第7章隨機變量的數(shù)字特征

1、 3、在檢查一批棉花的質(zhì)量時，既需要注意纖維的平均長度，又需要注意纖維長度與平均長度的偏離程度，平均長度較大、偏離程度較小，質(zhì)量就較好。 從上面的例子看到，與隨機變量有關的某些數(shù)值，雖然不能完整地描述隨機變量，但能描述隨機變量在某些方面的重要特征。隨機變量的數(shù)字特征就是用數(shù)字表示隨機變量的分布特點，在理論和實踐上都具有重要的意義。第七章 隨機變量的數(shù)字特征第七章 隨機變量的數(shù)字特征 數(shù)學期望 方差和標準差 協(xié)方差和相關系數(shù) 切比雪夫不等式及大數(shù)定理 中心極限定理7.1 隨機變量的數(shù)學期望一、離散型隨機變量的數(shù)學期望從平均數(shù)說起，設以數(shù)據(jù)集 2，3，2，4，2，3，4，5，3，2為總體，求其平均

2、數(shù)（設為）=（2+3+2+4+2+3+4+5+3+2）/10 =（24+33+42+51）/10 =24/10+33/10+42/10+51/10 =3概括得：7.1 隨機變量的數(shù)學期望一、離散型隨機變量的數(shù)學期望下面我們逐步分析如何由分布來求“均值”：（1）算術平均：如果有n個數(shù)x1,x2,xn ，那么求這n個數(shù)的算術平均，只需將此n個數(shù)相加后除以n，即 （2）加權平均：如果這n個數(shù)中有相同的，不妨設其中有ni 個取值為xi(i=1,2,k)，列表為 頻率頻數(shù)取值7.1 隨機變量的數(shù)學期望一、離散型隨機變量的數(shù)學期望其實，這個“加權”平均的權數(shù)ni/n 就是出現(xiàn)數(shù)值 xi的頻率，而頻率在 n

3、 很大時，就穩(wěn)定在其概率附近。（3）對于一個離散隨機變量 X，如果其可能取值為x1,x2,xn ，若將這n個數(shù)相加后除以n作為“均值”，則肯定是不妥的，原因在于X 取各個值的概率是不同的，概率大的出現(xiàn)的機會就大，在計算中其權數(shù)就應該大。用取值的概率作為一種“權數(shù)”作加權平均是十分合理的。7.1 隨機變量的數(shù)學期望1.定義 設離散隨機變量X的分布律為 一、離散型隨機變量的數(shù)學期望為隨機變量X的數(shù)學期望，或稱為該分布的數(shù)學期望，簡稱期望或均值。 若級數(shù) 不收斂,則稱X的期望不存在。如果則稱XPx1 x2 xn p1 p2 pn 7.1 隨機變量的數(shù)學期望一、離散型隨機變量的數(shù)學期望(1) X的期望

4、E(X)是一個數(shù)，它形式上是X的可能值的加權平均，其權重是其相應的概率，實質(zhì)上它體現(xiàn)了X取值的真正平均，為此我們又稱它為X的均值。因為它完全由X的分布所決定，所以又稱為分布的平均值。(2) E(X)作為刻劃X的某種特性的數(shù)值，不應與各項的排列次序有關。所以，定義中要求級數(shù)絕對收斂。注釋所以A 的射擊技術較B的好.0.30.50.20.60.10.3概率10981098擊中環(huán)數(shù)BA射手名稱例:有A，B 兩射手，他們的射擊技術如表所示，試問哪一個射手本領較好？解 A射擊平均擊中環(huán)數(shù)為B射擊平均擊中環(huán)數(shù)為例: 設有某種產(chǎn)品投放市場，每件產(chǎn)品投放可能發(fā)生三種情況：按定價銷售出去，打折銷售出去，銷售不出

