隨機(jī)過(guò)程理論：04 時(shí)間平均和各態(tài)歷經(jīng)性 反推方法

1、報(bào)考研究生準(zhǔn)備工作確立職業(yè)發(fā)展規(guī)劃了解自己、確定目標(biāo)所需培養(yǎng)的素質(zhì)和能力系統(tǒng)分析、組織協(xié)調(diào)、溝通能力選擇學(xué)校和指導(dǎo)教師培養(yǎng)方式、研究條件、研究方向網(wǎng)頁(yè)、師兄、面談準(zhǔn)備面試相關(guān)系數(shù)與相關(guān)時(shí)間1、相關(guān)系數(shù)2、相關(guān)時(shí)間1、相關(guān)系數(shù)協(xié)方差函數(shù) 但是依賴(lài)于兩個(gè)量本身的大小思考題：為什么不是自相關(guān)函數(shù)的比值？相關(guān)系數(shù)2、相關(guān)時(shí)間對(duì)于許多過(guò)程當(dāng) 之間已不相關(guān)，因此工程上通常定出一時(shí)間本書(shū)缺省為定義12、相關(guān)時(shí)間舉例已知隨機(jī)過(guò)程X(t)和Y(t)的協(xié)方差函數(shù)分別為（1）比較兩個(gè)過(guò)程的起伏程度（2）比較 時(shí)兩個(gè)過(guò)程的相關(guān)程度（3）比較Y(t)在0和 的相關(guān)程度2、相關(guān)時(shí)間舉例起伏快起伏慢時(shí)間平均和各態(tài)歷經(jīng)性主講

2、人：張有光電 話(huà)：82314978辦公室：新主樓F806第四講背景知識(shí)維納預(yù)測(cè)問(wèn)題設(shè)有零均值實(shí)平穩(wěn)過(guò)程 ，現(xiàn)在的問(wèn)題是要利用已知值 預(yù)測(cè)未來(lái)值 ，為常量，也即 選擇 使得：隨機(jī)過(guò)程數(shù)字特征的重要性均值、自相關(guān)函數(shù)怎樣獲得？ 在這個(gè)例子中，只能獲得飛機(jī)過(guò)去一段時(shí)間的飛行軌跡，也就是說(shuō)能否用一個(gè)樣本來(lái)獲得平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的均值和自相關(guān)函數(shù)？ 這就需要證明每個(gè)樣本的時(shí)間均值等于該隨機(jī)過(guò)程的均值！舉例說(shuō)明回顧大數(shù)定律切比雪夫大數(shù)定律 獨(dú)立同分布，均值和方差都存在例 2.3-2設(shè)Y是均值為零、方差為 的隨機(jī)變量，定義一個(gè)隨機(jī)過(guò)程 則 的統(tǒng)計(jì)特性與 t 無(wú)關(guān)。因此是嚴(yán)格平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，由于二階矩存在肯定是廣義平

3、穩(wěn)。但是時(shí)間平均與集平均不一定相同主要內(nèi)容一、時(shí)間均值與集平均基本概念二、均值各態(tài)歷經(jīng)性定理三、自相關(guān)函數(shù)各態(tài)歷經(jīng)性定理四、估計(jì)均值和自相關(guān)函數(shù)的方法一、時(shí)間均值與集平均基本概念1、集平均2、時(shí)間平均3、時(shí)間平均和集平均的關(guān)系4、各態(tài)歷經(jīng)性（遍歷性）的概念1、集平均的概念集平均-Ex(t)，又稱(chēng)統(tǒng)計(jì)平均，是指對(duì)一族樣本進(jìn)行的均值估計(jì)。取集平均的方法需要的工作量大，處理方法復(fù)雜，在實(shí)際中不便操作。2、時(shí)間平均的數(shù)學(xué)定義設(shè)x(t)是隨機(jī)過(guò)程X(t)的一個(gè)樣本函數(shù)，則稱(chēng)極限為隨機(jī)過(guò)程X(t)的一個(gè)時(shí)間平均。 由于樣本的任意性 ，一般來(lái)說(shuō)它是一個(gè)隨機(jī)變量。時(shí)間平均的觀測(cè)便于實(shí)際操作時(shí)間相關(guān)函數(shù)將定義為

