教學(xué)課件·數(shù)字信號處理(第四版)

1、第1章 時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 2本章主要內(nèi)容時域離散信號的基本概念及典型序列時域離散系統(tǒng)的定義及其性質(zhì)模擬信號數(shù)字處理方法Matlab實現(xiàn)線性時不變系統(tǒng)的輸入/輸出 (n)求解法時域離散系統(tǒng)的輸入輸出法：線性常系數(shù)差分方程31.1引言信號的分類系統(tǒng)的分類4信號的分類時域連續(xù)信號（模擬信號）：信號的自變量和函數(shù)值都取連續(xù)值，例如語言信號、溫度信號等；時域離散信號：如果自變量取離散值，而函數(shù)值取連續(xù)值，這種信號通常來源于對模擬信號的采樣；數(shù)字信號：信號的自變量和函數(shù)值均取離散值。5采樣間隔T=0.005s進行等間隔采樣，得時域離散信號x(n)， = ， 0.0，0.6364，0.9，0.63

2、64，0.0，-0.6364，-0.9，-0.6364， 顯然, 時域離散信號是時間離散化的模擬信號。如果用四位二進制數(shù)表示該時域離散信號，得到相應(yīng)的數(shù)字信號xn=，0.000，0.101，0.111，0.101，0.000，1.101，1.111，1.101，數(shù)字信號是幅度、時間均離散化的模擬信號，或者說是幅度離散化的時域離散信號。 模擬信號6系統(tǒng)的分類模擬系統(tǒng)時域離散系統(tǒng)數(shù)字系統(tǒng)模擬網(wǎng)絡(luò)和數(shù)字網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成的混合系統(tǒng)71.2 時域離散信號 序列序列的定義及表示序列的基本運算常用的典型序列序列的周期性用單位脈沖序列表示任意序列81.2.1 序列的定義及表示序列的定義數(shù)字序列：離散時間信號 -2,

3、5, -6, 8, 3 ,-7一般只在均勻間隔的離散時間nT上給出數(shù)值 , x(-2T), X(-1T), X(0), X(T), X(2T),序列的表示用集合符號表示用公式表示用圖形表示9序列表示 x(n) = x(n)， -n+n 代表nTnT 指均勻間隔的離散時間點T 采樣時間間隔n 為非整數(shù)時沒有定義，不能認為此時x(n)的值是零 用集合符號表示x(n) = ,x(-2),x(-1),x(0),x(1),x(2),.用公式表示10 序列表示用圖形表示111.2.1 常用的典型序列單位脈沖序列單位階躍序列矩形序列實指數(shù)序列 正弦序列 復(fù)指數(shù)序列 周期序列任意序列表示12單位脈沖序列(n)

4、只在n =0時取確定值1，其它均為零 (n)類似于(t)，注意二者的定義與區(qū)別(n-m)只有在n= m時取確定值1，而其余點取值均為零 13單位階躍序列u(n)類似于u(t)u(t)在t= 0時常不定義u(n)在n= 0時為u(0)= 1 (n)和u(n)的關(guān)系：(n) = u(n)-u(n-1) 14矩形序列 N 為矩形序列的長度 和u(n)、(n)的關(guān)系 ：15實指數(shù)序列a為實數(shù)當|a|1時序列收斂當|a|1時序列發(fā)散 16正弦序列 A為幅度為數(shù)字域頻率為起始相位 設(shè) x(n)由x(t)= sint 取樣得到 （A、 與頻率無關(guān) 不考慮）x(n)= Asin(n+) =T =/fs ,與線

5、性關(guān)系, 的單位為 rad17復(fù)指數(shù)序列 為數(shù)字域頻率用實部與虛部表示 用極坐標表示 只考慮頻率令=0，序列頻率呈現(xiàn)以2為周期的周期性 后續(xù)研究中頻率域只考慮 或 就夠了18 周期序列 對于序列x(n)，如果對所有n 存在一個最小的正整數(shù)N，對任意整數(shù)m滿足x(n)= x(n+mN)則序列x(n)是周期序列 ，最小周期為N 。以正弦序列 為例討論周期性 設(shè) x(n)= Asin(n+) 則有 x(n+N) =Asin(n+N)+ =Asin(N+n+) 若滿足條件N= 2k，則 x(n+N)= Asin(n+N)+ = Asin(n+) = x(n)19周期序列N、k 為整數(shù)，k 的取值滿足條

6、件，且保證N 最小正整數(shù)。其周期為 2/為整數(shù)時，取k = 1，保證為最小正整數(shù)。此時為周期序列，周期為2/。 例1.4 序列 ，因為2/= 8，所以是一個周期序列，其周期N= 8。 20周期序列2/為有理數(shù)而非整數(shù)時，仍然是周期序列，周期大于2/。例1.5 序列 ，2/= 8/3是有理數(shù)，所以是周期序列，取k= 3，得到周期N= 8。 2/為無理數(shù)時，任何k 都不能使N 為正整數(shù)，這時正弦序列不是周期序列。 例 序列指數(shù)為純虛數(shù)的復(fù)指數(shù)序列的周期性與正弦序列的情況相同。 21 用單位脈沖序列表示任意序列 任何序列都可以用單位脈沖序列的移位加權(quán)和來表示，即x(n) 可看成是x(n)和(n)的卷

7、積和，式中例1.6 221.2.2 序列的基本運算和積移位標乘翻轉(zhuǎn)累加差分時間尺度變換序列能量卷積和23基本運算序列的和 設(shè)序列為x(n)和y(n)，則序列 z(n)= x(n)+ y(n) 表示兩個序列的和，定義為同序號的序列值逐項對應(yīng)相加。24例：序列的和例： 設(shè)序列計算序列的和x(n)+ y(n)。解：25例：序列求和圖示26基本運算序列的積 設(shè)序列為x(n)和y(n)，則序列 z(n)= x(n) y(n) 表示兩個序列的積，定義為同序號的序列值逐項對應(yīng)相乘。27例：序列的積例： 設(shè)序列計算序列的和x(n) y(n)。解：28例：序列求積圖示x(n)29基本運算序列的移位 設(shè)序列為x(

8、n)，則序列 y(n)= x(n-m) 表示將序列x(n)進行移位。 m為正時x(n -m)：x(n)逐項依次延時(右移)m位x(n+m)：x(n)逐項依次超前(左移)m位 m為負時，則相反。30例：序列的移位例： 設(shè)序列計算序列的和x(n+1)。解：31例：序列移位圖示x(n)32基本運算序列的標乘 設(shè)序列為x(n)，a為常數(shù)(a 0)，則序列 y(n)= ax(n) 表示將序列x(n)的標乘，定義為各序列值均乘以a，使新序列的幅度為原序列的a倍。33例：序列的標乘例： 設(shè)序列計算序列4x(n)。解：34基本運算序列的翻轉(zhuǎn) 設(shè)序列為x(n)，則序列 y(n)= x(-n) 表示以n= 0的縱

