求單元剛度矩陣課件

1、結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué)成績評定方法 1、 “結(jié)構(gòu)力學(xué)”為考試課程。期末考試成績占75，平時成績占25。 2、平時成績由以下四部分組成： （1）作業(yè)及平時測驗占10； （2）課堂筆記占5； （3）回答問題占5； （4）出勤、著裝及遵守課堂記律等占5。*課程建設(shè)背景（1987年：4機時）*從一個簡單例題談起12-1 概 述第12章 結(jié)構(gòu)矩陣分析 *結(jié)構(gòu)矩陣分析方法*結(jié)構(gòu)矩陣分析基本思路*有限單元法結(jié)構(gòu)計算器簡介*矩陣力法與矩陣位移法簡介結(jié)構(gòu)矩陣分析方法 在傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)力學(xué)中引進有限單元的基本概念，數(shù)學(xué)推導(dǎo)采用矩陣方法，實際計算采用電子計算機。有限元、矩陣代數(shù)、計算機三者結(jié)合，使力學(xué)學(xué)科發(fā)生了革命性的變化。

2、桿系結(jié)構(gòu)的矩陣位移法是以桿件為單元，以結(jié)構(gòu)的結(jié)點位移作為基本未知量，導(dǎo)入矩陣運算，用計算機求解的方法。返 回 進行力學(xué)分析的方法有很多種，歸結(jié)起來可以分為兩類，即解析法和數(shù)值法。 結(jié)構(gòu)矩陣分析基本思路 簡單概括為：“先分再合，拆了再搭” 根據(jù)位移條件和平衡條件將離散的單元組合成原結(jié)構(gòu)，進行整體分析建立結(jié)點力與結(jié)點位移之間的關(guān)系（結(jié)構(gòu)剛度方程） 。返 回 將結(jié)構(gòu)離散成有限的單元，進行單元分析建立桿端力與桿端位移之間的關(guān)系（單元剛度方程）。 解算剛度方程，完成結(jié)構(gòu)計算。試用有限單元法計算圖示結(jié)構(gòu)（分析解題思路）確定結(jié)點、劃分單元、整理基本數(shù)據(jù)后，由程序完成計算。返 回PF結(jié)點力結(jié)點位移桿端力桿端位

3、移（平衡條件）（幾何條件）（物理條件）矩陣力法（柔度法）：矩陣力法與矩陣位移法簡介PF結(jié)點力結(jié)點位移桿端力桿端位移（平衡條件）（幾何條件）（物理條件）矩陣位移法（剛度法）：結(jié)構(gòu)的離散化*單元劃分的原則*單元劃分舉例桿系結(jié)構(gòu)實體結(jié)構(gòu)計算精度計算機容量123485761234567PPqlql/2單元分析*桿件結(jié)構(gòu)桿端力與桿端位移之間的關(guān)系oxy整體分析*桿件結(jié)構(gòu)桿件結(jié)構(gòu)結(jié)點力與結(jié)點位移之間的關(guān)系（圖）整體分析的幾個環(huán)節(jié)2、將單元結(jié)點荷載集合成整個結(jié)構(gòu)的結(jié)點荷載1、將單元剛度矩陣集合成整體剛度矩陣3、引入結(jié)構(gòu)的位移邊界條件結(jié)點位移4、確定整個結(jié)構(gòu)的平衡方程：桿端位移桿端力5、求解桿端力：一、矩陣位

4、移法的解題思路12-2 矩陣位移法的概念及連續(xù)梁的計算“先分再合，拆了再搭”21yxo231232111、單元分析（物理條件）12單元1單元2寫成矩陣形式單元1單元22、整體分析位移條件平衡條件23211位移方程平衡方程物理方程將位移方程代入物理方程后再代入平衡方程，可得：將上方程組寫成矩陣的形式簡寫為：稱為“整個結(jié)構(gòu)的剛度方程”。結(jié)論：將單元剛度矩陣中的元素或子塊，按其整體編碼的下標(biāo)， “對號入座、同號相加”組集整體剛度矩陣。二、用有限單元法分析連續(xù)梁應(yīng)注意的問題1、用直接剛度法組集剛度矩陣單元剛度矩陣整體剛度矩陣12212332233211233211練習(xí)：試寫出圖示連續(xù)梁整體剛度矩陣。整

5、體剛度矩陣122123322332113443單元剛度矩陣解：44231432142211334多跨連續(xù)梁剛度矩陣和剛度方程22113n-2n3n-1n-12、支承條件的引入（1）后處理法概念：（2）支承條件的引入“主1副零”法原剛度方程：引入支承條件后為便于編程，保持原矩陣行列不變 先不考慮支承條件建立整個結(jié)構(gòu)的剛度方程，而后再引入支承條件修改剛度方程的方法。123213、非結(jié)點荷載的處理增加約束桿端固端彎矩為 整個結(jié)構(gòu)的結(jié)點約束力矩 去掉附加約束：在各結(jié)點施加等效結(jié)點荷載Pe，其大小與約束力矩相同，但方向相反 疊加圖（b）和圖（c）兩種情況，即得圖（a）的原始情況 (a)(b)(c)三、用

