人教版導(dǎo)與練總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)一輪教師用書：第三章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

1、第1節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念及其意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算1.了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景,理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.2.能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)y=c(c為常數(shù)),y=x,y=x2,y=x3,y=1x,y=x 的導(dǎo)數(shù).3.能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù).能求簡單的復(fù)合函數(shù)(限于形如f(ax+b)的導(dǎo)數(shù),會使用導(dǎo)數(shù)公式表. 1.函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)(1)定義:如果當(dāng)x0時,平均變化率yx無限趨近于一個確定的值,即yx有極限,則稱y=f(x)在x=x0處可導(dǎo),并把這個確定的值叫做y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)(也稱為瞬時變化率),記作f(x0)或y|x=x0,即f(x0)=limx0y

2、x=limx0f(x0+x)-f(x0)x.(1)定義的變化形式:f(x0)=limxx0f(x)-f(x0)x-x0.(2)函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)反映了函數(shù)f(x)的瞬時變化趨勢,其正負(fù)號反映了變化的方向,其大小|f(x)|反映了變化的快慢,|f(x)|越大,曲線在這點(diǎn)處的切線越“陡”.(2)幾何意義:函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)f(x0)就是曲線y=f(x)切線的斜率k0,即k0=limx0f(x0+x)-f(x0)x=f(x0).(1)曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,y0)處的切線是指P為切點(diǎn),斜率為f(x0)的切線,具有唯一性.(2)曲線y=f(x)過點(diǎn)P(x0,y0)的切

3、線,點(diǎn)P不一定是切點(diǎn),切線可能有多條.2.函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)從求函數(shù)y=f(x)在x=x0處導(dǎo)數(shù)的過程可以看到,當(dāng)x=x0時,f(x0)是一個唯一確定的數(shù).這樣,當(dāng)x變化時,y=f(x)就是x的函數(shù),我們稱它為y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)(簡稱導(dǎo)數(shù)).y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)有時也記作y,即f(x)=y=limx0f(x+x)-f(x)x.3.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)=c(c為常數(shù))f(x)=0f(x)=x(Q,且0)f(x)=x-1f(x)=sin xf(x)=cos xf(x)=cos xf(x)=-sin xf(x)=exf(x)=exf(x)=ax(a0,且a1)f(

4、x)=axln af(x)=ln xf(x)=1xf(x)=loga x(a0,且a1)f(x)=1xlna函數(shù)的解析式中含有根式的,在求導(dǎo)時要先將根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪后求導(dǎo)數(shù).4.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則若f(x),g(x)存在,則有(1)f(x)g(x)=f(x)g(x);(2)f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x);(3)f(x)g(x)=f(x)g(x)-f(x)g(x)g(x)2(g(x)0).5.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一般地,對于由函數(shù)y=f(u)和u=g(x)復(fù)合而成的函數(shù)y=f(g(x),它的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)y=f(u),u=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yx=yuux.即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對u

5、的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)的乘積.1.奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù),偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù),周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是周期函數(shù).2.熟記以下結(jié)論:(1)(1x)=-1x2;(2)(x)=12x;(3)1f(x)=-f(x)f(x)2(f(x)0);(4)af(x)bg(x)=af(x)bg(x).1.函數(shù)f(x)=ex+x2-2x的圖象在點(diǎn)(0,f(0)處的切線方程為(A)A.x+y-1=0B.x+y+1=0C.2x+y+1=0D.2x+y-1=0解析:因?yàn)閒(x)=ex+x2-2x,所以f(x)=ex+2x-2,所以f(0)=-1.又f(0)=1,所以所求切線方程為y-1=-(x-0),即x+y-1=0.故選A.2

6、.下列求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的是(B)A.(cos3)=-sin3B.(log2x)=1xln2C.(3x)=3xlog3eD.(x+1x)=1+1x2解析:由于cos3=12,因此(cos3)=0,故A錯誤;(log2x)=1xln2,故B正確;(3x)=3xln 3,故C錯誤;因?yàn)?x+1x)=x+(1x)=1-1x2,故D錯誤.故選B.3.設(shè)f(x)在x=x0處可導(dǎo),且limx0f(x0+3x)-f(x0)x=1,則f(x0)等于(C)A.1B.3C.13D.0解析:limx0f(x0+3x)-f(x0)x=3limx0f(x0+3x)-f(x0)3x=3f(x0)=1,所以f(x0)=13.故

7、選C.4.(2020全國卷)設(shè)函數(shù)f(x)=exx+a.若f(1)=e4,則a=.解析:由于f(x)=ex(x+a)-ex(x+a)2,故f(1)=ea(1+a)2=e4,解得a=1.答案:15.若函數(shù)f(x)=ln(2x-1),則f(2)=.解析:f(x)=22x-1,因此f(2)=222-1=23.答案:23 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算1.已知函數(shù)f(x)=f(1)x2+2x+2f(1),則f(2)的值為(D)A.-2B.0C.-4D.-6解析:法一由題意f(1)=f(1)+2+2f(1),化簡得f(1)=-f(1)-2,而f(x)=2f(1)x+2,所以f(1)=2f(1)+2,得f(1)=-2,故f(

8、1)=0,所以f(x)=-2x2+2x,所以f(x)=-4x+2,所以f(2)=-6.故選D.法二函數(shù)f(x)=f(1)x2+2x+2f(1)的導(dǎo)數(shù)為f(x)=2f(1)x+2,即f(1)=2f(1)+2,解得f(1)=-2,因此f(x)=-4x+2,f(2)=-6.故選D.2.已知f(x)=lnx2x,則f(12)等于(D)A.-2-ln 2B.-2+ln 2C.2-ln 2D.2+ln 2解析:依題意有f(x)=1x2x-212(2x)-12lnx2x,故f(12)=2+ln21=2+ln 2.故選D.3.(2021湖南長沙期中)若函數(shù)f(x),g(x)滿足f(x)+xg(x)=x2-1,