5、去而回收。根據(jù)市場分析，這三種情況發(fā)生的概率分別為0.6，0.3，0.1。在這三種情況下每件產(chǎn)品的利潤分別為10元，0元，15元（即虧損15元）。問廠家對每件產(chǎn)品可期望獲利多少？ 解: 設X表示一件產(chǎn)品的利潤（單位元），X是隨機變量，且X的分布律為 X 10 0 -15 P 0.6 0.3 0.1 依題意，所要求的是X的數(shù)學期望 E(X)=100.6+00.3+(-15)0.1=4.5(元)7.1 隨機變量的數(shù)學期望2.幾種典型的離散型隨機變量的數(shù)學期望一、離散型隨機變量的數(shù)學期望i. X服從參數(shù)為p的(0,1)分布：ii. 若Xb(n,p),則E(X)=np；證明：X的分布律為E(X)=0(

6、1-p)+1p=p；X 0 1 P q p 7.1 隨機變量的數(shù)學期望2.幾種典型的離散型隨機變量的數(shù)學期望一、離散型隨機變量的數(shù)學期望iii.若XP()，則E(X)=。 證明：X的分布律為 7.1 隨機變量的數(shù)學期望二、連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望 1.定義 設連續(xù)型隨機變量X的概率密度為f(x)， 如果 則稱 為隨機變量X的數(shù)學期望，記為E(X).例:設隨機變量X的概率密度函數(shù)為試求X的數(shù)學期望解7.1 隨機變量的數(shù)學期望二、連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望2.幾種典型的連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望 i.若XU(a,b),則 E(X)=(a+b)/2.證：X的概率密度為7.1 隨機變量的數(shù)學期望二、連續(xù)型

7、隨機變量的數(shù)學期望2.幾種典型的連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望證：X的概率密度為ii. 若XN(,2)，則 E(X)=.特別地，若XN(0,1)，則E(X)=0.7.1 隨機變量的數(shù)學期望2.幾種典型的連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望二、連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望證：X的概率密度為iii.若X服從參數(shù)為的指數(shù)分布，則 E(X)=1/ .7.1 隨機變量的數(shù)學期望三、隨機變量的函數(shù)的數(shù)學期望定理 設Y是隨機變量X的函數(shù):Y=g(X)(g是連續(xù)函數(shù))， (1) X是離散型隨機變量，它的分布律為PX=xk=pk ，k=1，2， 若 絕對收斂， 則有(2) X是連續(xù)型隨機變量，它的概率密度為f(x)， 若 絕對收斂，

8、 則有例 已知隨機變量的分布律如下求解0.2 0.1 0.1 0.3 0.3-2 -1 0 1 2 0.2 0.1 0.1 0.3 0.30.1 0.4 0.5 0 1 4對相同的值合并，并把對應的概率相加，可得所以或的數(shù)學期望。的分布律為例：某公司生產(chǎn)的機器其無故障工作時間X有密度函數(shù)公司每出售一臺機器可獲利1600元,若機器售出后使用1.2萬小時之內(nèi)出故障,則應予以更換,這時每臺虧損1200元;若在1.2到2萬小時之間出故障,則予以維修,由公司負擔維修費400元;在使用2萬小時以后出故障,則用戶自己負責.求該公司售出每臺機器的平均獲利.解:設Y表示售出一臺機器的獲利.則7.1 隨機變量的數(shù)

9、學期望三、隨機變量的函數(shù)的數(shù)學期望 定理:設Z是隨機變量X,Y的函數(shù)Z=g(X,Y) (g是連續(xù)函數(shù)). (1)設二維隨機向量(X,Y)的分布律為 (2)設二維隨機向量(X,Y)的分布密度為f(x,y),若若則則例: 設（X,Y）的聯(lián)合分布律如下，Z=XY，求E(Z). 解 XY 1 2 3 010.1 0.15 0.25 0.25 0.15 0.1 例：設(X，Y)服從A上的均勻分布,其中A為由x軸，y軸及直線x+y/2=1圍成的平面三角形區(qū)域,求E(XY)x+y/2=1201xy解：7.1 隨機變量的數(shù)學期望四、數(shù)學期望的性質(zhì)1.若C是常數(shù),則 E(C)=C.2.設X,Y是兩個隨機變量,若

