2021-2022學(xué)年安徽省合肥市一六八中學(xué)高三下學(xué)期最后一卷理科數(shù)學(xué)試題（解析版）

1、2021-2022學(xué)年安徽省合肥市一六八中學(xué)高三下學(xué)期最后一卷理科數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上2回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效3考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1. 設(shè)全集，集合，若A與B的關(guān)系如圖所示，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求得集合，結(jié)合韋恩圖得到是的真子集

2、，即可求解.【詳解】由題意，集合，且，根據(jù)給定的韋恩圖，可得是的真子集，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.2. 設(shè)復(fù)數(shù)z滿足（其中i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z的模不可能是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義判斷【詳解】表示對應(yīng)的點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，此圓過原點(diǎn)，圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最小值為0，最大值為直徑長，因此D不可能故選：D3. 若函數(shù)的部分圖像如圖所示，則圖像的一條對稱軸是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本題首先可根據(jù)圖像得出函數(shù)最小正周期以及周期的，然后求出函數(shù)的對稱軸，最后與四個選項(xiàng)對比，即可得出結(jié)果.【詳解】結(jié)

3、合圖像易知，函數(shù)的最小正周期為，周期的為，結(jié)合圖像易知，函數(shù)的對稱軸為或，與四個選項(xiàng)對比易知，是函數(shù)的一條對稱軸，故選：B4. 如圖，正方體上、下底面中心分別為，將正方體繞直線旋轉(zhuǎn)，下列四個選項(xiàng)中為線段旋轉(zhuǎn)所得圖形是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先根據(jù)的中點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)軸的距離小于、兩點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)軸距離，得到A、C項(xiàng)不符合題意再由所得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面上有無數(shù)條直線且直線的方向與轉(zhuǎn)軸不共面，可得A項(xiàng)不符合題意由此可得只有D項(xiàng)符合題意【詳解】解：設(shè)正方體的棱長等于，的中點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)軸的距離等于，而、兩點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)軸的距離等于，的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，得到的圓較小，可得所得旋轉(zhuǎn)體的中間小，上、下底面圓

4、較大由此可得A、C項(xiàng)不符合題意，舍去又在所得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面上有無數(shù)條直線，且直線的方向與轉(zhuǎn)軸不共面，B項(xiàng)不符合題意，只有D項(xiàng)符合題意故選：D5. 對任意非零實(shí)數(shù)，若的運(yùn)算原理如圖所示，則的值為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先分析出該程序的作用是計(jì)算分段函數(shù)函數(shù)值，然后由即可得到正確答案.【詳解】分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示順序，可知：該程序的作用是計(jì)算分段函數(shù)函數(shù)值，此時，故選：C6. 設(shè)x、，則“”是“且”的（ ）A 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】先化簡，然后根據(jù)充要條件

5、的定義進(jìn)行判定.【詳解】因?yàn)椋?，即有；同理可得，所以“”是“且”的充分條件.反之，當(dāng)時，不能得出，所以“”不是“且”的必要條件.故選：A.7. 已知正數(shù)x，y滿足，則的最小值（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用換元法和基本不等式即可求解.【詳解】令，則，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，等號成立，故選：A.8. 已知一小球與三棱錐三個相互垂直的側(cè)面都相切，若此球面上存在一點(diǎn)到這三個側(cè)面的距離分別為5，4，5，則這個小球的最大半徑是（ ）A. 3B. 5C. 8D. 11【答案】D【解析】【分析】把三棱錐的三個側(cè)面擴(kuò)展成以（是三棱錐的頂點(diǎn)，是內(nèi)切球的球心）為對角線的正方體，正方體