9、且f(1)=1,則f(1)+g(1)等于(C)A.1B.2C.3D.4解析:因?yàn)閒(1)=1,f(1)+g(1)=0,所以g(1)=-1.因?yàn)閒(x)+xg(x)=x2-1,所以f(x)+g(x)+xg(x)=2x,所以f(1)+g(1)+g(1)=2,所以f(1)+g(1)=2-(-1)=3.故選C.4.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)y=2x+1x+2;(2)y=11+x+11-x;(3)y=ln1+2x;(4)y=1+cos2x.解:(1)法一y=(2x+1x+2)=(2x+1)(x+2)-(2x+1)(x+2)(x+2)2=3(x+2)2.法二因?yàn)閥=2x+1x+2=2(x+2)-3x+2=2

10、-3x+2,所以y=(2-3x+2)=(-3x+2)=3(x+2)2.(2)y=11+x+11-x=(1-x)+(1+x)(1+x)(1-x)=21-x,所以y=(21-x)=(-2x-1)=2(x-1)2.(3)因?yàn)閥=ln1+2x,所以y=12ln(1+2x),所以y=1211+2x(1+2x)=11+2x.(4)因?yàn)閥=1+cos2x=1+1+cos2x2=32+12cos 2x,所以y=(12cos 2x)=-12sin 2x(2x)=-sin 2x.1.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確地把函數(shù)分解為基本初等函數(shù)的和、差、積、商,再利用運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù).2.熟記求導(dǎo)函數(shù)的5種形式及解法(1)連乘積形式

11、:先展開化為多項(xiàng)式的形式,再求導(dǎo);(2)分式形式:觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征,先化為整式函數(shù)或較為簡單的分式函數(shù),再求導(dǎo);(3)對數(shù)形式:先化為和、差的形式,再求導(dǎo);(4)根式形式:先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式,再求導(dǎo);(5)三角函數(shù)形式:可利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形式,再求導(dǎo),也可直接利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo).3.掌握求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一般步驟(1)明確復(fù)合關(guān)系,適當(dāng)選定中間變量,正確分解關(guān)系;(2)分層求導(dǎo),弄清每一步中是哪個變量對哪個變量求導(dǎo)數(shù). 導(dǎo)數(shù)的幾何意義及其應(yīng)用求切線方程 函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x0時,-x0,又當(dāng)x0時,f(x)=x3+2x2,所以f(1)=1+2=3.當(dāng)x0時,

12、f(x)=3x2+4x,且f(1)=7.因此曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線方程為y-3=7(x-1),即7x-y-4=0.答案:7x-y-4=01.求曲線在點(diǎn)P(x0,y0)處的切線方程的方法(1)求出y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù),即y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0)處的切線斜率(當(dāng)曲線y=f(x)在點(diǎn)P處的切線與y軸平行時,在該點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)不存在,切線方程為x=x0);(2)由點(diǎn)斜式求得切線方程y-y0=f(x0)(x-x0).2.由于本題涉及奇函數(shù)的點(diǎn)的切線問題,因此求解時需要利用奇函數(shù)的性質(zhì)求f(1)以及f(1).求切點(diǎn)坐標(biāo) 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A在曲線y=ln x上

13、,且該曲線在點(diǎn)A處的切線經(jīng)過點(diǎn)(-e,-1)(e為自然對數(shù)的底數(shù)),則點(diǎn)A的坐標(biāo)是.解析:設(shè)A(x0,y0),由y=1x,得k=1x0,所以曲線在點(diǎn)A處的切線方程為y-ln x0=1x0(x-x0).因?yàn)榍芯€經(jīng)過點(diǎn)(-e,-1),所以-1-ln x0=1x0(-e-x0),所以ln x0=ex0,解得x0=e,y0=1,即A(e,1).答案:(e,1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切點(diǎn)坐標(biāo)應(yīng)注意兩點(diǎn):一是切點(diǎn)坐標(biāo)既在曲線的圖象上又在切線上;二是切線的斜率等于切點(diǎn)的橫坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)值.求參數(shù)的值(取值范圍) (1)已知直線y=kx+1與曲線y=ln x相切,則k等于()A.1e2B.1eC.eD.e2(2)(

14、2021陜西寶雞高考模擬)已知直線y=kx(k0)和曲線f(x)=x-aln x(a0)相切,則a的取值范圍是()A.(-,0)(0,e)B.(0,e)C.(0,1)(1,e)D.(-,0)(1,e)解析:(1)因?yàn)閥=ln x,所以y=1x,設(shè)切點(diǎn)為(m,ln m),得切線的斜率為k=y|x=m=1m,因?yàn)榍悬c(diǎn)在直線y=kx+1上,所以ln m=1mm+1,即ln m=2,則m=e2,則k=1e2.故選A.(2)函數(shù)f(x)=x-aln x(a0)的定義域?yàn)?0,+),設(shè)直線y=kx(k0)和曲線f(x)=x-aln x(a0)相切于點(diǎn)(x0,kx0)(x00),因?yàn)閒(x)=1-ax,所以

15、切線斜率k=f(x0)=1-ax0.又切點(diǎn)在曲線f(x)上,所以kx0=x0-aln x0,k=1-ax0,整理得(k-1)x0=-aln x0,k-1=-ax0,解得x0=e,a=-e(k-1).因?yàn)閗0,所以a=-e(k-1)0,所以2-1x1時,f(x)=ln x.由y=ln x得y=1x.設(shè)過原點(diǎn)的直線y=ax與函數(shù)y=ln x的圖象相切于點(diǎn)A(x0,ln x0),則有l(wèi)n x0=ax0,a=1x0,解得x0=e,a=1e,所以當(dāng)直線y=ax與函數(shù)y=ln x的圖象相切時,a=1e.又當(dāng)直線y=ax經(jīng)過點(diǎn)B(e2,2)時,有2=ae2,解得a=2e2.結(jié)合圖象可得當(dāng)直線y=ax與函數(shù)f

16、(x)=lnx的圖象有3個交點(diǎn)時,實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2e2,1e).故選D. 若直線y=kx+b是曲線y=ln x+2的切線,也是曲線y=ex的切線,則b=.解析:設(shè)直線y=kx+b與曲線y=ln x+2的切點(diǎn)為(x1,y1),與曲線y=ex的切點(diǎn)為(x2,y2),y=ln x+2的導(dǎo)數(shù)為y=1x,y=ex的導(dǎo)數(shù)為y=ex,可得k=ex2=1x1.又由k=y2-y1x2-x1=ex2-ln x1-2x2-x1,消去x2,可得(1+ln x1)(x1-1)=0,則x1=1e或x1=1,當(dāng)直線y=kx+b與曲線y=ln x+2的切點(diǎn)為(1e,1)時,其與曲線y=ex的切點(diǎn)為(1,e);當(dāng)直線y=