9、軸為對稱軸將序列x(n)加以翻轉(zhuǎn)。35例：序列的翻轉(zhuǎn)例： 設(shè)序列計算序列x(-n)。解：36基本運算序列的累加 設(shè)序列為x(n)，則序列 定義為對x(n)的累加，表示將n 以前的所有x(n)值求和。37基本運算序列的差分前向差分：將序列先進行左移，再相減 x(n) = x(n+1)- x(n) 后向差分：將序列先進行右移，再相減 x(n) = x(n)- x(n-1) 由此，容易得出 x(n) = x(n-1)38基本運算時間尺度(比例)變換 設(shè)序列為x(n)，m為正整數(shù)，則序列 抽取序列 y(n)= x(mn) x(mn) 和x(n/m)定義為對x(n)的時間尺度變換。 插值序列 39插值序

10、列 x(n/m) ：對x(n)進行零值內(nèi)插運算 表示在原序列x(n)相鄰兩點之間插入m-1個零值點 保留 x(0)40基本運算序列的能量 設(shè)序列為x(n)，則序列 定義為序列的能量，表示序列各取樣值的平方之和； 若為復(fù)序列，取模值后再求平方和。411.3 時域離散系統(tǒng) 時域離散系統(tǒng)的定義及表示 線性時不變系統(tǒng) 線性時不變系統(tǒng)h(n)與I/O關(guān)系線性時不變系統(tǒng)的性質(zhì) 系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性 42時域離散系統(tǒng)的定義及表示 時域離散系統(tǒng)定義為將輸入序列x(n)映射成輸出序列y(n)的惟一變換或運算。以T 表示這種運算y(n)= Tx(n)對變換T 加以不同的約束條件，所定義的系統(tǒng)就具有不同的特性和功能

11、。線性時不變系統(tǒng): 最重要、最常用，可表征許多物理過程。431.3.1、1.3.2 線性時不變系統(tǒng) 線性系統(tǒng)滿足疊加原理疊加原理包含可加性和齊次性兩方面性質(zhì) 時不變系統(tǒng)系統(tǒng)的響應(yīng)與輸入信號施加于系統(tǒng)的時刻無關(guān)運算關(guān)系在整個運算過程中不隨時間而變化 線性時不變系統(tǒng) 既滿足疊加原理，又滿足時不變性的系統(tǒng) 44 線性系統(tǒng) 設(shè)系統(tǒng)的輸入序列與輸出分別為可加性: 如果系統(tǒng)的輸入之和與輸出之和滿足齊次性(或比例性): 設(shè)a為常數(shù)，系統(tǒng)的輸入增大a倍，輸出也增大a倍線性系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)（不滿足可加性與齊次性）45例：證明一個線性系統(tǒng)注意：必須證明系統(tǒng)同時滿足可加性和齊次性，且信號及比例常數(shù)都可以是復(fù)數(shù)。例：

12、 試分析下列系統(tǒng)是否是線性系統(tǒng) (1) y(n)= 2x(n)-3，(2) y(n)= x(Mn)，其中M為正整數(shù)。不滿足疊加原理，非線性系統(tǒng) 滿足疊加原理，線性系統(tǒng) 46時不變系統(tǒng) 輸入序列x (n)移動任意m 位后，輸出序列y (n)也移動m 位，數(shù)值卻保持不變。 m 為任意常整數(shù) 時不變系統(tǒng)也稱為移不變系統(tǒng) 47例：證明一個時不變系統(tǒng)例： 試分析下列系統(tǒng)的時不變性 (1) y(n)= 2x(n)-3，(2) y(n)= x(Mn)，其中M為正整數(shù)。二者相等，具有時不變性 時變系統(tǒng) 481.3.3 線性時不變系統(tǒng)h(n)與I/O關(guān)系 單位脈沖響應(yīng) (單位取樣響應(yīng))h(n)=T (n)線性時

13、不變系統(tǒng)輸入為(n)時的零狀態(tài)響應(yīng) 線性時不變系統(tǒng)特性都可以用它的單位脈沖響應(yīng)h(n)來表征已知h(n) 可得到線性時不變系統(tǒng)對任意輸入的輸出 時域離散系統(tǒng)： 完全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng) 49I/O關(guān)系推導(dǎo) 用(n)表示x(n)系統(tǒng)輸出 疊加原理 時不變性 I/O關(guān)系: 線性時不變系統(tǒng)的輸出等于輸入序列和單位脈沖響應(yīng)h(n)的卷積。 50 線性時不變系統(tǒng)的性質(zhì) 交換律結(jié)合律分配律可以推廣到多個系統(tǒng)的情況，由卷積和的定義可以很容易加以證明。 51 序列的卷積和 設(shè)序列為x(n)和z(n)，則序列 定義為x(n)和z(n)的卷積和。卷積和又稱為離散卷積或線性卷積，是很重要的公式。 線性時不變

14、系統(tǒng)的I/O關(guān)系： 就是序列卷積和的運算 ！ 52卷積和計算的四個步驟 (1)翻轉(zhuǎn)：x(m) ，x(m) x(-m) (2)移位：z(m) z(n-m) n為正數(shù)時，右移n位 n為負數(shù)時，左移n位 (3)相乘： x(m) z(n-m) ,（m值相同） (4)相加：y(n) =x(m)z(n-m)53對應(yīng)點相乘！例：卷積和計算例 設(shè)序列求y(n)= x(n)*z(n) 。解： n0時，x(m)與z(n-m)沒有重疊，得y(n)=0。 0n4時，對應(yīng)點相乘！54例：卷積和計算 4n6時， 6n10 時， n10時，x(m)與z(n-m)沒有重疊，得y(n)= 0。 55 例： 已知x(n)=R4(

15、n), h(n)=R4(n), 求y(n)=x(n)*h(n)。 解計算卷積的基本運算是翻轉(zhuǎn)、移位、相乘和相加。計算方法：圖解法、解析法線性時不變系統(tǒng)的I/O求解56例1.3線性卷積首先將h(n)用h(m)表示，并將波形翻轉(zhuǎn)，得到h(m)，然后將h(m)移位n， 得到h(nm)，n0 , 序列右移；n0，序列左移。如n=1，得到h(1-m)，接著將h(m)和h(nm)相乘后，再相加, 得到y(tǒng)(n)的一個值。對所有的n重復(fù)這種計算, 最后得到卷積結(jié)果，如圖1.3.2(f)所示, y(n)表達式為y(n)=1, 2, 3, 4, 3, 2, 1 圖解法57表1.3圖解法（列表法） 58 例：設(shè)x(