6、的棱長為內(nèi)切球半徑，由列方程求解【詳解】由三棱錐的三個側(cè)互相垂直，記三棱錐的這個頂點(diǎn)為，球心記為，球心到三個側(cè)面的距離相等，把這三個側(cè)面擴(kuò)展，構(gòu)成以為對角線的正方體，如圖，點(diǎn)到三棱錐三個側(cè)面的距離分別為，設(shè)內(nèi)切球半徑為，即圖中形成的正方體的棱長為，由圖形可知，化簡得，解得或其中是圖中情形，是在圖中正方體外部的情形故選：D9. 劉徽構(gòu)造的幾何模型“牟合方蓋”中說：“取立方棋八枚，皆令立方一寸，積之為立方二寸規(guī)之為圓困，徑二寸，高二寸又復(fù)橫規(guī)之，則其形有似牟合方蓋矣”牟合方蓋是一個正方體被兩個圓柱從縱橫兩側(cè)面作內(nèi)切圓柱體時的兩圓柱體的公共部分，計(jì)算其體積的方法是將原來的“牟合方益”平均分為八份，取

7、它的八分之一（如圖一）記正方形OABC的邊長為r，設(shè)，過P點(diǎn)作平面PQRS平行于平面OABC，由勾股定理有，故此正方形PQRS面積是如果將圖一的幾何體放在棱長為r的正方體內(nèi)（如圖二），不難證明圖二中與圖一等高處陰影部分的面積等于（如圖三）設(shè)此棱錐頂點(diǎn)到平行于底面的截面的高度為h，不難發(fā)現(xiàn)對于任何高度h，此截面面積必為，根據(jù)祖暅原理計(jì)算牟合方蓋體積（ ）注：祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”意思是兩個同高的立體，如在等高處的截面積相等，則體積相等A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】計(jì)算出正方體的體積，四棱錐的體積，根據(jù)祖暅原理可得圖一中幾何體體積，從而得結(jié)論【詳解】棱錐，由祖暅原理

8、圖二中牟合方蓋外部的體積等于棱錐所以圖1中幾何體體積為，所以牟合方蓋體積為故選：C10. 已知等差數(shù)列的公差為，且，且、成等比數(shù)列，若，為數(shù)列的前項(xiàng)和則的最小值為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由已知可得出關(guān)于的等式，結(jié)合可求得的值，求出、，分析數(shù)列的單調(diào)性，即可求得的最小值.【詳解】由已知可得，即，可得，解得，所以，令，則，當(dāng)時，即，當(dāng)時，即，所以，數(shù)列中，最小，故的最小值為.故選：D.11. 已知ABC的外接圓半徑長為1，則的最小值為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先分析取最小值的狀態(tài)，結(jié)合數(shù)量積的意義和二次函數(shù)可求答案.【詳解】由題意，為鈍

9、角時，取到最小值；如圖，為的中點(diǎn)，在上的投影向量為；由可知當(dāng)在上的投影長最長時，即 與圓 相切時，可取到最小值； ，當(dāng)時，所以的最小值為.故選：B.12. 已知有兩個零點(diǎn)，有兩個零點(diǎn)，若區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】解出所有零點(diǎn)，取值驗(yàn)證排除可得.【詳解】由題知，得解得解得因?yàn)樗约慈r，不滿足，故BC錯誤；取時，即，不滿足題意，故D錯誤.故選：A二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分13. 命題p：若，則則命題p的否命題是_【答案】若，則【解析】【分析】根據(jù)否命題的定義進(jìn)行求解.【詳解】根據(jù)否命題的定義，若，則的否命題為：若，則.

10、故答案為：若，則.14. 若過點(diǎn)作斜率為1的直線與雙曲線的兩條漸近線交點(diǎn)M，N，若，則此雙曲線C的離心率是_【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意得到的方程為，以及漸近線方程為，聯(lián)立方程組，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合，列出方程求得的值，結(jié)合離心率的定義，即可求解.【詳解】由題意，直線的方程為，又由雙曲線，可得其漸近線方程為，聯(lián)立方程組和，分別解得，因?yàn)椋傻?，即，解得，所以雙曲線的離心率為.故答案為：.15. 已知向量，是單位向量，若，且，則的取值范圍是_【答案】【解析】【分析】不妨設(shè)，設(shè)，由模的定義、兩點(diǎn)間距離的定義得出的軌跡是線段（其中，），而表示到的距離，求出到的距離，到直線的距離后可得所求范圍【詳解

