自動(dòng)控制理論第五章習(xí)題匯總

1、自動(dòng)控制理論第五章習(xí)題匯總填空題系統(tǒng)的頻率響應(yīng)與正弦輸入信號(hào)之間的關(guān)系稱為頻率響應(yīng)在正弦輸入信號(hào)的作用下，系統(tǒng)輸入的穩(wěn)態(tài)分量稱為頻率響應(yīng)簡(jiǎn)答題：5-2、什么是最小相位系統(tǒng)及非最小相位系統(tǒng)？最小相位系統(tǒng)的主要特點(diǎn)是什么？答 在s平面上，開環(huán)零、極點(diǎn)均為負(fù)實(shí)部的系統(tǒng)稱為最小相位系統(tǒng)；反之，開環(huán)零點(diǎn)或極點(diǎn)中具有正實(shí)部的系統(tǒng)稱為非最小相位系統(tǒng)。最小相位系統(tǒng)的主要特點(diǎn)是：相位滯后最小，并且幅頻特性與相頻特性有惟一的確定關(guān)系。如果知道最小相位系統(tǒng)的幅頻特性，可惟一地確定系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。5-3、什么是系統(tǒng)的頻率響應(yīng)？什么是幅頻特性？什么是相頻特性？什么是頻率特性？答 對(duì)于穩(wěn)定的線性系統(tǒng)，當(dāng)輸入信號(hào)為正弦

2、信號(hào)時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出仍為同頻率的正弦信號(hào)，只是幅值和相位發(fā)生了改變，如圖5-3所示，稱這種過程為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。圖5-3 稱為系統(tǒng)的幅頻特性，它是頻率 的函數(shù)； 稱為系統(tǒng)的相頻特性，它是頻率 的函數(shù)： 稱為系統(tǒng)的頻率特性。穩(wěn)定系統(tǒng)的頻率特性可通過實(shí)驗(yàn)的方法確定。計(jì)算題5-1、設(shè)某控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為=試?yán)L制該系統(tǒng)的Bode圖，并確定剪切頻率的值。 解：Bode圖如下所示 剪切頻率為。 5-2、某系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和Nyquist圖如圖(a)和(b)所示，圖中 試判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性，并決定閉環(huán)特征方程正實(shí)部根的個(gè)數(shù)。 解：由系統(tǒng)方框圖求得內(nèi)環(huán)傳遞函數(shù)為： 內(nèi)環(huán)的特征方程： 由Routh穩(wěn)定判據(jù)：

3、 由此可知，本系統(tǒng)開環(huán)傳函在S平面的右半部無(wú)開環(huán)極點(diǎn)，即P=0。由Nyquist圖可知N=2，故整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，閉環(huán)特征方程實(shí)部為正的根的個(gè)數(shù)為Z=N+P=2。 5-3、已知最小相位開環(huán)系統(tǒng)的漸進(jìn)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線如圖3所示，試：求取系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)利用穩(wěn)定裕度判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性解：(1) （2） 臨界穩(wěn)定 5-4、已知最小相位系統(tǒng)Bode圖如圖5-4所示 ，試求系統(tǒng)傳遞函數(shù)。圖5-4解：5-5、已知某最小相位系統(tǒng)的幅相曲線如題圖5-5所示，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞系數(shù) ，由圖，確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的 的取值范圍。解：因?yàn)橄到y(tǒng)為最小相位系統(tǒng)，故P=0，要使系統(tǒng)穩(wěn)定，奈氏曲線不應(yīng)環(huán)繞（-1，j0）點(diǎn)，所以有（1

4、） ，即 （2） ， 即 ，在以上K的取值范圍內(nèi)，系統(tǒng)穩(wěn)定。當(dāng) 時(shí)，系統(tǒng)不穩(wěn)定。 5-6、如題圖5-6所示系統(tǒng)， 且知 ，試選擇 ，使系統(tǒng)的相位裕量不低于 ，同時(shí)有盡可能快的響應(yīng)速度。解：用 的零點(diǎn)消去 中較大的一個(gè)時(shí)間常數(shù) ，應(yīng)取 ，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 ，可知，當(dāng) 處，相角裕量為 。故應(yīng)取 ，為使開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性在此頻率處過零分貝線，只須選 即可。5-7、設(shè)控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試分析不同K值時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)定性;解：不同K值時(shí) 曲線如題圖5-7所示， 令虛部為零，得 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，必須滿足： 即 所以，,當(dāng) 時(shí), 曲線不包圍(-1,j0)點(diǎn)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；當(dāng) , 曲線正好通過(-1,j0