17、kx+b與曲線y=ln x+2的切點(diǎn)為(1,2)時,其與曲線y=ex的切點(diǎn)為(0,1).所以k=e-11-1e=e或k=1-20-1=1,則切線方程為y=ex或y=x+1,可得b=0或1.答案:0或1知識點(diǎn)、方法基礎(chǔ)鞏固練綜合運(yùn)用練應(yīng)用創(chuàng)新練導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算1,2,912導(dǎo)數(shù)的幾何意義4,5,6,1014,1517函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合3,7,8,1113161.(多選題)以下運(yùn)算正確的是(BC)A.(1x)=1x2 B.(cos x)=-sin xC.(2x)=2xln 2 D.(lg x)=-1xln10解析:對于A,由于(1x)=-1x2,所以A不正確;對于B,由于(cos x)=-sin x

18、,所以B正確;對于C,由于(2x)=2xln 2,所以C正確;對于D,由于(lg x)=1xln10,所以D不正確.故選BC.2.(2021廣東肇慶高三聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=ex-1+xln x,則f(1)等于(D)A.0B.1C.eD.2解析:因?yàn)閒(x)=ex-1+xln x,所以f(x)=ex-1+1+ln x,所以f(1)=e1-1+1+ln 1=2.故選D.3.若函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱,則f(x)的解析式可能為(C)A.f(x)=3cos x B.f(x)=x3+x2C.f(x)=1+sin 2xD.f(x)=ex+x解析:A項(xiàng)中,f(x)=-3sin x,是奇函數(shù)

19、,圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,不關(guān)于y軸對稱;B項(xiàng)中,f(x)=3x2+2x=3(x+13)2-13,其圖象關(guān)于直線x=-13對稱;C項(xiàng)中,f(x)=2cos 2x,是偶函數(shù),圖象關(guān)于y軸對稱;D項(xiàng)中,f(x)=ex+1,由指數(shù)函數(shù)的圖象可知該函數(shù)的圖象不關(guān)于y軸對稱.故選C.4.若直線y=-2x+b為曲線y=x-ex的一條切線,則實(shí)數(shù)b的值是(D)A.ln 3-3B.3ln 3+3C.ln 3+3D.3ln 3-3解析:設(shè)切點(diǎn)為(x0,x0-ex0),由y=x-ex得y=1-ex,所以1-ex0=-2,得ex0=3,得x0=ln 3.所以切點(diǎn)為(ln 3,ln 3-3),所以ln 3-3=-2ln 3

20、+b,得b=3ln 3-3.故選D.5.(2021湖南永州二模)曲線f(x)=2ln x在x=t處的切線l過原點(diǎn),則l的方程是(A)A.2x-ey=0B.2x+ey=0C.ex-2y=0D.ex+2y=0解析:曲線f(x)=2ln x的導(dǎo)數(shù)為f(x)=2x,設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(t,2ln t),因此切線l的斜率k=f(t)=2t.又直線l過原點(diǎn),所以k=2lnt-0t-0=2t,得ln t=1,t=e,所以k=2e,故切線l的方程為y-2=2e(x-e),即2x-ey=0.故選A.6.(多選題)(2021江蘇淮安高三聯(lián)考)若直線y=12x+b是函數(shù)f(x)圖象的一條切線,則函數(shù)f(x)可以是(BCD

21、)A.f(x)=1x B.f(x)=x4C.f(x)=sin xD.f(x)=ex解析:直線y=12x+b的斜率為k=12.由f(x)=1x的導(dǎo)數(shù)為f(x)=-1x2,即切線的斜率小于0,故A不正確;由f(x)=x4的導(dǎo)數(shù)為f(x)=4x3,而4x3=12,解得x=12,故B正確;由f(x)=sin x的導(dǎo)數(shù)為f(x)=cos x,而cos x=12有解,故C正確;由f(x)=ex的導(dǎo)數(shù)為f(x)=ex,而由ex=12,解得x=-ln 2,故D正確.故選BCD.7.(2021江蘇連云港高三聯(lián)考)定義方程f(x)=f(x)的實(shí)數(shù)根x0叫做函數(shù)f(x)的“保值點(diǎn)”.如果函數(shù)g(x)=x與函數(shù)h(x

22、)=ln(x+1)的“保值點(diǎn)”分別為,那么和的大小關(guān)系是(B)A.C.=D.無法確定解析:由題可得g(x)=1,h(x)=1x+1,由“保值點(diǎn)”的定義可知=1,ln(+1)=1+1,記(x)=ln(x+1)-1x+1,則(x)=1x+1+1x+120,故(x)在定義域上單調(diào)遞增.由(0)=-10,因此0.故選B.8.(2021江西吉安高三聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù),且當(dāng)x0時,f(x)=xex,則曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線方程為(A)A.y=2ex-eB.y=-2ex-eC.y=2ex+3D.y=-2ex+e解析:函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù),當(dāng)x0,則-x

23、0時f(x)=xex,f(x)=(x+1)ex,又f(1)=e,k=f(1)=2e.y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線方程為y=2ex-e.故選A.9.某堆雪在融化過程中,其體積V(單位:m3)與融化時間t(單位:h)近似滿足函數(shù)關(guān)系:V(t)=H(10-110t)3(H為常數(shù)),其圖象如圖所示.記此堆雪從融化開始到結(jié)束的平均融化速度為v(m3/h),那么t1,t2,t3,t4中,瞬時融化速度等于v(m3/h)的時刻是圖中的.解析:v=V(100)-V(0)100-0,反映的是V(t)圖象與兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)連線的斜率,如圖,觀察可知t3處瞬時速度(即切線的斜率)與平均速度一致.答案:t310.

