隨機過程理論：12 高斯過程（正態(tài)過程）

1、高斯隨機過程北京航空航天大學主講人：張有光電話：82314978，F(xiàn)806第12講高斯 數(shù)學王子他的思想深入數(shù)學、空間、大自然的奧秘.他推動了數(shù)學的進展直到下個世紀。數(shù)學是科學的皇后17771855 德國 拉普拉斯認為：高斯是世界上最偉大的數(shù)學家 主要貢獻 1數(shù)據(jù)擬合中最小二乘法正態(tài)分布公式 和高斯曲線代數(shù)基本定理：多項式解的存在性對數(shù)論、復變函數(shù)、橢圓函數(shù)、超幾何級數(shù)、統(tǒng)計數(shù)學等各個領域都有卓越的貢獻第一個成功地運用復數(shù)和復平面幾何主要貢獻 2算術(shù)探究奠定了近代數(shù)論的基礎；一般曲面論是近代微分幾何的開端；第一個領悟到存在非歐幾何的數(shù)學家；現(xiàn)代數(shù)學分析學大師，論文無窮極數(shù)的一般研究，引入了高斯

2、級數(shù)的概念，對級數(shù)的收斂性作了第一次系統(tǒng)的研究，從而開創(chuàng)了關(guān)于級數(shù)收斂性研究的新時代，這項工作開辟了通往19世紀中葉分析學的嚴密化道路。在數(shù)學中以高斯命名的有：高斯公式、高斯曲率、高斯分布、高斯方程、高斯曲線、高斯平面、高斯記號、高斯概率、高斯變換、高斯分解、高斯和、高斯素數(shù)、高斯級數(shù)、高斯系數(shù)、高斯準則、高斯原理、高斯消元法、高斯映射、高斯測度、高斯二次型、高斯多項式、高斯不等式、高斯隨機過程、高斯隨機變量等等.主要內(nèi)容一、高斯隨機過程定義二、多維高斯隨機變量三、高斯隨機過程性質(zhì)1、高斯隨機過程定義 隨機過程 ，在 中的任意n個時刻 (n是正整數(shù))上的n維 隨機矢量 的聯(lián)合分布密度是高斯的：

3、1、高斯隨機過程定義2、高斯過程的重要性廣泛性中心極限定理：大量獨立的，均勻微小的隨機變量總和都近似地服從高斯分布。例如，無線電設備中的熱噪聲（前置放大器）、通信信道中噪聲信號、大氣湍流、宇宙噪聲、維納過程（布朗運動）等等。數(shù)學優(yōu)點二階矩、廣義平穩(wěn)與狹義平穩(wěn)等價，高斯隨機過程通過線性系統(tǒng)還是高斯隨機過程。二、多維高斯隨機變量1、一維高斯（正態(tài)）分布2、二維高斯（正態(tài)）分布3、 n維高斯（正態(tài)）分布1、一維高斯（正態(tài)）分布特別地2、二維高斯（正態(tài)）分布標準化可得：2、二維高斯（正態(tài)）分布特別地 r=0n維聯(lián)合分布？2、二維高斯分布的矩陣形式2、二維高斯分布的矩陣形式與一元高斯分布相比，可以推測n

4、元高斯分布的形式3、 n維高斯聯(lián)合概率密度n維高斯隨機變量 均值矢量 ，且它的協(xié)方差矩陣 是正定矩陣，則概率密度函數(shù)為：3、 n維高斯聯(lián)合概率密度先看n元完全獨立標準高斯隨機變量3、 n維高斯聯(lián)合概率密度3、n維高斯聯(lián)合概率密度 協(xié)方差矩陣C為對稱正定的，根據(jù)矩陣論定理，存在可逆線性變換，可以對角化，也即：雅可比：線性變換4、n維高斯分布特征函數(shù)證明：先看標準正態(tài)于是5、多維高斯隨機矢量的邊沿分布子矢量6、不相關(guān)獨立n維高斯隨機變量 互不相關(guān)，則協(xié)方差矩陣為對角矩陣，于是不相關(guān)獨立6、子向量的統(tǒng)計獨立性X為高斯分布的隨機矢量，X1和X2為兩個子矢量，其協(xié)方差矩陣 則X1和X2獨立的充要條件證明

5、：必要性：兩個隨機向量獨立，則第一個的分量與所有第二個隨機變量的分量獨立，也即充分性：7、線性變換等價定義重要 為聯(lián)合正態(tài)分布的充分必要條件正態(tài)分布8、n維高斯隨機矢量各階矩一階矩二階矩三、高斯隨機過程1、高斯隨機過程定義2、廣義平穩(wěn)嚴平穩(wěn)3、復高斯隨機過程1、高斯隨機過程定義定義：隨機過程 ，在 中的任意n個時刻 (n是正整數(shù))上的n維 隨機矢量 的聯(lián)合分布密度是高斯的：1、高斯隨機過程定義2、廣義平穩(wěn)嚴平穩(wěn)3、復高斯隨機過程如果所給定的隨機過程是復高斯隨機過程，則在n個時刻對應的n個復隨機變量，構(gòu)成2n維聯(lián)合高斯分布。4、高斯隨機過程的特性高斯隨機過程完全由它的均值和協(xié)方差函數(shù)決定。高斯隨機過程在不同時刻 的 取值不相關(guān)和相互獨立等價高斯過程的廣義平穩(wěn)性意味著嚴格平穩(wěn)性高斯隨機過程通過線性系統(tǒng)還是高斯的舉例說明設X(t)是定義在a,b上的高斯隨機過程， 是兩個任意的非零實函數(shù)，令證明聯(lián)合高斯的。證明：都是高斯隨機變量小結(jié) n維正態(tài)分布概率密度函數(shù)與特征函數(shù)，注意歸納方法與演繹方法結(jié)