5、)點(diǎn)，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定；當(dāng) 時(shí), 曲線包圍 (-1,j0)點(diǎn)，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。 將 和K=0.75代入，得 5-8、設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳函為，試分別大致畫出T三種情況下的奈氏圖。解： ，看與之間的關(guān)系時(shí)， 時(shí)， 時(shí)， 5-9系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)，試確定系統(tǒng)的頻率特性。解：，；，。或：；R(s) E(s) C(s) _5-10設(shè)系統(tǒng)如下圖所示，試確定輸入信號(hào)作用下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解：； ，；，；答案：。5-11、設(shè)單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為（1） 繪制 時(shí)系統(tǒng)的伯德圖；（2） 確定使系統(tǒng)在閉環(huán)時(shí)處于臨界穩(wěn)定的速度誤差系數(shù)；（3） 確定幅值裕量為10分貝時(shí)的速度誤差系數(shù)及相應(yīng)的相角裕量。解： 時(shí)系統(tǒng)的伯

6、德圖如題圖5-11所示。 對(duì)于臨界穩(wěn)定系統(tǒng)，圖5-22中的幅值曲線應(yīng)提高，滿足 。如圖中虛線所示。延長(zhǎng)斜率為-20分貝/十倍頻程虛線段與零分貝線相交，交點(diǎn)處所對(duì)應(yīng)的頻率為 。所以，系統(tǒng)在閉環(huán)時(shí)處于臨界穩(wěn)定的速度誤差系數(shù) （1/秒）。在題圖5-11上量取10分貝的幅值裕量， （1/秒）， 。5-12已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，試分析并繪制和情況下的概略幅相曲線。解： TT 01/(T)-1/21/T01/T(T)-1/21/|G(j)|A1A2A30A3A2A10G(j)-180o-180o+1-180o+m-180o+1-180o-180o-180o+1-180o+m-180o+1-180o其中；I

7、m00+ ReIm0 T0+ ReT 。5-13已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，試分別繪制時(shí)的概略開環(huán)幅相曲線。解：，；，；和都是遞減函數(shù)。所有幅相曲線的終止相角均小于起始相角180o，以趨于原點(diǎn)。v = 1v = 2v = 3v = 4當(dāng)時(shí)，有，與負(fù)實(shí)軸有交點(diǎn)。5-14已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，當(dāng)取時(shí)，。當(dāng)輸入為單位速度信號(hào)時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為0.1。試寫出的表達(dá)式。解：據(jù)題義有下列結(jié)果，；，；，。所求的表達(dá)式為。5-15已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，試分別計(jì)算和時(shí)，開環(huán)頻率特性的幅值和相位。解：，；，。5-16已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)ImRem，試?yán)L制系統(tǒng)的概略開環(huán)幅相曲線。解：參考：0124|G(j)|8.165

8、0.3500G(j)-90o-135o-141.3o-321.3o-346.0o-360o5-17 繪制下列開環(huán)傳遞函數(shù)的對(duì)數(shù)漸近幅頻特性曲線：(1)；(2)； (3)；(4)。解：(1) ，； (2) ，；(3) ，；(4) ，；-40(2)10.1-60-40-80-2000.1250.5(1)(3)-40-600-20210.1(4)-40-20-20-600.11206db38db66db40db5-18 已知最小相位系統(tǒng)的對(duì)數(shù)漸近幅頻特性如下試確定系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。400-20100-20-20db200-20100-20-40db10-401040200-20140db(a)(b

