彈性力學(xué)之平面問題的直角坐標(biāo)解答PPT

1、第三節(jié) 位移分量的求出第四節(jié) 簡支梁受均布荷載第五節(jié) 楔形體受重力和液體壓力例題第一節(jié) 逆解法與半逆解法 多項式解答第二節(jié) 矩形梁的純彎曲第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答31 逆解法和半逆解法 多項式解法當(dāng)體力為常量，按應(yīng)力函數(shù) 求解平面應(yīng)力問題時， 應(yīng)滿足 按 求解 多連體中的位移單值條件。 全部應(yīng)力邊界條件, 區(qū)域內(nèi)相容方程 對于單連體，位移單值條件通常是自然滿足的。只須滿足(2-25),(2-15)。 由 求應(yīng)力的公式是(2-24)2 .逆解法 先滿足(2-25),再滿足(2-15)。步驟:逆解法 先找出滿足 的解 在給定邊界形狀S下，由式(2-15)反推出各邊界上的面力， 代入(2-24

2、), 求出 從而得出，在面力(e)作用下的解答，就是上述 和應(yīng)力。 逆解法 逆解法沒有針對性，但可以積累基本解答。例2 二次式 ，分別表示常量 的應(yīng)力和邊界面力。如圖示。例1 一次式 對應(yīng)于無體力， 無面力，無應(yīng)力狀態(tài)。故應(yīng)力函數(shù)加減 一次式，不影響應(yīng)力。逆解法2a2aoyxoyxoyxbbbb2c2c 代入 ，解出 ；3.半逆解法 步驟：半逆解法 由應(yīng)力(2-24)式，推測 的函數(shù)形式； 假設(shè)應(yīng)力的函數(shù)形式 （根據(jù)受力情況，邊界條件等）； 由式（2-24），求出應(yīng)力；半逆解法 校核全部應(yīng)力邊界條件（對于多連體， 還須滿足位移單值條件）。 如能滿足，則為正確解答；否則修改假設(shè)，重新求解。3-2

3、 矩形梁的純彎曲 梁lh1，無體力，只受M作用（力矩/單寬，與力的量綱相同）。本題屬于純彎曲問題。 問題提出 h/2 h/2lyx ( l h)oMM 由逆解法得出，可取 ，且滿足 求應(yīng)力 (a) 求解步驟： 本題是平面應(yīng)力問題,且為單連體，若按 求解， 應(yīng)滿足相容方程及 上的應(yīng)力邊界條件。 檢驗應(yīng)力邊界條件，原則是: 邊界條件 b.后校核次要邊界（小邊界），若不能精確滿足應(yīng)力邊界條件，則應(yīng)用圣維南原理，用積分的應(yīng)力邊界條件代替。 a.先校核主要邊界（大邊界），必須精確滿足應(yīng)力邊界條件。主要邊界 從式(a)可見，邊界條件(b)均滿足。滿足。主要邊界次要邊界 x=0, l,(c) 的邊界條件無法

4、精確滿足。次要邊界用兩個積分的條件代替 當(dāng) 時，即使在 邊界上面力不同于 的分布，其誤差僅影響梁的兩端部分上的應(yīng)力。式(d)的第一式自然滿足，由第二式得出最終得應(yīng)力解(e)3-3 位移分量的求出 在按應(yīng)力求解中，若已得出應(yīng)力，如何求出位移？以純彎曲問題為例，已知試求解其位移。問題提出1. 由物理方程求形變求形變2. 代入幾何方程求位移求位移 對式(a)兩邊乘 積分, 對式(b)兩邊乘 積分 , 求位移 再代入(c) , 并分開變量， 上式對任意的 x , y 都必須成立，故兩邊都必須為同一常量 。求位移由此解出求位移得出位移為3.待定的剛體位移分量 ，須由邊界約束條件來確定。2.代入幾何方程，

