高中數(shù)學(xué)講義微專題47多變量表達(dá)式范圍——放縮消元法

1、- - -微專題 47 多變量表達(dá)式的范圍放縮消元法一、基礎(chǔ)知識(shí)：在有些多變量表達(dá)式的題目中，所提供的條件為不等關(guān)系，則也可根據(jù)不等關(guān)系進(jìn)行消元，從而將多變量表達(dá)式轉(zhuǎn)化為一元表達(dá)式，便于求得最值1、放縮法求最值的理論基礎(chǔ)：不等式的傳遞性：若 f x, y g x , g x m ，則 f x, y m2、常見的放縮消元手段：（ 1）抓住題目中的不等關(guān)系，若含有兩個(gè)變量間的不等關(guān)系，則可利用這個(gè)關(guān)系進(jìn)行放縮消元（ 2）配方法：通過(guò)利用“完全平方式非負(fù)”的特性，在式子中構(gòu)造出完全平方式，然后令其等于 0 ，達(dá)到消元的效果（ 3）均值不等式：構(gòu)造能使用均值不等式的條件，利用均值不等式達(dá)到消元的效果（

2、 4）主元法：將多元表達(dá)式視為某個(gè)變量（即主元）的函數(shù)，剩下的變量視為常數(shù)，然后利用常規(guī)方法求得最值從而消去主元，達(dá)到消元的效果。3、放縮消元過(guò)程中要注意的地方：（ 1）在放縮過(guò)程中應(yīng)注意所求最值與不等號(hào)方向的對(duì)應(yīng)關(guān)系，例如：若求最小值，則對(duì)應(yīng)的不等號(hào)為“” ；若求最大值，則對(duì)應(yīng)的不等號(hào)為“” 。放縮的方向應(yīng)與不等號(hào)的方向一致（ 2）對(duì)進(jìn)行放縮消元后的式子，要明確是求其最大值還是最小值。放縮法求最值的基礎(chǔ)是不等式的傳遞性， 所以在求最值時(shí)要滿足其不等號(hào)的方向一致。 若將關(guān)于 x, y 的表達(dá)式 f x, y進(jìn)行放縮消去y ，得到 g x ，例如 f x, y g x ，則下一步需要求出 g x

3、 的最小值（記為 m ） ， 即 f x,y g x m ， 通過(guò)不等式的傳遞性即可得到 f x, y m 。 同理， 若放縮后得到： f x, y g x ， 則需要求出 g x 的最大值 （記為 M ） ， 即 f x, y g x M ，然后通過(guò)不等式的傳遞性得到 f x, y M（ 3）在放縮的過(guò)程中，要注意每次放縮時(shí)等號(hào)成立的條件能夠同時(shí)成立，從而保證在不等式中等號(hào)能夠一直傳遞下去、典型例題:3例1：設(shè)集合 一 b|l a b 2中的最大兀素與最小兀素分別為M,m,則M m的值a為 TOC o 1-5 h z 3 3思路：考慮分別求出 一 b的最大值與最小值，先求 一 b的最大值，只

4、需a取最小，b取最 aa333大：一b 2 5即M 5 ,再求一b的最小值，由1 a b可知利用b a進(jìn)行放a1a33縮，從而消去b ,可得：一b a ,再利用均值不等式可得：aa3 b 3 a 2J3 a 2A所以-b的最小值m 2J3 ,從而M m 5 273a a aa答案：5 2、, 3cc b,例2：已知A,B,C是任意三點(diǎn)，BC a,CA b,AB c,則y 上的最小值是 a b c思路：因?yàn)閍 b c,所以結(jié)合不等號(hào)的方向可將a消去，從而轉(zhuǎn)化為關(guān)于 b,c的表達(dá)式:b,然后可從b出發(fā)，構(gòu)造出與第一項(xiàng)互為倒數(shù)的性質(zhì)2b c cc以便于利用均值不等式解出最值：b - 2b - zb-

5、c c 2 c 2 cc 1 2b c 1- 1c b - 1V2 -,所以 y J2 2b c 2 c 22a b c 2從而有：例3：設(shè)實(shí)數(shù)a,b,c滿足a2 b2c 1 ,則a b c的最大值為由a b c可聯(lián)想到a b與a22b2b2的關(guān)系，即a b2七一，所以思路22c ,然后可利用a bc進(jìn)一步放縮消元，得a b cc V2c c,在利用c 1即可得到最大值:所以ab c的最大值為 J2 1,其中等號(hào)成立條件為:a b八22. 2ab a b c2c 1c1答案：J 1小煉有話說(shuō)：本題也可從22 、 一.a b入手，進(jìn)行三角換兀:r cos , 22，由a b c可得b rsin、

