統(tǒng)計(jì)學(xué)-7方差分析-PPT課件

1、第七章 方差分析一、方差分析的內(nèi)容二、方差分析的有關(guān)術(shù)語(yǔ)及假設(shè)三、方差分析的原理四、單因素方差分析五、雙因素方差分析六、關(guān)系強(qiáng)度的測(cè)量 七、用Excel進(jìn)行方差分析重點(diǎn)：方差分析的方法難點(diǎn)：方差分析的基本思想 7/21/20221 方差分析（Analysis of Variance, ANOVA)是假設(shè)檢驗(yàn)的一種延續(xù)與擴(kuò)展，它可以解決諸如多個(gè)總體均值是否相等等方面的檢驗(yàn)問題，在因素分析中具有一定的優(yōu)勢(shì)。方差分析主要用來(lái)對(duì)多個(gè)總體均值是否相等作出假設(shè)檢驗(yàn)，研究分類型自變量對(duì)數(shù)值型因變量的影響 。 例：某飲料制造商生產(chǎn)一種新型飲料，共有四種顏色： (1)橘黃、(2)粉紅、(3)綠色、(4)無(wú)色。

2、該制造商想知道顏色是否對(duì)銷售量有顯著影響，隨機(jī)抽取了5家超市前一期的銷售量（表1）進(jìn)行分析。 一、方差分析的內(nèi)容7/21/20222表1 四種顏色飲料的銷售量及均值超市( j )水平A ( i )無(wú)色(A1)粉紅(A2)橘黃色(A3)綠色(A4)1234526.528.725.129.127.231.228.330.827.929.627.925.128.524.226.530.829.632.431.732.8合計(jì)136.6147.8132.2157.3573.9水平均值觀察值個(gè)數(shù)樣本方差樣本標(biāo)準(zhǔn)差x1 =27.32n1=52.671.64x2=29.56n2=52.141.46x3=26.

3、44n3=53.311.82x4=31.46n4=51.661.29總均值x =28.695一、方差分析的內(nèi)容結(jié)果觀后返回7/21/20223 其中， i(I=1,2,3,4) 表示所有飲料（無(wú)色、粉紅、橘黃、綠色）銷售量之均值。 要知道顏色是否對(duì)飲料銷售有顯著影響，就是要知道四種顏色飲料銷售量的均值是否有顯著差異，即進(jìn)行下述假設(shè)檢驗(yàn)： H0: 1=2=3=4 H1: 四個(gè)總體均值不全相等一、方差分析的內(nèi)容7/21/20224 1、相關(guān)術(shù)語(yǔ) 因素或因子：是一個(gè)獨(dú)立的變量，是方差分析的研究對(duì)象 （例中飲料的顏色）； 單因素方差分析：只針對(duì)一個(gè)因素進(jìn)行分析； 多因素方差分析：同時(shí)針對(duì)多個(gè)因素進(jìn)行分

4、析。 水平或處理：因子的不同表現(xiàn) （例中飲料的四種不同顏色：無(wú)色、粉紅、橘黃色、綠色 ）； 二、方差分析的有關(guān)術(shù)語(yǔ)及假設(shè)7/21/20225試驗(yàn)收集樣本數(shù)據(jù)的過程。這里若只考慮顏色一個(gè)因素，則可稱為單因素四水平的試驗(yàn)總體因素的每一個(gè)水平可以看作是一個(gè)總體比如A1、A2、A3、 A4四種顏色可以看作是四個(gè)總體樣本數(shù)據(jù)上面的數(shù)據(jù)可以看作是從這四個(gè)總體中抽取的樣本數(shù)據(jù)相關(guān)術(shù)語(yǔ) 二、方差分析的有關(guān)術(shù)語(yǔ)及假設(shè)7/21/202262、進(jìn)行方差分析必須滿足如下假設(shè) （1）每個(gè)總體都應(yīng)服從正態(tài)分布 （2）各個(gè)總體的方差2必須相等 （3）不同觀測(cè)值是獨(dú)立的（每個(gè)樣本點(diǎn)的取值不影響其他樣本點(diǎn)的取值）樣本來(lái)自于一個(gè)

5、相同的總體樣本來(lái)自于不同的總體 二、方差分析的有關(guān)術(shù)語(yǔ)及假設(shè)7/21/20227 分析可知，四種顏色飲料銷售量的差異主要來(lái)自以下兩個(gè)方面： 隨機(jī)誤差：在因素的同一水平(同一個(gè)總體)下，樣本的各觀察值之間的差異。比如，同一種顏色的飲料在不同超市上的銷售量是不同的，不同超市銷售量的差異可以看成是隨機(jī)因素的影響，或者說是由于抽樣的隨機(jī)性所造成的，稱為隨機(jī)誤差。 系統(tǒng)誤差：在因素的不同水平(不同總體)下，各觀察值之間的差異。比如，同一家超市，不同顏色飲料的銷售量也是不同的，這種差異可能是由于抽樣的隨機(jī)性所造成的，也可能是由于顏色本身所造成的，后者所形成的誤差是由系統(tǒng)性因素造成的，稱為系統(tǒng)誤差。三、方差

