《線性代數(shù)》4-5向量空間-課件(1)

1、5 向量空間封閉的概念定義：所謂封閉，是指集合中任意兩個元素作某一運算得到的結(jié)果仍屬于該集合例：試討論下列數(shù)集對四則運算是否封閉？整數(shù)集 Z有理數(shù)集 Q實數(shù)集 R向量空間的概念定義：設 V 是 n 維向量的集合，如果 集合 V 非空， 集合 V 對于向量的加法和乘數(shù)兩種運算封閉，具體地說，就是：若 a V， b V，則a + b V （對加法封閉）若 a V， l R，則 l a V （對乘數(shù)封閉）那么就稱集合 V 為向量空間例：下列哪些向量組構(gòu)成向量空間？ n 維向量的全體Rn集合 V1 = (0, x2, , xn)T | x2, , xnR 集合 V2 = (1, x2, , xn)T

2、| x2, , xnR 齊次線性方程組的解集 S1 = x | Ax = 0 非齊次線性方程組的解集 S2 = x | Ax = b 解：集合 Rn，V1，S1 是向量空間， 集合 V2，S2 不是向量空間定義：齊次線性方程組的解集稱為齊次線性方程組的解空間.例：設 a, b 為兩個已知的 n 維向量，集合L = l a + m b | l, m R 是一個向量空間嗎？解：設 x1, x2 L， kR，因為x1 + x2 = (l1a + m1b) + (l2a + m2b) = (l1 + l2) a + (m1 + m2) b Lk x1 = k (l1a + m1b) = (kl1) a

3、 + (km1) b L 所以，L 是一個向量空間定義：把集合L = l a + m b | l, m R 稱為由向量 a, b 所生成的向量空間一般地，把集合 L = l1a1 + l2a2 + + lmam | l1, l2, ., lm R 稱為由向量a1 , a2 , ., am 所生成的向量空間例：設向量組a1 , a2 , ., am 和 b1 , b2 , ., bs 等價，記L1 = l1a1 + l2a2 + + lmam | l1, l2, ., lmR ，L2 = m1b1 + m2b2 + + ms bs | m1, m2, ., msR ，試證 L1 = L2 結(jié)論：

4、等價的向量組所生成的空間相等al aL = l a | lR L = l a + m b | l, mR abcL = l a + m b + g c | l, m, g R l am bg cabl am ba1a2L1 = l1a1 + l2a2 | l1, l2R L2 = m1b1 + m2b2 | m1, m2R 則 L1 = L2L3 = m1b1 + m2b2 + m3b3 | m1, m2 , m3R 問題：L1 = L2 = L3?b1b2b3返回 子空間的概念定義：如果向量空間 V 的非空子集合 V1 對于 V 中所定義的加法及乘數(shù)兩種運算是封閉的，則稱 V1 是 V 的子

5、空間 例： n 維向量的全體Rn集合 V1 = (0, x2, , xn)T | x2, , xnR 集合 V2 = (1, x2, , xn)T | x2, , xnR 解：V1 是 Rn 的子空間，V2 不是 Rn 的子空間向量空間的基的概念定義：設有向量空間 V ，如果在 V 中能選出 r 個向量a1, a2, , ar，滿足 a1, a2, , ar 線性無關(guān)； V 中任意一個向量都能由 a1, a2, , ar 線性表示；那么稱向量組 a1, a2, , ar 是向量空間 V 的一個基r 稱為向量空間 V 的維數(shù)，并稱 V 為 r 維向量空間 向量空間向量空間的基向量空間的維數(shù)向量組

