和圓有關(guān)比例線段切割線定理

1、關(guān)于與圓有關(guān)的比例線段切割線定理第一張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月相交弦、切割線、切線長定理五 與圓有關(guān)的比例線段第二張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月一、下面我們首先沿用從特殊到一般的思路,討論與圓有關(guān)的相交弦的問題.探究1:如圖1,AB是O的直徑,CDAB,AB與CD相交于P,線段PA、PB、PC、PD之間有什么關(guān)系？OBDACP圖1證明:連接AD、BC.則由圓周角定理的推論可得:AC.RtAPDRtCPB.第三張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月探究2:將圖中的AB向上（或向下）平移,使AB不再是直徑（如圖），結(jié)論（）還成立嗎？OBDACP圖OBDACP圖PAP

2、B=PCPD(1)證明:連接AD、BC.則由圓周角定理的推論可得:AC.RtAPDRtCPB.第四張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月OBDACP圖PAPB=PCPD(1)證明:連接AD、BC.則由圓周角定理的推論可得:AC.APDCPB.探究3:上面討論了CDAB的情形進(jìn)一步地,如果CD 與AB不垂直，如圖, AB 、CD是圓內(nèi)的任意兩條相交弦,結(jié)論（）還成立嗎？OBDACP圖OBDACP圖PAPB=PCPD(2)PAPB=PCPD(3)綜上所述，不論AB 、 CD具有什么樣的位置，都有結(jié)論（）成立！第五張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦,被交點(diǎn)分成

3、的兩條線段長的積相等.OBDACP幾何語言： AB 、 CD是圓內(nèi)的任意兩條相交弦,交點(diǎn)為P, PAPB=PCPD.上面通過考察相交弦交角變化中有關(guān)線段的關(guān)系，得出相交弦定理.下面從新的角度考察與圓有關(guān)的比例線段第六張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月探究4:使圓的兩條弦的交點(diǎn)從圓內(nèi)（圖）運(yùn)動到圓上（圖），再到圓外（圖），結(jié)論(1)還成立嗎？OBDACP圖3OBA(C,P)D圖4OBDACP圖5當(dāng)點(diǎn)P在圓上,PA=PC=0,所以PAPB=PCPD=0仍成立.當(dāng)點(diǎn)P在圓外,連接AD、BC,容易證明:PADPCB,所以PA:PC=PD:PB,即PAPB=PCPD仍成立.第七張，PPT共二十六

4、頁，創(chuàng)作于2022年6月如圖,已知點(diǎn)P為O外一點(diǎn),割線PBA、PDC分別交O于A、B和C、D. 求證:PAPB=PCPD.證法2：連接AC、BD，四邊形ABDC為O 的內(nèi)接四邊形, PDB= A，又 P=P, PBD PCA. PD ：PA=PB ：PC. PAPB=PCPD.割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每一條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的乘積相等.應(yīng)用格式（幾何語言描述）:PAB,PCD是O 的割線, PAPB=PCPD.OCPADB第八張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月點(diǎn)P從圓內(nèi)移動到圓外PAPB=PCPDOBDACP圖3PAPB=PCPD圖5OCPADBOA(B)P

5、CD使割線PA繞P點(diǎn)運(yùn)動到切線的位置，是否還有PAPB=PCPD？證明:連接AC、AD,同樣可以證明PADPCA,所以PA:PC=PD:PA,即PA2=PCPD仍成立.第九張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月如圖,已知點(diǎn)P為O外一點(diǎn)，PA切O于點(diǎn)A，割線PCD 交O于C、D. 求證：PA2=PCPD.證明：連接AC、AD，PA切O于點(diǎn)A,D= PAC.又 P=P, PAC PDA. PA ：PD=PC ：PA. PA2= PCPD.切割線定理:從圓外一點(diǎn)引圓的切線和條割線,切線長是這點(diǎn)到割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng).應(yīng)用格式（幾何語言描述）:PA是O 的切線,PCD是O 的割線,

