懸崖跳水安全深度

1、懸崖跳水的水池深度摘要：模型討論分析運(yùn)動(dòng)員所需水池深度的問題，即保證跳水運(yùn)動(dòng)員的安全，又 要使建造水池的成本最低，因此水池需要設(shè)定合理的深度。模型中運(yùn)用了物理學(xué) 知識(shí)，并用微分方程來解決變量問題。問題一將運(yùn)動(dòng)員下落的具體過程進(jìn)行分析分為三個(gè)階段：未入水階段；未 完全入水階段及完全入水階段。未入水階段：運(yùn)動(dòng)員受到空氣阻力的影響和自身重力的影響，運(yùn)動(dòng)員做無初速度 的自由落體運(yùn)動(dòng)。未完全入水階段：運(yùn)動(dòng)員從剛開始接觸到水面到完全進(jìn)入水中這段距離，運(yùn)動(dòng)員 的速度受到水的浮力、自身的重力、水的阻力影響，做減速運(yùn)動(dòng)。完全入水階段：運(yùn)動(dòng)員完全進(jìn)入水中以后，運(yùn)動(dòng)員的速度受到自身重力、水的浮 力、水的阻力影響，做

2、減速運(yùn)動(dòng)直到速度減小為零。運(yùn)用牛頓定律及微分方程對運(yùn)動(dòng)員下落進(jìn)行分析，并對各個(gè)階段進(jìn)行分析建立方 程模型。運(yùn)用MATLAB軟件進(jìn)行編程求解得出男女運(yùn)動(dòng)員所需的安全深度分 為 H1 = 7.3036 H 2 = 5.6330問題二：當(dāng)跳水運(yùn)動(dòng)員的體重不同，假設(shè)跳水運(yùn)動(dòng)員的密度相同，則跳水 運(yùn)動(dòng)員的身高、半徑至少有一個(gè)量不同。跳水運(yùn)動(dòng)員體重不同時(shí)有三種情況：跳 水運(yùn)動(dòng)員的身高相同，半徑不同，體重與半徑成正相關(guān)；跳水運(yùn)動(dòng)員的半徑相同， 身高不同，體重與身高成正相關(guān)；跳水運(yùn)動(dòng)員的身高和半徑都不同，體重至少與 其中的一個(gè)量成正相關(guān)。對上三種情況進(jìn)行綜合分析，跳水運(yùn)動(dòng)員的體重越大所 需的水池深度越大。關(guān)鍵

3、詞：微分方程運(yùn)動(dòng)階段 安全深度體重影響一、問題重述：近年來世界上新興一種跳水比賽叫紅牛懸崖跳水世界杯比賽。是 一種非常危險(xiǎn)、挑戰(zhàn)人類極限的比賽，比賽規(guī)定男子跳臺(tái)高度為23至28米，女 子為18至23米。我國福建連城的冠豸山就舉行過這樣的比賽，那里的跳臺(tái)高度 是男子28米，女子20米。本文跳臺(tái)高度男子取28米，女子跳臺(tái)高度取20米作 為研究。請大家做兩件事：跳臺(tái)下面的水池要多深才能安全，請大家給以計(jì)算；分析兩個(gè)體重不同的人跳水時(shí)哪個(gè)需要更深的水。二、問題假設(shè)假設(shè)跳水人體形狀為錐形，最大直徑為人的肩寬，高為運(yùn)動(dòng)員的身高加臂展假設(shè)運(yùn)動(dòng)員下落時(shí)身體緊繃形狀規(guī)則，下落軌跡是條直線假設(shè)風(fēng)速水速為零，不影響

4、運(yùn)動(dòng)員下落假設(shè)運(yùn)動(dòng)員從跳板上跳下時(shí)為自由落體運(yùn)動(dòng)假設(shè)運(yùn)動(dòng)員在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中沒有動(dòng)量、能量損失假設(shè)運(yùn)動(dòng)員在水中的速度為零時(shí)的深度為水池的安全深度假設(shè)運(yùn)動(dòng)員的體型都符合國際跳水運(yùn)動(dòng)體型要求標(biāo)準(zhǔn)跳水運(yùn)動(dòng)員跳水時(shí)腳先入水三、符號(hào)說明1: 2 （1為男運(yùn)動(dòng)員，2為女運(yùn)動(dòng)員）七：員的高度七：動(dòng)員的肩寬當(dāng)：員的體重H :崖的深度X :第一階段運(yùn)動(dòng)員下降的高度H:安全深度h3 :第二階段運(yùn)動(dòng)員下降的深度h4 :第三階段運(yùn)動(dòng)員下降的深度V :速度匕：剛接觸水面時(shí)的速度匕:完全進(jìn)入水面時(shí)的速度Cd :空氣阻力系數(shù)P 3 :空氣密度P 4 :水的密度，：受力面積匕：空氣中阻力與速度平方的比例系數(shù)k2i :水中阻力與

