環(huán)境系統(tǒng)分析第三章課件

1、第三章 環(huán)境質(zhì)量基本模型1 污染物在環(huán)境介質(zhì)中的運(yùn)動(dòng)一、基本概念環(huán)境介質(zhì)：能幫助傳遞物質(zhì)、能量的物質(zhì)，傳遞過(guò)程中物質(zhì)與能量有可能有耗散。 三大類(lèi)介質(zhì)：流體(又可分為液體與氣體)，固體，混合體(如土壤)。運(yùn)動(dòng): 事物狀態(tài)的變化(廣義)。物質(zhì)狀態(tài)的變化(位置、速度、密度、形態(tài)、質(zhì)量、溫度、帶電量、組成成分)的變化。如：機(jī)械運(yùn)動(dòng)、物理運(yùn)動(dòng)、化學(xué)運(yùn)動(dòng)、生物運(yùn)動(dòng)、政治運(yùn)動(dòng)。污染物：對(duì)環(huán)境生態(tài)系統(tǒng)(特別是人體健康)有不良影響的物質(zhì)、能量，一般為過(guò)量的有害物質(zhì)。二、污染物在介質(zhì)中各種運(yùn)動(dòng)（重要概念）1、推流遷移運(yùn)動(dòng)：指污染物在氣流或者水流作用下產(chǎn)生的位置移動(dòng)。污染物遷移量(質(zhì)量通量)：（單位：物質(zhì)量/單位時(shí)

2、間*單位面積，如g/m2s） X軸方向： fx=uxC Y軸方向： fy=uyC， Z軸方向： fz=uzC。SLuxQtxzyuy這段河道中的總水量2 擴(kuò)散(稀釋)運(yùn)動(dòng)：物質(zhì)質(zhì)量在空間分散化、均勻化，使物質(zhì)濃度隨時(shí)間不斷變小。物質(zhì)濃度總從高處向低處擴(kuò)散。1）分子擴(kuò)散：由于分子隨機(jī)運(yùn)動(dòng)引起的擴(kuò)散溶解，其速度與“熱”有關(guān)。 濃度梯度 ：在某個(gè)方向上的濃度變化率 Fick第一定律（通量） X上某點(diǎn)濃度梯度單位：物質(zhì)量/單位時(shí)間*單位面積Em為分子擴(kuò)散系數(shù)，且各向同性；2)湍流擴(kuò)散：由于流體的湍流運(yùn)動(dòng)造成污染團(tuán)內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)強(qiáng)烈的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)撕裂 Fick第一定律（通量）：*xc= c2- c1xc1c2xy

3、zI1XI1ZI1Y單位：物質(zhì)量/單位時(shí)間*單位面積Ex, Ey, Ez 為x, y, z 三個(gè)方向的湍流擴(kuò)散系數(shù)，各向異性，一般x, y 方向的擴(kuò)散系數(shù)大于z 方向的擴(kuò)散系數(shù)。3)彌散擴(kuò)散：由于介質(zhì)宏觀運(yùn)動(dòng)(流速)分布不均勻，造成流體形變引起的擴(kuò)散。 為斷面平均值 ,單位：物質(zhì)量/單位時(shí)間*單位面積 *c1c2須考慮須考慮3 裒減、轉(zhuǎn)化運(yùn)動(dòng)：由于生物或化學(xué)的作用，由一種物質(zhì)變化為另一種物質(zhì)，對(duì)原物質(zhì)是裒減了，而對(duì)于新生物質(zhì)而言則是增生了。以上數(shù)學(xué)模型是一階一次常系數(shù)微分方程。描述的是某物質(zhì)“濃度”變化速率，是該物質(zhì)“濃度”本身的常系數(shù)一次函數(shù)，又稱(chēng)一級(jí)動(dòng)力學(xué)模型。當(dāng) 物質(zhì)量為增生時(shí)： c2

4、c1時(shí)，當(dāng) 物質(zhì)量為衰減時(shí)： c1 c2時(shí)衰減速度常數(shù)單位時(shí)間、單位體積內(nèi)的物質(zhì)增量*tt2t1c1c2濃度變化速度4 （綜合三種作用）的圖像理解只有推流遷移 推流遷移+擴(kuò)散 推流遷移+擴(kuò)散+裒減 推流遷移+裒減無(wú)推流遷移 無(wú)推流遷移 僅有擴(kuò)散 有擴(kuò)散+裒減 2 基本模型的推導(dǎo) 1.質(zhì)量守恒原理初始存量為：存量1，一段時(shí)間后：存量2對(duì)于輸入端：物質(zhì)總量=存量1+進(jìn)入量 （1）對(duì)于輸出端：物質(zhì)總量=存量2+出去量 （2）存量1+進(jìn)入量=存量2+出去量 存量2-存量1=進(jìn)入量-出去量存量的變化量（增量）=進(jìn)入量-出去量存量進(jìn)入量出去量2. 零維模型推導(dǎo)(完全混合）（重要）在 t1 t2的 t時(shí)段內(nèi)

