《電磁場(chǎng)與電磁波》第1章矢量分析課件

1、第1章 矢量分析一、矢量和標(biāo)量的定義二、矢量的運(yùn)算法則三、矢量微分元：線元，面元，體元四、標(biāo)量場(chǎng)的梯度六、矢量場(chǎng)的旋度五、矢量場(chǎng)的散度七、重要的場(chǎng)論公式一、矢量和標(biāo)量的定義1.標(biāo)量：只有大小，沒(méi)有方向的物理量。矢量表示為：所以：一個(gè)矢量就表示成矢量的模與單位矢量的乘積。其中： 為矢量的模，表示該矢量的大小。 為單位矢量，表示矢量的方向，其大小為1。2.矢量：不僅有大小，而且有方向的物理量。如:力 、速度 、電場(chǎng) 等如：溫度 T、長(zhǎng)度 L 等例1：在直角坐標(biāo)系中， x 方向的大小為 6 的矢量如何表示？圖示法： 力的圖示法： 二、矢量的運(yùn)算法則1.加法: 矢量加法是矢量的幾何和,服從平行四邊形規(guī)

2、則。a.滿足交換律：b.滿足結(jié)合律：三個(gè)方向的單位矢量用 表示。根據(jù)矢量加法運(yùn)算：所以：在直角坐標(biāo)系下的矢量表示:其中：矢量：模的計(jì)算：?jiǎn)挝皇噶浚悍较蚪桥c方向余弦：在直角坐標(biāo)系中三個(gè)矢量加法運(yùn)算： 2.減法：換成加法運(yùn)算逆矢量： 和 的模相等，方向相反，互為逆矢量。在直角坐標(biāo)系中兩矢量的減法運(yùn)算： 推論：任意多個(gè)矢量首尾相連組成閉合多邊形，其矢量和必為零。3.乘法：（1）標(biāo)量與矢量的乘積：方向不變，大小為|k|倍方向相反，大小為|k|倍（2）矢量與矢量乘積分兩種定義a. 標(biāo)量積（點(diǎn)積）：兩矢量的點(diǎn)積含義： 一矢量在另一矢量方向上的投影與另一矢量模的乘積，其結(jié)果是一標(biāo)量。在直角坐標(biāo)系中，已知三個(gè)

3、坐標(biāo)軸是相互正交的，即有兩矢量點(diǎn)積：結(jié)論: 兩矢量點(diǎn)積等于對(duì)應(yīng)分量的乘積之和。推論1：滿足交換律推論2：滿足分配律推論3：當(dāng)兩個(gè)非零矢量點(diǎn)積為零,則這兩個(gè)矢量必正交。推論1：不服從交換律：推論2：服從分配律：推論3：不服從結(jié)合律：推論4：當(dāng)兩個(gè)非零矢量叉積為零，則這兩個(gè)矢量必平行。b.矢量積（叉積）：含義： 兩矢量叉積，結(jié)果得一新矢量，其大小為這兩個(gè)矢量組成的平行四邊形的面積，方向?yàn)樵撁娴姆ň€方向，且三者符合右手螺旋法則。在直角坐標(biāo)系中，兩矢量的叉積運(yùn)算如下：兩矢量的叉積又可表示為：xyzo（3）三重積：三個(gè)矢量相乘有以下幾種形式：矢量，標(biāo)量與矢量相乘。標(biāo)量，標(biāo)量三重積。矢量，矢量三重積。a.

4、 標(biāo)量三重積法則：在矢量運(yùn)算中,先算叉積,后算點(diǎn)積。定義：含義： 標(biāo)量三重積結(jié)果為三矢量構(gòu)成的平行六面體的體積 。注意：先后輪換次序。推論：三個(gè)非零矢量共面的條件。在直角坐標(biāo)系中：b.矢量三重積：例2：求：中的標(biāo)量 a、b、c。解：則：設(shè)例3： 已知求：確定垂直于 、 所在平面的單位矢量。解：已知所得矢量垂直于 、 所在平面。已知A點(diǎn)和B點(diǎn)對(duì)于原點(diǎn)的位置矢量為 和 ，求：通過(guò)A點(diǎn)和B點(diǎn)的直線方程。例4： 其中：k 為任意實(shí)數(shù)。xyzCAB解：在通過(guò)A點(diǎn)和B點(diǎn)的直線方程上， 任取一點(diǎn)C，對(duì)于原點(diǎn)的位置 矢量為 ，則三、矢量微分元：線元、面元、體元例：其中： 和 稱為微分元。1. 直角坐標(biāo)系在直角