16、n)=anu (n) ，h(n)=R4(n)，求y(n)=x(n)*h(n)。 解 關(guān)鍵：根據(jù)求和號內(nèi)的兩個信號乘積的非零值區(qū)間確定求和的上、下限。因為nm時，u(n-m)才能取非零值； 0m3時，R4(m)取非零值；所以，求和區(qū)間中m要同時滿足下面兩式： mn 0m3這樣求和限與n有關(guān)系，必須將n進行分段然后計算。解析法59nn時，h(n)=0因而 n0時刻的輸出 可見，y(n0)只與mn0時的x(m)有關(guān)，因而是因果系統(tǒng)。62因果條件證明證明 利用反證法證明必要條件假設(shè)因果系統(tǒng)，n0時h(n) 0，則 在所設(shè)條件下，第二個求和式中至少有一項不為零，y(n)將至少和mn時的某一個x(n)值有

17、關(guān)，這不符合因果性，假設(shè)不成立。63例：判斷因果系統(tǒng)例： 判斷差分系統(tǒng)的因果性。(1) 前向差分系統(tǒng): y(n)= x(n+1)- x(n);(2) 后向差分系統(tǒng): y(n)= x(n)- x(n-1) 。解 因為前向差分系統(tǒng)的y(n)決定于x(n+1)，故系統(tǒng)為非因果的。而后向差分系統(tǒng)定義為y(n)= x(n)- x(n-1)，顯然是因果的。64穩(wěn)定系統(tǒng)一般穩(wěn)定系統(tǒng)定義 系統(tǒng)的每個有界輸入，對應(yīng)產(chǎn)生的輸出都有界。如果輸入滿足|x(n)|M+(M為正常數(shù))，有輸出|y(n)|P+ (P為正常數(shù)) 。 判斷系統(tǒng)不穩(wěn)定 只要找出一個特別的有界輸入，對應(yīng)的輸出是無界的，則該系統(tǒng)就是不穩(wěn)定的。 判斷系

18、統(tǒng)穩(wěn)定 必須證明所有有界輸入，其輸出都是有界的。65穩(wěn)定性的充分必要條件 線性時不變系統(tǒng)具有穩(wěn)定性的充要條件是 其單位脈沖響應(yīng)絕對可和，即證明 充分條件若式成立，對于所有n都有|x(n)|M，得 即輸出y(n)有界，系統(tǒng)穩(wěn)定。 66穩(wěn)定條件證明證明 利用反證法證明必要條件假設(shè)系統(tǒng)穩(wěn)定，但單位脈沖響應(yīng)不絕對可和 定義一個有界輸入計算輸出，令n=0則有即y(0)無界，系統(tǒng)不穩(wěn)定，因此假設(shè)不成立。 67例：判斷穩(wěn)定系統(tǒng)例： 判斷累加器系統(tǒng)的穩(wěn)定性解 考慮有界輸入x(n)= u(n)，累加器的輸出為 雖然n為有限值時，系統(tǒng)輸出也為有限值，但對于所有n值(包括+)不存在有限值P，使得(n+1)P+，故系

19、統(tǒng)輸出無界。系統(tǒng)不穩(wěn)定 68例：判斷因果穩(wěn)定系統(tǒng)例： 已知線性時不變系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)解 因為n0時，u(-n-1)= 1，所以h(n) 0，故系統(tǒng)是非因果系統(tǒng)。 所以|a|1時系統(tǒng)穩(wěn)定，|a|1時不穩(wěn)定。 式中a為實常數(shù)，討論其因果性和穩(wěn)定性。 收斂序列：如|a|1時，h(n)模值隨n加大而減小發(fā)散序列：如|a|1時，h(n)模值隨n加大而加大因為1.4 時域離散系統(tǒng)的輸入輸出描述法 線性常系數(shù)差分方程描述一個系統(tǒng)可以不管系統(tǒng)內(nèi)部的結(jié)構(gòu)如何，將系統(tǒng)看成一個黑盒子，只描述系統(tǒng)的輸出與輸入之間的關(guān)系，這種描述法被稱為輸入輸出描述法。微分方程 模擬系統(tǒng)差分方程 時域離散系統(tǒng)狀態(tài)變量描述法線性時不變

20、系統(tǒng) 線性常系數(shù)差分方程Tx(n)y(n)時域離散系統(tǒng)用方程來描述兩種不同的描述方法返回 1.4.1 線性常系數(shù)差分方程一個N階線性常系數(shù)差分方程用下式描述：或 ， a0=1式中，x(n)和y(n)分別表示系統(tǒng)的輸入和輸出，系數(shù)ai和bi均為常系數(shù)，且x(n-i)和y(n-i)只有次冪，也沒有相互交叉的線性相乘項，故稱為線性常系數(shù)差分方程。1.4.2 線性常系數(shù)差分方程的求解已知系統(tǒng)的輸入信號和描述系統(tǒng)的線性常系數(shù)差分方程，求解系統(tǒng)的輸出一般有三種方法：經(jīng)典解法: 和求解微分方程解法類似，齊次解特解遞推解法：由初始值和輸入值遞推解出系統(tǒng)以后輸出值Z變換解法：適合計算機求解遞推解法： 觀察上式，

21、如果已知輸入信號x(n)，求n時刻的輸出，需要知道輸入信號x(n)，以及n時刻以前的N個輸出信號值：y(n-1)，y(n-2)，y(n-3)，y(n-N)。這N個輸出信號值就構(gòu)成初始條件?？梢钥吹剑鲜绞且粋€遞推方程。如果已知輸入信號x(n)和N個初始條件，就可以求出n個時刻的輸出；如果將這公式中的n用n+1代替，就可求出n+1時刻的輸出，依此類推，可求出各個時刻的輸出。線性常系數(shù)差分方程的遞推解法73【例2.14】設(shè)系統(tǒng)用差分方程y(n)=ay(n1)+x(n)描述，輸入序列x(n)=(n)，求輸出序列y(n)。解：該系統(tǒng)差分方程是一階差分方程，需要一個初始條件。遞推法求差分方程 （1） 設(shè)