9、)(c)解：(a) ；，； 。(b) ；,，； 。(c) ；，； 。5-19 已知下列系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)(所有參數(shù)均大于0) (1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ；(7) ；(6) ； (8) ；(9) ；(10) 。 |-1j(1)|-1j(2)|-1j(3)-1|j(4)-1|j(5)-1|j(6)-1|j(7)-1|j(8)-1|j(9)-1|j(10)及其對(duì)應(yīng)的幅相曲線分別如下圖所示，應(yīng)用Nyquist穩(wěn)定判據(jù)判斷各系統(tǒng)的穩(wěn)定性，若閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定指出系統(tǒng)在S平面右半部的閉環(huán)極點(diǎn)數(shù)。解：(1)，；不穩(wěn)定；(2)，； 穩(wěn)定；(3)，；不穩(wěn)定；(4)，； 穩(wěn)定；(5)，；不穩(wěn)定；

10、(6)，； 穩(wěn)定；(7)，； 穩(wěn)定；(8)，； 穩(wěn)定；(9)，；不穩(wěn)定；(10)，；不穩(wěn)定。注：第(6)小題的幅相曲線未包圍臨界點(diǎn)。應(yīng)用勞斯穩(wěn)定判據(jù)能夠說明閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的：圖中曲線與負(fù)實(shí)軸交點(diǎn)處，且，得到。5-20 已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，試用Nyquist穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定條件：(1)時(shí)，值的范圍；(2)時(shí)，值的范圍；(3)、值的范圍。解：(計(jì)算與虛軸的交點(diǎn)是解該題的要點(diǎn)，即計(jì)算臨界穩(wěn)定條件)，；，；(1)時(shí)，；(2)時(shí)，；(3)。 0180360-180-360-540-63018090-90-180-270-36005-21 已知兩個(gè)最小相位系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)相頻特性曲線如圖所示。試分別

11、確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。鑒于改變系統(tǒng)開環(huán)增益可使系統(tǒng)剪切頻率變化，試確定閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，剪切頻率的范圍。解：右圖：閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；，；左圖：閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定；。5-22 若單位反饋系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為，試確定系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)的值范圍。解：計(jì)算臨界點(diǎn)，；，；使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的值范圍：。5-23、已知系統(tǒng)特征方程為判斷該系統(tǒng)的穩(wěn)定性，若閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，指出在平面右半部的極點(diǎn)個(gè)數(shù)。(要有勞斯計(jì)算表)解：s 4133(a) ，奈奎斯特曲線順時(shí)針包圍臨界點(diǎn)1周，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。s 3440s 223s 1-20(b) ，奈奎斯特曲線順時(shí)包圍臨界點(diǎn)2周，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。s 03首列系數(shù)變號(hào)2次，有2個(gè)極點(diǎn)在 S平面右半部，閉環(huán)

12、系統(tǒng)不穩(wěn)定。5-24 設(shè)單位反饋系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為，試確定閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)的值范圍。解：計(jì)算臨界點(diǎn)，；， 。使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)的值范圍：。5-25、對(duì)于典型二階系統(tǒng)，已知參數(shù)，試確定截止頻率和相角裕度。解 依題意，可設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為繪制開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線如圖解5-25所示，得5-26 設(shè)單位反饋系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為，試確定相角裕度為45o時(shí)參數(shù)a的值。解：，； ，；。5-27 對(duì)于典型二階系統(tǒng)，已知參數(shù)，試確定剪切頻率和相角裕度。解：典型二階系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)；據(jù)，；答案：，。5-28 某一控制系統(tǒng)，若要求，試由近似公式確定頻域指標(biāo)要求和。解：(1) 最簡(jiǎn)處理方案，按二階系統(tǒng)處理。，；，；，。(

