推理與證明.知識(shí)框架 普通高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義Word版

1、模塊框架合情推珅合悄推理與演繹椎理演繹推理數(shù)學(xué)!I呦滋堆砒證明整用問(wèn)題謹(jǐn)明恒等式與不等式數(shù)列中的數(shù)學(xué)歸納法瓦他炎型題綜合注|仃析法坪艮證法二匸高考要求合情推理演繹證明與數(shù)學(xué)歸納法要求層次重難點(diǎn)推理證明A掌握數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，熟練表達(dá)數(shù)學(xué)歸納法證明過(guò)程.對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的認(rèn)識(shí)不斷深化掌握數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用：證恒等式；整除性的證明；探求平面幾何中的問(wèn)題；探求數(shù)列的通項(xiàng)；不等式的證明.直接證明與間接證明A數(shù)學(xué)歸納法B演繹推理Cmin&知識(shí)內(nèi)容一、合情推理與演繹推理推理根據(jù)一個(gè)或幾個(gè)事實(shí)（或假設(shè)）得出一個(gè)判斷，這種思維方式叫推理.從結(jié)構(gòu)上說(shuō)，推理一般由兩部分組成,一部分是已知的事實(shí)（或假設(shè)）叫做前提，一

2、部分是由已知推出的判斷，叫結(jié)論.合情推理：根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過(guò)觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類比，然后提出的推理叫合情推理。合情推理可分為歸納推理和類比推理兩類：（1）歸納推理：由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類事物的全部對(duì)象具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理。簡(jiǎn)言之，歸納推理是由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理（2）類比推理：由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象具有的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理，簡(jiǎn)言之，類比推理是由特殊到特殊的推理。演繹推理：從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論的推理叫演繹推理,簡(jiǎn)言之，演繹推理是由一般到特殊的

3、推理。三段論是演繹推理的一般模式，它包括：（1）大前提-已知的一般原理；（2）小前提-所研究的特殊情況；（3）結(jié)論根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況作出的判斷。演繹法：如果一般的命題是已經(jīng)證明了的，或者是未經(jīng)證明而作為真理用的，那么以這個(gè)一般命題推出的每一個(gè)特殊命題也就是正確的象這樣由一般到特殊的推理方法，通常稱為演繹推理或者演繹法歸納法：先考察一些特殊的事例，然后分析它們共同具有的特征，作出一般的結(jié)論.象這樣由特殊到一般的推理方法通常稱為歸納推理，或者歸納法.歸納法又分為完全歸納法和不完全歸納法兩種.（1）由一些特殊事例推出一般結(jié)論的推理方法特點(diǎn)：特殊一一般.（2）不完全歸納法：從一個(gè)或幾個(gè)（但不是全

4、部）特殊情況作出一般性結(jié)論的歸納推理.不完全歸納法又叫做普通歸納法.這種歸納法是以一定數(shù)量的事實(shí)作基礎(chǔ)，進(jìn)行分析研究，找出規(guī)律.但是，由于不完全歸納法是以有限數(shù)量的事實(shí)作為基礎(chǔ)而得出的一般性結(jié)論.這樣作出的結(jié)論有時(shí)可能不正確.例如，在數(shù)列a二n2+n+41中，當(dāng)n項(xiàng)數(shù)為1，2，3，38，39時(shí)，數(shù)列的項(xiàng)分別為43，47，53,1601，這些數(shù)都是質(zhì)數(shù)，如果由此得出“數(shù)列a（其中a二n+n+41）的所有項(xiàng)都是nn質(zhì)數(shù)”的結(jié)論，那么就不對(duì)了.因?yàn)楫?dāng)n=40時(shí)，則a二402+40+41二412，可n以看出，a的值不是質(zhì)數(shù)了，而是合數(shù).雖然不完全歸納法的結(jié)論有時(shí)可能不40正確，但它仍是一種重要的推理方

5、法.完全歸納法:作為結(jié)論依據(jù)的觀察，如果包含了規(guī)律所涉及的一切現(xiàn)象，這種歸納法叫做完全歸納法.由完全歸納所得出的結(jié)論是可靠的.完全歸納法是把出現(xiàn)的特殊情況完全無(wú)遺的一一加以研究，從而得出一般性的結(jié)論的推理方法.完全歸納法又叫做枚舉歸納法.應(yīng)用完全歸納法，在考慮各種情況時(shí)，應(yīng)做到不重不漏.教師備案完全歸納法是一種在研究了事物的所有(有限種)特殊情況后得出一般結(jié)論的推理方法，又叫做枚舉法.與不完全歸納法不同，用完全歸納法得出的結(jié)論是可靠的通常在事物包括的特殊情況數(shù)不多時(shí)，采用完全歸納法二、直接證明與間接證明三種證明方法的定義與步驟：綜合法是由原因推導(dǎo)到結(jié)果的證明方法，它是利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義