11、】因?yàn)橄蛄浚菃挝幌蛄?，且，所以不妨設(shè)，設(shè)，則由得，設(shè)，則，所以表示的點(diǎn)在線段上表示到的距離，如圖，直線方程為，即，到直線的距離為，所以的取值范圍是故答案為：16. 2022年疫情期間，某市中心醫(yī)院分三批共派出6位年齡互不相同的醫(yī)務(wù)人員支授上海六個不同的方艙醫(yī)院，每個方艙醫(yī)院分配一人，第一批派出一名醫(yī)務(wù)人員的年齡為，第二批派出兩名醫(yī)務(wù)人員的年齡最大者為，第三批派出三名醫(yī)務(wù)人員的年齡最大者為，則滿足的分配方案的概率為_【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意年齡最大醫(yī)務(wù)人員必在第三批，先安排年齡最大的醫(yī)務(wù)人員，安排剩下的兩個醫(yī)務(wù)人員，然后安排第二批和第一批，同樣先安排年齡最大的醫(yī)務(wù)人員,再安排剩下的兩位

12、醫(yī)務(wù)人員，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得到所有分配方式數(shù)，然后利用古典概型的概率求解.【詳解】解：由題意得年齡最大的醫(yī)務(wù)人員必在第三批，安排年齡最大的醫(yī)務(wù)人員有種方法，第三批中剩下的兩個方艙醫(yī)院安排有種分配方式，在留下的三位醫(yī)務(wù)人員中，把這個年齡最大的醫(yī)務(wù)人員安排在第二批，有種分配方式，剩下的兩位醫(yī)務(wù)人員有種分配方式，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知：所有分配方式數(shù)為種：又沒有任何要求的分配方式為種，所以滿足的分配方案的概率為，故答案為：三、解答題：本大題共6小題，共70分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟（一）必考題：共60分17. 關(guān)于加快推進(jìn)生態(tài)文明建設(shè)的意見，正式把“堅(jiān)持綠水青山就是金山銀山”的理念寫進(jìn)

13、中央文件，成為指導(dǎo)中國加快推進(jìn)生態(tài)文明建設(shè)的重要指導(dǎo)思想為響應(yīng)國家號召，某市2020年植樹節(jié)期間種植了一批樹苗，2022年市園林部門從這批樹苗中隨機(jī)抽取100棵進(jìn)行跟蹤檢測，得到樹高的頻率分布直方圖如圖所示：（1）求樹高在225-235cm之間樹苗棵數(shù)，并求這100棵樹苗樹高的平均值；（2）若將樹高以等級呈現(xiàn)，規(guī)定：樹高在185-205cm為合格，在205-235為良好，在235-265cm為優(yōu)秀視該樣本的頻率分布為總體的頻率分布，若從這批樹苗中機(jī)抽取3棵，求樹高等級為優(yōu)秀的棵數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望【答案】（1）； （2）分布列見解析；期望為【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算可得；（2

14、）首先求出樹高為優(yōu)秀的概率，依題意可知，根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式得到分布列，從而求出數(shù)學(xué)期望；【小問1詳解】解：樹高在225-235cm之間的棵數(shù)為：樹高的平均值為：【小問2詳解】解：由（1）可知，樹高為優(yōu)秀的概率為：，由題意可知，則的所有可能取值為0，1，2，3，故的分布列為：0123P0.5120.3840.0960.008因?yàn)?，所?8. 已知正整數(shù)數(shù)列，當(dāng)時，恒成立（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列并求出其通項(xiàng)公式；（2）定義：表示不大于x的正整數(shù)的個數(shù)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為求的值【答案】（1）證明見解析；， （2）【解析】【分析】（1）由得：，且是正整數(shù)列，所以，即可證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）利用

15、錯位相減法求出數(shù)列的前n項(xiàng)和為，由的范圍可確定，即可求出的值.【小問1詳解】由得：因?yàn)槭钦麛?shù)列，所以，于是是等比數(shù)列又，所以，；【小問2詳解】因?yàn)椋蟽墒较鄿p得，所以，又，即為遞增數(shù)列，所以，.19. 已知圓M：上動點(diǎn)Q，若，線段QN的中垂線與直線QM交點(diǎn)為P（1）求交點(diǎn)P的軌跡C方程；（2）若A，B分別軌C與x軸的兩個交點(diǎn)，D為直線上一動點(diǎn)，DA，DB與曲線C的另一個交點(diǎn)分別是E、F、證明：直線EF過一定點(diǎn)【答案】（1） （2）證明見解析【解析】【分析】（1）數(shù)形結(jié)合，由雙曲線定義可得；（2）設(shè)直線方程分別解得E、F的坐標(biāo)，然后可得直線EF方程，化簡可證.【小問1詳解】由題知，所以由雙曲線