13、2) 按高階系統(tǒng)估算。無(wú)相應(yīng)的超調(diào)量估算公式。； ；，；，。5-29、已知最小相位系統(tǒng)Bode圖的漸近幅頻特性如圖所示，求該系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。 解：該系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為=； 5-30、設(shè)某單位負(fù)反饋系統(tǒng)的前向通道的傳遞函數(shù)為 ，試：計(jì)算系統(tǒng)的剪切頻率 及相位裕度 ；計(jì)算系統(tǒng)閉環(huán)幅頻特性的相對(duì)諧振峰值 及諧振頻率 。分析：明確系統(tǒng)閉環(huán)幅頻特性的相對(duì)諧振峰值 及諧振頻率 與系統(tǒng)自然頻率 及阻尼比 的關(guān)系以及 和 的求取。解 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： 開環(huán)頻率特性為： 對(duì)于 有： 求解上式得： 根據(jù)相角裕度的定義，得： 計(jì)算及。系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 ，將其與二階系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)形式進(jìn)行比較，可得二階系統(tǒng)

14、的自然頻率及阻尼比為：已知二階系統(tǒng)的及與參數(shù) 及 的關(guān)系為：由此求得： 5-31、最小相角系統(tǒng)對(duì)數(shù)幅頻漸進(jìn)特性如題圖5-31所示，請(qǐng)確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解：由題圖5-31知在低頻段漸進(jìn)線斜率為0，因?yàn)樽钚〗唤宇l率前的低頻段，故。漸進(jìn)特性為分段線性函數(shù)，在各交接頻率處，漸進(jìn)特性頻率發(fā)生變化。因此系統(tǒng)的傳遞函數(shù)具有下述形式式中待定。由, 得由圖知，于是，所求的傳遞函數(shù)為5-32、某最小相角系統(tǒng)的開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性如圖5-32所示。要求寫出系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)；利用相角裕度判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性；將其對(duì)數(shù)幅頻特性向右平移十倍頻程，試討論對(duì)系統(tǒng)性能的影響。解（1）由題圖可以寫出系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下： （2）系統(tǒng)的

15、開環(huán)相頻特性為 截止頻率 相角裕度 故系統(tǒng)穩(wěn)定。（3）將其對(duì)數(shù)幅頻特性向右平移十倍頻程后，可得系統(tǒng)新的開環(huán)傳遞函數(shù)其截止頻率 而相角裕度 故系統(tǒng)穩(wěn)定性不變。由時(shí)域指標(biāo)估算公式可得 =所以，系統(tǒng)的超調(diào)量不變，調(diào)節(jié)時(shí)間縮短，動(dòng)態(tài)響應(yīng)加快。5-33典型二階系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，當(dāng)取時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出為，試確定系統(tǒng)參數(shù)和。解：；，；，答案：，。5-34、若系統(tǒng)單位階躍響應(yīng) 試求系統(tǒng)頻率特性。 解 則 頻率特性為 5-35、已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，當(dāng)系統(tǒng)的輸入時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出為，試計(jì)算參數(shù)K和T的數(shù)值。分析：根據(jù)題意，應(yīng)首先求出系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)，然后根據(jù)頻率特性的定義來(lái)求解。解 系統(tǒng)的閉

16、環(huán)傳遞函數(shù)為： 閉環(huán)系統(tǒng)頻率特性為：由系統(tǒng)頻率特性的 定義知：即 即 因此有： 5-36、已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下所示，試?yán)L制對(duì)數(shù)幅頻特性漸近曲線： 。分析：要畫出系統(tǒng)的開環(huán)幅頻特性，必須首先熟悉各典型環(huán)節(jié)的標(biāo)準(zhǔn)形式及Bode圖形狀，注意各典型環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)折頻率的確定。解 轉(zhuǎn)折頻率為： 起始低頻漸近線通過點(diǎn)： 時(shí)， 所以：起始低頻漸近線斜率為，并且通過點(diǎn) (0.1,60)；當(dāng)漸近線到達(dá)時(shí)，斜率由變?yōu)?；當(dāng)漸近線到達(dá)時(shí)，斜率由變?yōu)椤Ｏ到y(tǒng)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線如圖5-8所示。 轉(zhuǎn)折頻率為： 當(dāng) 時(shí)， 所以：起始低頻漸近線斜率為，并且通過點(diǎn) (1,-20)；當(dāng)漸近線到達(dá)時(shí)，斜率由變?yōu)?；?dāng)漸近線到達(dá)時(shí)，