6、c ,然后根據(jù)不等號(hào)的方向進(jìn)行連續(xù)放縮,消去,r,c即可得到最值:c rcos rsin c 、.2rsin、2r c ,2c c ,2 1已知關(guān)于 x的一元二次不等式2axbxc 0在實(shí)數(shù)集上恒成立，且 a b ,則b c-bc的最小值為（b aA.B.C.D.思路:由不等式恒成立可得:b24ac0 ,結(jié)合所求表達(dá)式和不等號(hào)方向可知更易于消去c,b2一，所以T4ab壇4a a2. 24a 4ab b4ab 4a2,對(duì)于該其次分式可兩邊同時(shí)除以a2,可得:4 itb由a ab可知t1,從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為t24t4 ，一，的最小值。t24t 4答案:小煉有話說(shuō)：本題的關(guān)鍵之處在于選擇消去的元,如果

7、選擇a,b,則因分式中含a,b的項(xiàng)較多,消元會(huì)比較復(fù)雜，不利于求得最值。所以處理多變量表達(dá)式的最值時(shí)，選擇消去合適的元是10ac 25c2的最/、值為（）關(guān)鍵A. 2B.C.2、. 5D.思路：表達(dá)式含變量個(gè)數(shù)較多，且沒有等量條件消元，所以考慮式子中是否存在不等關(guān)系來(lái)減少變量個(gè)數(shù)，觀察式子可發(fā)現(xiàn)存在完全平方式,即a2210ac 25c22a 5c 0 ,從而消去了 c得2a2ab a a b210ac 25c2ab a a b然后根據(jù)分母特征:ab,a aab構(gòu)造21a abab ab - ab不等式得:abab44 a.1ab ab號(hào)成立條件:答案：Da 5cabab小煉有話說(shuō)：本題在處ab

8、abab理a2abab a a b2、2,從而最小值為426一的最值時(shí)還可以從分式入手： babbabab a b而對(duì)分母利用均值不等式：2a-消去b,所以4222已知正數(shù)x, y,z滿足xy z 1,則思路:所求表達(dá)式涉及 3個(gè)變量，首先確定主元,ab2xyzz的最小值是通過(guò)觀察可發(fā)現(xiàn)分母中的2xy可與條件中的x2222.2y具備不等關(guān)系，而x y 1 z可用z表示，且不等號(hào)的方向與所求一致，故考慮利用不等式進(jìn)行放縮消元，進(jìn)而得到關(guān)于z的表達(dá)式求得最值解：x2 y2z2 1z2,因?yàn)?2xy x2 y2L 1所以有2xy122x y11 z21 z2xyz1 z1 z2Q4（等號(hào)成立條件:例

9、 7：設(shè) x, y, z思路：本題雖然有3個(gè)變量，但可通過(guò)4於41則2x23z2的最大值是2進(jìn)行消元，觀察所求式子項(xiàng)的次數(shù)可知消去y更方便，從而可得 2x2 y 3z2 2x23z2 z 2。然后可使用“主元法”進(jìn)行處理，將x視為主元,即 f x 2x2 x 3z22但本題要注意x的取值范圍與z相關(guān)，即 x 0,2 z ,通過(guò)配方（或求導(dǎo)）可知x的最大值在邊界處取得，即f x maxmax3z2z 2,5z28z從而達(dá)到消去 x的效果，再求出g z max 3z222,5z2 8z中的最大值即可解：Q x y z2x22y 3z2x2x 3z22x23z2x,y,z 0 y 2 x z4x的極

10、小值點(diǎn)x maxmax,f3z2z 2,f3z2 5z28zf x max max 3z2 z 2,5z2 8z 8 其中 z 0,2 TOC o 1-5 h z 22設(shè) g z max 3z z 2,5z 8z 83若 3z2 z 2 5z2 8z 8- z 223z2 z 2,z3,2g z2 可得：g z max g 212235z 8z 8, z 0,2_2_2_2_2_2_2_2x2y 3z22x2x 3z2z 2 max 3z2z 2,5z28z 8g 212例 8：已知函數(shù) f x f 1 ex 1 f 0 x -x22(1)求f x的解析式及單調(diào)區(qū)間9(2)右不等式f x -x