6、向量組的最大無關(guān)組向量組的秩 n 維向量的全體 Rn解：En 的列向量組是 Rn 的一個基，故Rn 的維數(shù)等于 n .集合 V1 = (0, x2, , xn)T | x2, , xnR 解：En 的后 n1個列向量是V1 的一個基，故 V1 的維數(shù)等于 n1 n 元齊次線性方程組的解集 S1 = x | Ax = 0 解：齊次線性方程組的基礎解系是 S1 的一個基，故 S1 的維數(shù)等于 nR(A) n 維向量的全體 Rn解：En 的列向量組是 Rn 的一個基，故Rn 的維數(shù)等于 n .集合 V1 = (0, x2, , xn)T | x2, , xnR 解：En 的后 n1個列向量是V1 的

7、一個基，故 V1 的維數(shù)等于 n1 結(jié)論：若V1 是V 的子空間，則V1 的維數(shù)不超過V 的維數(shù) n 元齊次線性方程組的解集 S1 = x | Ax = 0 解：齊次線性方程組的基礎解系是 S1 的一個基，故 S1 的維數(shù)等于 nR(A) 由a1 , a2 , ., am 所生成的向量空間L = l1a1 + l2a2 + + lmam | l1, l2, ., lmR 若 a1 , a2 , ., am 線性無關(guān)，則 a1 , a2 , ., am 是向量空間 L 的一個基若 a1 , a2 , ., am 線性相關(guān)，則 向量組 A：a1 , a2 , ., am 等價于向量組 A 的最大無

8、關(guān)組 A0 ：a1 , a2 , ., ar 從而 L =L1= l1a1 + l2a2 + + lr ar | l1, l2, ., lrR 故向量組 A0 就是 L 的一個基， A0中向量的個數(shù)就是 L 的維數(shù).由a1 , a2 , ., am 所生成的向量空間L = l1a1 + l2a2 + + lmam | l1, l2, ., lmR 解： L = l1a1 + l2a2 + + lmam | l1, l2, ., lmR 向量組 A：a1 , a2 , ., am 等價于向量組 A 的最大無關(guān)組 A0 ：a1 , a2 , ., ar 故向量組 A0 就是 L 的一個基， A0中

9、向量的個數(shù)就是 L 的維數(shù).一般來說，若 a1 , a2 , ., am V，則 L 是 V 的子空間若向量組 a1 , a2 , ., am 是向量空間V 的一個基，那么V = l1a1 + l2a2 + + lmam | l1, l2, ., lmR L = l1a1 + l2a2 + l3a3 | l1, l2 , l3R 向量組 a1, a2, a3 等價于相應的最大無關(guān)組 a1, a2所以 L = m1a1 + m2a2 | m1, m2 R 從而 a1, a2 就是 L 的一個基，L 的維數(shù)等于2a3a1a2結(jié)論：等價的向量組所生成的空間相等定義：如果在向量空間 V 中取定一個基

10、a1 , a2 , ., ar ，那么V中任意一個向量可唯一表示為x = l1a1 + l2a2 + + lrar數(shù)組 l1, l2, ., lr 稱為向量 x 在基 a1 , a2 , ., ar 中的坐標例： 的列向量組是 R3 的一個基，那么b 在基 e1, e2, e3 中的坐標 n 階單位矩陣 En 的列向量叫做 n 維單位坐標向量n 階單位矩陣 En 的列向量組稱為 Rn 的自然基上三角形矩陣 的列向量組也是 R3 的一個基，那么 結(jié)論：同一個向量在不同基中的坐標是不同的例：設驗證a1, a2, a3 是R3 的一個基，并求 b1, b2 在這個基中的坐標.分析：a1, a2, a3 是 R3 的一個基 R(a1, a2, a3 ) = 3b1, b2 在這個基中的坐標 用 a1, a2, a3 表示 b1, b2當 時，A 的列向量組與B 的列向量組有相同的線性關(guān)系（P. 93 例11）為此，考慮把 (A, B) = (a1, a2, a3, b1, b2) 化為行最簡形矩陣解：于是例：設驗證a1, a2, a3 是R3 的一個基，并求 b1, b2 在這個基中的坐標.例：在 R3中取