從Durer魔方跨入線性代數(shù)思維之門課件

1、 主講: 關(guān)秀翠 東南大學(xué)數(shù)學(xué)系 東 南 大 學(xué) 線 性 代 數(shù) 課 程 講 座從Drer魔方跨入線性代數(shù)思維之門Drer魔方：4階，每一行之和為34，每一列之和為34，對(duì)角線（或次對(duì)角線）之和是34，每個(gè)小方塊中的數(shù)字之和是34，四個(gè)角上的數(shù)字加起來(lái)也是34.版畫創(chuàng)造時(shí)間：1514年 多么奇妙的魔方！4. 向量空間的應(yīng)用一、應(yīng)用背景 什么是Drer魔方 該魔方出現(xiàn)在德國(guó)著名的藝術(shù)家 Albrecht Drer于1514年創(chuàng)造的版畫Melancolia。4階Drer魔方：行和=列和=對(duì)角線（或次對(duì)角線）之和=每個(gè)小方塊之和= 四個(gè)角之和.銅幣鑄造時(shí)間：1514年 多么奇妙的魔方！你想構(gòu)造Dre

2、r魔方嗎？Drer魔方有多少個(gè)？如何構(gòu)造所有的Drer魔方？4. 向量空間的應(yīng)用一、應(yīng)用背景 什么是Drer魔方 110 17 201126 5616314152009127和為48.4階Drer魔方：行和=列和=對(duì)角線（或次對(duì)角線）之和=每個(gè)小方塊之和= 四個(gè)角之和.你想構(gòu)造Drer魔方嗎？Drer魔方有多少個(gè)？如何構(gòu)造所有的Drer魔方？4. 向量空間的應(yīng)用一、應(yīng)用背景 什么是Drer魔方 A=B=設(shè)A,B是任意兩個(gè)Drer 魔方，對(duì)任意實(shí)數(shù)k，kA 是Drer魔方嗎？A+B 是Drer魔方嗎？110 17 201126 5616314152009127你想構(gòu)造Drer魔方嗎？Drer魔方

3、有多少個(gè)？如何構(gòu)造所有的Drer魔方？4. 向量空間的應(yīng)用一、應(yīng)用背景 設(shè)A,B是任意兩個(gè)Drer 魔方，對(duì)任意實(shí)數(shù)k，kA 是Drer魔方嗎？A+B 是Drer魔方嗎？松馳問題的討論允許構(gòu)成魔方的數(shù)取任意實(shí)數(shù)任意兩個(gè)Drer魔方的任意的線性組合仍是Drer魔方。記 D=A=(aij)R44|A為Drer魔方 將A看成16維列向量，則D構(gòu)成一個(gè)向量空間，稱為Drer魔方空間.無(wú)窮多個(gè)求出魔方空間的一組基,基的任意線性組合都構(gòu)成一個(gè)Drer魔方.令R為行和，C為列和，D為對(duì)角線和，S為小方塊和類似于n維空間的基本單位向量組，利用0和1來(lái)構(gòu)造一些R=C=D=S=1的最簡(jiǎn)單的方陣。求Drer魔方空間

4、的基1在第一行中有4種取法，第二行中的1還有兩種取法。當(dāng)?shù)诙械?也取定后，第三、四行的1就完全定位了，故共有8個(gè)不同的最簡(jiǎn)方陣，稱為基本魔方Q1,Q8 令R為行和，C為列和，D為對(duì)角線和，S為小方塊和類似于n維空間的基本單位向量組，利用0和1來(lái)構(gòu)造一些R=C=D=S=1的最簡(jiǎn)單的方陣。求Drer魔方空間的基Q1=00000000000000001111求Drer魔方空間的基1在第一行中有4種取法，第二行中的1還有兩種取法。當(dāng)?shù)诙械?也取定后，第三、四行的1就完全定位了，故共有8個(gè)不同的最簡(jiǎn)方陣，稱為基本魔方Q1,Q8 顯然， Drer空間中任何一個(gè)魔方都可以用Q1,Q2,Q8來(lái)線性表示，但