5、坐標(biāo)系中，坐標(biāo)變量為(x,y,z)，如圖，做一微分體元。線元：面元：體元：2. 圓柱坐標(biāo)系在圓柱坐標(biāo)系中，坐標(biāo)變量為 ，如圖，做一微分體元。線元：面元：體元：3. 球坐標(biāo)系在球坐標(biāo)系中，坐標(biāo)變量為 ，如圖，做一微分體元。線元：面元：體元：a. 在直角坐標(biāo)系中，x,y,z 均為長(zhǎng)度量，其拉梅系數(shù)均為1， 即：b. 在柱坐標(biāo)系中，坐標(biāo)變量為 , 其中 為角度， 其對(duì)應(yīng)的線元 ，可見(jiàn)拉梅系數(shù)為：在球坐標(biāo)系中，坐標(biāo)變量為 ，其中 均為 角度，其拉梅系數(shù)為：注意： 在正交曲線坐標(biāo)系中，其坐標(biāo)變量 不一定都是長(zhǎng)度，其線元必然有一個(gè)修正系數(shù)，這些修正系數(shù)稱為拉梅系數(shù)，若已知其拉梅系數(shù) ，就可正確寫(xiě)出其線元、

6、面元和體元。體元：線元：面元：正交曲線坐標(biāo)系：四、標(biāo)量場(chǎng)的梯度1. 標(biāo)量場(chǎng)的等值面可以看出：標(biāo)量場(chǎng)的函數(shù)是單值函數(shù)，各等值面是互不 相交的。以溫度場(chǎng)為例：熱源等溫面b.梯度定義：標(biāo)量場(chǎng)中某點(diǎn)梯度的大小為該點(diǎn)最大的方向?qū)?shù)， 其方向?yàn)樵擖c(diǎn)所在等值面的法線方向。數(shù)學(xué)表達(dá)式：2. 標(biāo)量場(chǎng)的梯度a.方向?qū)?shù)：空間變化率，稱為方向?qū)?shù)。為最大的方向?qū)?shù)。標(biāo)量場(chǎng)的場(chǎng)函數(shù)為計(jì)算：在直角坐標(biāo)系中：所以：梯度也可表示：在柱坐標(biāo)系中：在球坐標(biāo)系中：在任意正交曲線坐標(biāo)系中：在不同的坐標(biāo)系中，梯度的計(jì)算公式：在直角坐標(biāo)系中：五、矢量場(chǎng)的散度1. 矢線（場(chǎng)線）： 在矢量場(chǎng)中，若一條曲線上每一點(diǎn)的切線方向與場(chǎng)矢量在該點(diǎn)的

7、方向重合，則該曲線稱為矢線。2. 通量：定義：如果在該矢量場(chǎng)中取一曲面S， 通過(guò)該曲面的矢線量稱為通量。表達(dá)式：若曲面為閉合曲面：+-討論：a. 如果閉合曲面上的總通量 說(shuō)明穿出閉合面的通量大于穿入曲面的通量，意味著閉合面內(nèi)存在正的通量源。b. 如果閉合曲面上的總通量 說(shuō)明穿入的通量大于穿出的通量，那么必然有一些矢線在曲面內(nèi)終止了，意味著閉合面內(nèi)存在負(fù)源或稱溝。c. 如果閉合曲面上的總通量說(shuō)明穿入的通量等于穿出的通量。3. 散度：a.定義：矢量場(chǎng)中某點(diǎn)的通量密度稱為該點(diǎn)的散度。 b.表達(dá)式：c.散度的計(jì)算： 在直角坐標(biāo)系中，如圖做一封閉曲面，該封閉曲面由六個(gè)平面組成。矢量場(chǎng) 表示為：在 x方向

8、上：計(jì)算穿過(guò) 和 面的通量為因?yàn)椋簞t：在 x 方向上的總通量：在 z 方向上,穿過(guò) 和 面的總通量：整個(gè)封閉曲面的總通量：同理：在 y方向上,穿過(guò) 和 面的總通量：該閉合曲面所包圍的體積：通常散度表示為：4.散度定理：物理含義：穿過(guò)一封閉曲面的總通量等于矢量散度的體積分。柱坐標(biāo)系中：球坐標(biāo)系中：正交曲線坐標(biāo)系中：直角坐標(biāo)系中：常用坐標(biāo)系中，散度的計(jì)算公式六、矢量場(chǎng)的旋度1. 環(huán)量： 在矢量場(chǎng)中，任意取一閉合曲線 ，將矢量沿該曲線積分稱之為環(huán)量?？梢?jiàn)：環(huán)量的大小與環(huán)面的方向有關(guān)。2. 旋度:定義：一矢量其大小等于某點(diǎn)最大環(huán)量密度，方向?yàn)樵摥h(huán) 的法線方向，那么該矢量稱為該點(diǎn)矢量場(chǎng)的旋度。表達(dá)式：旋度計(jì)算：以直角坐標(biāo)系為例，一旋度矢量可表示為：場(chǎng)矢量：其中： 為x 方向的環(huán)量密度。旋度可用符號(hào)表示：其中：可得：同理：所以：旋度公式：為了便于記憶，將旋度的計(jì)算公式寫(xiě)成下列形式:類似地，可以推導(dǎo)出在廣義正交坐標(biāo)系中旋度的計(jì)算公式： 對(duì)于柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)，已知其拉梅系數(shù)，代入公式即可寫(xiě)出旋度的計(jì)算公式。3. 斯托克斯定理：物理含義： 一個(gè)