11、 ax b恒成立，求 a 1 b的取大值 TOC o 1-5 h z 一 ,一、 x 1解：(1) f x f 1 e f 0 x,代入 x 1 可得：f 1 f 1 f 01 f 01,x 112f 1,f x f 1 e *一*,令乂 0 可得：f 0 f 1 e2ex 1 2f x e x x2f xex x 1,可知 f 00Q f x在R上單調(diào)遞增x ,0時(shí)，f x 0 x 0, 時(shí)，f x 0f x在 ,0單調(diào)遞減，在 0, 單調(diào)遞增 TOC o 1-5 h z 1cle.(2)恒成立的不等式為：e x - x -x ax b即e x ax b 022設(shè) g xex x ax bg

12、 x 0 minxx一g x e a1,令gx 0,即解不等式e a 1若a 1 0,可解得x ln a 1g x在 ，ln a 1 單調(diào)遞減，在In a 1 , 單調(diào)遞增g X min g ln a 1a 1 In a 1 aln a 1b a 1 a 1 In a 12a 1 ln a 122卜面求a 1 a 1 In a 1的最大值人2令t a 1 ,設(shè)h t1h t 11 Int2t tln t t 1tlnt t 02111nt2令h t 0,可解得0 t eh t在0,e單調(diào)遞增，在 e,單調(diào)遞減h t he - emax2ea 1 b2一 . 一一 e當(dāng)a 1 0時(shí)，可得a 1

13、b 0 2當(dāng) a 1 0時(shí)，g xexa 1 x b且 x 時(shí)， a 1 x , g xg x為增函數(shù)，與g x 0恒成立矛盾,.e綜上所述：a 1 b的最大值為一 2例9：已知函數(shù)f x,te2x 2t ex x2_2,x22t21,t R,x R,求 f x,t 的最小值思路：在多元表達(dá)式中不易進(jìn)行變形消元，觀察到變量t存在二次函數(shù)的結(jié)構(gòu)，所以考慮利用“主元法”，將t視為自變量，x視為參數(shù)，通過(guò)配方，并利用完全平方數(shù)的特征消去t ,從而得到關(guān)于x的函數(shù),然后求得最小值即可。解：f x,t 2t22 ex1 2x-e22xx A一 xe 12xxe 11 2x-e,e x12x12xt 0

14、f x,t e x xe 12222x 1 2 x設(shè) gx -e-xxe 122xx x xxgxe xexe exe1設(shè) h xex x,可知 h xex 1h x在 ,0單調(diào)遞減，在 0,單調(diào)遞增h x h 010ex x 0 恒成立令g x 0,即解不等式ex 1 0 x 0g x在 ,0單調(diào)遞減，在 0, 單調(diào)遞增g xf x,t即 f x,t一 ，3的最小值為32例10:已知函數(shù)f(1)若f x在 1,1上的最大值和最小值分別記為Ma,ma,求Ma ma、一 _2設(shè)b R,若f x b 4對(duì)x1,1恒成立，求3a b的取值范圍解：(1) f x3x3x 3a, x ax3 3x 3a

15、, x a3x2 3,x a23x 3,x a當(dāng)a 1時(shí)，可得x a3f x x 3x 3a f x在 1,1單調(diào)遞增M a f 14 3a, m a f 14 3a當(dāng)a1,1 時(shí)，fx3 3x 3a,xx 3x 3x 3a,xa,11,a3x23x23,x3,xa,1可得：f x1,a1,a單調(diào)遞減,在 a,1單調(diào)遞增max,f 14 3a,23a,m6a可知:1,1 時(shí),33a3,1 時(shí)3a綜上所述:1時(shí),3x2(2)不妨設(shè)h3可得3a,m a8,a4,a1,13 x3 x3x3a單調(diào)遞減3a3a3a3x3x4,h x max2,33a3ab,xb,x3x23x23,x3,x4恒成立可知:2對(duì)任意的xh24恒成立1,1恒成立當(dāng)a 1時(shí)，由(1)可知h xmaxh 14 3ab,hx minh 14 3a b4 3a3a4 3a3aa,b無(wú)解13x max3ab,hXmin ha3a3a3a3a6a，即a33a3ab 6a 23a6a即a33