22、初始條件:（2） 設(shè)初始條件: 741.5 模擬信號數(shù)字處理方法75 1.5.1 采樣定理及A/D變換式中(t)是單位沖激信號，在上式中只有當t=nT時，才可能有非零值，因此寫成下式：76對 進行傅里葉變換，得到 式中，s=2/T，稱為采樣角頻率，單位是rad/s77理想采樣信號的頻譜是原模擬信號的頻譜沿頻率軸，每間隔采樣角頻率s重復(fù)出現(xiàn)一次，或者說理想采樣信號的頻譜是原模擬信號的頻譜以s為周期，進行周期性延拓而成的。78 圖1.5.3 采樣信號的頻譜 79 采樣恢復(fù)80 采樣恢復(fù) 圖1.5.4 采樣恢復(fù) 81 設(shè)xa(t)是帶限信號，最高頻率為c，其頻譜Xa(j)如圖1.5.3(a)所示。p

23、(t)的頻譜P(j)如圖1.5.3(b)所示，那么按照（1.5.5）式， 的頻譜 如圖 1.5.3(c)所示，圖中原模擬信號的頻譜稱為基帶頻譜。如果滿足s2c，或者用頻率表示該式，即滿足Fs2fc，基帶譜與其它周期延拓形成的譜不重疊，如圖1.5.3(c)所示情況，可以用理想低通濾波器G(j)從采樣信號中不失真地提取原模擬信號，如圖1.5.4所示。但如果選擇采樣頻率太低，或者說信號最高截止頻率過高，使Fs2fc, Xa(j)按照采樣頻率Fs周期延拓時，形成頻譜混疊現(xiàn)象，用圖1.5.3(d)表示。這種情況下，再用圖 1.5.4 所示的理想低通濾波器對Xa(t)進行濾波，得到的是失真了的模擬信號。8

24、2折疊頻率Fs/2 這里需要說明的是，一般頻譜函數(shù)是復(fù)函數(shù)，相加應(yīng)是復(fù)數(shù)相加，圖1.5.3和圖1.5.4僅是示意圖。一般稱Fs/2為折疊頻率，只有當信號最高頻率不超過Fs/2時，才不會產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象，否則超過Fs/2的頻譜會折疊回來而形成混疊現(xiàn)象，因此頻率混疊在Fs/2附近最嚴重。 83采樣定理（1） 對連續(xù)信號進行等間隔采樣形成采樣信號，采樣信號的頻譜是原連續(xù)信號的頻譜以采樣頻率s為周期進行周期性的延拓形成的，用公式（1.5.5）表示。（2） 設(shè)連續(xù)信號xa(t)屬帶限信號，最高截止頻率為c，如果采樣角頻率s2c，那么讓采樣信號通過一個增益為T、 截止頻率為s/2的理想低通濾波器，可以唯一

25、地恢復(fù)出原連續(xù)信號xa(t)。否則, s/T區(qū)域有較多的高頻分量，表現(xiàn)在時域上，就是恢復(fù)出的模擬信號是臺階形的。因此需要在D/AC之后加平滑低通濾波器，濾除多余的高頻分量，對時間波形起平滑作用，這也就是在圖1.5.1模擬信號數(shù)字處理框中，最后加平滑濾波器的原因。雖然這種零階保持器恢復(fù)的模擬信號有些失真，但簡單、易實現(xiàn)，是經(jīng)常使用的方法。實際中，將解碼器與零階保持器集成在一起，就是工程上的D/AC器件。 98圖 1.5.10零階保持器的頻率特性 991.6 Matlab實現(xiàn)常用序列的Matlab實現(xiàn)序列運算的Matlab實現(xiàn)Matlab求解離散系統(tǒng)的差分方程單位脈沖序列單位階躍序列矩形序列實指數(shù)

26、序列 正弦序列 復(fù)指數(shù)序列 翻轉(zhuǎn)序列的能量卷積和100單位脈沖序列(n-1) n = -3:3; % 生成位置向量x = (n-1) = 0; % 生成單個脈沖序列stem(n,x); axis(-3,3,0,1.5); % 標示坐標 101單位階躍序列 u (n+1) n = -3:3; % 生成位置向量x = (n+1) = 0; % 生成階躍序列stem(n,x);axis(-3,3,0,1.5); 102矩形序列生成函數(shù)function x,n = rectseq(n0,n1,n2,N)% 單位矩形序列生成函數(shù)% 調(diào)用方式 x,n = rectseq(n0,n1,n2,N)n = n0

27、:n2; % 生成位置向量x = (n-n1) = 0&(n1+N-1)-n) = 0; % 生成矩形脈沖序列103矩形序列 x,n = rectseq(-3,-1,4,5);stem(n,x);axis(-3,5,0,1.5); 104實指數(shù)序列 n = 0:10; % 生成位置向量x = (0.6).n; % 生成實指數(shù)序列stem(n,x); axis(0,10,0,1.5);105正弦序列 3sin(0.1n+/3) n = 0:1:20; % 生成位置向量x = 3*sin(0.1*pi*n+pi/3); % 生成正弦序列stem(n,x); axis(0,20,-4,4); 106

28、復(fù)指數(shù)序列 n = -2:10; x = exp(0.2-0.5j)*n); % 復(fù)指數(shù)序列subplot(1,2,1), stem(n,real(x); %用空心圓畫點line(-5,10, 0,0); % 畫橫坐標subplot(1,2,2), stem(n,imag(x),filled); %用實心圓畫點% line(-5,10, 0,0)107翻轉(zhuǎn): 調(diào)用fliplrn = -3:3; %生成一個序列 x = 0,0,1,0.5,0.25,0.125,0;stem(n,x);x = fliplr(x); %x排列次序左右翻轉(zhuǎn) n = -fliplr(n); %向量n對n= 0翻轉(zhuǎn) st

29、em(n,x); 108序列的能量 conj求共軛復(fù)數(shù)sum求總和 E = sum(x.*conj(x); abs求幅值sum求總和 E = sum(abs(x).2); 109卷積和：調(diào)用conv x = 3,-3,7,0,-1,5,2; % 序列x的非零區(qū)間-4n2h = 2,3,0,-5,2,1; % 序列x的非零區(qū)間-1n4% 調(diào)用conv計算卷積和 y = conv(x,h);運行結(jié)果：無位置信息y = 6 3 5 6 19 -31 30 18 -27 -1 9 2110卷積和函數(shù)：convextd.m function y,ny = convextd(x,nx,h,nh)% 序列y

30、為序列x和序列h的卷積% ny，nx，nh 分別為序列y，x和h的位置向量% 調(diào)用方式 y,ny = convextd(x,nx,h,nh)ny1 = nx(1)+nh(1); % 計算卷積后的起點位置ny_end = nx(end) + nh(end); % 計算卷積后的終點位置y = conv(x,h); % 計算卷積和序列的數(shù)值ny = ny1:ny_end; % 計算卷積和序列的位置向量111卷積和：包含位置向量 x = 3,-3,7,0,-1,5,2; nx = -4:2;% 給定輸入序列h = 2,3,0,-5,2,1; nh = -1:4; % 給定脈沖響應(yīng)序列y,ny = co

