第一講線角的計算證明問題

1、2010北京中考重難點專題講座第一講 線段，角的計算證明問題智康劉豪【前言】中考的解答題一般是分兩到三部分的。第一部分基本上都是一些簡單題或者中檔 題，目的在于考察基礎。 第二部分往往就是開始拉分的中，難題了。大家研究今年的北京一 模就會發(fā)現(xiàn)，第二部分， 或者叫難度開始提上來的部分，基本上都是以線段，角的計算與證明開始的。城鄉(xiāng)18個區(qū)縣的一模題中， 有11個區(qū)第二部分第一道題都是標準的梯形，四邊形中線段角的計算證明題。剩下的7個區(qū)縣題則將線段角問題與旋轉(zhuǎn)，動態(tài)問題結(jié)合，放在了更有難度的倒數(shù)第二道乃至壓軸題當中?？梢哉f，線段角問題就是中考數(shù)學有難度題的排頭兵。對這些題輕松掌握的意義不僅僅在于獲得

2、分數(shù)，更重要的是對于整個做題過程中士氣，軍心的影響。在這個專題中，我們對各區(qū)縣一模真題進行總結(jié)歸納，分析研究，來探究線段，角計算證明問題的解題思路。第一部分真題精講【例1】（2010,崇文，一模）如圖，梯形 ABCD 中，AD / BC, BD CD, BDC 90, AD 3, BC 8 .求 AB【思路分析】 線段，角的計算證明基本都是放在梯形中，利用三角形全等相似，直角三角形性質(zhì)以及勾股定理等知識點進行考察的。所以這就要求我們對梯形的性質(zhì)有很好的理解，并且熟知梯形的輔助線做法。這道題中未知的是AB,已知的是AD,BC以及 BDC是等腰直角三角形，所以要把未知的 AB也放在已知條件當中去考

3、察 .做AE,DF垂直于BC,則很輕易發(fā)現(xiàn)我 們將AB帶入到了一個有大量已知條件的直角三角形當中.于是有解如下.作 AE BC 于 E, DF BC 于 F.AE / DF ,Q AD / BC,四邊形AEFD是矩形.EF AD 3, AE DF.Q BD CD, DFQ BDC 90,BC, DF是zBDC的BC邊上的中線.1 -DF BC BF 4.2BF EF 4 3 1.AE 4, BE在 RtzXABE 中，AB2 AE2 BE2AB . 42 12 萬.【例2】（2010,海淀，一模）已知：如圖，在直角梯形 ABCD中，AD / BC , DCB 90 , AC BD于點O,DC

4、2,BC 4,求 AD 的長.【思路分析】 這道題給出了梯形兩對角線的關(guān)系.求梯形上底.對于這種對角線之間或者和其他線段角有特殊關(guān)系（例如對角線平分某角）的題，一般思路是將對角線提出來構(gòu)造一個三 角形.對于此題來說，直接將AC向右平移，構(gòu)造一個以D為直角頂點的直角三角形.這樣就將 AD轉(zhuǎn)化成了直角三角形中斜邊被高分成的兩條線段之一，而另一條線段BC是已知的.于是問題迎刃而解.A D【解析】過點D作DE / / AC交BC的延長線于點 E .BDE BOC . AC BD 于點 O ,BOC 90 .BDE 90 . AD/BC ,四邊形ACED為平行四邊形.AD CE .BDE 90 , DC

5、B 90 ,.-2_ DC BC CE. DC 2,BC 4,CE 1.AD 1此題還有許多別的解法，例如直接利用直角三角形的兩個銳角互余關(guān)系，證明ACD和DBCf似，從而利用比仞關(guān)系直接求出CD有興趣的考生可以多發(fā)散思維去研究?！纠?】（2010,東城，一模）如圖，在梯形 ABCD 中，AD / BC , B 90 , AD=2 , BC 5 , E 為 DC 中點，tanC -.求 3AE的長度【思路分析】 這道題是東城的解答題第二部分第一道，就是我們所謂提難度的門檻題。乍看之下好象直接過D做垂線之類的方法不行.那該怎樣做輔助線呢？答案就E1藏在E是中點這 個條件中.在梯形中，一腰中點是很

6、特殊的.一方面中點本身是多對全等三角形的公共點，另一方面中點和其他底，腰的中點連線就是一些三角形的中線，利用中點的比例關(guān)系就可以將已知條件代入.比如這道題，過中點E做BC的垂線，那么這條垂線與 AD延長線,BC就構(gòu)成了 兩個全等的直角三角形.并且這兩個直角三角形的一個銳角的正切值是已經(jīng)給出的.于是得解.C【解析】過點E作BC的垂線交于BC點F ,交AD的延長線于點 M .在梯形 ABCD中，AD / BC , E是DC的中點，MFC , DE CE在MDE和FCE中,M MFCDEM CEFDE CEMDE 9 FCE .EF ME , DM CF3. AD 2,BC 5, DM CF -.2