5、速度平方的比例系數(shù)g :重力加速度h:跳水運(yùn)動(dòng)員在水中下沉的高度四、問題分析對于問題進(jìn)行分析建立模型，本題要求解決水池的安全深度及體重對水池 安全深度的影響，水池深度既要保證運(yùn)動(dòng)員的人身安全又要保證水池建造成本費(fèi) 用最低。對運(yùn)動(dòng)員下落的具體過程進(jìn)行分析分為三個(gè)階段：未入水階段；未完全入 水階段及完全入水階段。未入水階段：運(yùn)動(dòng)員受到空氣阻力的影響和自身重力的影響，運(yùn)動(dòng)員做無初速度 的自由落體運(yùn)動(dòng)。未完全入水階段：運(yùn)動(dòng)員從剛開始接觸到水面到完全進(jìn)入水中這段距離，運(yùn)動(dòng)員 的速度受到水的浮力、自身的重力、水的阻力影響，做減速運(yùn)動(dòng)。完全入水階段：運(yùn)動(dòng)員完全進(jìn)入水中以后，運(yùn)動(dòng)員的速度受到自身重力、水的浮

6、力、水的阻力影響，做減速運(yùn)動(dòng)直到速度減小為零。五、模型的建立于求解問題一上面的問題分析可知將運(yùn)動(dòng)員的跳水過程分為三個(gè)階段。第一階段：員未入水過程。在豎直方向受兩個(gè)力的作用，豎直向下的重力，豎直 向上的阻力。根據(jù)牛頓第二定律可列出關(guān)于第一階段的關(guān)于速度與高度的運(yùn)動(dòng)方 程為：dvm g - k1v = mv1通過matlab軟件編程求解得出速度與運(yùn)動(dòng)員下降高度的關(guān)系式為v =廠 k1mi g (- 1 + m)1且可得運(yùn)動(dòng)員剛接觸水面時(shí)的速度V11= 230333，匕2 =19.5691。根據(jù)由圖像可知，在第一階段中，運(yùn)動(dòng)員做變加速直線運(yùn)動(dòng)，且在剛抵達(dá)水面時(shí) 速度達(dá)到最大。第二階段：員未完全入水的

7、過程，人體在豎直方向上受到三個(gè)力的作用：豎直向下的重力，豎直向上的水的阻力及浮力。根據(jù)牛頓第二定律列出其運(yùn)動(dòng)方程為dvmig - k2v 2-p4 耶(J2)m =-mvdh-3根據(jù)微元法，可把該過程看作由個(gè)勻減速直線運(yùn)動(dòng)組成的，通過matlab軟件編程，模擬該過程的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，并代入數(shù)據(jù)，求得完全進(jìn)入水面時(shí)的速度為 V3 =11.9713匕2= 8.8613，畫出該過程速度、與下降深度的關(guān)系圖像為:男運(yùn)動(dòng)員女運(yùn)動(dòng)員由圖像可知，運(yùn)動(dòng)員在水的阻力及浮力的作用做變減速運(yùn)動(dòng)，為第三階段達(dá) 全速度為零減速。第三階段：手完全進(jìn)入水中到速度為零的過程，人體在豎直方向上受到三個(gè)力的 作用：豎直向下的重力，豎直

8、向上的水的阻力及浮力。根據(jù)牛頓第二定律列出其 運(yùn)動(dòng)方程為mig - 22 P4 更2)24=-mVdh4通過運(yùn)行程序可得運(yùn)動(dòng)員所需安全深度為 氣 7336,H 2 = 5,6330。并畫出其圖像如下:女運(yùn)動(dòng)員男運(yùn)動(dòng)員問題二的求解對問題二，對于體重的改變，可能致使體積及身高的改變，會(huì)不同程度的影響運(yùn) 動(dòng)員所需安全深度。通過分析，因?yàn)轶w重的改變，體積及身高的改變對安全深度 的影響很小，具體分析如下圖：女運(yùn)動(dòng)員男運(yùn)動(dòng)員所以在此忽略因體積及身高的改變對安全深度的影響。則運(yùn)行程序可得其圖像如下：男運(yùn)動(dòng)員女運(yùn)動(dòng)員由圖像可知，兩個(gè)體重不同的運(yùn)動(dòng)員所需的安全深度不同，且體重越重的運(yùn)動(dòng)員所需的安全深度越深。檢驗(yàn)