6、 PA=PCPD.ODPCA探究5:使圓的割線PD繞點(diǎn)P運(yùn)動到切線位置，可以得出什么結(jié)論？第十張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月點(diǎn)P從圓內(nèi)移動到圓外.相交弦定理PAPB=PCPDOBDACP圖3割線定理PAPB=PCPD圖5OCPADB使割線PA繞P點(diǎn)運(yùn)動到切線的位置.OA(B)PCD切割線定理PA2=PCPD使割線PC繞P點(diǎn)也運(yùn)動到切線的位置.切線長定理PA=PC,APO=CPOOA(B)PC(D)第十一張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月思考：從這幾個定理的結(jié)論里大家能發(fā)現(xiàn)什么共同點(diǎn)？1.結(jié)論都為乘積式;2.幾條線段都是從同一點(diǎn)出發(fā);3.都是通過三角形相似來證明（都隱含著三角

7、形相似）.PC切O于點(diǎn)C = PAPB=PC切割線定理OBPCA割線PCD、PAB交O于點(diǎn)C、D和A、B = PAPB=PCPD割線定理OBCADPAB交CD于點(diǎn)P = PAPB=PCPD相交弦定理OBPCADPA 、PC分別切O于點(diǎn)A 、C = PA=PC,APO=CPO切線長定理OA(B)PC(D)另外，從全等角度可以得到：第十二張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月2.聯(lián)系直角三角形中的射影定理，你還能想到什么？ADCBCO說明了“射影定理”是“相交弦定理”和“切割線定理”的特例！BADC第十三張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月例1 如圖,圓內(nèi)的兩條弦AB、CD相交于圓內(nèi)一點(diǎn)

8、P,已知PA=PB=4,PC=PD/4.求CD的長.OBPCAD解：設(shè)CD=x,則PD=4/5x,PC=1/5x.由相交弦定理，得PAPB=PCPD,44=1/5x4/5x,解得x=10.CD=10.第十四張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月練習(xí)1.如圖,割線PAB,PCD分別交圓于A,B和C,D.(1)已知PA=5,PB=8,PC=4,則PD= ,PT=(2)已知PA=5,PB=8,PO=7,則半徑R=103練習(xí)2.如圖,割線PAB,PCD分別交圓于A,B和C,D,連結(jié)AC,BD,下面各比例式中成立的有:ODPATBCPAPB=(7-R) (7+R)PAC PDB BED AEC PA

9、D PCB OCPADBE第十五張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月練習(xí)3.如圖,A是O上一點(diǎn),過A切線交直徑CB的延長線于點(diǎn)P,ADBC，D為垂足.求證：PB :PD=PO:PC.分析：要證明PB ：PD=PO ：PC ,很明顯PB、PD、PO、PC在同一直線上無法直接用相似證明，且在圓里的比例線段通?；癁槌朔e式來證明,所以可以通過證明PB PC=PD PO,而由切割線定理有PA2=PB PC,只需再證PA2=PD PO，而PA為切線,所以連接OA,由射影定理 得到.第十六張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月例2 如圖,E是圓內(nèi)兩弦AB和CD的交點(diǎn)，直線EF/CB,交AD的延長線

10、于點(diǎn)F，F(xiàn)G切圓于點(diǎn)G.求證：(1) DFEEFA; (2)EF=FG.OBECADFG證明： (1)EF/CB, DEF=DCB.DCB和DAB都是 上的圓周角.DAB =DCB=DEF.DFE=EFA（公共角）, DFEEFA.(2)由(1)知 DFEEFA，EF2 =FAFD.又FG是圓的切線，F(xiàn)G2 =FAFD.EF2 =FG2 ,即FG=EF.第十七張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月例3如圖，兩圓相交于A、B兩點(diǎn)，P為兩圓公共弦AB上任意一點(diǎn)，從P引兩圓的切線PC、PD，求證：PC=PD.PC2=PAPB, PD2=PAPB.CPADB證明：由切割線定理可得：PC2=PD2.