6、分析的原理7/21/20228數(shù)據(jù)的誤差用平方和(sum of squares)表示1.組內(nèi)平方和(within groups)因素的同一水平下數(shù)據(jù)誤差的平方和比如，無(wú)色飲料A1在5家超市銷售量的誤差平方和只包含隨機(jī)誤差2.組間平方和(between groups)因素的不同水平之間數(shù)據(jù)誤差的平方和比如，A1、A2、A3、A4四種顏色飲料銷售量之間 的誤差平方和既包括隨機(jī)誤差，也包括系統(tǒng)誤差三、方差分析的原理7/21/20229兩類方差組內(nèi)方差(MSE)因素的同一水平(同一個(gè)總體)下樣本數(shù)據(jù)的方差比如，無(wú)色飲料A1在5家超市銷售數(shù)量的方差組內(nèi)方差只包含隨機(jī)誤差組間方差(MSA)因素的不同水平(

7、不同總體)下各樣本之間的方差比如，A1、A2、A3、A4四種顏色飲料銷售量之間的方差組間方差既包括隨機(jī)誤差，也包括系統(tǒng)誤差三、方差分析的原理7/21/202210方差比較若不同顏色對(duì)銷售量沒有影響，則組間方差中只包含隨機(jī)誤差，沒有系統(tǒng)誤差。這時(shí)，組間方差與組內(nèi)方差的數(shù)值就應(yīng)該很接近，它們的比值就會(huì)接近1若不同顏色對(duì)銷售量有影響，在組間方差中除了包含隨機(jī)誤差外，還會(huì)包含系統(tǒng)誤差，這時(shí)組間方差的數(shù)值就會(huì)大于組內(nèi)方差的數(shù)值，它們之間的比值就會(huì)大于1當(dāng)這個(gè)比值大到某種程度時(shí)，就可以說不同水平之間存在著顯著差異，也就是自變量對(duì)因變量有影響所剩問題歸結(jié)為：比值多大，才能拒絕原假設(shè)。可通過計(jì)算F統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行F

8、檢驗(yàn)來(lái)判斷。三、方差分析的原理7/21/202211 觀察值之間的差異來(lái)自兩個(gè)方面：某因素不同水平的影響（系統(tǒng)性影響）其他隨機(jī)因素的影響（隨機(jī)性影響）水平間方差（組間方差）水平內(nèi)方差（組內(nèi)方差） 小結(jié)： 如果原假設(shè)成立：說明某因素不同水平的影響不顯著（無(wú)系統(tǒng)性影響），只剩下隨機(jī)性影響，因此組間方差與組內(nèi)方差差別不大，它們的比接近于1。 如果原假設(shè)不成立：說明某因素不同水平的影響顯著（存在系統(tǒng)性影響），組間方差與組內(nèi)方差差別較大，它們的比遠(yuǎn)超出1。三、方差分析的原理7/21/202212（一）單因素方差分析的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu) (one-way analysis of variance) 觀察值 ( j

9、)因素A ( i ) 水平A1 水平A2 水平Ak12:ni x11 x21 xk1 x12 x22 xk2 : : : : 四、單因素方差分析7/21/202213（二）分析步驟1、提出假設(shè)2、構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量3、統(tǒng)計(jì)決策四、單因素方差分析7/21/2022141、提出假設(shè)一般提法H0 ： m1 = m2 = mk 自變量對(duì)因變量沒有顯著影響 H1 ： m1 ，m2 ， ，mk不全相等自變量對(duì)因變量有顯著影響 注意：拒絕原假設(shè)，只表明至少有兩個(gè)總體的均值不相等，并不意味著所有的均值都不相等 7/21/202215 構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量需要計(jì)算（1）水平的均值（2）全部觀察值的總均值（3）誤差平方和（

10、4）均方(MS)（5）檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F2、構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量7/21/202216假定從第i個(gè)總體中抽取一個(gè)容量為ni的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，第i個(gè)總體的樣本均值為該樣本的全部觀察值總和除以觀察值的個(gè)數(shù)計(jì)算公式為 式中： ni為第 i 個(gè)總體的樣本觀察值個(gè)數(shù) xij 為第 i 個(gè)總體的第 j 個(gè)觀察值 （1）計(jì)算水平的均值7/21/202217全部觀察值的總和除以觀察值的總個(gè)數(shù)計(jì)算公式為 （2）計(jì)算全部觀察值的總均值前例計(jì)算結(jié)果7/21/202218總誤差平方和（sum of squares for total, SST）全部觀察值 與總平均值 的離差平方和反映全部觀察值的離散狀況其計(jì)算公式為（3）計(jì)算誤差