5、它們能否構(gòu)成D空間的一組基呢？求Drer魔方空間的基求Drer魔方空間的基Q1,Q8線性相關(guān) 顯然， Drer空間中任何一個(gè)魔方都可以用Q1,Q2,Q8來(lái)線性表示，但它們能否構(gòu)成D空間的一組基呢？Q1,Q2,Q8能否構(gòu)成D空間的一組基？求Drer魔方空間的基Q1,Q8線性相關(guān)由線性無(wú)關(guān)。Q1,Q7構(gòu)成D空間的一組基，任意Drer魔方都可由其線性表示.Q1,Q2,Q8能否構(gòu)成D空間的一組基？Q1,Q7構(gòu)成D空間的一組基，任意Drer魔方都可由其線性表示.構(gòu)造Albrecht Drer的數(shù)字魔方=16321351011896712415141=Q1,Q2,Q8能否構(gòu)成D空間的一組基？Q1,Q7構(gòu)成

6、D空間的一組基，任意Drer魔方都可由其線性表示.隨心所欲構(gòu)造Drer魔方=？=dij所得的線性方程組有 個(gè)方程？ 個(gè)變量？1623如何求解該線性方程組呢？隨心所欲構(gòu)造Drer魔方=(dij) 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1

7、 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0A = Ar y = 016維變量 y (A, E) = 0ry第四章 n維向量 4.5 線性方程組的解的結(jié)構(gòu) A=1 1 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 1 0;0 0 0 0 1 0 1;0 0 1 1 0 0 0;0 0 1 0 1 0 0;0 0 0 1 0 0 1;1 0 0 0 0 1 0;0 1 0 0 0 0 0;0 0 0 1 0 1 0;0 1 0 0 1 0 0;0 0 0 0 1 1 0; %變量r對(duì)應(yīng)的系數(shù)矩陣 C=A,-eye(16); %系數(shù)矩陣(A,E ) C1=rref(C) %求行最簡(jiǎn)形C1=1 0 0 0 0

8、 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 00 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 -1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 1 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

9、0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 -1 0 1 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 -1 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 -1 0 1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0

10、 -1 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 0 1 0 -1 1 0 0 -10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 -1 -10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 -1 -1 0 0 第四章 n維向量 4.5 線性方程組的解的結(jié)構(gòu) d24, d32, d34, d41, d42,d43, d44隨心所欲構(gòu)造Drer魔方=(dij) Ar y = 016維變量 y (A, E) = 0ry自由變量可取為d24, d32, d34, d41, d42,d43, d441632

11、1351011896712415141110 17 201126 5616314152009127第四章 n維向量 4.5 線性方程組的解的結(jié)構(gòu) %程序mymagic.m%輸入d24,d32,d34,d41,d42,d43,d44，得到整個(gè)Drer魔方 d=input(please input a vector d24,d32,d34,d41,d42,d43,d44:) A=1 1 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 1 0;0 0 0 0 1 0 1;0 0 1 1 0 0 0;0 0 1 0 1 0 0;0 0 0 1 0 0 1;1 0 0 0 0 1 0;0 1 0 0 0 0 0

12、;0 0 0 1 0 1 0;0 1 0 0 1 0 0;0 0 0 0 1 1 0; %變量r對(duì)應(yīng)的系數(shù)矩陣 C=A,-eye(16); %系數(shù)矩陣(A,E ) x=null(C,r); %求齊次方程組的基礎(chǔ)解系 y=d(1)*x(:,1)+d(2)*x(:,2)+d(3)*x(:,3)+d(4)*x(:,4) +d(5)*x(:,5)+d(6)*x(:,6)+d(7)*x(:,7); %基礎(chǔ)解系的線性組合 y=y(8:23,:); %y為16維魔方向量 D=vec2mat(y,4,4) %將y轉(zhuǎn)化為4階魔方陣mymagicplease input a vector d24,d32,d34,

13、d41,d42,d43,d44:6 3 15 20 09 12 7隨心所欲構(gòu)造Drer魔方110 17 201126 5616314152009127第四章 n維向量 4.5 線性方程組的解的結(jié)構(gòu) (2)任給d24, d32, d34, d41, d42,d43, d44的一組值，就可得唯一確定Drer魔方的其他值.110 17 201126 5616314152009127還不夠隨心所欲？賦予魔方更大的威力吧！自由變量的選取不唯一(3)任給d11, d12, d13, d14, d22,d33, d43的一組值，也可得唯一確定Drer魔方的其他值.6798597125861146710還不夠