5、積分求 ； 歸納：從應(yīng)力求位移步驟：3.由邊界約束條件確定確定剛體位移分量由物理方程求出形變；2. 鉛直線的轉(zhuǎn)角 故在任一截面x 處，平面截面假設(shè)成立。純彎曲問題的討論：1. 彎應(yīng)力 與材料力學(xué)的解相同。3.縱向纖維的曲率 同材料力學(xué)的結(jié) 果。故在純彎曲情況下，彈性力學(xué)解與材料力 學(xué)解相同。 3-4 簡支梁受均布荷載簡支梁 ，受均布荷載 及兩端支撐反力 。問題yxoll h/2 h/2現(xiàn)采用此假設(shè)。半逆解法按半逆解法求解。 假設(shè)應(yīng)力分量。由材料力學(xué)因為因為所以，可假設(shè)所以，可假設(shè)因為所以，可假設(shè) 由應(yīng)力分量推出應(yīng)力函數(shù)的形式。由對 x 積分，對x再積分，(a)半逆解法 將 代入相容方程，求解

6、:相容方程對于任何 均應(yīng)滿足,故的系數(shù)均應(yīng)等于0，由此得三個常微分方程。半逆解法式(b)中已略去對于 的一次式。將式(b)代入式(a)，即得 。(b)半逆解法解出: 對稱性條件由于結(jié)構(gòu)和荷載對稱于 軸，故 應(yīng)為 的偶函數(shù)， 為 x的奇函數(shù)，故 。 由 求應(yīng)力。半逆解法 在無體力下，應(yīng)力公式如書中式( f ), (g),(h)所示。 考察邊界條件。由此解出系數(shù)A , B , C , D 。 主要邊界主要邊界次要邊界次要邊界由此解出H，K.另一次要邊界(x= -l )的條件，自然滿足。應(yīng)用圣維南原理，列出三個積分條件，最后應(yīng)力解答：應(yīng)力應(yīng)力的量級當(dāng) 時, x l 同階， y h 同階. 第一項 同

7、階,（與材料力學(xué)解同）;第二項 同階, （彈性力學(xué)的修正項）同階, （與材料力學(xué)解同）應(yīng)力的量級同階, （材料力學(xué)中不計）當(dāng) 時, 量級的值很小,可以不計。應(yīng)力與材料力學(xué)解比較:最主要量級 , 和次要量級 ,在材料力學(xué)中均已反映，且與彈性力學(xué)相同。最小量級 , 在材料力學(xué)中沒有。 當(dāng) 時, 僅占主項 的1/15 ( 6 %) ,應(yīng)力比較中的彈性力學(xué)修正項：彈性力學(xué)與材料力學(xué)的解法比較:應(yīng)力比較 彈性力學(xué)嚴(yán)格考慮并滿足了A內(nèi)的平衡微分方程 ,幾何方程和物理方程,以及S上的所有邊界條件(在小邊界上盡管應(yīng)用了圣維南原理,但只影響小邊界附近的局部區(qū)域)。 材料力學(xué)在許多方面都作了近似處理,所以得出的是

8、近似解答。幾何條件中引用平截面假定 沿 為直線分布；例如：邊界條件也沒有嚴(yán)格考慮；平衡條件中沒有考慮微分體的平衡，只 考慮 的內(nèi)力平衡；材料力學(xué)解往往不滿足相容條件。 對于桿件，材料力學(xué)解法及解答具有足夠的精度； 對于非桿件，不能用材料力學(xué)解法求解，應(yīng)采用彈性力學(xué)解法求解。3-5 楔形體受重力及液體壓力 設(shè)有楔形體，左面垂直，頂角為，下端無限長，受重力及齊頂液體壓力。oyxn用半逆解法求解。因為應(yīng)力 , 而應(yīng)力的量綱只比高一次（L），所以應(yīng)力 (x , y 一次式）,= 即可假設(shè)應(yīng)力為x , y 的一次式。（1）用量綱分析法假設(shè)應(yīng)力:（2）由應(yīng)力 關(guān)系式， 應(yīng)為x,y的三次式，（3） 滿足相容

9、方程（4）由 求應(yīng)力，（5）考察邊界條件-本題只有兩個大邊 界，均應(yīng)嚴(yán)格滿足應(yīng)力邊界條件。 x=0 鉛直面，解出解出斜邊界上，須按一般的應(yīng)力邊界條件來表示，有其中由式（b)解出a、b,最后的應(yīng)力解答,應(yīng)力水平截面上的應(yīng)力分布如圖所示。楔形體解答的應(yīng)用: 作為重力壩的參考解答； 分逢重力壩接近平面應(yīng)力問題； 在壩體中部的應(yīng)力，接近楔形體的解答。 重力壩規(guī)范規(guī)定的解法 材料力學(xué)解法（重力法）. 重力壩的精確分析，可按有限單元法進(jìn)行。第三章例題例題1例題2例題3例題4例題8例題7例題6例題5例題1 設(shè)單位厚度的懸臂梁在左端受到集中力和力矩的作用，體力可以不計， 圖3-5，試用應(yīng)力函數(shù) 求解應(yīng)力分量。