7、在 Rt FCE 中，tanC 4 EF , 3 CF EF ME 2.在 Rt AME 中，AE222 3652【總結(jié)】以上三道真題，都是在梯形中求線段長度的問題 .這些問題一般都是要靠做出精妙的輔助線來解決.輔助線的總體思路就是將梯形拆分或者填充成矩形+三角形的組合，從而達到利用已知求未知的目的.一般來說，梯形的輔助線主要有以下5類：1、過一底的兩端做另一底的垂線，拆梯形為兩直角三角形+ 一矩形2、平移一腰，分梯形為平行四邊形 +三角形3、延長梯形兩腰交于一點構(gòu)造三角形4、平移對角線，轉(zhuǎn)化為平行四邊形 +三角形5、連接頂點與中點延長線交于另一底延長線構(gòu)筑兩個全等三角形或者過中點做底邊垂線構(gòu)

8、筑兩個全等的直角三角形以上五種方法就是梯形內(nèi)線段問題的一般輔助線做法。對于角度問題，其實思路也是一 樣的。通過做輔助線使得已知角度通過平行，全等方式轉(zhuǎn)移到未知量附近。之前三道例 題主要是和線段有關(guān)的計算。我們接下來看看和角度有關(guān)的計算與證明問題?！纠?】（2010,延慶，一模）如圖，在梯形 ABCD中，AB / DC , DB平分 ADC ,過點A作AE/ BD ,交CD的延長線于點 E,且 C 2 E, BDC 30 , AD 3, 求CD的長.【思路分析】 此題相對比較簡單，不需要做輔助線就可以得出結(jié)果。但是題目中給的條件都是此類角度問題的基本條件。例如對角線平分某角， 然后有角度之間的關(guān)

9、系。 面對這種題目還是需要將已知的角度關(guān)系理順。首先根據(jù)題目中條件， 尤其是利用平行線這一條件，可以得出（見下圖）角 C與角1, 2, 3以及角E的關(guān)系。于是一系列轉(zhuǎn)化過后，發(fā)現(xiàn)角 C=60 度，即三角形DBC為RT三角形。于是得解?！窘馕觥浚? AE II BD13,2 E123 EADC 3 E 2 EC 2 E ADC BCD 60.梯形ABCD是等腰梯形BC AD 32 30 , BCD 60DBC 90在 RtADBC 中，2 30 , BC 3CD 6【例5】（2009,西城，一模）已知：PA點，PB 4 ,以AB為一邊作正方形 的兩側(cè).如圖，當/ APB45 時，求 AB及PD的

10、長；ABCD,使P、D兩點落在直線AB【思路分析】這是去年西城一模的壓軸題的第一小問。如果線段角的計算出現(xiàn)在中間部分,往往意味著難度并不會太高。但是一旦出現(xiàn)在壓軸題，那么有的時候往往比函數(shù)題，方程題 更為棘手。這題求 AB比較容易，過 A做BP垂線，利用等腰直角三角形的性質(zhì)，將 APB分成兩個有很多已知量的 RTAo但是求PD時候就很麻煩了。 PD所在的三角形PAD是個鈍角三角形，所以就需要我們將 PD放在一個直角三角形中試試看。構(gòu)筑包含PD的直角三角形，最簡單的就是過 P做DA延長線的垂線交 DA于F, DF交PB于G。這樣AGE?多個RTAo于是與已求出的 AB等量產(chǎn)生了關(guān)系，得解?！窘馕?/p>

11、】：如圖，作AEL PB于點E. APE中，/ APE=5AEPA sin APEPEPA cos APE,PA 應, ,2 -2 i2四近1.2PBBE4, PB PE 3.在 RtMBE中，/ AEB=0 ,AB . AE2 BE210 .如圖，過點P作AB的平行線，與 DA的延長線交于F,設DA的延長線交PB于G. 在RtAAEC,可得AG -AEAEcos EAG cos ABE103（這一步最難想到，利用直角三角形斜邊高分成的兩個小直角三角形的角度關(guān)系）_ 1_ 2EG ，PG PB BE EG 一33在 RtAPFG,可得 PF PG cos FPG PG cos ABE - F

12、fg 豆0 515【總結(jié)】 由此我們可以看出，在涉及到角度的計算證明問題時，一般情況下都是要將已知 角度通過平行，垂直等關(guān)系過度給未知角度。所以，構(gòu)建輔助線一般也是從這個思路出發(fā), 利用一些特殊圖形中的特殊角關(guān)系（例如上題中的直角三角形斜邊高分三角形的角度關(guān)系） 以及借助特殊角的三角函數(shù)來達到求解的目的。第二部分發(fā)散思考接下來我們自己動通過以上的一模真題， 我們對線段角的相關(guān)問題解題思路有了一些認識。手做一些題目。希望考生先做題，沒有思路了看分析，再沒思路了再看答案?！舅伎?】如圖，在梯形 ABCD中，AD/ BC, AB CD .若AC1BD,AD+BC=10V3 , 且 ABC 60 ,