4、X(t)的時(shí)間相關(guān)函數(shù)。3、時(shí)間平均和集平均關(guān)系4、各態(tài)歷經(jīng)性的定義條件1設(shè)X(t)是一平穩(wěn)過(guò)程，若依概率1成立，即對(duì)任意的0，有則稱(chēng)過(guò)程X(t)的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性。條件2若依概率1成立，即對(duì)于任意的0，有則稱(chēng)過(guò)程X(t)的自相關(guān)函數(shù)具有各態(tài)歷經(jīng)性。各態(tài)歷經(jīng)性條件1與條件2都滿(mǎn)足的情況下，也就是X(t)的均值和自相關(guān)函數(shù)都具有各態(tài)歷經(jīng)性時(shí)，稱(chēng)過(guò)程X(t)是各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程。5、舉例說(shuō)明2. 3-1隨機(jī)相位余弦波的時(shí)間平均 和 自相關(guān)函數(shù)解： 與2.2-4 比較三、均值各態(tài)歷經(jīng)性1、均值各態(tài)歷經(jīng)性 條件分析2、均值各態(tài)歷經(jīng)性 定理均值各態(tài)歷經(jīng)性 條件分析條件分析： 依概率1成立首先從例2.2-5類(lèi)

5、似方法，需要證明其次，方差：積分域進(jìn)行如圖的置換均值各態(tài)歷經(jīng)性 條件分析故：代入，得：均值各態(tài)歷經(jīng)性 條件分析 此條件等價(jià)為：由于 依概率1成立的充要條件是：均值各態(tài)歷經(jīng)性定理定理：平穩(wěn)過(guò)程X(t)的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性的充分必要條件是：定理?xiàng)l件的內(nèi)涵加權(quán)平均隨機(jī)序列各態(tài)歷經(jīng)性條件說(shuō)明：貝努里大數(shù)定律切比雪夫（獨(dú)立同分布，均值和方差）貝努里大數(shù)定律設(shè) 是n次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，P是事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則對(duì)任意的 ， 三、自相關(guān)函數(shù)各態(tài)歷經(jīng)性定理定理設(shè)X(t)是一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，其子相關(guān)函數(shù)具有各態(tài)歷經(jīng)性的充要條件是：定理說(shuō)明令： 則：例 2.3-2設(shè)Y是均值為零、方差為 的

6、隨機(jī)變量，定義一個(gè)隨機(jī)過(guò)程 ，則 的統(tǒng)計(jì)特性與t無(wú)關(guān)。因此是嚴(yán)格平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。但是不滿(mǎn)足均值各態(tài)歷經(jīng)性條件，不是例 2.3-3 隨機(jī)電報(bào)自相關(guān)函數(shù)代入公式因此，隨機(jī)電報(bào)信號(hào)是均值各態(tài)歷經(jīng)的。例 2.3-4設(shè)A、B是均值為零、方差為 的獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量。隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)為例 2.3-5續(xù)上例設(shè) 是 的一個(gè)代表性的樣本函數(shù)， 分別是 的樣本值。對(duì)于這個(gè)樣本值，其均方的時(shí)間平均為： 這說(shuō)明均值各態(tài)歷經(jīng)性不一定自相關(guān)也是各態(tài)歷經(jīng)性四、估計(jì)均值和自相關(guān)函數(shù)的方法1、均值和自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)式2、測(cè)算均值和自相關(guān)函數(shù)的方法1、均值和自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)式在實(shí)際應(yīng)用中，通常只考慮定義在 上的平穩(wěn)過(guò)程X(t)，則均值和自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)式如果在實(shí)際測(cè)試中，只在時(shí)間