10、圖3-5ydyyxl h/2 h/2o解： 本題是較典型的例題，已經(jīng)給出了應(yīng)力函數(shù) ，可按下列步驟求解。1. 將 代入相容方程，顯然是滿足的。2. 將 代入式(2-24)，求出應(yīng)力分量。考察邊界條件： 主要邊界 上應(yīng)精確滿足式(2-15), 在次要邊界x=0上，只給出了面力的主矢量和主矩，應(yīng)用圣維南原理，用三個積分的邊界條件代替。注意x=0是負(fù)x面，圖3-5中表示了負(fù)x面上的 的正方向，由此得：由(a),(b) 解出 最后一個次要邊界條件(x=l上)，在平衡微分方程和上述邊界條件均已滿足的條件下，是必然滿足的，故不必再校核。代入應(yīng)力公式，得例題2 擋水墻的密度為 ，厚度為b,圖示,水的密度為

11、，試求應(yīng)力分量。yox解：用半逆解法求解。假設(shè)應(yīng)力分量的函數(shù)形式。 因為在 y=-b/2邊界上， y=b/2 邊界上， ，所以可假設(shè)在區(qū)域內(nèi) 沿x 向 也是一次式變化，即 2. 按應(yīng)力函數(shù)的形式，由 推測 的形式，所以3. 由相容方程求應(yīng)力函數(shù)。代入 得要使上式在任意的x處都成立，必須 代入 ，即得應(yīng)力函數(shù)的解答，其中已略去了與應(yīng)力無關(guān)的一次式。 4. 由應(yīng)力函數(shù)求解應(yīng)力分量。將 代入式(2-24) ,注意 ， 體力求得應(yīng)力分量為考察邊界條件：主要邊界 上,有得得得由上式得到求解各系數(shù)，由得得得得由此得又有代入A,得 在次要邊界（小邊界）x=0上，列出三個積分的邊界條件：由式(g),(h)解出

12、代入應(yīng)力分量的表達(dá)式得最后的應(yīng)力解答：例題3已知試問它們能否作為平面問題的應(yīng)力函數(shù)？解： 作為應(yīng)力函數(shù)，必須首先滿足相容方程，將 代入，(a) 其中A= 0，才可能成為應(yīng)力函數(shù)；(b)必須滿足 3(A+E)+C=0,才可能成為應(yīng)力函數(shù)。例題4圖中所示的矩形截面柱體，在頂部受有集中力F和力矩 的作用，試用應(yīng)力函數(shù)求解圖示問題的應(yīng)力及位移，設(shè)在A點的位移和轉(zhuǎn)角均為零。bbAyxhOFFb/2解：應(yīng)用應(yīng)力函數(shù)求解：(1) 校核 相容方程 ，滿足.(2) 求應(yīng)力分量 ，在無體力時，得(3) 考察主要邊界條件，均已滿足考察次要邊界條件，在y=0上，滿足。得得 上述應(yīng)力已滿足了 和全部邊界條件，因而是上述

13、問題的解。代入，得應(yīng)力的解答，(4) 求應(yīng)變分量，(5) 求位移分量，將u,v代入幾何方程的第三式，兩邊分離變量，并全都等于 常數(shù)，即從上式分別積分，求出代入u,v, 得再由剛體約束條件，得得得代入u,v,得到位移分量的解答在頂點x=y=0，例題5 圖中矩形截面的簡支梁上，作用有三角形分布荷載。試用下列應(yīng)力函數(shù)求解應(yīng)力分量。yxo h/2 h/2l 解：應(yīng)用上述應(yīng)力函數(shù)求解：(1) 將 代入相容方程，由此，(2) 代入應(yīng)力公式，在無體力下，得(3) 考察主要邊界條件對于任意的x值，上式均滿足，由此得(a)(b)(c)(d)由(3)+(4)得由(3)-(4)得由(5)-(1)得(e)(4) 考察小邊界上的邊界條件(x=0),由得由式(2)和(6)解出（f）另兩個積分的邊