9、時(shí)代入的數(shù)據(jù)如下：m = 75 kg, % = 1.75 m , = 0.42 mm? = 58 kg, h?=1.65 m 七=0.38 mP3=1.2kg /m3,p4=1000 kgm3六、型的推廣與評價(jià)優(yōu)點(diǎn)：理過程細(xì)化分析，簡化了過程中不必要的計(jì)算，使問題易于處理，同時(shí)使人 易懂。充分結(jié)合了物理學(xué)、理論力學(xué)以及微分方程學(xué)解決本文問題，使得解題過程 簡化缺點(diǎn)：本文將懸崖跳水運(yùn)動(dòng)具體分為三個(gè)過程考慮，忽略跳水運(yùn)動(dòng)員的起跳過程 以及人水短暫碰撞過程的能量損失，可能導(dǎo)致結(jié)果不夠精確。推廣：該模型解決的是懸崖跳水所需的安全深度的問題，可把該模型運(yùn)用于其它 類別的跳水運(yùn)動(dòng)，比如運(yùn)動(dòng)員跳水及高臺(tái)跳水

10、的安全問題，可在建設(shè)水池時(shí)運(yùn)用 該模型中的思想。七、參考文獻(xiàn)1鄭詒余，魯鐘琪，流體力學(xué)，北京：機(jī)械工業(yè)出版社，1980。2韓炳耀，流體力學(xué)基本方程及其阻力公式的歸納，上海冶金高等?？茖W(xué)校 學(xué)報(bào)，第20卷第4期：第244246頁，1999。3張圣勤等，MATLAB實(shí)用教程，北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2006。4陳皓，朱世峰，錐體下落過程的空氣阻力，河北師范大學(xué)學(xué)報(bào)，第35卷第3 期：第 265267 頁，2011。八、附錄程序中的參數(shù)說明：Xb：性別，當(dāng)參數(shù)為0時(shí)為女性否則為男性m：重量sk：水中的比例系數(shù)tg：跳臺(tái)高度sg：身高t：時(shí)間間隔mc:質(zhì)量間隔vc:初速度第一階段求解程序：functio

11、n y=rsq(xb,m,tg)if xb=0k=0.0680;elsek=0.0912;endg=9.8;x=0:0.01:tg;v=1/k*(-k*m*g*(-1+exp(-2./m*k.*x)(1/2);plot(x,v);xlabel(下降高度);ylabel(速度);y=1/k*(-k*m*g*(-1+exp(-2/m*k*tg)N1/2);end第二階段求解程序：function y=rsgc(xb,vc,m,k,sg,t)if xb=0p=0.9298;elsep=0.9280;endi=1;v(i)=vc;s(i)=0;g=9.8;rg=sg;f(i)=0;fl=m/p*9.8

12、;while s(i)=0a(i)=(f+k*(v(i)A2)-m*g)/m;sj=v(i)*t-0.5*a(i)*tA2;i=i+1;v(i)=v(i-1)-a(i-1)*t;s(i)=s(i-1)+sj;plot(s(i-1),v(i)hold onendxlabel(下降深度);ylabel(速度);y=s(i);end第一問全程求解function y=qc(xb,m,sk,tg,sg,t)vc1=rsq(xb,m,tg);figure;vc2=rsgc(xb,vc1,m,sk,sg,t)figure;t2=t*10;y=szjs(xb,vc2,m,sk,t2)+sgendend第二問

13、求解：function mh(xb,sk,tg,sg,t,mc)if xb=0 xj=50;sj=60;elsexj=70;sj=80;endfigure;for i=xj:mc:sjh=qc2(xb,i,sk,tg,sg,t);plot(i,h,*);hold on;endend身高對安全深度的影響程序：function hh(xb,m,sk,tg,t,hc)if xb=0 xj=1.60;sj=1.70;elsexj=1.70;sj=1.80;endfigure;for i=xj:hc:sjh=qc2(xb,m,sk,tg,i,t);plot(i,h,*);hold on;endaxis