復合函數(shù)極限運算法則

1、復合函數(shù)的極限運算法則第一張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月則定理 2.5 若(1)(2)若 B0 , 則有(3)一、 極限的四則運算法則第二張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月證時,有取則當時,有當(1)由可知使得當時,有因此第三張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月(2)使得 由 及 定理2.2 知， 及 及第四張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月有 又由 知,使得當取則對于上述 0,有/ 2C因此時, 有當 其中第五張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月(3) 由 及 定理2.2 知， 及使得當時, 有由于 及所以由(2), 需證當B0時因此從而(3)式成立.

2、第六張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月若則有注運算法則 , 有相應(yīng)的結(jié)論 .及 x時函數(shù)極限的四則例如, 對于數(shù)列極限,對于數(shù)列極限有以下結(jié)論: 數(shù)列是一種 特殊的函數(shù), 故此結(jié)論可 由定理2.5直 接得出 .第七張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月(極限運算的線性性質(zhì)) 若 以上運算法則對有限個函數(shù)成立.推論 和是常數(shù)， 則 于是有 冪的極限等于極限的冪第八張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月求 解例1極限運算的線性性質(zhì) 結(jié)論： 冪的極限等于極限的冪第九張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月解例2商的極限等于極限的商第十張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月一般地

3、， 設(shè)有分式函數(shù)其中都是多項式 ,注 若不能直接用商的運算法則 .請看下例: 結(jié)論： 第十一張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月解商的極限法則不能直接用例3由極限定義x1，x1, 約去無窮小因子法第十二張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月“ 抓大頭”分析可以先用 x3 同時去除分子和分母, 然后再取極限.例4解第十三張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月結(jié)論：為非負常數(shù) )消去無窮大因子法: 以分母中自變量的最高次冪 除分子, 分母, 以消去無窮大 因子, 然后再求極限.第十四張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月例5解分析型，先通分，再用極限法則.第十五張，PPT共三十七

4、頁，創(chuàng)作于2022年6月例6解無窮多項和的極限公式求和變?yōu)橛邢揄椀谑鶑垼琍PT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月定理證(有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小)則第十七張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月例如，=0第十八張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月二、 復合函數(shù)的極限運算法則定理2.6 設(shè) 當時,又則有注1 定理2.6中的條件：不可少. 否則，定理2.6 的結(jié)論不一定成立.原因：第十九張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月反例雖然所以第二十張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月則2 定理2.6的其他形式(1)(2)則有第二十一張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月由定理

5、2.6，知在求復合函數(shù)極限時,可以作變量代換，得到且代換是雙向的，即第二十二張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月例7 求解 令于是從而 原式 =從左向右用式第二十三張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月內(nèi)容小結(jié)1. 極限運算法則(1) 極限四則運算法則(2) 復合函數(shù)極限運算法則注意使用條件2. 求函數(shù)極限的方法(1) 分式函數(shù)極限求法時, 用代入法( 分母不為 0 )時, 對型 , 約去零因子時 , 分子分母同除最高次冪“ 抓大頭”(2) 復合函數(shù)極限求法：設(shè)中間變量，變量代換.或先有理化后約分第二十四張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月 1. 在自變量的某個極限過程中，若

6、存在， 不存在，那么 (1)是否一定不存在？為什么?(2)是否一定不存在？(3) 又加條件：是否一定不存在？思考題2.第二十五張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月答： 一定不存在由極限運算法則可知：必存在，這與已知矛盾，故假設(shè)錯誤思考題解答(1)是否一定不存在？為什么? 1. 在自變量的某個極限過程中，若 存在， 不存在，那么 第二十六張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月答：不一定.反例：(2)是否一定不存在？ 1. 在自變量的某個極限過程中，若 存在， 不存在，那么 第二十七張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月答：一定不存在.（可用反證法證明）(3) 又加條件：是否一定不存

7、在？ 1. 在自變量的某個極限過程中，若 存在， 不存在，那么 2.解原式第二十八張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月備用題例3-1解先有理化 再約去無窮小 第二十九張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月例3-2解因為上式極限存在第三十張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月第三十一張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月解可以先用同時去除分子和分母,然后再取極限.例4-1第三十二張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月例4-2解根據(jù)前一極限式可令再利用后一極限式 , 得可見是多項式 , 且求故第三十三張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月例5-1已知試確定常數(shù)解 分子的次數(shù)必比分母的次數(shù)低故即第三十四張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月例6-1解無窮多個因子的積的極限變?yōu)橛?/p>