14、隨心所欲？(3)任給d11, d12, d13, d14, d22,d33, d43的一組值，也可得唯一確定Drer魔方的其他值.6798597賦予魔方更大的威力吧！自由變量的選取不唯一125861146710由d43+26=d43+62+d13.6149488711如何選取自由變量？36由x+26=x+24+d14.33xx+22x+3x+46x39x+54由x+26=3x+24.可得 x = 1.還不夠隨心所欲？(3)任給d11, d12, d13, d14, d22,d33, d43的一組值，也可得唯一確定Drer魔方的其他值.6798597賦予魔方更大的威力吧！自由變量的選取不唯一12

15、5861146710由d43+26=d43+62+d13.如何選取自由變量？由x+26=x+24+d14.33由x+26=3x+24.可得 x = 1.61494887113613244755-38還不夠隨心所欲？能否將Drer魔方“和相等”的限制再增強(qiáng)嗎？賦予魔方更大的威力吧！令R為行和，C為列和，D為對(duì)角線和，S為小方塊和(1) 7維Drer魔方空間D：R=C=D=S令H為主對(duì)角線和，N為付對(duì)角線和(類似于三階行列式的對(duì)角線法則) R=C=H=N(2) 5維泛對(duì)角方的向量空間B:(3) 要求所有數(shù)都相等:一維向量空間G = rE,rR，其中eij=1, i,j.(4) 特別的，當(dāng)r =0:

16、0維向量空間 O和為46.Drer空間的子空間能否將Drer魔方“和相等”的限制再增強(qiáng)嗎？賦予魔方更大的威力吧！令R為行和，C為列和，D為對(duì)角線和，S為小方塊和(1) 7維Drer魔方空間D：R=C=D=S令H為主對(duì)角線和，N為付對(duì)角線和.R=C=H=N(2) 5維泛對(duì)角方的向量空間B:(3) 要求所有數(shù)都相等:一維向量空間G = rE,rR.(4) 特別的，當(dāng)r =0:0維向量空間 OO G B D魔方空間 維 數(shù) 0 1 5 7Drer空間的子空間和擴(kuò)張令R為行和，C為列和，D為對(duì)角線和，S為小方塊和(1) 7維Drer魔方空間D：R=C=D=SR=C=H=N(2) 5維泛對(duì)角方的向量空間

17、B:(3) 要求所有數(shù)都相等:一維向量空間G = rE,rR.(4) 特別的，當(dāng)r =0:0維向量空間 OO G B D魔方空間 維 數(shù) 0 1 5 7(5) 8維魔方空間Q：R=C=D(6) 10維魔方空間U：R=C(7) 16維數(shù)字空間M：數(shù)字可任意取值 Q U M 8 10 16從Drer魔方跨入線性代數(shù)思維之門2. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力1. 培養(yǎng)化繁為簡(jiǎn)的思考模式(1) 轉(zhuǎn)換思考角度，訓(xùn)練思維的求異性(2) 探討變換問題的條件 3. 培養(yǎng)發(fā)散思維(4) 將結(jié)論作為條件倒退 (3) 培養(yǎng)多角度看問題 (5) 利用精煉的語(yǔ)言比擬4. 培養(yǎng)歸納總結(jié)的能力根據(jù)1的取法，確定了8個(gè)基本魔方

18、Q1,Q8 求Drer魔方空間的基1. 培養(yǎng)化繁為簡(jiǎn)的思考模式類似于n維空間的基本單位向量組，利用0和1來(lái)構(gòu)造一些R=C=D=S=1的最簡(jiǎn)單的方陣。但是，Q1,Q8線性相關(guān)，而任意7個(gè)都線性無(wú)關(guān).可取Q1,Q7構(gòu)成D空間的一組基，任意Drer魔方都可由其線性表示.憑空構(gòu)造魔方空間的一組基是很難的分階段處理復(fù)雜問題的“水泵”思維化繁為簡(jiǎn)1. 培養(yǎng)化繁為簡(jiǎn)的思考模式定理1.2. |A| = ai1Ai1+ai2Ai2+ ainAin, i=1,2, , n.1.3 行列式的性質(zhì)及計(jì)算 證明： (1) (2) (3) 第一章 行列式和線性方程組的求解 = a11A11= aijAij= ai1Ai1

19、+ai2Ai2+ ainAin.4階Drer魔方：行和=列和=對(duì)角線（或次對(duì)角線）之和=每個(gè)小方塊之和= 四個(gè)角之和.你想構(gòu)造Drer魔方嗎？Drer魔方有多少個(gè)？如何構(gòu)造所有的Drer魔方？4. 向量空間的應(yīng)用一、應(yīng)用背景 允許構(gòu)成魔方的數(shù)取任意實(shí)數(shù)任意兩個(gè)Drer魔方的任意的線性組合仍是Drer魔方。D=AR44|A為Drer魔方 構(gòu)成Drer魔方向量空間.求Drer魔方空間的一組基, 任意一個(gè)Drer魔方都可由這組基線性表示.2. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力29十秒鐘加數(shù)3455891442333776109871597+2584?時(shí)間到！答案是 6710。請(qǐng)用十秒，計(jì)算出左邊一列數(shù)的和