24、我國魏晉時期的科學(xué)家劉徽創(chuàng)立了“割圓術(shù)”,實(shí)施“以直代曲”的近似計(jì)算,用正n邊形進(jìn)行“內(nèi)外夾逼”的辦法求出了圓周率的精度較高的近似值,這是我國最優(yōu)秀的傳統(tǒng)科學(xué)文化之一.借用“以直代曲”的近似計(jì)算方法,在切點(diǎn)附近,可以用函數(shù)圖象的切線近似代替在切點(diǎn)附近的曲線來近似計(jì)算.設(shè)f(x)=ex2.則f(x)=,其在點(diǎn)(0,1)處的切線方程為.解析:因?yàn)閒(x)=ex2,故f(x)=(x2)ex2=2xex2,則f(0)=0,故曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,1)處的切線方程為y=1.答案:2xex2y=111.設(shè)函數(shù)f(x)=g(2x-1)+x2,曲線y=g(x)在點(diǎn)(1,g(1)處的切線方程為y=2x+1,

25、則f(1)=.解析:把x=1代入y=2x+1,解得y=3,即g(1)=3,由y=2x+1的斜率為2,得到g(1)=2.因?yàn)閒(x)=2g(2x-1)+2x,所以f(1)=2g(1)+2=6.答案:612.(2021江蘇徐州高三期末)假設(shè)某放射性同位素的衰變過程中,其含量P(單位:貝克)與時間t(單位:天)滿足函數(shù)關(guān)系P(t)=P02-t30,其中P0為t=0時該放射性同位素的含量.已知t=15時,該放射性同位素的瞬時變化率為-32ln210,則該放射性同位素含量為4.5貝克時衰變所需時間為(D)A.20天B.30天C.45天D.60天解析:由P(t)=P02-t30得P(t)=-130P02-

26、t30ln 2,因?yàn)閠=15時,該放射性同位素的瞬時變化率為-32ln210,即P(15)=-2ln260P0=-32ln210,解得P0=18,則P(t)=182-t30.當(dāng)該放射性同位素含量為4.5貝克時,即P(t)=4.5,所以182-t30=4.5,即2-t30=14,所以-t30=-2,解得t=60.故選D.13.(多選題)若以函數(shù)y=f(x)的圖象上任意一點(diǎn)P(x1,y1)為切點(diǎn)作切線l1,y=f(x)圖象上總存在異于點(diǎn)P的點(diǎn)Q(x2,y2),使得以Q為切點(diǎn)的直線l2與l1平行,則稱函數(shù)f(x)為“美函數(shù)”,下面四個函數(shù)中是“美函數(shù)”的是(BC)A.y=x3-2x B.y=3x+1

27、xC.y=cos xD.y=(x-2)2+ln x解析:由題意可知函數(shù)是“美函數(shù)”的條件是方程y=a(a是導(dǎo)數(shù)值)至少有兩個根.對于A,由y=3x2-2,當(dāng)y=-2時,x的取值只有0是唯一的,因此不符合題意;對于B,由y=3-1x2=a(x0,且a0),令2x-4+1x=a,則有2x2-(4+a)x+1=0,當(dāng)=0時,解唯一,不符合題意.故選BC.14.(2021河北石家莊高三開學(xué)考試)函數(shù)f(x)=sin 2x在原點(diǎn)(0,0)處的切線方程為,請你舉出與函數(shù)f(x)=sin 2x在原點(diǎn)處具有相同切線的一個函數(shù): .解析:由f(x)=sin 2x得f(x)=2cos 2x,所以函數(shù)f(x)在原點(diǎn)

28、(0,0)處的切線斜率為k=f(0)=2,因此函數(shù)f(x)在原點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y=2x.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=sin 2x在原點(diǎn)(0,0)處的導(dǎo)數(shù)值為2,所以所求函數(shù)可以是y=x2+2x,y=2x+2,其在原點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y=2x.答案:y=2xy=x2+2x(答案不唯一)15.(2021安徽黃山一模)已知函數(shù)f(x)=x2+2,g(x)=ln x,若曲線y=f(x)與y=g(x)的公切線與曲線y=f(x)相切于點(diǎn)(x1,y1),則x12-ln (2x1)=.解析:設(shè)公切線與g(x)=ln x相切于點(diǎn)(x2,ln x2),由f(x)=2x,g(x)=1x,則曲線y=f(x)在

29、(x1,y1)處的切線方程為y-(x12+2)=2x1(x-x1),即y=2x1x-x12+2.曲線y=g(x)在(x2,ln x2)處的切線方程為y=xx2+ln x2-1,所以2x1=1x2,-x12+2=ln x2-1,解得x12-ln(2x1)=3.答案:316.在函數(shù)f(x)=aln x-(x-1)2的圖象上,橫坐標(biāo)在(1,2)內(nèi)變化的點(diǎn)處的切線斜率均大于1,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(C)A.1,+)B.(1,+)C.6,+)D.(6,+)解析:函數(shù)f(x)=aln x-(x-1)2,求導(dǎo)得f(x)=ax-2(x-1),由橫坐標(biāo)在區(qū)間(1,2)內(nèi)變化的點(diǎn)處的切線斜率均大于1,可得ax-2

30、(x-1)1對x(1,2)恒成立,即有ax(2x-1)=2x2-x對x(1,2)恒成立.令g(x)=2x2-x,對稱軸方程為x=14,所以區(qū)間(1,2)為增區(qū)間,即有g(shù)(x)-2時,f(x)0;當(dāng)x=-2時,f(x)=0;當(dāng)x-2時,f(x)0.所以當(dāng)-2x0時,xf(x)0;當(dāng)x=-2時,xf(x)=0;當(dāng)x0.故選C.1.涉及與極值有關(guān)的函數(shù)圖象問題,首先要分清給的是f(x)的圖象還是f (x)的圖象,若給的是f(x)的圖象,應(yīng)先找出f(x)的單調(diào)區(qū)間及極(最)值點(diǎn),如果給的是f (x)的圖象,應(yīng)先找出f (x)的正負(fù)區(qū)間及由正變負(fù)還是由負(fù)變正,然后結(jié)合題目特點(diǎn)分析求解.2.f(x)在x=