11、 即PC=PD例4如圖，AB是O的直徑，過A、B引兩條弦AD和BE，相交于點(diǎn)C求證：ACAD+BCBE=AB2AEDCBFO證明：連接AC、AD，過C作CFAB,與AB交于FAB是O的直徑，AEB=ADB=900.又 AFC=900, A、F、C、E四點(diǎn)共圓. BCBE=BFBA. (1)同理可證F、B、D、C四點(diǎn)共圓. ACAD=AFAB. (2)(1)+(2)可得 ACAD+BCBE= AB(AF+BF)=AB2. 第十八張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月例5如圖，AB、AC是O的切線，ADE是O的割線，連接CD、BD 、BE 、CE.問題1:由上述條件能推出哪些結(jié)論？ CD:CE

12、=AC:AE, CDAE=ACCE. (2)同理可證BDAE=ACCE. (3)AC=AB,由(2)(3)可得BECD=BDCE. (4)探究1:由已知條件可知ACD=AEC,而CAD=EAC,ADCACE. (1)CAOBED圖1問題2 在圖1中,使線段AC繞A旋轉(zhuǎn)，得到圖2.其中EC交圓于G,DC交圓于F.此時又能推出哪些結(jié)論？第十九張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月問題2 在圖1中,使線段AC繞A旋轉(zhuǎn)，得到圖2.其中EC交圓于G,DC交圓于F.此時又能推出哪些結(jié)論？CAOBED圖1CAOBED圖2GF探究2:連接FG.與探究1所得到的結(jié)論相比較,可以猜想ACDAEC.下面給出證明

13、.AB2=ADAE,而AB=AC, ADCACE. (5)而CAD=EAC, AC2=ADAE,同探究1的思路，還可得到探究1得出的結(jié)論(2)(3)(4).另一方面，由于F、G、E、D四點(diǎn)共圓. CFG=AEC.又ACF=AEC.CFG=ACF.故FG/AC. (6)你還能推出其他結(jié)論嗎？第二十張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月問題3 在圖2中,使線段AC繼續(xù)繞A旋轉(zhuǎn)，使割線CFD變成切線CD,得到圖3. 此時又能推出哪些結(jié)論？探究3:可以推出探究1、2中得到的(1)(6)的所有結(jié)論.CAOBED圖2GFCAOBED圖3PQG此外，AC/DG. ADCACE. 由(7)(8)兩式可得：

14、ACCD=AECG. (9)連接BD、BE,延長GC到P,延長BD交AC于Q,則PCQ=PGD DBE,所以C、E、B、Q四點(diǎn)共圓. 你還能推出其他結(jié)論嗎？第二十一張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月 練習(xí)4. 如圖,過O外一點(diǎn)P作兩條割線, 分別交 O于點(diǎn)A、B和C、D. 再作O的切線PE, E為切點(diǎn), 連接CE、DE. 已知AB=3cm,PA=2cm,CD=4cm. （1）求PC的長 ; （2）設(shè)CE=a,試用含a的代數(shù)式表示DE.解：（1）由切割線定理，得PC PD=PA PBAB=3, PA=2,PB=AB+PA=5.設(shè)PC=m, CD=4 , PD=PC+CD=m+4.m（m+4）=25化簡，整理得：m2+4m10=0OPDEBAC324m解得： (負(fù)數(shù)不合題意，舍去)第二十二張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月由切割線定理得:PE=PCPD=PAPB=10.由弦切角定理,得CEP=D.又 CPE=EPD（公共角）.CPEEPD.（2）設(shè)CE=a,試用含a的代數(shù)式表示DE.OPDEC4ma第二十三張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月練習(xí)5.如圖：過點(diǎn)A作O的兩條割線,分別交O于B、C和D、E. 已知AD=4,DE=2, CE=5,AB=BC. 求AB、BD.練習(xí)6.如圖：PA切O于A，PBC是O的割線