5、濃度 c1 c2 c=c2-c1物質(zhì)量 vc1 vc2 m=v(c2-c1)=v c單位時(shí)間的物質(zhì)變化量：kVQ, C0SQ, C根據(jù)質(zhì)量平衡原理,單位時(shí)間的物質(zhì)變化量也可表示為 Q*c0+S - (kc)*v -QC所以：m3/smg/ m3mg/smg/s*m3m3進(jìn)入量出去量衰減項(xiàng)其中，V為反應(yīng)器容積，Q為流入與流出反應(yīng)器的介質(zhì)流量C為輸出反應(yīng)器的污染物濃度，C0為輸入反應(yīng)器的污染物濃度，K為污染物衰減速度系數(shù)，S為污染物的源與匯零維模型主要應(yīng)用于箱式空氣質(zhì)量模型和湖泊、水庫(kù)水質(zhì)模型。一維模型推導(dǎo)（了解） 推流：fx=uxC 擴(kuò)散： 立方體體積: 迎水面面積：圖3-3 體積元的質(zhì)量平衡分

6、析xst1 t2c1 c2圖3-3 體積元的質(zhì)量平衡分析在x方向上立方體內(nèi)污染物在t1 t2時(shí)段內(nèi)的變化量：在單位時(shí)間內(nèi)的變化量：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)，流經(jīng)端面的物質(zhì)總量應(yīng)為物質(zhì)通量與面積的乘積，故單位時(shí)間內(nèi)輸入量為:(設(shè)任意點(diǎn)推流通量函數(shù)為f(x),擴(kuò)散通量I(x) f(x)=uxC, x0X0+xk根據(jù)泰勒公式，可將任意函數(shù)f(x)在某點(diǎn)x=x0處用級(jí)數(shù)展開(kāi)：將推流函數(shù)f(x)在x=x0展開(kāi)：所以在x =x0+ x處 ：因?yàn)槲⒃苄?x也很小，可將所有含大于2階得導(dǎo)數(shù)項(xiàng)省略，得：將擴(kuò)散函數(shù)I(x)在x=x0展開(kāi):所以在x =x0+ x處，將所有含大于2階得導(dǎo)數(shù)項(xiàng)省略，得：?jiǎn)挝粫r(shí)間輸入量： 斷面面積單

7、位時(shí)間輸出量：?jiǎn)挝粫r(shí)間，該體積元的物質(zhì)變化量為（2）-（3） zyxCECuzyIfxxxxDD-=DD+)(zyxxCExxCExCuxCuxxxxDDD-+-D+)()(（2）（3）推流增量擴(kuò)散增量約去相同項(xiàng)：當(dāng)ux, Ex,為常數(shù)時(shí)，如果考慮衰減作用：體積元內(nèi)污染物按一級(jí)反應(yīng)式衰減,衰減量為-單位時(shí)間單位體積內(nèi)的衰減量單位時(shí)間濃度變化推流增量擴(kuò)散增量衰減變化量(源匯項(xiàng)）局地項(xiàng)推流項(xiàng)擴(kuò)散項(xiàng)衰減項(xiàng)二維模型推導(dǎo) 與一維基本模型的推導(dǎo)相似，當(dāng)在 x 方向和 y 方向存在濃度梯度時(shí)，可建立起二維基本模型 Y方向擴(kuò)散項(xiàng) Y方向推流項(xiàng) 式中，Ey y 坐標(biāo)方向的彌散系數(shù)；uy y方向的流速分量； 三維

8、模型推導(dǎo) 如果在x、y、z 三個(gè)方向上都存在濃度梯度，可以用類(lèi)似方法推導(dǎo)出三維基本模型： 式中，Ex 、Ey 、Ez x、y、z 坐標(biāo)方向的湍流擴(kuò)散系數(shù)；uz z方向的流速分量。KCyCuxCuyCExCEtCyxyx-+=2222模型使用范圍（重要）零維模型：（假定內(nèi)部無(wú)濃度梯度，濃度均勻化） -適合于箱體，湖泊環(huán)境一維模型（在一個(gè)方向上有濃度梯度變化） -適合于細(xì)、長(zhǎng)、淺河流環(huán)境二維模型（在二個(gè)方向上有濃度梯度變化） -適合于寬、長(zhǎng)、淺大型河流，河口、海灣、淺湖三維模型（在三個(gè)方向上有濃度梯度變化）-適合于寬、長(zhǎng)、深環(huán)境，如大氣、海洋、深湖3 數(shù)值解與解析解一、概述由于環(huán)境問(wèn)題涉及因素復(fù)雜

