【數(shù)學(xué)】北師大版必修四：《三角函數(shù)的簡單應(yīng)用》祥解課件

1、 三角函數(shù)的簡單應(yīng)用 我們已經(jīng)知道周期現(xiàn)象是自然界中最常見的現(xiàn)象之一，三角函數(shù)是研究周期現(xiàn)象最重要的數(shù)學(xué)模型.在本節(jié)中，我們將通過實例，讓同學(xué)們初步體會如何利用三角函數(shù)研究簡單的實際問題.1.體驗實際問題抽象為三角函數(shù)模型問題的過程，體會三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型（重點）2.體驗一些具有周期性變化規(guī)律的實際問題的數(shù)學(xué)建模思想，從而培養(yǎng)學(xué)生的建模、分析問題、數(shù)形結(jié)合、抽象概括等能力.（難點）例1.水車是一種利用水流的動力進(jìn)行灌溉的工具，如圖是一個水車工作的示意圖，它的直徑為3m,其中心（即圓心）O距水面1.2m,如果水車逆時針勻速旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)一圈的時間是 min.在水車輪邊緣上取一點

2、P，點P距水面的高度為h(m). (1)求h與時間t的函數(shù)解析式，并作出這個函數(shù)的簡圖. (2) 討論如果雨季河水上漲或旱季河流水量減少時，所求得的函數(shù)解析式中的參數(shù)將會發(fā)生哪些變化.若水車轉(zhuǎn)速加快或減慢，函數(shù)解析式中的參數(shù)又會受到怎樣的影響？水車問題解:不妨設(shè)水面的高度為0,當(dāng)點P旋轉(zhuǎn)到水面以下時，P點距水面的高度為負(fù)值.顯然，h與t的函數(shù)關(guān)系是周期函數(shù)的關(guān)系.故可列表、描點，畫出函數(shù)在區(qū)間11.8,91.8上的簡圖：t11.831.851.871.891.81.22.71.2-0.31.2 面對實際問題建立數(shù)學(xué)模型，是一項重要的基本技能.這個過程并不神秘，就像這個例題，把問題提供的“條件”

3、逐條地“翻譯”成“數(shù)學(xué)語言”，這個過程是很自然的.解答應(yīng)用題關(guān)鍵是將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型.例2.海水受日月的引力,在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮汐，一般地，早潮叫潮,晚潮叫汐,在通常情況下,船在漲潮時候駛進(jìn)航道,靠近船塢;卸貨后，落潮時返回海洋,下面給出了某港在某季節(jié)每天幾個時刻的水深. 時刻水深/m時刻水深/m時刻水深/m0:005.09:002.518:005.03:007.512:005.021:002.56:005.015:007.524:005.0潮汐問題(1)選用一個三角函數(shù)來近似描述這個港口的水深與時間的函數(shù)關(guān)系，并給出在整點時的水深的近似值;(2)一條貨船的吃水深度(船底與水

4、面的距離)為4m，安全條例規(guī)定至少要有1.5m的安全間隙(船底與海底的距離)，該船何時能進(jìn)入港口？(3)若船的吃水深度為4m，安全間隙為1.5m,該船在2：00開始卸貨，吃水深度以每小時0.3m的速度減少，那么該船在什么時間必須停止卸貨，將船駛向較深的水域？分析(1)考察數(shù)據(jù)，可選用正弦函數(shù)，再利用待定系數(shù)法求解；(2)在涉及三角不等式時，可利用圖像求解. 解：(1)可設(shè)所求函數(shù)為f(x)=Asinx+k，由已知數(shù)據(jù)求得A=2.5，k=5，T=12，故 f(x)=2.5sin x+5.xyO241261839152152.57.5在整點時的水深近似為:1:00；5:00；13:00；17:00

5、為 6.3m；2:00；4:00；14：00；16:00為 7.2m；7:00；11:00；19:00；23:00為 3.7m；8:00；10:00；20:00；22:00為 2.8m；(2)由2.5sin x+55.5，得 畫出y=sin x的圖像(如圖所示)，由圖像可得5101520 xyO1-1 y=sin xy=0.2 0.4 x5.6， 或 12.4x17.6.故該船在0：24至5：36和12：24至17：36期間可以進(jìn)港.(3)若2x24, x時刻吃水深度為h(x)=5.50.3(x2)，由f(x)h(x)+1.5，得 5101520 xyO1-1 y=sin xy=-0.12x+

6、0.44 畫出y=sin 和y=0.440.12x的圖像(如圖)，由圖像可知當(dāng)x=6.7時，即6：42時，該船必須停止卸貨，將船駛向較深的水域. 一半徑為3m的水輪如圖所示，水輪圓心O距離水面2m，已知水輪每分鐘轉(zhuǎn)動4圈，如果當(dāng)水輪上一點P從水中浮現(xiàn)時(圖中點P0)開始計算時間.(1)將點P距離水面的高度z(m)表示為時間t(s)的函數(shù).(2)點P第一次達(dá)到最高點大約要多長時間？OPP023OPP023xy解:(1)不妨設(shè)水輪沿逆時針方向旋轉(zhuǎn),如圖所示,建立平面直角坐標(biāo)系. 設(shè)角 ( 0)是以O(shè)x為始邊，OP0為終邊的角.由OP在ts內(nèi)所轉(zhuǎn)過的角為 ，可知以O(shè)x為始邊， OP為終邊的角為 ,則當(dāng)t=0時，z =0，可得因為 ，所以 -0.73，故所求函數(shù)關(guān)系式為故P點縱坐標(biāo)為3sin( )，(2)令 得解得t5.5.答:點P第一次達(dá)到最高點大約需要