31、x0處有極值時,一定有f (x0)=0,f(x0)可能為極大值,也可能為極小值,應(yīng)檢驗(yàn)f(x)在x=x0兩側(cè)的符號后才可下結(jié)論;若f (x0)=0,則f(x)不一定在x=x0處取得極值,只有確認(rèn)x1x0 x2時,f(x1)f(x2)0.求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值.解:由f(x)=x22-kln x(k0,x0),得f (x)=x-kx=x2-kx.由f (x)=0,解得x=k(負(fù)值舍去).當(dāng)x變化時, f(x)與f (x)在區(qū)間(0,+)上的變化情況如表,x(0,k)k(k,+)f (x)-0+f(x)單調(diào)遞減k(1-lnk)2單調(diào)遞增所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,k),單調(diào)遞增區(qū)間是(k

32、,+),所以f(x)在x=k處取得極小值為f(k)=k(1-lnk)2,f(x)沒有極大值.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,首先是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)的極值,也就是f(x)的值的符號,如果左正右負(fù),那么y=f(x)在這個點(diǎn)處取極大值,如果左負(fù)右正,那么y=f(x)在這個點(diǎn)處取極小值.如果左右不改變符號,那么f(x)在這個點(diǎn)處無極值.已知極值點(diǎn)求參數(shù)(范圍) 已知函數(shù)f(x)=ax2-(3a+1)x+3a+2ex在x=1處取得極小值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解:函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為f(x)=ax2-(a+1)x+1ex=(x-1)(ax-1)ex.法一若a1,則當(dāng)x(1a,1

33、)時,f(x)0.所以f(x)在x=1處取得極小值.若a1,則當(dāng)x(0,1)時,ax-1x-10.所以1不是f(x)的極小值點(diǎn).綜上可知,a的取值范圍是(1,+).法二若a=0,當(dāng)x0,f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x1時,f(x)1,則1a1,f(x)在(1a,1)上單調(diào)遞減,在(1,+)上單調(diào)遞增,可得函數(shù)f(x)在x=1處取得極小值,符合題意;若0a1,f(x)在(-,1)上單調(diào)遞增,在(1,1a)上單調(diào)遞減,可得函數(shù)f(x)在x=1處取得極大值,不符合題意;若a0,則1a1,f(x)在(1a,1)上單調(diào)遞增,在(1,+)上單調(diào)遞減,可得函數(shù)f(x)在x=1處取得極大值,不符合題意.綜上所述,實(shí)數(shù)

34、a的取值范圍是(1,+).已知函數(shù)的極值點(diǎn)x=x0求參數(shù)的值時,首先明確f(x0)=0,然后判斷函數(shù)在x=x0左右的函數(shù)值的符號是否滿足函數(shù)極值點(diǎn)的性質(zhì),若是涉及參數(shù)的討論,則還要根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)分類討論,一般是將導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)用參數(shù)表示出來,根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)與極值點(diǎn)的關(guān)系分類討論后求解.已知極值點(diǎn)的個數(shù),求參數(shù)的取值范圍 已知函數(shù)f(x)=ex-1x2-a(1n x+2x)(aR).若f(x)在(0,2)上有兩個極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解:f(x)=ex-1(x-2)x3-a(1x-2x2)=(x-2)(ex-1-ax)x3,要使得f(x)在(0,2)上有兩個極值點(diǎn),則g(x)=ex-

35、1-ax在(0,2)上有兩個變號零點(diǎn).當(dāng)a1時,g(x)=ex-1-axex-1-x,令S(x)=ex-1-x,S(x)=ex-1-1,所以當(dāng)x(0,1)時,S(x)0,S(x)為增函數(shù),所以S(x)S(1)=0,故g(x)0,所以g(x)在(0,2)上沒有兩個零點(diǎn),不符合題意.當(dāng)ae時,因?yàn)閤(0,2),ex-1(1e,e),g(x)=ex-1-a0,則g(x)在(0,2)上單調(diào)遞減,所以g(x)最多只有一個零點(diǎn),不符合題意.當(dāng)1ae時,g(x)=ex-1-a,當(dāng)x(0,ln a+1)時,g(x)0,g(x)單調(diào)遞增,所以g(x)min=g(ln a+1)=-aln a,要使g(x)=ex-

36、1-ax在(0,2)上有兩個不同的零點(diǎn),只要g(0)=1e0,g(lna+1)=-alna0,解得1a0,令f(x)=0,得x=0,若x0,則f(x)0,則f(x)0,f(x)在(0,+)上單調(diào)遞增,所以f(x)有1個極值點(diǎn).(2)當(dāng)a0時,令f(x)=0,得x=0或x=ln(2a),當(dāng)a=12時,ln(2a)=0,f(x)0,f(x)在R上單調(diào)遞增,所以f(x)沒有極值點(diǎn).當(dāng)0a12時,ln(2a)0,得x0,由f(x)0,得ln(2a)x12時,f(x)在(-,0)上單調(diào)遞增,在(0,ln(2a)上單調(diào)遞減,在(ln(2a),+)上單調(diào)遞增,所以f(x)有2個極值點(diǎn).綜上所述,當(dāng)a=12時

37、,f(x)沒有極值點(diǎn),當(dāng)a0時,f(x)有1個極值點(diǎn),當(dāng)a0,且a12時,f(x)有2個極值點(diǎn).討論函數(shù)極值點(diǎn)的個數(shù),就是轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的變號零點(diǎn)的個數(shù),而討論變號零點(diǎn)的個數(shù),常常利用數(shù)形結(jié)合法,將其轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問題,需準(zhǔn)確畫出兩個函數(shù)的圖象,利用圖象討論滿足條件的參數(shù)范圍.針對訓(xùn)練1.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,那么()A.-1是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)B.1是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)C.2是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)D.函數(shù)f(x)有兩個極值點(diǎn)解析:根據(jù)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象可知f(-1)=0,f(2)=0,當(dāng)x0,當(dāng)-1x0,當(dāng)x2時,f(x)