6、有限單元法計算例12-1（P18）1、確定結(jié)點、劃分單元、建立坐標(biāo)系；3、求單元剛度矩陣：4、求整體剛度矩陣：2、求（等效）結(jié)點荷載矩陣：5、建立整個結(jié)構(gòu)的剛度方程：6、引入支承條件，修改剛度方程：7、解方程，求結(jié)點位移：8、繪內(nèi)力圖。12-3 局部坐標(biāo)系中的單元分析一、一般單元2112E,A,I,lF5F4F6F2F1F3xy寫成矩陣的形式,分析各元素的物理意義:進一步:單元剛度矩陣的特點: (1)為對稱矩陣; (2)為奇異矩陣; (3)具有分快性質(zhì)。二、梁單元2112E,A,I,lF4F3F2F1xy寫成矩陣的形式,分析各元素的物理意義:進一步:梁單元剛度矩陣的特點: (1)梁單元剛度矩陣

7、可由一般單元剛度矩陣劃掉第1、4行和第1、4列得到； (2)為對稱矩陣;為奇異矩陣;具有分快性質(zhì)。三、軸力（桁架）單元寫成矩陣的形式：ex1F1F22為了便于坐標(biāo)變換，軸力單元一般采用如下形式：軸力單元剛度矩陣的特點: (1)梁單元剛度矩陣可由一般單元剛度矩陣劃掉第2、3、5、6行和第2、3、5、6列得到； (2)為對稱矩陣;為奇異矩陣;具有分快性質(zhì)。寫成矩陣的形式：F2F4yex1F1F3212.4 單元剛度矩陣的坐標(biāo)變換一、整體坐標(biāo)系與局部坐標(biāo)系 1、兩種坐標(biāo)系建立的必要性 連續(xù)梁不必進行坐標(biāo)變換，桁架、剛架必須進行坐標(biāo)變換。2、整體坐標(biāo)系 各個單元共同參考的坐標(biāo)系（結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系）。3、局部

8、坐標(biāo)系： 專屬某一個單元的坐標(biāo)系。（單元坐標(biāo)系）。二、桁架單元的坐標(biāo)變換由圖可確定如下關(guān)系式：F1F2yyxxoF3F4F4F3F1F2將以上方程組寫成矩陣的形式：進一步：稱為“軸力單元坐標(biāo)變換矩陣”，該矩陣為正交矩陣。正交矩陣的特點： （1）任一行或任一列元素的平方和等于1； （2）不同行或列對應(yīng)元素乘積之和等于零。 同理，可用整體坐標(biāo)系下的桿端位移表示局部坐標(biāo)系下的桿端位移：即：三、剛架單元的坐標(biāo)變換由圖可確定如下關(guān)系式：xF1F2yyxoF4F5F5F4F1F2F6F3F3F6將以上方程組寫成矩陣的形式：進一步：稱為“剛架單元坐標(biāo)變換矩陣”，該矩陣為正交矩陣。 四、整體坐標(biāo)系下的單元剛度

9、矩陣 1、整體坐標(biāo)系下的單元剛度方程（引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)）兩種坐標(biāo)系下的桿端力關(guān)系：兩種坐標(biāo)系下的桿端位移關(guān)系： 局部坐標(biāo)系下的單元剛度方程： 將式（1）、（2）代入式（3）并整理，得：令：則：2、整體坐標(biāo)系下桁架單元剛度矩陣（由學(xué)生推導(dǎo)） 3、整體坐標(biāo)系下剛架單元剛度矩陣： 由上式可求出整體坐標(biāo)系下剛架單元剛度矩陣，如第25頁式（12-47）、式（12-48）所示。 先不考慮支承條件建立整個結(jié)構(gòu)的剛度方程，而后再引入支承條件修改剛度方程，進而求解結(jié)點未知位移的方法。12-5 結(jié)點、單元及未知位移分量編碼一、一般桿件結(jié)構(gòu)的后處理法的概念1、一個具體的例子o123423xy1124312整個結(jié)構(gòu)的剛度

