǒng)臨界穩(wěn)定的必要條件2022/7/25信號(hào)與系統(tǒng)第19講21補(bǔ)充：系統(tǒng)的穩(wěn)定性特征多項(xiàng)式系數(shù)進(jìn)行的判定是必要性判定不滿足上述條件的，系統(tǒng)肯定不穩(wěn)定滿足上述條件，系統(tǒng)不能保證穩(wěn)定舉例2s3+ s2+ s1+ 6=0符合第一條件，全部系數(shù)同號(hào)，沒(méi)有缺失項(xiàng)但是此方程的三個(gè)根分別為2022/7/25信號(hào)與系統(tǒng)

8、第19講22補(bǔ)充：系統(tǒng)的穩(wěn)定性3、羅斯-霍維茨 (RH) 判據(jù)若 D(s) = a ns n + a n-1s n-1 + a 1s + a 0 D(s) 方程式的根全部位于 s 左半平面的必要條件是：多項(xiàng)式的全部系數(shù)都是正值（或均為負(fù)值）且無(wú)缺項(xiàng).充分必要條件是：羅斯陣列中第一列數(shù)字（或稱元素）符號(hào)相同。羅斯陣列的排寫(xiě)規(guī)則：（1）將 D(s) 的所有系數(shù)按如下順序排成兩行。a na n-1a n-2a n-3a n- 4a n-5a n- 6a n-7依此類推排到a0止2022/7/25信號(hào)與系統(tǒng)第19講23補(bǔ)充：系統(tǒng)的穩(wěn)定性（2）羅斯陣列Sn An Bn Cn Dn -Sn-1 An-1

9、Bn-1 Cn-1 Dn-1 -Sn-2 An-2 Bn-2 Cn-2 - -Sn-3 An-3 Bn-3 Cn-3 -S2 A2 B2 0 S1 A1 0 0S0 A0 0 0頭兩行為A n = a n , A n-1= a n-1, Bn= a n-2 ,B n-1= a n-3 , C n = a n- 4 , -下面各行按如下公式計(jì)算：11121112112-=-=-=nnnnnnnnnnnnnnn-1nnnADADACACACABABABAA-2022/7/25信號(hào)與系統(tǒng)第19講24補(bǔ)充：系統(tǒng)的穩(wěn)定性這樣構(gòu)成的陣列共有（n+1）行，且最后兩行都只有一個(gè)元素。第一列稱為羅斯數(shù)列。觀察羅

10、斯陣列中第一列數(shù)字有無(wú)符號(hào)變化，若有，則系統(tǒng)不穩(wěn)定；反之，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。羅斯定理：在羅斯數(shù)列中，若各數(shù)字符號(hào)不盡相同，則順次計(jì)算符號(hào)變化的次數(shù)等于方程所具有的實(shí)部為正的根數(shù)。221123221123-=-=nnnnnnnnnnnnACACABABABAA-各元素的一般遞推式為iiiiiiiiiiiiACACABABABAA111111+-+-=-=-2022/7/25信號(hào)與系統(tǒng)第19講25補(bǔ)充：系統(tǒng)的穩(wěn)定性例題：判斷下列方程是否有實(shí)部為正的根。解：該方程的羅斯陣列為可見(jiàn)方程有兩個(gè)具有正實(shí)部的根，且可判定此特征方程對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)不穩(wěn)定。2s3 +s 2 +s + 6 = 0S3 2 1S2 1 6

11、S1 -11 0s0 6 02022/7/25信號(hào)與系統(tǒng)第19講26補(bǔ)充：系統(tǒng)的穩(wěn)定性例題：有反饋系統(tǒng)如圖所示，其中 H(s) =1 時(shí)，稱為全反饋。問(wèn)K為何值系統(tǒng)穩(wěn)定？解：該反饋系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為G(s)H(s)R(s)+-E(s)Y(s)2022/7/25信號(hào)與系統(tǒng)第19講27補(bǔ)充：系統(tǒng)的穩(wěn)定性所以，系統(tǒng)的特征方程為：它的羅斯陣列為：分析陣列知系統(tǒng)穩(wěn)定條件為：合并兩個(gè)不等式，得到s 3 +5 s 2 + 4s +K = 0S3 1 4S2 5 K0S0 K0S1 0 及 K 0 0 K 202022/7/25信號(hào)與系統(tǒng)第19講28補(bǔ)充：系統(tǒng)的穩(wěn)定性4、羅斯陣列排寫(xiě)過(guò)程的兩種特殊情況（1）羅斯陣列中出現(xiàn)某一行的第一列元素為零（即 Ai =0），而其余元素又不全為零。例： s5+ s4+ 4s3 + 4s2 +2s+1=0求解：S5 1 4 2S4 1 4 2S3 0 1 0 此行用 1 0 來(lái)代替 0 1 0 ， 1 0 繼續(xù)排列羅斯表S2 1 0S1 0 0S0 1 0 0符號(hào)改變2022/7/25信號(hào)與系統(tǒng)第19講29補(bǔ)充：系統(tǒng)的穩(wěn)定性（2）羅斯陣列未排完時(shí)出現(xiàn)某一行元素全部為零， 系統(tǒng)不穩(wěn)定或臨界穩(wěn)定，具體確定還要采用輔助多項(xiàng)式分析。全零行前一行的元素組成輔助多項(xiàng)式輔助多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)的系數(shù)