31、nvextd(x,nx,h,nh); % 帶位置序列的卷積結(jié)果 運行結(jié)果：有位置信息y = 6 3 5 6 19 -31 30 18 -27 -1 9 2ny = -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6112解差分方程 ：調(diào)用filter 函數(shù)的調(diào)用方式為 y = filter(b,a,x); 輸入?yún)?shù)b、 a為差分方程的系數(shù)，b=b0， b1， ， bMa=a0， a1， ， aN 輸入?yún)?shù)x是輸入序列 求得的輸出序列y和輸入x的長度一樣 系數(shù)a0必須不為零。113例：解差分方程例1.15 線性常系數(shù)差分方程y(n)-y(n-1)+0.75y(n-2)= x(n)，求輸入x

32、(n)= (n)時系統(tǒng)的輸出序列。(1) 求單位脈沖響應(yīng)h(n) b= 1; a= 1,-1,0.75; x= impseq(-10,0,50); % 生成單位脈沖序列 h= filter(b,a,x); % 計算單位脈沖響應(yīng) n= -10:50;stem(n,h); % 脈沖響應(yīng)曲線 axis(-10,50,-1,1.5) % 標出坐標 title(Impulse Response); xlabel(n); ylabel(h(n);114例：判斷系統(tǒng)穩(wěn)定 (2) 求得單位脈沖響應(yīng)的和sum(abs(h); % 計算單位脈沖響應(yīng)的和程序的運行結(jié)果為 ans = 6.1718絕對可和，說明系統(tǒng)是

33、穩(wěn)定的。 第2章 時域離散信號 和系統(tǒng)的頻域分析116本章主要內(nèi)容序列的Z變換Z變換的主要性質(zhì)序列的傅里葉變換傅里葉變換的主要性質(zhì)利用Z變換解差分方程利用Z變換分析信號和系統(tǒng)的頻率響應(yīng)1172.1 引言信號與系統(tǒng)的分析方法:時域分析變換域分析（本課介紹頻域分析）連續(xù)時間信號與系統(tǒng) 信號用時間 t的函數(shù)表示系統(tǒng)用微分方程描述離散時間信號與系統(tǒng) 信號用序列表示系統(tǒng)用差分方程描述118時域與頻域分析 傅里葉變換 時間域 頻率域(復(fù)頻域 ) 拉普拉斯變換 推廣離散時間傅里葉變換 時間域 頻率域(復(fù)頻域 ) Z變換推廣連續(xù)時間信號與系統(tǒng)離散時間信號與系統(tǒng)1192.2 序列的傅里葉變換 序列傅里葉變換的定

34、義序列傅里葉變換的性質(zhì) 周期序列的傅里葉級數(shù)表示周期序列的傅里葉變換 1202.2.1時域離散信號傅里葉變換的定義（2.2.1） FTx(n)存在的充分必要條件是序列x(n)滿足絕對可和（2.2.2） （2.2.3） n 為離散域， 為連續(xù)域X(ej)的傅里葉反變換為序列x(n)的傅里葉變換定義為:121【例2.2.1】設(shè)x(n)=RN(n)，求x(n)的傅里葉變換。解 （2.2.4） 當N=4時，其幅度與相位隨頻率的變化曲線如圖2.2.1所示。 122圖2.2.1R4(n)的幅度與相位曲線 1232.2.2時域離散信號傅里葉變換的性質(zhì)1 FT的周期性(2.2.5) 觀察上式，得到傅里葉變換是

35、頻率的周期函數(shù)，周期是2。由FT的周期性進一步分析得到，在=0和=2M附近的頻譜分布應(yīng)是相同的（M取整數(shù)），在=0，2, 4, 點上表示x(n)信號的直流分量；離開這些點愈遠，其頻率愈高，但又是以2為周期，那么最高的頻率應(yīng)是=。一般只分析【】之間或02范圍的FT就夠了。1242 線性(2.2.6) 式中, a，b是常數(shù)。 設(shè) X1(ej)=FTx1(n), X2(ej)=FTx2(n), 那么1253時移與頻移設(shè)X(ej)=FTx(n), 那么(2.2.7) (2.2.8) FTx(n-n0)=e-jwn0X(ejw)1264 FT的對稱性共軛對稱序列共軛反對稱序列共軛對稱與共軛反對稱序列的表

36、示頻域函數(shù)共軛對稱與共軛反對稱序列的表示實因果序列h(n)的對稱性127 設(shè)序列xe(n)滿足下式：（2.2.9） 則稱xe(n)為共軛對稱序列。為研究共軛對稱序列具有什么性質(zhì)，將xe(n)用其實部與虛部表示： 將上式兩邊n用n代替，并取共軛，得到：對比上面兩公式，因左邊相等，因此得到： （2.2.10） （2.2.11） 兩式表明共軛對稱序列其實部是偶函數(shù)，而虛部是奇函數(shù)。共軛對稱序列128滿足下式的序列稱為共軛反對稱序列： （2.2.12） 將xo(n)表示成實部與虛部，如下式：可以得到：（2.2.13） （2.2.14） 即共軛反對稱序列的實部是奇函數(shù)，而虛部是偶函數(shù)。 共軛反對稱序列1

37、29【例2.2.2】試分析x(n)=ejm的對稱性。 解:因為x*(n)=ejn=x(n)滿足(2.2.9)式，所以x(n)是共軛對稱序列，如展成實部與虛部，則得到： x(n)=cosn+j sinn上式表明，共軛對稱序列的實部確實是偶函數(shù)，虛部是奇函數(shù)。130一般序列可用其共軛對稱與共軛反對稱分量之和表示，即 （2.2.15） 將（2.2.15）式中的n用n代替，再取共軛, 得到：（2.2.16） 利用（2.2.15）和（2.2.16）式，得到：（2.2.17） （2.2.18） 利用上面兩式，可以用x(n)分別求出其xe(n)和xo(n)。 任意序列的共軛對稱與共軛反對稱分量131對于頻域

38、函數(shù)X(ej)，也有和上面類似的概念和結(jié)論：X(ej)=Xe(ej)+Xo(ej) （2.2.19）Xe(ej)為共軛對稱部分（函數(shù)），Xo(ej)共軛反對稱部分（函數(shù)）它們滿足：（2.2.20）（2.2.21）（2.2.22）（2.2.23）同樣有下面公式成立：+Xe(ej)、Xo(ej)的表示， 連續(xù)域132 (1) 將序列x(n)分成實部xr(n)與虛部xi(n)，即x(n)=xr(n)+jxi(n)將上式進行傅里葉變換，得到: X(ejw)= Xe(ejw)+ Xo(ejw) 式中，xr(n)和xi(n)都是實數(shù)序列。Xe(ej) 具有共軛對稱性，它的實部是偶函數(shù)，虛部是奇函數(shù)；Xo(