10、E(X),E(Y)存在,則對任意的實數(shù)a、b, E(aX+bY)存在,且有 E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)3.設X,Y是互相獨立的隨機變量,則有 E(XY)=E(X)E(Y)性質(zhì)2、3都可推廣到有限個互相獨立的隨機變量之積 的情況.7.1 隨機變量的數(shù)學期望四、數(shù)學期望的性質(zhì)性質(zhì)2 E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)證明 (1)設離散型隨機向量(X,Y)的聯(lián)合分布列和邊緣分布列分別為PX=xi,Y=yj=pij, i,j=1,2,PX=xi=pi., i=1,2,PY=yj=p.j, j=1,2,則7.1 隨機變量的數(shù)學期望四、數(shù)學期望的性質(zhì)性質(zhì)2 E(aX+bY)=aE(X)

11、+bE(Y)(2)設連續(xù)型隨機向量(X,Y)的聯(lián)合概率密度和邊際概率密度分別為f(x,y)和fX(x), fY(y)則7.1 隨機變量的數(shù)學期望四、數(shù)學期望的性質(zhì)性質(zhì)3 如X,Y是互相獨立,則 E(XY)=E(X)E(Y)證明 (1)設離散型隨機向量(X,Y)的聯(lián)合分布律和邊緣分布律分別為PX=xi,Y=yj=pij, i,j=1,2,PX=xi=pi., i=1,2,PY=yj=p.j, j=1,2,則7.1 隨機變量的數(shù)學期望四、數(shù)學期望的性質(zhì)性質(zhì)3 如X,Y是互相獨立,則 E(XY)=E(X)E(Y)(2)設連續(xù)型隨機向量(X,Y)的聯(lián)合概率密度和邊際概率密度分別為f(x,y)和fX(x

12、), fY(y)則例：將n個球隨機地放入M個盒子中去，設每個球放入各個盒子是等可能的，求有球盒子數(shù)X的期望解：記i=1,2,M,則P(第i個盒無球)因而例: 拋擲6顆骰子，X表示出現(xiàn)的點數(shù)之和，求E(X).從而由期望的性質(zhì)可得 練習7.2 方差和標準差引例 有兩批鋼筋(每批10根)它們的抗拉強度為：第一批 110,120,120,125,125,125,130,130,135,140 第二批 90,100,120,125,125,130,135,145,145,145 可以計算出兩批數(shù)據(jù)的平均數(shù)都是 126, 但直觀上第二批數(shù)據(jù)與平均數(shù)126有較大的偏離因此, 欲描述一組數(shù)據(jù)的分布,單單有中心

13、位置的指標是不夠的,尚需有一個描述相對于中心位置的偏離程度的指標.通?？捎肊X-E(X)2描述相對于期望的偏離7.2 方差和標準差一、方差的定義 定義 設X是一個隨機變量，若EX-E(X)2存在，則稱 EX-E(X)2 為X的方差，記為D(X) ， 即: D(X)=EX-E(X)2注釋：(1)方差是隨機變量X與其 “中心”E(X)的偏差平方的平均。它表達了X的取值與其期望值E(X)的偏離程度。若 X 取值較集中，則D(X)較小，反之，若取值較分散，則D(X)較大。 (2)應用上，常用量 ，稱為標準差或均方差，記為 (X)= 。 7.2 方差和標準差二、方差的計算公式 方差實際上是隨機變量X的函

14、數(shù)g(X)=X-E(X)2的數(shù)學期望.于是 (1)對于離散型隨機變量X,若PX=xk=pk,k=1,2,則 (2)對于連續(xù)型隨機變量X,若其概率密度為f(x),則7.2 方差和標準差二、方差的計算公式(3) D(X)=E(X2)-E(X)2 證明：D(X)=EX-E(X)2 =E(X2-2XE(X)+E(X)2)=E(X2)-2E(X)E(X)+E(X)2=E(X2)-E(X)27.2 方差和標準差三、常見分布的方差1. （0-1）分布的方差定理：若PX=0=q,PX=1=p,則 D(X)=pq.證明X 0 1 P q p 7.2 方差和標準差三、常見分布的方差2. 二項分布的方差定理:若隨機