20、。30“斐波那契數(shù)列”若一個(gè)數(shù)列，前兩項(xiàng)等于1，而從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)是其前兩項(xiàng)之和，則稱該數(shù)列為斐波那契數(shù)列。即：1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 意大利數(shù)學(xué)家斐波那契的算盤書（1202年）31“十秒鐘加數(shù)”揭密右式的答案是：3455891442333776109871597+2584?610 11 = 6710數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)：連續(xù) 10個(gè)斐波那契數(shù)之和，必定等于第 7個(gè)數(shù)的 11 倍！32Fibonacci兔子問題 假設(shè)一對(duì)初生兔子要一個(gè)月才到成熟期，而一對(duì)成熟兔子每月會(huì)生一對(duì)(雌雄)兔子，那么，由一對(duì)初生兔子開始，12 個(gè)月后會(huì)有多少對(duì)兔子呢？33解答1 月1 對(duì)34解

21、答1 月1 對(duì)2 月1 對(duì)35解答1 月1 對(duì)2 月1 對(duì)3 月2 對(duì)36解答1 月1 對(duì)2 月1 對(duì)3 月2 對(duì)4 月3 對(duì)37解答1 月1 對(duì)2 月1 對(duì)3 月2 對(duì)4 月3 對(duì)5 月5 對(duì)38解答1 月1 對(duì)2 月1 對(duì)3 月2 對(duì)4 月3 對(duì)5 月5 對(duì)6 月8 對(duì)39解答1 月1 對(duì)2 月1 對(duì)3 月2 對(duì)4 月3 對(duì)5 月5 對(duì)6 月8 對(duì)7 月13 對(duì)40 1) 分析問題、抓住本質(zhì)、簡(jiǎn)化。 本質(zhì)上有兩類兔子：一類是能生殖的兔子，簡(jiǎn)稱為大兔子；新生的兔子不能生殖，簡(jiǎn)稱為小兔子；小兔子一個(gè)月就長(zhǎng)成大兔子.求的是大兔子與小兔子的總和。 2）深入觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律 每月小兔對(duì)數(shù) =上個(gè)月大兔對(duì)

22、數(shù). 每月大兔對(duì)數(shù) =上個(gè)月大兔對(duì)數(shù) +上個(gè)月小兔對(duì)數(shù).=上個(gè)月大兔對(duì)數(shù) +上上個(gè)月大兔對(duì)數(shù).2. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力41 1) 分析問題、抓住本質(zhì)、簡(jiǎn)化。 本質(zhì)上有兩類兔子：一類是能生殖的兔子，簡(jiǎn)稱為大兔子；新生的兔子不能生殖，簡(jiǎn)稱為小兔子；小兔子一個(gè)月就長(zhǎng)成大兔子.求的是大兔子與小兔子的總和。 2）深入觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律 每月小兔對(duì)數(shù) =上個(gè)月大兔對(duì)數(shù). 每月大兔對(duì)數(shù) =上個(gè)月大兔對(duì)數(shù) +上個(gè)月小兔對(duì)數(shù).= 前兩個(gè)月大兔對(duì)數(shù)之和.2. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力42 月 份 大兔對(duì)數(shù) 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 小兔對(duì)數(shù) 0 1 1 2 3 5 8 13

23、 21 34 55 89 兔子總數(shù) 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233二階遞推公式 2）深入觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律 每月小兔對(duì)數(shù) =上個(gè)月大兔對(duì)數(shù). 每月大兔對(duì)數(shù) =上個(gè)月大兔對(duì)數(shù) +上個(gè)月小兔對(duì)數(shù).= 前兩個(gè)月大兔對(duì)數(shù)之和.Fn2. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力43 3）深入研究問題二階遞推公式由可得2. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力44 3）深入研究問題二階遞推公式因此2. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力45 1） 花瓣數(shù)中的斐波那契數(shù) 大多數(shù)植物的花，其花瓣數(shù)都恰是斐波那契數(shù)。例如，蘭花3個(gè)花瓣，毛茛屬的植物有5個(gè)花瓣，翠雀屬植物有8個(gè)花瓣，萬(wàn)壽菊屬植物有13個(gè)花瓣，紫菀屬植