16、定義可知點(diǎn)P的軌跡為雙曲線，其中，得曲線C的方程 【小問2詳解】設(shè)點(diǎn)由，設(shè)直線DA與曲線另一個交點(diǎn)為E，直線DB與曲線另一個交點(diǎn)為F（其中，若等于，此時其中一條直線與其中一條漸近線平行，與曲線C只有一個交點(diǎn)）由直線DA：代入曲線C：得得由即直線DB：代入曲線C：中將，得由即EF：即故直線恒過一定點(diǎn)20. 已知函數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)），其中（1）試討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若有兩個極值點(diǎn)和，記過點(diǎn)，的直線的斜率為k，同：是否存在a，使得？若存在，求出a的值，若不存在，請說明理由【答案】（1）答案不唯一，具體見解析； （2）不存在；理由見解析.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分和分別討論值的

17、符號作答.（2）根據(jù)給定條件，求出斜率k，在成立時可得，分析整理并構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)探討單調(diào)性質(zhì)即可推理作答.【小問1詳解】函數(shù)定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得，而，則當(dāng)時，即在R上為增函數(shù)，當(dāng)時，由，得，即，解得或，則有或，由，解得，所以在上遞減，在和上遞增【小問2詳解】依題意，求導(dǎo)得，有兩個極值點(diǎn)，即在上有兩個不等根和，則，且，因?yàn)椋瑒t，若存在a，使得，則，即，不妨令，亦即成立，令，因此在上遞增，于是得當(dāng)時，不成立，所以不存在a，使得.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及的雙變量函數(shù)問題，不管待證的是兩個變量的等式或不等式，還是導(dǎo)函數(shù)的值的等式或不等式，都是把雙變量的等式或不等式轉(zhuǎn)化為一元變量問題求解，途徑都是構(gòu)造一

18、元函數(shù).21. 已知頂點(diǎn)為S的圓錐面（以下簡稱圓錐S）與不經(jīng)過頂點(diǎn)S的平面相交，記交線為C，圓錐S的軸線l與平面所成角是圓錐S頂角（圓S軸截面上兩條母線所成角的一半，為探究曲線C的形狀，我們構(gòu)建球T，使球T與圓錐S和平面都相切，記球T與平面的切點(diǎn)為F，直線l與平面交點(diǎn)為A，直線AF與圓錐S交點(diǎn)為O，圓錐S的母線OS與球T的切點(diǎn)為M，（1）求證：平面SOA平面，并指出a，b，關(guān)系式；（2）求證：曲線C是拋物線【答案】（1）證明見解析； （2）證明見解析.【解析】【分析】（1）由題設(shè)條件可得平面AOS平面，據(jù)此可求出球的半徑，可得，化簡即可得解；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求兩點(diǎn)間的距離，化簡方程即可得解.【小問1詳解】平面AOS截球T的截面圓與直線AO相切于F，記P是平面內(nèi)不在直線OA上的點(diǎn)，平面TFP截球T的截面圓與直線FP相切于點(diǎn)F平面內(nèi)直線AO，F(xiàn)P相交于點(diǎn)FTF平面直線TF平面AOS平面AOS平面連TO，TM，球T的半徑且，【小問2詳解】在平面AOS內(nèi)圓錐的另一條母線與球T的切點(diǎn)記為N點(diǎn)，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在直線為x軸，過O與TF平行的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，OM，OF與球T相切，設(shè)交線C上任意點(diǎn)，記圓錐S的母線SP與球T相切于EPF與球T相切于點(diǎn)F，即（1）兩邊平方整理得：（2）兩邊平方整理得：（3）易知：（3）（2）（