15、變量X服從二項分布XB(n,p),則 D(X)=npq.證明7.2 方差和標準差三、常見分布的方差3. 泊松分布的方差定理：設隨機變量X服從泊松分布XP(),則 D(X)=.證明7.2 方差和標準差三、常見分布的方差4. 均勻分布的方差定理:設隨機變量X服從均勻分布XU(a,b),則 D(X)=(b-a)2/12.證明7.2 方差和標準差三、常見分布的方差5. 指數(shù)分布的方差定理:設隨機變量X服從參數(shù)為 的指數(shù)分布,則證明7.2 方差和標準差三、常見分布的方差6. 正態(tài)分布的方差定理:設隨機變量X服從正態(tài)分布XN(,2) , 則 D(X)=2證明7.2 方差和標準差常見分布的期望和方差表7.2

16、 方差和標準差四、方差的性質(zhì)假定以下所遇到的隨機變量的方差存在: (1) 設C是常數(shù)，則 D(C)=0；(2) 設X是隨機變量，a是常數(shù)，則D(aX)=a2D(X),從而 D(aX+b)=a2D(X)；(3) 設X，Y是兩個相互獨立的隨機變量，則有 D(XY)=D(X)+D(Y)； (2) 證: D(aX+b)=E(aX+b)-E(aX+b)2 = E(aX+b)-E(aX)-b2 = EaX-E(aX)2 =Ea(X-E(X)2 =a2EX-E(X)2 =a2D(X)7.2 方差和標準差 由于X，Y相互獨立，XE(X)與YE(Y)也相互獨立，由數(shù)學期望的性質(zhì)， 2EX-E(X)Y-E(Y)=

17、2EX-E(X)EY-E(Y)=0 于是得 D(X+Y)=D(X)+D(Y).四、方差的性質(zhì)(3)證: D(X+Y)=E(X+Y)-E(X+Y)2 =E(X-E(X)+(Y-E(Y)2 =EX-E(X)2+EY-E(Y)2 +2EX-E(X)Y-E(Y) 這一性質(zhì)可以推廣到任意有限多個相互獨立的隨機變量之和的情況。 7.2 方差和標準差四、方差的性質(zhì)若相互獨立，為常數(shù)則若X ,Y 相互獨立例 設X1,X2,Xn獨立同分布，E(X)=,D(X1)=2.記 若用X1,X2,Xn表示對某物件重量的n次重復測量的誤差,而2為測量誤差大小的度量，公式 表明n次重復測量的平均誤差是單次測量誤差的1/n，換

18、言之，重復測量的平均精度比單次測量的精度高.證明: 證 注 已知 X 的 概率密度函數(shù)為其中 A ,B 是常數(shù)，且 E (X ) = 0.5. 求 A ,B. 設 Y = X 2, 求 E (Y ),D (Y )練習解 (1)(2)7.3 協(xié)方差與相關系數(shù)引 言 對于二維隨機向量(X,Y)來說,數(shù)學期望E(X)、E(Y)只反映了X與Y各自的平均值,方差只反映了X與Y各自離開均值的偏離程度,它們對X與Y之間相互關系不提供任何信息. 但二維隨機向量(X,Y)的概率密度p(x,y)或分布律pij全面地描述了(X,Y)的統(tǒng)計規(guī)律,也包含有X與Y之間關系的信息.我們希望有一個數(shù)字特征能夠在一定程度上反映

19、這種聯(lián)系.7.3 協(xié)方差與相關系數(shù)一、協(xié)方差定義：設二隨機向量(X,Y)的數(shù)學期望(E(X),E(Y)存在,若E(X-E(X)(Y-E(Y)存在,則稱它為隨機變量X與Y的協(xié)方差,記為cov(X,Y),即cov(X,Y)= E(X-E(X)(Y-E(Y)若X，Y為連續(xù)型隨機變量 (1)用定義求：若X，Y為離散型隨機變量 計算 7.3 協(xié)方差與相關系數(shù)一、協(xié)方差 協(xié)方差有計算公式Cov(X,Y)= E(XY)-E(X)E(Y)(2)用公式求證 由協(xié)方差的定義及數(shù)學期望的性質(zhì)，得 7.3 協(xié)方差與相關系數(shù)一、協(xié)方差 任意兩個隨機變量X與Y的和的方差 D(XY)=D(X)+D(Y)2Cov(X,Y)(