38、0,當(dāng)x(-2,ln 3)時,f(x)0,故當(dāng)x=-2時,函數(shù)f(x)有極大值,極大值是6.答案:65.已知函數(shù)f(x)=xln(2x)-ax2-x(aR),討論函數(shù)f(x)極值點(diǎn)的個數(shù).解:f(x)的定義域?yàn)?0,+),f(x)=ln(2x)+2x12x-2ax-1=ln(2x)-2ax,下面討論f(x)=ln(2x)-2ax的變號零點(diǎn):由f(x)=ln(2x)-2ax=0得a=ln(2x)2x,記t=2x0,g(t)=lntt,因?yàn)間(t)=1-lntt2,令g(t)=0,可得t=e,所以當(dāng)t(0,e)時,g(t)0,當(dāng)t(e,+)時,g(t)0,故g(t)=lntt在(0,e)上單調(diào)遞增

39、,在(e,+)上單調(diào)遞減,且g(e)=1e,畫出函數(shù)的簡圖:所以當(dāng)a1e時,f(x)沒有變號零點(diǎn),當(dāng)a0時,f(x)有1個變號零點(diǎn),當(dāng)0a1e時,f(x)有2個變號零點(diǎn).綜上,當(dāng)a1e時,f(x)無極值點(diǎn),當(dāng)a0時,f(x)有1個極值點(diǎn),當(dāng)0a0,所以f(x)在(0,+)上為增函數(shù).所以在x1,e上,f(x)max=f(e)=1-me.若1em1,即11me,當(dāng)x(0,1m)時,f(x)0,f(x)為增函數(shù),當(dāng)x(1m,+)時,f(x)1,即01m1,f(x)在(1m,+)上為減函數(shù),所以在x1,e上,f(x)max=f(1)=-m.若0me,f(x)在(0,1m)上為增函數(shù),所以當(dāng)x1,e時

40、,f(x)max=f(e)=1-me.綜上所述,當(dāng)m1時,f(x)max=f(1)=-m.典例遷移 (變結(jié)論)已知函數(shù)f(x)=ln x-mx(mR).若m0,且f(x)在12,2上的最大值為-1,求m的值.解:因?yàn)閒(x)=ln x-mx(mR),則f(x)=1x-m=1-mxx,其中x12,2.當(dāng)012,舍去;若12m0,當(dāng)x(1m,2時,f(x)0,所以函數(shù)f(x)在12,1m)上單調(diào)遞增,在(1m,2上單調(diào)遞減,所以f(x)max=f(1m)=-ln m-1=-1,解得 m=1;當(dāng)m2時,對任意的x12,2,f(x)0,此時,函數(shù)f(x)在12,2上單調(diào)遞減,則f(x)max=f(12

41、)=-ln 2-12m=-1,解得m=2-2ln 20,g(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x(e-2,e時,g(x)0,g(x)單調(diào)遞減,所以g(x)max=g(e-2)=3-2e-2=e2.綜上,存在a=e2,使f(x)在區(qū)間(0,e上的最小值為3. 導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用 南半球某地區(qū)冰川的體積每年隨時間而變化,現(xiàn)用t表示時間,以月為單位,年初為起點(diǎn),根據(jù)歷年的數(shù)據(jù),冰川的體積(單位:億立方米)關(guān)于t的近似函數(shù)的關(guān)系為V(t)=-t3+11t2-24t+100,0t10,4(t-10)(3t-41)+100,10t12.(1)該冰川的體積小于100億立方米的時期稱為衰退期.以i-1ti表示第 i月份(i

42、=1,2,12),問:一年內(nèi)哪幾個月是衰退期?(2)求一年內(nèi)該地區(qū)冰川的最大體積.解:(1)由題意可得V(t)100.當(dāng)0t10時,由V(t)=-t3+11t2-24t+1000,解得0t3或8t10.當(dāng)10t12時,由V(t)=4(t-10)(3t-41)+100100,可得10t413,則10t12.綜上所述,衰退期為1月,2月,3月,9月,10月,11月,12月.(2)當(dāng)0t10時,V(t)=-t3+11t2-24t+100,V(t)=-3t2+22t-24=-(3t-4)(t-6).當(dāng)t變化時,V(t)與V(t)在區(qū)間(0,10上的變化情況如表.t(0,43)43(43,6)6(6,1

43、0V(t)-0+0-V(t)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減所以函數(shù)在(0,43),(6,10上單調(diào)遞減,在(43,6)上單調(diào)遞增,所以V(t)極大值=V(6)=136,因?yàn)閂(0)=100,此時V(t)max=V(6)=136.當(dāng)10t12時,V(t)=4(t-10)(3t-41)+100,V(t)=24t-284,故函數(shù)V(t)在(10,716)上單調(diào)遞減,在(716,12上單調(diào)遞增,且V(12)0),記L(x),P(x)分別為每天生產(chǎn)x件服裝的利潤和平均利潤(平均利潤=總利潤總產(chǎn)量).(1)當(dāng)m=600時,每天生產(chǎn)量x為多少時,利潤L(x)有最大值,并求出L(x)的最大值;(2)每天

44、生產(chǎn)量x為多少時,平均利潤P(x)有最大值,并求P(x)的最大值.解:(1)根據(jù)題意,可得利潤L(x)=R(x)-100 x-30 000=-13x2+400 x-100 x-30 000=-13x2+300 x-30 000,x(0,600,整理得L(x)=-13(x-450)2+37 500,x(0,600,因?yàn)閤(0,600,所以當(dāng)x=450時,L(x)有最大值37 500元.(2)依題意得P(x)=-13x2+300 x-30 000 x=-13(x+90 000 x)+300,x(0,m,則P(x)=-x2-90 0003x2,x(0,m.令P(x)=0,即x2-90 0003x2=

45、0,解得x=300或x=-300(舍去),當(dāng)x(0,300)時,P(x)0,P(x)在(0,300)上單調(diào)遞增,當(dāng)x(300,+)時,P(x)0,P(x)在(300,+)上單調(diào)遞減,所以若0m0得x1或x-113,令f(x)0得-113x1,所以函數(shù)f(x)在(-,-113)上單調(diào)遞增,在(-113,1)上單調(diào)遞減,在(1,+)上單調(diào)遞增.顯然滿足函數(shù)f(x)在x=1處有極小值10.當(dāng)a=-3,b=3時,f(x)=3x2-6x+3=3(x-1)20,所以函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增,不滿足函數(shù)f(x)在x=1處有極小值10.所以a+b=4-11=-7.故選A. (2021新高考卷)函數(shù)f(x)=