39、ej) 具有共軛反對稱性質(zhì)，它的實部是奇函數(shù)，虛部是偶函數(shù)。 最后得到結(jié)論：序列分成實部與虛部兩部分，實部對應(yīng)的傅里葉變換具有共軛對稱性，虛部和j一起對應(yīng)的傅里葉變換具有共軛反對稱性。 式中FT的共軛對成性133(2) 將序列分成共軛對稱部分xe(n)和共軛反對稱部分xo(n)，即x(n)=xe(n)+xo(n) (2.2.24)將（2.2.17）和（2.2.18）式重寫如下：因此（2.2.24）式的FT為（2.2.25） 將上面兩式分別進行傅里葉變換，得到：134 因為h(n)是實序列，其FT只有共軛對稱部分He(ej)，共軛反對稱部分為零。因此實序列的FT是共軛對稱函數(shù), 其實部是偶函數(shù)，

40、虛部是奇函數(shù)，用公式表示為顯然， 其模 ： 偶函數(shù)相位函數(shù)： 奇函數(shù)這和實模擬信號的FT有同樣的結(jié)論。實因果序列h(n)的頻譜的對稱性135按照（2.2.17）和（2.2.18）式得到：因為h(n)是實因果序列，he(n)和ho(n)可用下式表示： （2.2.26） （2.2.27） 實因果序列h(n)的對稱性136實因果序列h(n)可以分別用he(n)和ho(n)表示為 （2.2.28） （2.2.29） 式中 （2.2.30） 因為h(n)是實序列，上面公式中he(n)是偶函數(shù)，ho(n)是奇函數(shù)。按照（2.2.28）式，實因果序列完全由其偶序列恢復(fù)，但按照（2.2.29）式，ho(n)中

41、缺少n=0點h(n)的信息。因此由ho(n)恢復(fù)h(n)時，要補充一點h(h)(n)信息。 實因果序列h(n)的對稱性137實因果序列h(n)的 FT對稱性總結(jié)共軛對稱序列、函數(shù)共軛反對稱序列、函數(shù)一般序列與共軛對稱與共軛反對稱序列的關(guān)系實因果序列h(n)（2.2.26） （2.2.27） 138【例2.2.3】x(n)=anu(n), 0a1。求其偶函數(shù)xe(n)和奇函數(shù)xo(n)。解x(n)=xe(n)+xo(n)按（2.2.26）式，得到：139按（2.2.27）式，得到： x(n) 、xe(n)和xo(n)波形如圖2.2.3所示。 圖2.2.3例2.2.3圖140 5 時域卷積定理設(shè)

42、y(n)=x(n)*h(n)則 Y(ej)=X(ej)H(ej) （2.2.31）證明令k=nm，則兩序列卷積的FT服從相乘的關(guān)系（時域卷積，頻域相乘）1416 頻域卷積定理設(shè)y(n)=x(n)h(n) 則(2.2.32) 證明(2.2.33) 交換積分與求和的次序：(2.2.34) 該定理表明，在時域兩序列相乘，頻域時服從卷積關(guān)系。 1427 帕斯維爾（Parseval）定理（2.2.35） 證明 帕斯維爾定理表明了信號時域的能量與頻域的能量關(guān)系。143表2.2.1序列傅里葉變換的性質(zhì)定理 1442.3 周期序列的傅里葉級數(shù)表示及其FT 周期序列定義：周期序列不是絕對可和的，狹義的FT不存在

43、周期序列的傅里葉級數(shù)表示ak: 傅里葉級數(shù)的系數(shù)基頻序列: e1(n)k次諧波序列: ek(n)1452.3.1 周期序列的離散傅里葉級數(shù)離散傅里葉級數(shù)只有N個獨立諧波分量: 且因為復(fù)指數(shù)序列是k的周期函數(shù)所以，周期序列: 只取k0到N-1的N個獨立諧波分量足以表示原信號 146(2.3.6) (2.3.7) 周期序列離散傅里葉級數(shù)正變換 周期序列離散傅里葉級數(shù)反變換 周期序列的離散傅里葉級數(shù)147【例2.3.1】設(shè)x(n)=R4(n)，將x(n)以N=8為周期進行周期延拓，得到如圖2.3.1(a)所示的周期序列，周期為8，求DFS。解按照（2.3.6）式, 有其幅度特性如圖2.3.1(b)所

44、示。 148圖2.3.1例2.3.1圖 2.3.2 周期序列的傅里葉變換 在模擬系統(tǒng)中， 的傅里葉變換是在 處的一個沖激，強度為2，即 對于時域離散系統(tǒng)中的復(fù)指數(shù)序列 ，仍假設(shè)它的傅里葉變換是在 處的一個沖激，強度為2，考慮到時域離散信號傅里葉變換的周期性，因此 的傅里葉變換應(yīng)寫為：假設(shè) 的周期為N，將它用傅里葉級數(shù)來表示，即上式的求和號中的每一項都是復(fù)指數(shù)序列，其中第K項即為第K次諧波 的傅里葉變換，根據(jù)其周期性能夠表示為：周期序列 由N次諧波組成，因此它的傅里葉變換可以表示成式中，k=0,1,2,N-1, r=-3,-2,-1,0,1,2, 以N為周期，而r變化時，函數(shù)變化2r，因此如果讓

45、k在(-,)變化，上式可以簡化為上式就是一般周期序列的傅里葉變換表達式。一般周期序列的傅里葉變換表達式152例2.1：令 ， 為有理數(shù)，求其傅里葉變換。解: 將 用歐拉公式展開為由得余弦序列的傅里葉變換為上式表明，余弦信號的傅里葉變換是在 處的沖激函數(shù)，強度為，同時以2為周期進行周期性延拓，如下圖所示。對于正弦序列 ， 為有理數(shù)，它的傅里葉變換為2.4 的FT與 的FT之間的關(guān)系155對上式進行傅里葉變換得到理想采樣信號： 2.4 的FT與 的FT之間的關(guān)系156 對比時域離散信號x(n)的傅里葉變換：得到：并且在數(shù)值上 ，上式也可以表示成上面三個公式均表示時域離散信號的傅里葉變換和模擬信號傅