10、方程：引入支承條件：，將上述方程變?yōu)閮山M： 當(dāng)“自由結(jié)點位移”求出后，用該方程組求支座反力。用該方程組求“自由結(jié)點位移” 2、一般桿件結(jié)構(gòu)的后處理法剛度方程：于是：當(dāng)無支座移動時：自由結(jié)點位移支座結(jié)點位移自由結(jié)點力支座結(jié)點力二、先處理法 1、定義：首先考慮支承情況，僅對未知的自由結(jié)點位移分量編碼，直接建立“修正的整體剛度方程”的方法。 2、有關(guān)先處理法的基本概念（1）位移分量編碼a）僅對未知的獨立位移分量編碼b）支座處位移分量為零時，則位移分量編碼為零。123xyxxx123xyxxx表1 支座結(jié)點未知位移分量信息11,2,3自由端10,1,0211,0,01滑動支座10,1,2211,0,2

11、1滾軸支座10,0,1餃支座10,0,0固定支座結(jié)點編碼未知位移分量編碼（u、v、）簡 圖支座名稱（2）單元兩端結(jié)點號數(shù)組（二維數(shù)組）123xyxxx123xyxxx（3）結(jié)點位移分量的位移號數(shù)組123xyxxx123xyxxx（4）單元定位數(shù)組（單元始端及末端的位移號組成的向量）123xyxxx123xyxxx（4）練習(xí)：試確定圖示結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系，并對結(jié)點、單元、位移分量進行編碼，同時寫出第三單元結(jié)點號數(shù)組、第三結(jié)點位移編碼、第三單元定位數(shù)組（考慮軸向變形、略去軸向變形兩種情況）。略去軸向變形y123xxxx456xxx考慮軸向變形123xyxxx456xxx12-6 平面桿件結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣

12、在“先處理法”中，整個結(jié)構(gòu)的剛度方程為： 123xyxxx123456654123456007700456123000000123123xyxxx12345676541237123xyxxx等效結(jié)點荷載計算：一、非結(jié)點荷載的處理（連續(xù)梁）12.7 非結(jié)點荷載處理12321qpqpq1213212132二、綜合結(jié)點荷載定義三、等效結(jié)點荷載的確定1、單元等效結(jié)點荷載2、整個結(jié)構(gòu)的等效結(jié)點荷載 將單元等效結(jié)點荷載按“單元定位編碼”累加到整個結(jié)構(gòu)的等效結(jié)點荷載中去： 將直接作用在結(jié)點上的荷載與整個結(jié)構(gòu)的等效結(jié)點荷載相加，可得綜合結(jié)點荷載： 綜合結(jié)點荷載作用下的支座反力、桿端位移即為原結(jié)構(gòu)的支座反力、桿

13、端位移；而綜合結(jié)點荷載作用下的桿端力與固端力相加為原結(jié)構(gòu)的桿端力。四、綜合結(jié)點荷載的確定例題： 求圖示結(jié)構(gòu)綜合結(jié)點荷載。解：0012342340052xyxx12xyxx11234512345123452340050012344、結(jié)構(gòu)等效結(jié)點荷載5、直接作用在結(jié)點上的荷載6、綜合結(jié)點荷載練習(xí)： 求圖示結(jié)構(gòu)綜合結(jié)點荷載。1234562xyx12xyxx3xx1112.8 平面桿件結(jié)構(gòu)分析舉例一、解題步驟（1）整理原始數(shù)據(jù)，確定結(jié)點、劃分單元、建立坐標(biāo)系并對單元、結(jié)點、及結(jié)點位移分量進行編號。（2）計算局部坐標(biāo)系中單元剛度矩陣。 （3）計算整體坐標(biāo)系中單元剛度矩陣。 （4）建立整個結(jié)構(gòu)的剛度矩陣。

14、 （5）求綜合結(jié)點荷載。 （6）建立整個結(jié)構(gòu)的剛度方程，進而求解自由結(jié)點位移。 （7）根據(jù)問題要求，求支座反力及繪內(nèi)力圖等。 二、平面桿件結(jié)構(gòu)分析舉例（P34、p38）（一）程序編制說明一、連續(xù)梁靜力分析源程序12.9 連續(xù)梁及平面剛架靜力分析源程序 1、本程序用來計算連續(xù)梁在荷載作用下的轉(zhuǎn)角及結(jié)點彎矩。2、非結(jié)點荷載作用下的固端彎矩由手算完成。3、采用“后處理法”：先建立K，后引入支承條件。4、采用“高斯順序序消取法”解剛度方程。（二）計算模型及計算方法1、計算模型22113n-1n3n-12、計算方法（1）結(jié)點荷載（2）整體剛度矩陣的組集（3）支承條件的引入（4）高斯消去法解線性方程組（4）高斯消去法解線性方程組向前消元第一輪消元：利用式（1）中的第一個方程消去其余方程中的x1（1）式中：（2）（2）第二輪消元：利用式（2）中的第二個方程消去其余方程中的x2式中：（3）.經(jīng)（n-1)輪消元后，方程組變?yōu)檎麄€消元過程可表示為：（5）（4）經(jīng)（n-1)輪消元后，方程組變?yōu)椋?）向后疊代由式（4）的最后一個方程可以得到X