17、斜率由變?yōu)?；?dāng)漸近線到達(dá)時(shí)，斜率由變?yōu)?。系統(tǒng)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線如圖5-36所示。圖5-36-1 對(duì)數(shù)幅頻特性曲線圖5-36-2 對(duì)數(shù)幅頻特性曲線5-37、設(shè)某系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：試求當(dāng)系統(tǒng)剪切頻率 時(shí)的開環(huán)增益K值。分析：明確剪切頻率的概念及純滯后環(huán)節(jié)的模值為1。解 根據(jù)剪切頻率的定義知：即 因?yàn)?，所以 5-38、已知最小相位開環(huán)系統(tǒng)的漸近對(duì)數(shù)幅頻特性曲線如圖5-40所示，試：求取系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)；利用穩(wěn)定裕度判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性；如果要求系統(tǒng)具有 的穩(wěn)定裕度，試確定開環(huán)放大倍數(shù)應(yīng)改變的倍數(shù)。圖5-38 對(duì)數(shù)幅頻特性曲線分析：系統(tǒng)一定是最小相位系統(tǒng)，否則，不能越位根據(jù)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線確定系統(tǒng)的開

18、環(huán)傳遞函數(shù)。解 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的基本形式為： 由于開環(huán)頻率特性起始低頻漸近線通過(0.1,40) 點(diǎn)，則：所以： 開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性為：系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)相頻特性為：令 求解截止頻率 ，只有 在其所屬頻率范圍 內(nèi)，所以：故系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。由于： 若要求 ，即 ，解得 。若要求系統(tǒng)的相穩(wěn)定裕度為，設(shè)為開環(huán)放大倍數(shù)需改變的倍數(shù)，則應(yīng)為截止頻率。則系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性為：屬于 的頻率范圍，所以有：5-39、某控制系統(tǒng)的方塊圖如圖5-39-1及Bode圖如圖5-39-2所示。圖5-39中給出有無(wú)純滯后兩種情況下的兩條相頻特性，系統(tǒng)的幅穿頻率為 ，開環(huán)放大倍數(shù)為 。試求：有純滯后和無(wú)純滯后兩種情況下的相穩(wěn)定裕度

19、；若系統(tǒng)有純滯后時(shí)，保證相穩(wěn)定裕度為40，開環(huán)放大倍數(shù)應(yīng)改變的倍數(shù)？圖5-39-1 方塊圖解 由圖可知： 由圖5-39-1可知，若系統(tǒng)有純滯后時(shí)，保證相穩(wěn)定裕度為40 ，則幅穿頻率應(yīng)為 ，設(shè)開環(huán)放大倍數(shù)應(yīng)增大 倍，則系統(tǒng)的幅頻特性為：顯然，在范圍內(nèi)，所以 即： 圖5-39-2 Bode圖5-40、設(shè)反饋系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線如圖5-40所示，開環(huán)增益K=500，S右半平面的開環(huán)極點(diǎn)數(shù)P=0，試確定使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。圖5-40 開環(huán)幅相曲線解 設(shè)： 由圖5-40可知，幅相曲線與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的臨界頻率分別為，因此有：當(dāng)K=500時(shí) 其中 。當(dāng)K變化時(shí)，系統(tǒng)的臨界頻率不會(huì)變，僅是幅相曲線與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)沿負(fù)實(shí)軸移動(dòng)，設(shè)K分別為 時(shí)幅相曲線與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn) 和 分別位于(-1,J0)點(diǎn)，即：求解： 當(dāng)K變化時(shí)，奈氏曲線的四種形式如圖5-40-1(a)、(b)、(c) 、(d)所示：由于系統(tǒng)，故從的起點(diǎn)，逆時(shí)針補(bǔ)作半徑為無(wú)窮大的的圓弧。根據(jù)奈氏判據(jù)可判定系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。當(dāng)0K10時(shí)，P=0,N=0,Z=0，系統(tǒng)穩(wěn)定；當(dāng)10K25時(shí)，P=0,N=2,Z=2，系統(tǒng)不穩(wěn)定；當(dāng)25K10000JF，P=0,N=2,Z=2，系統(tǒng)不穩(wěn)定。綜上述分析，