13、求 CD 的長.【思路分析】 前面我已經(jīng)分析過，梯形問題無非也就那么幾種輔助線的做法。此題求腰, 所以自然是先將腰放在某個 RT三角形中。另外遇到對角線垂直這類問題，一般都是平移某一條對角線以構(gòu)造更大的一個 RT三角形，所以此題需要兩條輔助線。在這類問題中，輔助線的方式往往需要交叉運用，如果思想放不開，不敢多做，巧做，就不容易得出答案。解法見后文,/ C=60 , E, M F, N分別是 AR BC,【思考 2如圖，梯形 ABCD43, AD/BC, / B=30CD DA的中點，已知 BC=7, MN=3求EF【思路分析】 此題有一定難度，要求考生不僅掌握中位線的相關(guān)計算方法， 也對三點共

14、線提 出了要求。若求 EF,因為BC已知，所以只需求出 AD即可。由題目所給角 B,角C的度數(shù), 應該自然聯(lián)想到直角三角形中求解。（解法見后）【思考3】已知 ABC ,延長BC到D ,使CD E.求生的值；AC若AB a , FB EC ,求AC的長.BC .取AB的中點F ,連結(jié)FD交AC于點【思路分析】求比例關(guān)系，一般都是要利用相似三角形來求解。此題中有一個等量關(guān)系BC=CD又有F中點，所以需要做輔助線，利用這些已知關(guān)系來構(gòu)造數(shù)個相似三角形就成了 獲得比例的關(guān)鍵。（解法見后）【思考4】如圖3, 4ABC中，/ A=90 , D為斜邊BC的中點，E, F分別為AB, AC上的點, 且 DEL

15、DF,若 BE=3, CF=4,試求 EF的長.【思路分析】中點問題是中考幾何中的大熱點，幾乎年年考。有中點自然有中線，而倍長中線方法也成為解題的關(guān)鍵。將三角形的中線延長一倍，剛好可以構(gòu)造出兩個全等三角形， 很多問題就可以輕松求解。本題中，D為中點，所以大家可以看看如何在這個里面構(gòu)造倍長中線。（解法見后）思考2【思考5】 如圖，在四邊形 ABCD中，E為AB上一點， ADE和BCE都是等邊三角形， AB、BC、CD、DA的中點分別為 P、Q、M、N ,試判斷四邊形 PQMN為怎樣的四邊 形，并證明你的結(jié)論.P E E圖15【思路分析】 此題也是中點題，不同的是上題考察中線，此題考察中位線。本題

16、需要考生對各個特殊四邊形的性質(zhì)了如指掌，判定，證明上都需要很好的感覺。尤其注意梯形，菱形，正方形，矩形等之間的轉(zhuǎn)化條件。（解法見后）第三部分思考題答案思考1【解析】：作DE，BC于E,過D作DF/ AC交BC延長線于F.CF , DF=AC則四邊形ADFC是平行四邊形， AD四邊形ABCD是等腰梯形， .AC=BD.DF BD又. AC，BD, DF/ AC, . BD, DF.A BDF是等腰直角三角形11 DE 1BF -(AD BC) 5 322在Rt CDE中， . DCE 60 , DE CD sin DCE . 573 CD sin 60，.一 CD 10【解析】延長BA, CD交

17、于點H,連接HN4因為/ B=30 , / C=60 ,所以/ BHC=90所以HN=DN（直角三角形斜邊中線性質(zhì)）/ NHDh NDH=60連接MH同理可知/ MHDW C=60 。所以/ NHDh MHD即H, N, M三點共線（這一點容易被遺漏，很多考生會想當然認為他們共線，其實還是要證明一下）所以 HM=3.5 , NH=0.5 AN=0.5所以 AD=1 EF= （1+7） /2=4思考3【解析】 過點F作FM / AC ,交BC于點M . F為AB的中點1 .M為BC的中點，F(xiàn)M -AC 2由 FM / AC ,得 CED MFD ,ECD FMD , ,DC EC 2DM FM 3 2 2EC FM 33.AE AC ECAC ACFMD s ECD- 1-AC -AC31AC -AC3AC 2 TOC o 1-5 h z 一11. AB a , . FB -AB -a22又 FBEC,EC 1a2.13- EC-AC , AC 3EC-a .32思考4【解析】：延長ED至點G,使DG=ED,連接CG, FG.則CD BDE：,所以 CG=BE=3, / 2=/B.因為/ B+Z 1=90 ,所以/ 1 + Z 2=Z FCG=90 因為DF垂直平分EG,所以FG=EF.在RtFCG中，由勾股定理得FG .CG2 CF243 42 5,所