46、里葉變換之間的關(guān)系157 時域離散信號的頻譜也是由模擬信號的頻譜周期性延拓形成的，延拓周期是 ，因此由采樣得到x(n)也要滿足采樣定理，否則也會產(chǎn)生頻域混疊現(xiàn)象，頻率混疊在 附近最嚴重，在數(shù)字域 ，則是在附近最嚴重。模擬頻率與數(shù)字頻率之間的定標關(guān)系：第2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析1592.5 序列的Z變換Z變換及其收斂域的定義幾種序列的Z變換及其收斂域逆Z變換Z變換的性質(zhì)和定理利用Z變換求解差分方程利用Z變換分析信號和系統(tǒng)的頻響特性1602. 5.1 Z變換及其收斂域的定義 序列x(n)的Z變換定義雙邊Z變換單邊Z變換 因果序列的Z變換:因果序列的單邊Z變換與雙邊Z變換相同 Z平面: Z

47、變換定義式中z所在的復(fù)平面z是一個連續(xù)復(fù)變量，具有實部和虛部 變量z的極坐標形式 |z|= 1為單位圓： 161Z變換的收斂域根據(jù)級數(shù)理論，式(2.1)收斂的充分必要條件是滿足絕對可和條件，即收斂域: 對于給定的任意序列x(n)，使其Z變換收斂的所有z值的集合組成的區(qū)域。 根據(jù)羅朗級數(shù)性質(zhì)，收斂域一般是某個環(huán)域 收斂半徑Rx-可以小到0，Rx+可以大到收斂域以原點為中心，Rx-和Rx+為半徑的環(huán)域 162 序列Z變換與序列傅里葉變換關(guān)系 單位園上的Z變換就是序列的傅里葉變換，但 z的收斂域必須包含單位圓 。 對比傅里葉變換定義式： 得到：163例: 求序列的Z變換 例2.5.3 求序列 的Z變

48、換。 解：序列x(n)是因果序列，根據(jù)Z變換的定義 分析收斂性：X(z)是無窮項冪級數(shù)。X(z)可用封閉形式，即解析函數(shù)形式表示為 當|z|a時級數(shù)發(fā)散，當|z|a|時級數(shù)收斂。164例: 求序列的Z變換 例2.5.4 求序列 的Z變換。 解：序列x(n)是一個左序列, X(z)存在要求 1652.5.2 序列特性對收斂域的影響結(jié)論：Z變換相同，收斂域不同，對應(yīng)的序列也不同 。序列的X(z)與其收斂域是一個不可分離的整體，求Z變換就要包含其收斂域。對比例2.5.3和例2.5.4結(jié)果：166有限長序列 有限長序列只在有限區(qū)間n1nn2內(nèi)具有非零的有限值，在此區(qū)間外序列值都為零 ： Z變換 收斂域

49、與n1、n2取值情況有關(guān)： 167例：求有限長序列的Z變換例2.5.2 求序列 的Z變換及收斂域。 討論： X(z)有一個z= 1的極點，但也有一個z= 1的零點，所以零極點對消，X(z)在單位圓上收斂 。 收斂域為0|z|+。 解：根據(jù)Z變換的定義 168右邊序列 右邊序列只在有限區(qū)間nn1 內(nèi)具有非零的有限值，在此區(qū)間外序列值都為零 Z變換 上式中第一項為有限長序列，收斂域為 ，第二項為因果序列，收斂域為 ，共有收斂域為 。169左邊序列 左邊序列只在有限區(qū)間nn2內(nèi)具有非零的有限值，在此區(qū)間外序列值都為零 Z變換 如果 ，z=0點收斂，但z=點不收斂，收斂域為 如果 ，收斂域為170雙邊

50、序列 雙邊序列指n從-到+都具有非零的有限值，可看成左邊序列和右邊序列之和 Z變換 討論：X1(z) 收斂域為|z|Rx+；X2(z)收斂域為Rx-|z|。雙邊序列Z變換的收斂域是二者的公共部分。 如果滿足Rx-Rx+ ，則X(z)的收斂域為環(huán)狀區(qū)域，即Rx-|z|Rx+ ；如果滿足Rx-Rx+，則X(z)無收斂域。 171例：求雙邊序列的Z變換例2.5.5 己知序列 ，a為實數(shù)，求其Z變換及其收斂域。 解：上式第一項收斂域為： 上式第一項收斂域為：如果如果 無公共收斂域， 不存在當 時，x(n) 和 的圖形如右圖所示1722.5.3 逆Z變換 逆Z變換: 由X(z)及其收斂域求序列x(n)的

51、變換求逆Z變換的方法:圍線積分法(留數(shù)定理)部分分式展開法冪級數(shù)法(長除法)173序列的Z變換逆Z變換用留數(shù)定理求逆Z變換c是X(z)收斂域中一條包圍原點的逆時針的閉合曲線用F(z)表示被積函數(shù)：F(z)=X(z)zn-1圖2.5.3圍線積分路徑 174如果F(z)在圍線c內(nèi)的極點用zk表示，則根據(jù)留數(shù)定理有1、如果zk是單階極點，則根據(jù)留數(shù)定理有2、如果zk是N階極點，則根據(jù)留數(shù)定理有式中, ResF(z), zk表示被積函數(shù)F(z)在極點z=zk的留數(shù)，逆Z變換是圍線c內(nèi)所有的極點留數(shù)之和。逆Z變換對于N階極點，需要求N1次導(dǎo)數(shù)，這是比較麻煩的。如果c內(nèi)有多階極點，而c外沒有多階極點，則可

52、以根據(jù)留數(shù)輔助定理改求c外的所有極點留數(shù)之和。175如果F(z)在z平面上有N個極點，在收斂域內(nèi)的封閉曲線c將z平面上的極點分成兩部分：一部分c是內(nèi)極點，設(shè)有N1個極點，用z1k表示；另一部分是c外極點，有N2個，用z2k表示。N=N1+N2。根據(jù)留數(shù)輔助定理，下式成立：成立的條件: F(z)的分母階次應(yīng)比分子階次高二階以上。設(shè)X(z)=P(z)/Q(z), P(z)和Q(z)分別是M與N階多項式。成立的條件是 NMn+12因此要求na, 求其逆Z變換x(n)。解分析F(z)的極點： 1、n0時，F(xiàn)(z)在c內(nèi)只有1個極點：z1=a； 2、n0時， F(z)在c內(nèi)只有2個極點：z1=a , z