46、2x-1-2ln x的最小值為.解析:由題設(shè)知f(x)=|2x-1|-2ln x的定義域?yàn)?0,+),所以當(dāng)0 x12時,f(x)=1-2x-2ln x,此時f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)121時,f(x)=2x-1-2ln x,有f(x)=2-2x0,此時f(x)單調(diào)遞增,又f(x)在各分段的界點(diǎn)處連續(xù),所以當(dāng)01時,f(x)單調(diào)遞增,所以f(x)f(1)=1.答案:1 已知函數(shù)f(x)=aln x,aR.設(shè)F(x)=xf(x),求F(x)在a,2a上的最大值.解:由已知a0,F(x)=a(1+ln x),當(dāng)0 x1e時,F(x)1e時,F(x)0,從而F(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1e,+),單調(diào)遞減區(qū)

47、間是(0,1e),從而,F(x)max=maxF(2a),F(a),于是 F(2a)-F(a)=a2ln(4a2)-ln a=a2ln(4a).當(dāng)a14時,F(2a)F(a),所以F(x)max=F(2a)=2a2ln(2a);當(dāng)0a14時,F(2a)F(a),所以F(x)max=F(a)=a2ln a.綜上,F(x)max=a2lna,014. 設(shè)函數(shù)f(x)=ln(x+1)+a(x2-x),其中aR,試討論函數(shù)f(x)極值點(diǎn)的個數(shù),并說明理由.解:函數(shù)f(x)=ln(x+1)+a(x2-x),其中aR,x(-1,+).導(dǎo)數(shù)為f(x)=1x+1+2ax-a=2ax2+ax-a+1x+1.令g

48、(x)=2ax2+ax-a+1.(1)當(dāng)a=0時,g(x)=1,此時f(x)0,函數(shù)f(x)在(-1,+)上單調(diào)遞增,無極值點(diǎn);(2)當(dāng)a0時,=a2-8a(1-a)=a(9a-8).當(dāng)089時,0,設(shè)方程2ax2+ax-a+1=0的兩個實(shí)數(shù)根分別為x1,x2,x1x2.因?yàn)閤1+x2=-12,所以x1-14.由g(-1)0,可得-1x10,f(x)0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x(x1,x2)時,g(x)0,f(x)0,f(x)0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.因此函數(shù)f(x)有兩個極值點(diǎn).(3)當(dāng)a0,由g(-1)=10,可得x1-10,f(x)0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x(x2,+)時,g(x)

49、0,f(x)0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.因此函數(shù)f(x)有一個極值點(diǎn).綜上所述,當(dāng)a89時,函數(shù)f(x)有兩個極值點(diǎn). 知識點(diǎn)、方法基礎(chǔ)鞏固練綜合運(yùn)用練應(yīng)用創(chuàng)新練導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值1,2,3,7,8,912,13,16,1718導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值4,514,15函數(shù)的極值與最值綜合問題6,10111.(2021安徽阜陽高三聯(lián)考)若函數(shù)f(x)=x3-ax2(a0)的極大值點(diǎn)為a-2,則a等于(B)A.1B.2C.4D.6解析:函數(shù)f(x)=x3-ax2(a0)的導(dǎo)數(shù)為f(x)=3x2-2ax.當(dāng)x2a3時,f(x)0,當(dāng)0 x2a3時,f(x)0.所以f(x)的極大值點(diǎn)為0,則a-2=0,解得a

50、=2.故選B.2.(2021河南南陽高三期末)已知函數(shù)f(x)=ax+ex沒有極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(D)A.a0 C.a0 D.a0解析:函數(shù)f(x)=ax+ex在R上沒有極值點(diǎn),即函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于0無解或有唯一解(但導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)的兩側(cè)符號相同).函數(shù)f(x)=ax+ex的導(dǎo)數(shù)為 f(x)=a+ex,所以a+ex=0無解,所以a=-ex無解,所以a0.故選D.3.一個矩形鐵皮的長為16 cm,寬為10 cm,在四個角上截去四個相同的小正方形,制成一個無蓋的小盒子,若記小正方形的邊長為x(cm),小盒子的容積為V(cm3),則(B)A.當(dāng)x=2時,V有極小值B.當(dāng)x=2時,V有極大值C.當(dāng)x=

51、203時,V有極小值D.當(dāng)x=203時,V有極大值解析:小盒子的容積為V(x)=x(16-2x)(10-2x)=4x3-52x2+160 x(0 x5),所以V(x)=12x2-104x+160,令V(x)=0,得x=2或x=203(舍去).當(dāng)0 x0,V(x)單調(diào)遞增,當(dāng)2x5時,V(x)0,f(3)0,a-1120,解得-12a0得,r3V2;由S0得,0r3V2,所以當(dāng)r=3V2時,圓柱的表面積最小.故選D.6.(2021河南鄭州高三聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=x3-(3a+32)x2+6ax,若f(x)在(-1,+)上既有極大值,又有最小值,且最小值為3a-12,則a的取值范圍為(C)A.

52、(-16,12)B.(-12,-16)C.(-12,-16D.(-12,12)解析:由于函數(shù)f(x)=x3-(3a+32)x2+6ax的導(dǎo)數(shù)f(x)=3x2-(6a+3)x+6a=(3x-6a)(x-1)的零點(diǎn)為2a和1,且f(1)=3a-12,所以1是函數(shù)的極小值點(diǎn)即最小值點(diǎn),則2a是函數(shù)的極大值點(diǎn),所以-12a1,且f(-1)3a-12,解得-12a-16.故選C.7.已知a,bR,若x=a不是函數(shù)f(x)=(x-a)2(x-b)(ex-1-1)的極小值點(diǎn),則下列選項(xiàng)符合的是(B)A.1ba B.ba1C.a1b D.ab1解析:令f(x)=(x-a)2(x-b)(ex-1-1)=0,得x