24、物有21個(gè)花瓣，雛菊屬植物有34、55或89個(gè)花瓣。生活中的斐波那契數(shù)462）樹杈的數(shù)向日葵花盤內(nèi)葵花子排列的螺線數(shù) 種子按順、逆時(shí)針的螺線排列，兩組螺線的條數(shù)往往成相繼的兩個(gè)斐波那契數(shù)，一般是34和55; 89和144; 144和233條螺線。48松果種子的排列的螺線數(shù)(8-13)49菜花表面排列的螺線數(shù)（5-8）50 4） 電路中的斐波那契數(shù)列 加在電阻上的電壓，從右至左，恰是斐波那契數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，21,51 5） 股票指數(shù)增減的“波浪理論” 完整周期3上2下（或5上3下或3上5下），常是相繼兩斐波那契數(shù)； 每次股指增長(zhǎng)幅度（8，13等）或回調(diào)

25、幅度（8，5），常是相繼兩斐波那契數(shù)。 股指變化有無(wú)規(guī)律？回答是肯定的。52 可以說(shuō)，斐波那契以他的兔子問題，猜中了大自然的奧秘，而斐波那契數(shù)列的種種應(yīng)用，是這個(gè)奧秘的不同體現(xiàn)。妙哉數(shù)學(xué)！問題的提出：設(shè) A 是n階方陣 , 求Ak ?分析：(1) 若A是對(duì)角陣，則易求 Ak =k.A = P1Q1 (2)一般方陣A可與對(duì)角陣相抵，即存在n階可逆陣P,Q, 使得 PAQ =. Ak = (P1Q1) (P1Q1)(P1Q1)若Q1 =P ,則 Ak =P1 k Q1 = Qk Q1(3) 因此，當(dāng)存在n階可逆陣Q, 使得 Q1AQ =(對(duì)角陣 )時(shí), 易求方陣Ak.此時(shí)稱方陣A可與對(duì)角陣相似。2

26、. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力 3）深入研究問題問題：當(dāng)A可與對(duì)角陣相似, Q 與的關(guān)系如何 ?當(dāng)方陣A可與對(duì)角陣相似，即存在n階可逆陣Q, 使得 Q1AQ =(對(duì)角陣 )時(shí), 易求方陣Ak.Q1AQ =, 設(shè)Q 的列向量為q1, q2, , qn. 顯然它們線性無(wú)關(guān).即A(q1, q2, , qn) = (1q1, 2q2, , nqn), 即 A qi = i qi, i=1,n 特征值 特征向量 對(duì)應(yīng) qi 2. 培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力則AQ = Q = Qdiag(1, 2, , n), 3）深入研究問題(1)任給d24, d32, d34, d41, d42,d43, d44的一

27、組值，就可唯一確定Drer魔方.Drer魔方空間是7維的.110 17 201126 5616314152009127(1) 轉(zhuǎn)換思考角度，訓(xùn)練思維的求異性自由變量還有其他的選取方式嗎？只要選取系數(shù)矩陣23列中16個(gè)線性無(wú)關(guān)的列，其余7列對(duì)應(yīng)的變量就可取為自由變量.16 314 152009127x32xx+4x117xx523x26x3.培養(yǎng)發(fā)散思維例5. 設(shè) , 求A1.求逆陣的方法：(1) 定義法：AB=BA=E(1) 轉(zhuǎn)換思考角度，訓(xùn)練思維的求異性(2) 公式法：A1=A*/ |A|(3) 初等變換法：(A,E) (E,A1)解：注意到 A =AT，且 A AT = A2 = 4E所以 A1 = A/ 43.培養(yǎng)發(fā)散思維Drer空間的子空間和擴(kuò)張(4) 7維Drer魔方空間D：R=C=D=SR=C=H=N(3) 5維泛對(duì)角方的向量空間B:(2) 要求所有數(shù)都相等:一維向量空間G = rE,rR.(1)0維向量空間 OO G B D魔方空間 維 數(shù) 0 1 5 7(5) 8維魔方空間Q：R=C=D(6) 10維魔方空間U：R=C(7) 16維數(shù)字空間M：數(shù)字可任意取值 Q U M 8 10 16(2) 探討變換問題的條件 (2) 探討變換問題