9、(一些模式參數(shù)常是變數(shù))，數(shù)學(xué)上能求得解析解的微分方程(又稱(chēng)控制方程)又不多，常需把問(wèn)題簡(jiǎn)化(對(duì)運(yùn)動(dòng)作約束)后才能求得解析解，因此解析解的使用條件很?chē)?yán)，不能亂用。控制方程簡(jiǎn)化過(guò)程中涉及的數(shù)學(xué)分析問(wèn)題有：1. 化簡(jiǎn)控制方程（重要） 1）物質(zhì)運(yùn)動(dòng)性質(zhì)分析，常涉及微分方程(控制方程)的階數(shù)。 平流問(wèn)題，控制方程是一階微分方程： 擴(kuò)散問(wèn)題，控制方程是二階微分方程：2） 物質(zhì)運(yùn)動(dòng)在幾維空間內(nèi)進(jìn)行，含幾個(gè)空間變量。在一維空間內(nèi)運(yùn)動(dòng)，只含一個(gè)空間變量：即 在二維空間內(nèi)運(yùn)動(dòng)，含二個(gè)空間變量： 在三維空間內(nèi)運(yùn)動(dòng)，含三個(gè)空間變量：3） 運(yùn)動(dòng)是否隨時(shí)間而變化，方程含不含時(shí)間t這個(gè)變 量。 對(duì)于瞬時(shí)排放，污染物濃度隨

10、時(shí)間而變化 對(duì)于穩(wěn)定排放，濃度不隨時(shí)間變化 4）運(yùn)動(dòng)中是否質(zhì)量、能量守恒的分析，常涉及是否存在“外力”作用，控制方程中有否強(qiáng)迫項(xiàng)(源、匯)。無(wú)源、匯項(xiàng)存在，守恒物質(zhì)方程：非守恒物質(zhì)，有源、匯存在，方程非齊次 2.模型解析解(重要） 解析解： 通解： 定解： 定解條件（初、邊值條件）：源匯項(xiàng)例題：求 的通解、定解(了解） 代入初邊值條件求積分常數(shù)：x=0時(shí)，c=c0積分常數(shù)通解：積分常數(shù)cc1） 瞬時(shí)排放的解析解（濃度隨時(shí)間變化）(1) 一維流場(chǎng)、無(wú)彌散、有推流、有裒減，（重要）（推流作用擴(kuò)散作用）控制方程為：根據(jù)條件化簡(jiǎn)上面方程得：解：圖像表示 t=0 t=1 t=2 X=ut初始條件：t=0

11、時(shí),c=C0，則其濃度為: x = u t 污染物正好到達(dá) ： =0 當(dāng)x u t 污染物已過(guò)或未到顯然只有x=ut處有污染物。 (2) 一維流場(chǎng)，有彌散、有推流、有裒減，（彌散、推流、裒減作用相當(dāng)）控制方程為： （重要）求得通解，代入以下初邊值條件初值：t=0,c=c0; 邊值：x=0， c=c0 ；x=，c=0 污染源坐標(biāo)0 x0D復(fù)習(xí)隨機(jī)變量的正態(tài)分布函數(shù)隨著時(shí)間的t的變化有：水團(tuán)長(zhǎng)度xautxc例題 3-1瞬時(shí)向河流中投放示蹤劑，含若丹明染料5kg,在起始斷面處充分緩和，假定河流平均寬度10m，平均水深0.5m,平均流速0.5m/s,縱向彌散系數(shù)為0.5m2/s,試求距投放點(diǎn)500m處

12、的若丹明濃度分布的時(shí)間過(guò)程線。 假定斷面面積為矩形，則面積A寬深10*0.5=5m2,u=0.5 m/s, D= 0.5m2/s,M=5kg=5*106mgT(min) 10 12.C(mg/l) 5*10-14 1.8*10-5.ct圖像：(4) 二維流場(chǎng)，有推流、擴(kuò)散、裒減，控制方程為其解為:tX方向分布y方向分布點(diǎn)（0，0），t）圖形：utxccycyxuytxy(3) 三維流場(chǎng)，有推流、擴(kuò)散、裒減，控制方程為：控制方程：其解為 ：當(dāng)污染源坐標(biāo)（x0, y0, z0)位于三維坐標(biāo)的原點(diǎn)（0，0，0）時(shí)，有：令上式=X方向分布Y方向分布Z方向分布CXutCyvtCzwt2） 穩(wěn)定排放的解析