53、1=a,x2=b,x3=1.下面利用數(shù)軸標(biāo)根法畫出f(x)的草圖,借助圖象對選項(xiàng)A,B,C,D逐一分析.對選項(xiàng)A,若1ba,由圖可知x=a是f(x)的極小值點(diǎn),不符合題意;對選項(xiàng)B,若ba1,由圖可知x=a不是f(x)的極小值點(diǎn),符合題意;對選項(xiàng)C,若a1b,由圖可知x=a是f(x)的極小值點(diǎn),不符合題意;對選項(xiàng)D,若a0,解得a2.答案:(-,2)9.(2021湖北武漢高三模擬)寫出一個定義在R上且使得命題“若f(1)=0,則1為函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)”為假命題的函數(shù)f(x)=.解析:由題意,f(1)=0,且f(x)在x=1處不存在變號零點(diǎn),例如f(x)=(x-1)3,則f(x)=3(x-1)

54、2,所以f(1)=0,且f(x)=3(x-1)20,符合題意.答案:(x-1)3(答案不唯一)10.已知函數(shù)f(x)=3-2xx2+a.若函數(shù)f(x)在x=-1處取得極值,則函數(shù)的f(x)的最大值是,最小值是.解析:因?yàn)閒(x)=3-2xx2+a,則f(x)=-2(x2+a)-2x(3-2x)(x2+a)2=2(x2-3x-a)(x2+a)2,由題意可得f(-1)=2(4-a)(a+1)2=0,解得a=4.故f(x)=3-2xx2+4,求導(dǎo)得f(x)=2(x+1)(x-4)(x2+4)2,由f(x)=0得x=-1或x=4.當(dāng)x變化時,函數(shù)f(x),f(x)的變化情況如表,x(-,-1)-1(-

55、1,4)4(4,+)f(x)+0-0+f(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-,-1),(4,+),單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,4).當(dāng)x0;當(dāng)x32時,f(x)0.所以f(x)max=f(-1)=1,f(x)min=f(4)=-14.答案:1-1411.(多選題)(2021廣東湛江高三一模)已知函數(shù)f(x)=x3-3ln x-1,則(BC)A.f(x)的極大值為0B.曲線y=f(x)在(1,f(1)處的切線為x軸C.f(x)的最小值為0D.f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)解析:函數(shù)f(x)=x3-3ln x-1的定義域?yàn)?0,+),導(dǎo)數(shù)f(x)=3x2-3x=3x(x

56、3-1).令f(x)=3x(x3-1)=0,得x=1.當(dāng)x變化時,f(x),f(x)的變化情況如表:x(0,1)1(1,+)f(x)-0+f(x)單調(diào)遞減0單調(diào)遞增所以f(x)的極小值,也是最小值為f(1)=0,無極大值,在定義域內(nèi)不單調(diào),故C正確,A,D錯誤;對于B,由f(1)=0及f(1)=0,所以y=f(x)在(1,f(1)處的切線方程為y=0,即x軸,故B正確.故選BC.12.(2021全國乙卷)設(shè)a0,若x=a為函數(shù)f(x)=a(x-a)2(x-b)的極大值點(diǎn),則(D)A.abC.aba2解析:因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=a(x-a)2(x-b),所以f(x)=2a(x-a)(x-b)+a(x

57、-a)2=a(x-a)(3x-a-2b).令f(x)=0,結(jié)合a0可得x=a或x=a+2b3.(1)當(dāng)a0時,若a+2b3a,即ba,此時易知函數(shù)f(x)在(-,a)上單調(diào)遞增,在(a,a+2b3)上單調(diào)遞減,所以x=a為函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn),滿足題意;若a+2b3=a,即b=a,此時函數(shù)f(x)=a(x-a)3在R上單調(diào)遞增,無極值點(diǎn),不滿足題意;若a+2b3a,即b a,此時易知函數(shù)f(x)在(a+2b3,a)上單調(diào)遞減,在(a,+)上單調(diào)遞增,所以x=a為函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn),不滿足題意.(2)當(dāng)aa,即ba,此時易知函數(shù)f(x)在(-,a)上單調(diào)遞減,在(a,a+2b3)上單調(diào)遞增

58、,所以x=a為函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn),不滿足題意;若a+2b3=a,即b=a,此時函數(shù)f(x)=a(x-a)3在R上單調(diào)遞減,無極值點(diǎn),不滿足題意;若a+2b3a,即b 0,且ba時,滿足題意,當(dāng)a0,且ba2成立.故選D.13.若x0是函數(shù)f(x)=ex-lnxx-1x的極值點(diǎn),則(C)A.1x0+ln x0=0 B.x0-ln x0=0C.x0+ln x0=0 D.1x0-ln x0=0解析:因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=ex-lnxx-1x,所以f(x)=ex+lnxx2,因?yàn)閤0是函數(shù)f(x)=ex-lnxx-1x的極值點(diǎn),所以f(x0)=ex0+ln x0 x02=0,即x02ex0=-ln x

59、0.兩邊取以e為底的對數(shù),得x0+2ln x0=ln(-ln x0),即x0+ln x0=-ln x0+ln(-ln x0).令g(x)=x+ln x(x0),即g(x0)=g(-ln x0),因?yàn)間(x)=1+1x0,所以g(x)在(0,+)上單調(diào)遞增,所以x0=-ln x0,即x0+ln x0=0.故選C.14.已知f(x)=2x3-6x2+m(m為常數(shù)),在-2,2上有最大值3,那么此函數(shù)在-2,2上的最小值為.解析:由已知可得,f(x)=6x2-12x,由6x2-12x=0得x=2或x=0,因此當(dāng)x2,+)(-,0時,f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x0,2時,f(x)單調(diào)遞減,又因?yàn)閤-2,2,

60、所以當(dāng)x-2,0時,f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x0,2時,f(x)單調(diào)遞減,f(x)max=f(0)=m=3,故有f(x)=2x3-6x2+3,所以f(-2)=-37,f(2)=-5.因?yàn)閒(-2)=-370,m(1.1)=21.13+11.12-e1.10,則必存在一點(diǎn)x0(1,1.1),使m(x0)=2x03-ex0+1x02=0,即2x03+1x02=ex0,即m(x)在(1,x0)上單調(diào)遞增,在(x0,2)上單調(diào)遞減,則函數(shù)m(x)在x0處取最大值,且m(x0)=4-1x02-ex0-1x0=4-1x02-1x0-2x03-1x02=4-2x02-1x0-2x03,x0(1,1.1),易知m