國培----我對幾何直觀的認識

1、國培-我對幾何直觀的認識 顧名思義，幾何直觀所指有兩點：一是幾何，在這里幾何是指圖形；二是直觀，這里的直觀不僅僅是指直接看到的東西(直接看到的是一個層次)，更重要的是依托現(xiàn)在看到的東西、以前看到的東西進行思考、想象，綜合起來，幾何直觀就是依托、利用圖形進行數(shù)學的思考和想象。它在本質(zhì)上是一種通過圖形所展開的想象能力。愛因斯：tH_(Einstein，18791955)曾說過一句名言：“想象力比知識更重要，因為知識是有限的，想象力概括著世界上的一切，推動著進步，并且它是知識進化的源泉。嚴格地說，想象力是科學研究中的實在因素?！?數(shù)學是研究數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學?！笨臻g形式最主要的表現(xiàn)就是“圖形”

2、，除了美術(shù)，只有數(shù)學把圖形作為基本的、主要的研究對象。在數(shù)學研究、學習、講授中，不僅需要關(guān)注研究圖形的方法、研究圖形的結(jié)果，還需要感悟圖形給我們帶來的好處，幾何直觀就是在“數(shù)學一幾何一圖形”這樣一個關(guān)系鏈中讓我們體會到它所帶來的最大好處。這正如20世紀最偉大的數(shù)學家希爾伯特(Hilbert，18621943)在其名著直觀幾何一書中所談到的，圖形可以幫助我們發(fā)現(xiàn)、描述研究的問題；可以幫助我們尋求解決問題的思路；可以幫助我們理解和記憶得到的結(jié)果。幾何直觀在研究、學習數(shù)學中的價值由此可見一斑。從另一個角度來說，幾何直觀是具體的，不是虛無的，它與數(shù)學的內(nèi)容緊密相連。事實上，很多重要的數(shù)學內(nèi)容、概念，例

3、如，數(shù)，度量，函數(shù)，以至于高中的解析幾何，向量，等等，都具有“雙重性”，既有“數(shù)的特征”，也有“形的特征”，只有從兩個方面認識它們，才能很好地理解它們、掌握它們的本質(zhì)意義。也只有這樣，才能讓這些內(nèi)容、概念變得形象、生動起來，變得更容易使學生接受并運用他們?nèi)ニ伎紗栴}，形成幾何直觀能力，這也就是經(jīng)常說的“數(shù)形結(jié)合”。在課程改革中，強調(diào)幾何變換不僅是內(nèi)容上的變化，也是設(shè)計幾何課程指導思想上的變化，這將是幾何課程發(fā)展的方向。讓圖形“動起來”，在“運動或變換”中來研究、揭示、學習圖形的性質(zhì)，這樣，一方面，加深了對圖形性質(zhì)的本質(zhì)認識；另一方面，對幾何直觀能力也是一種提升。由此也可以看到，在義務教育階段培養(yǎng)

4、學生的幾何直觀是很重要的。幾何直觀與“邏輯”“推理”也是不可分的。幾何直觀常常是靠邏輯支撐的。它不僅是看到了什么?而是通過看到的圖形思考到了什么?想象到了什么?這是數(shù)學非常重要而有價值的思維方式。幾何直觀會把看到的與以前學到的結(jié)合起來，通過思考、想象，猜想出一些可能的結(jié)論和論證思路，這也就是合情推理，它為嚴格證明結(jié)論奠定了基礎(chǔ)。 有些數(shù)學研究的對象是可以“看得見、摸得著”的，而很多數(shù)學研究對象是“看不見，摸不著”的，是抽象的，這是數(shù)學的一個基本特點。但是，數(shù)學中那些抽象的對象絕不是無根之木、無源之水，它的“根和源”一定是具體的。例如，我們看不到“七維空間”，但是，我們知道“白色的光是由7種顏色的光組成的：紅、橙、黃、綠、青、藍、紫?！边@就可以是理解“七維空間”的“可以看到的源”，是幫助我們聯(lián)想的“實物”和基礎(chǔ)。在數(shù)學中，需要依托“一維、二維、三維空間”去想象和思考“高維空間”的問題，這就是幾何直觀或幾何直觀能力