53、2=0是一個n階極點。 所以，應(yīng)當分段計算x(n) n0 時，177 n0時，z=0是n階極點，不易求留數(shù)。 采用留數(shù)輔助定理求解，先檢查nN-M-1是否滿足。 可以采用留數(shù)輔助定理求解，改求圓外極點留數(shù)，但對于F(z)，該例題中圓外沒有極點。故na，根據(jù)前面分析的序列特性對收斂域的影響知道，x(n)一定是因果序列，這樣n|a1|，對應(yīng)的 x(n) 是因果序列（2） |z|a|，對應(yīng)的 x(n)是左序列（3）|a|z|a1|: 這種情況的原序列是因果的右序列，無須求n0時的x(n)。當n0時，F(xiàn)(z)在c內(nèi)有兩個極點：z=a和z=a-1，因此最后表示成：x(n)=(ana-n)u(n)。 18

54、0（2） 收斂域為|z|a|:這種情況原序列是左序列，無須計算n0情況。實際上，當n0時，圍線積分c內(nèi)沒有極點，因此x(n)=0。n0時，c內(nèi)只有一個極點z=0，且是n階極點，改求c外極點留數(shù)之和。n0時, 最后將x(n)表示成封閉式：x(n)=(a-nan)u(n1)181（3） 收斂域為|a|z|a1|:這種情況對應(yīng)的x(n)是雙邊序列。根據(jù)被積函數(shù)F(z)，按n0和n0兩種情況分別求x(n)。n0時，c內(nèi)只有1個極點：z=a, x(n)=ResF(z), a=ann0時，c內(nèi)極點有2個，其中z=0是n階極點，改求c外極點留數(shù)，c外極點只有z=a1， 因此x(n)=ResF(z), a1=

55、an最后將x(n)表示為 即 x(n)=a|n|182部分分式展開法 對于大多數(shù)單階極點的X(z)，常用部分分式展開法求逆Z變換。方法：將有理分式X(z) ，展開成簡單常用的部分分式之和，求各簡單分式的逆Z變換，再相加 得到x(n)。假設(shè) 有N個一階極點，可展成如下部分分式:183部分分式展開法 觀察上式， /z在z=0的極點留數(shù)等于系數(shù) ，在極點 的留數(shù)就是系數(shù) 。求出 系數(shù)后，查表2.5.1可求得序列x(n)184185最后得到 的原序列為：1862.5.4 Z變換的性質(zhì)和定理 線性：滿足疊加原理 Zax(n)+by(n) = aX(z)+bY(z)， R-|z|R+ (2.20) 例2.

56、12 求序列x(n) = u(n)- u(n-3)的Z變換。由于出現(xiàn)零極點抵消，收斂域增大了。由于x(n)是n0的有限長序列，收斂域是除|z|= 0之外的全部z平面。 187Z變換性質(zhì)序列的移位：證明乘以指數(shù)序列 ：證明188Z變換性質(zhì)序列的線性加權(quán)（乘以n的ZT） ：證明 5復(fù)共軛序列的ZT設(shè) X(z)=ZTx(n)Rx|z|Rx+則ZTx*(n)=X*(z*)Rx|z|Rx+ 189Z變換性質(zhì)初值定理 初值定理 ：若x(n)是因果序列，即x(n)= 0，n0，則證明：x(n)是因果序列，有 顯然 若x(n)是逆因果序列，即x(n)= 0，n0，有 190Z變換性質(zhì)終值定理 終值定理 ：若x

57、(n)是因果序列，且X(z)的全部極點，除在z= 1處可以有一階極點外，其余極點都在單位圓內(nèi)，則 證明：由移位性質(zhì)可得 x(n)是因果序列，則 有 191Z變換性質(zhì)時域卷積定理 ：W(z)= Zx(n)*y(n)= X(z)Y(z)， R-|z|R+ 證明交換求和次序，并代入m= n-k得192【例2.5.9】已知網(wǎng)絡(luò)的單位脈沖響應(yīng)h(n)=anu(n)，|a|1, 網(wǎng)絡(luò)輸入序列x(n)=u(n)，求網(wǎng)絡(luò)的輸出序列y(n)。解y(n)=h(n)*x(n)（1）直接求解線性卷積193（2） Z變換法由收斂域判定y(n)=0n0n0時，將y(n)表示為：1949 復(fù)卷積定理如果ZTx(n)=X(z

58、)Rx|z|Rx+ ZTy(n)=Y(z)Ry|z|Ry+w(n)=x(n)y(n)則（2.5.24） W(z)的收斂域為RxRy|z|Rx+Ry+ (2.5.25)（2.5.24）式中平面上，被積函數(shù)的收斂域為Z變換性質(zhì)195證明 由X(z)的收斂域和Y(z)的收斂域得到：因此 196【例2.5.10】已知x(n)=u(n)，y(n)=a|n|, 若w(n)=x(n)y(n)，求W(z)=ZTw(n)，0a1。 解 W(z)的收斂域為|a|z|；被積函數(shù)平面上的收斂域為max(|a|, 0)|min(|a1|, |z|)，平面上極點：a、a1，c內(nèi)極點：z=a。 令則：19710 帕斯維爾（

59、Parseval）定理設(shè)X(z)=ZTx(n)Rx|z|Rx+Y(z)=ZTx(n)Rx|z|Rx+RxRy1那么（2.5.27） 平面上，c所在的收斂域為利用復(fù)卷積定理可以證明上面的重要的帕斯維爾定理Z變換性質(zhì)1982.5.5 利用Z變換求解差分方程 N階線性常系數(shù)差分方程 x(n)是系統(tǒng)的輸入序列y(n)是系統(tǒng)的輸出序列ak和bk均為常數(shù)y(nk)和x(nk)項只有一次冪，也沒有相互交叉相乘項，（2.5.30）a0=1199N階線性常系數(shù)差分方程的求解時域求解（遞推解） Z變換移位性質(zhì) Z變換求解 差分方程代數(shù)方程Z變換式輸出序列逆Z變換解方程2001求穩(wěn)態(tài)解如果輸入序列x(n)是在n=0

60、以前時加上的，n時刻的y(n)是穩(wěn)態(tài)解，對（2.5.30）式求Z變換，得到：式中： X(z)2012 求暫態(tài)解對于N階差分方程，求暫態(tài)解必須已知N個初始條件。設(shè)x(n)是因果序列，即x(n)=0, n0，已知初始條件:y(1), y(2), , y(N)。設(shè) （2.5.33） -(n-m)（2.5.30）202（2.5.34） 零狀態(tài)解:上式第一部分(與系統(tǒng)初始狀態(tài)無關(guān))零輸入解:上式第二部分(與輸入信號無關(guān))求零狀態(tài)解時， 可用雙邊Z變換求解也可用單邊Z變換求解，求零輸入解卻必須考慮初始條件，用單邊Z變換求解。203Z變換求差分方程 例2.5.11 已知一個線性時不變系統(tǒng)的差分方程y(n)=