20、2)用公式求證 由方差公式及協(xié)方差的定義，得 例設（X，Y）有聯(lián)合分布律YX01011/41/41/31/67/125/121/21/21求 cov(X，Y）.解E（X）=01/2+11/2=1/2E（Y）=07/12+15/12=5/12E（XY）=11/6=1/6cov(X,Y)=E（XY）- E（X）E（Y） =1/6-5/24=1/24例: 設(X，Y)N(1, 2 ,12, 22,)，求cov(X,Y) YN(2,22)，解: XN(1,12), E(X)=1, D(X)=12； E(Y)=2, D(X)=22；令7.3 協(xié)方差與相關系數(shù)一、協(xié)方差(1) Cov(X,Y)= Cov(

21、Y,X)；(3) Cov(aX+b,cY+d)=acCov(X,Y)，a,b,c,d為常數(shù)；(2) Cov(X,X)= D(X)；性質(zhì) 證 Cov(X,Y)= E(X-E(X)(Y-E(Y) = E(Y-E(Y) (X-E(X) = Cov(Y,X)證 Cov(aX+b,cY+d)=E(aX+b-E(aX+b)(cY+d-E(cY+d) =Ea(X-E(X)c(Y-E(Y) =acEX-E(X)Y-E(Y) =acCov(X,Y)7.3 協(xié)方差與相關系數(shù)二、相關系數(shù)定義:設二維隨機變量(X,Y)的方差D(X)0,D(Y)0,協(xié)方差Cov(X,Y)均存在,則稱為隨機變量X與Y的相關系數(shù)或標準協(xié)方

22、差. 一般地，數(shù)學期望為0，方差為1的隨機變量的分布稱為標準分布，故XY又稱為標準協(xié)方差。 7.3 協(xié)方差與相關系數(shù)二、相關系數(shù)性質(zhì)1. |XY|1；3. |XY|=1， 稱之為X與Y完全相關，其充要條件為,存在常數(shù)a,b使得PY=aX+b=1.2. XY=0，稱之為X與Y不相關；意義: |XY|=1當且僅當Y跟X幾乎有線性關系。這在一定程度上說明了相關系數(shù)的概率意義。XY并不是刻畫X，Y之間的“一般”關系，而只是刻畫X，Y之間線性相關的程度。說明： 假設隨機變量X，Y的相關系數(shù)XY存在，當X與Y相互獨時,XY=0,即X與Y不相關，反之若X與Y不相關，X與Y卻不一定相互獨立。7.3 協(xié)方差與相

23、關系數(shù)二、相關系數(shù)oXYoooXXXYYY01-10,恒有其中若上式對任何0成立，則稱 依概率收斂于，且可表示為7.4 切比雪夫不等式及大數(shù)律一、伯努利大數(shù)律例如:意思是:當a而意思是:時,Xn落在內(nèi)的概率越來越大.,當7.4 切比雪夫不等式及大數(shù)律切比雪夫(Chebyshev)不等式: 設隨機變量X具有數(shù)學期望E(X)=,方差D(X)=2 ,則對于任意正數(shù),有二、切比雪夫(Chebyshev)不等式7.4 切比雪夫不等式及大數(shù)律證明 (1)設X的概率密度為p(x),則有(2)設離散型隨機變量X的分布律為PX=xk=pk,則有二、切比雪夫(Chebyshev)不等式例:在供暖的季節(jié),住房的平均溫度為20度,標準差為2度,試估計住房溫度與平均溫度的偏差的絕對值小于4度的概率的下界.解7.4 切比雪夫不等式及大數(shù)律三、切比雪夫(Chebyshev)大數(shù)定律 設 X1,X2,是相互獨立的隨機變量序列,具有數(shù)學期望E(Xi) 和方差 D(Xi) i=1,2,.若存在常數(shù) C,使得D(Xi)C(i=1,2,),則對于任意給定的 0, 恒有證明7.5 中心極限定理 在一定條件