6、、公理、定理等，經(jīng)過(guò)一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立的證明方法。丄析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求推證過(guò)程中，使每一步結(jié)論成立的充分條件，直到最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條件、定義、公理、定理等)為止的證明方法。假設(shè)原命題的結(jié)論不成立,經(jīng)過(guò)正確的推理,最后得出矛盾,由此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤,從而證明了原命題成立，這樣的方法叫反證法；它是一種間接的證明方法.用這種方法證明一個(gè)命題的一般步驟：(1)假設(shè)命題的結(jié)論不成立;(2)根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推理，直至U推理中導(dǎo)出矛盾為止斷言假設(shè)不成立(4)肯定原命題的結(jié)論成立三、數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法:對(duì)于某些與自然數(shù)n有關(guān)的命題常常

7、采用下面的方法來(lái)證明它的正確性：先證明當(dāng)n取第一個(gè)值n時(shí)命題成立；然后假設(shè)當(dāng)n=k(keN*，k三0n)時(shí)命題成立，證明當(dāng)n二k+1命題也成立+這種證明方法就叫做數(shù)學(xué)歸納0法.數(shù)學(xué)歸納法的基本思想：數(shù)學(xué)歸納法是完全歸納法的一種.它是一種歸納演繹的推理方法.數(shù)學(xué)歸納法的理論依據(jù)是“自然數(shù)歸納原理”設(shè)A(n)表示關(guān)于自然數(shù)n的一命題，如果滿足條件：(i)A(1)正確；(ii)假設(shè)A(k)成立，推斷A(k+1)也成立、那么A(n)對(duì)一切自然數(shù)n都成立其中第(i)是驗(yàn)證，它是證明的基礎(chǔ)；第(ii)是以假設(shè)A(k)成立，通過(guò)演繹推理，推證出A（k+1）也正確.即先驗(yàn)證使結(jié)論有意義的最小的正整數(shù)n，如果當(dāng)

8、n二n時(shí)，命題成立，再假設(shè)當(dāng)n二k（keN*，k三n）時(shí)，000命題成立.（這時(shí)命題是否成立不是確定的），根據(jù)這個(gè)假設(shè)，如能推出當(dāng)n二k+1時(shí)，命題也成立，那么就可以遞推出對(duì)所有不小于n的正整數(shù)n+1，00n+2，命題都成立.0用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題的步驟：（1）證明：當(dāng)n取第一個(gè)值n結(jié)論正確；0假設(shè)當(dāng)n=k（keN*，k三n）時(shí)結(jié)論正確，證明當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也正確.0（3）由（1）,（2）可知，命題對(duì)于從n開始的所有正整數(shù)n都正確.0教師備案數(shù)學(xué)歸納法被用來(lái)證明與自然數(shù)有關(guān)的命題：遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉.用數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí)，兩步缺一不可；（2）證題時(shí)

9、要注意兩湊：一湊歸納假設(shè)，二湊目標(biāo).教師備案數(shù)學(xué)歸納法大致可分為兩個(gè)步驟，第一步，驗(yàn)證命題對(duì)某個(gè)自然數(shù)n=n成立，（nN），般取n=1，第二步假設(shè)n=k（kN，k三n）的時(shí)候，000命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立至此就可以得到結(jié)論，命題對(duì)于n和0比n大的所有自然數(shù)都成立.0如果將證明數(shù)學(xué)命題用建筑高樓來(lái)比喻，這兩步中，第一部可以看作是奠基部分，第二步可以看作是建設(shè)部分，整個(gè)命題的基礎(chǔ)就在第一步，如果忽略第一步，或者是第一步錯(cuò)誤的話，那么不管第二步的證明有多巧妙和精彩，都如大廈建在沙子上一樣，是不穩(wěn)固的；而整個(gè)命題的遞推過(guò)程在于第二步，如果遞推過(guò)程出現(xiàn)了問(wèn)題或者瑕疵，那么就如同建筑中的“爛尾樓”一般，得不到一個(gè)圓滿的結(jié)局.由此可見，這兩步都非常重要，缺一不可.數(shù)學(xué)歸納法是證明有遞推性或可轉(zhuǎn)化為遞推性命題的有效手段，它的思路明晰，形式優(yōu)美，但也要看到它的局限性，那就是并不