13、解 穩(wěn)定排放定義： 排放強(qiáng)度變化很小(變化率在10%以?xún)?nèi))； 排放時(shí)間長(zhǎng)( T X / u )。 穩(wěn)定排放問(wèn)題沒(méi)有初值，只有邊值。(1) 0維(箱模式)：有一股流量為Q的污水，流經(jīng)容積為V的水箱，污水流入水箱后與箱內(nèi)水體充分混合，并與箱內(nèi)微生物反應(yīng)、造成污染物以k的速率裒減控制方程：解析解當(dāng)t無(wú)窮大時(shí)：K,v,cQ, C0Q, C當(dāng)t足夠長(zhǎng)時(shí)，解為：(2)一維穩(wěn)態(tài)、無(wú)彌散、推流、裒減模式：設(shè)置控制方程，此時(shí)已不是擴(kuò)散問(wèn)題，而是推流問(wèn)題?？刂品匠虨?:邊值條件為:x=0處C=C0 求解過(guò)程：得：代入邊值條件：?jiǎn)栴}：在什么情況下，可以忽略擴(kuò)散的影響？由于一般河流中|u|Dx|，所以考慮不考慮彌散并

14、不重要復(fù)習(xí)常微分方程解法變量xc積分常數(shù)（3）一維穩(wěn)態(tài)、有彌散、推流、裒減模式，控制方程為：代入邊值：x=0, C=C0, x=, C=0。 可以推斷解析解形式： C=f(x)導(dǎo)數(shù)形式而當(dāng)解析解為：c=f(x,y,z,)導(dǎo)數(shù)形式：控制方程變?yōu)椋赫n后作業(yè)：1 求上述常微分方程的定解 2 說(shuō)明一維穩(wěn)態(tài)方程與動(dòng)態(tài)方程的區(qū)別其特征方程為： Dx2 - u- k = 0 由此求出特征根 ：其通解為：代入邊值：x=0, C=C0, x=, C=0。 得A=0，B=C0 ，故解為 (6) 二維穩(wěn)態(tài)、有彌散、推流、裒減模式二維河道中可以忽略X方向的擴(kuò)散 Dx,y方向的推流作用， 化簡(jiǎn)：cxe-kt重要此控制方

15、程(排放口在坐標(biāo)原點(diǎn)：x=0, y=0)求解較復(fù)雜， 其解為 :y方向的分布xy二維問(wèn)題實(shí)際應(yīng)用中的復(fù)雜性(1)污染源在河中（重要）A河道無(wú)界(湖泊、海灣） B.河道有界：1 污染源在河中xyB*(x,y)xyB*(x,y)B/2B/2-yB/2*N=1N=1N=2實(shí)源虛源虛源x加和后總濃度：(2)污染源在河邊(重要）A.河道無(wú)界總濃度*(x,y)實(shí)源虛源xyB.河道有界總和為：*(x,y)B-yyXBB2B-yN=0,1N=2，3N=1,22By2B+y實(shí)源虛源虛源(7) 三維模式：大氣環(huán)境中高煙囪穩(wěn)定排放，其控制方程為 其解為： 例題:狹長(zhǎng)河流中穩(wěn)定排放污水，污水量q=0.15mg/m3,

16、BOD=30mg/m3,流量Q=5.5m3/s,平均流速為0.3m/s,河道BOD本底濃度為0.5mg/m3,BOD的衰減速度常數(shù)K=0.2d-1,彌散系數(shù)D=10 m2/s,求下游10km處的BOD濃度。Qqc010km連續(xù)點(diǎn)源排放，源強(qiáng)為50g/s,河流水深h=1.5m,ux=0.3m/s,橫向彌散系數(shù)DY=5m2/s,污染物衰減速度常數(shù)為0，求（1）無(wú)邊界情況，（2000，10）坐標(biāo)處的濃度（2）邊界排放，寬度無(wú)限大，該處的污染物濃度（3）邊界排放，寬度B=100M時(shí)，該處的污染物濃度三.污染物在均勻流場(chǎng)中的分布特征 （復(fù)習(xí)）（1）一維流場(chǎng)中的分布特征（動(dòng)態(tài)）控制方程為 解上式變?yōu)椋荷鲜揭部勺?/p>