11、平方和 前例的計(jì)算結(jié)果： SST = (26.5-28.695)2+(32.8-28.695)2 =115.937/21/202219各組平均值 與總平均值 的離差平方和（Sum of Squares for Factor A, SSA)反映各總體的樣本均值之間的差異程度，又稱組間平方和該平方和既包括隨機(jī)誤差，也包括系統(tǒng)誤差計(jì)算公式為 水平項(xiàng)平方和SSA（3）計(jì)算誤差平方和 前例的計(jì)算結(jié)果：SSA =76.8467/21/202220每個(gè)水平或組的各樣本數(shù)據(jù)與其組平均值的離差平方和(Sum of Squares for Error，SSE）反映每個(gè)樣本各觀察值的離散狀況，又稱組內(nèi)平方和該平方和

12、反映的是隨機(jī)誤差的大小計(jì)算公式為 誤差項(xiàng)平方和SSE（3）計(jì)算誤差平方和 前例的計(jì)算結(jié)果：SSE =39.0847/21/202221可以證明:總離差平方和(SST)、誤差項(xiàng)離差平方和(SSE)、水平項(xiàng)離差平方和 (SSA) 之間有如下關(guān)系SST = SSA + SSE 在本例中，可以驗(yàn)證：115.930=76.846+39.084三個(gè)平方和的關(guān)系（3）計(jì)算誤差平方和7/21/202222 SST反映全部數(shù)據(jù)總的誤差程度；SSE反映隨機(jī)誤差的大小；SSA反映隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差的大小如果原假設(shè)成立，則表明沒有系統(tǒng)誤差，SSA除以其自由度后的均方（組間均方）與SSE除以其自由度后的均方（組內(nèi)均方）

13、差異就不會(huì)太大；如果組間均方顯著地大于組內(nèi)均方，說明各水平(總體)之間的差異不僅有隨機(jī)誤差，還有系統(tǒng)誤差判斷因素的水平是否對(duì)其觀察值有影響，實(shí)際上就是比較組間方差與組內(nèi)方差之間差異的大小三個(gè)平方和的作用（3）計(jì)算誤差平方和7/21/202223各誤差平方和的大小與觀察值的多少有關(guān)，為消除觀察值多少對(duì)誤差平方和大小的影響，需要將其平均，這就是均方，也稱為方差計(jì)算方法是用誤差平方和除以相應(yīng)的自由度三個(gè)平方和對(duì)應(yīng)的自由度分別是SST的自由度為n-1，其中n為全部觀察值的個(gè)數(shù)SSA的自由度為k-1，其中k為因素水平(總體)的個(gè)數(shù)SSE 的自由度為n-k注：n-1=（k-1）+（n-k）（4）計(jì)算均方M

14、S7/21/202224 組間方差：SSA的均方，記為MSA，計(jì)算公式為 組內(nèi)方差：SSE的均方，記為MSE，計(jì)算公式為（4）計(jì)算均方MS7/21/202225將MSA和MSE進(jìn)行對(duì)比，即得到所需要的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F當(dāng)H0為真時(shí)，二者的比值服從分子自由度為k-1、分母自由度為 n-k 的 F 分布，即 （5）計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 F 7/21/202226F分布與拒絕域如果均值相等，F(xiàn)=MSA/MSE1a F 分布F(k-1,n-k)0拒絕H0不能拒絕H0F（5）計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 F 7/21/202227 將統(tǒng)計(jì)量的值F與給定的顯著性水平的臨界值F進(jìn)行比較，作出對(duì)原假設(shè)H0的決策根據(jù)給定的顯著性水平，在

15、F分布表中查找與第一自由度df1k-1、第二自由度df2=n-k 相應(yīng)的臨界值 F 若FF ，則拒絕原假設(shè)H0 ，表明均值之間的差異是顯著的，所檢驗(yàn)的因素對(duì)觀察值有顯著影響若F3.24,因此拒絕原假設(shè)，從而得出：顏色對(duì)該公司飲料銷售有顯著影響。3、統(tǒng)計(jì)決策 7/21/202229（三）單因素方差分析表(基本結(jié)構(gòu))四、單因素方差分析7/21/202230（三）單因素方差分析表(例題分析)四、單因素方差分析7/21/202231 如果同時(shí)需考慮兩個(gè)因素A與B的影響，則可進(jìn)行雙因素方差分析。 雙因素方差分析中需假設(shè)兩個(gè)因素有無(wú)交互作用，即各自是否獨(dú)立地發(fā)揮影響作用。 1.數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)五、雙因素方差分析7

16、/21/2022322.離差平方和的分解其中:可以證明:于是五、雙因素方差分析7/21/202233表3 雙因素方差分析表誤差來(lái)源 平方和 自由度 均方差 F值 A因素 SSC r-1 MSC=SSC/(r-1） FC=MSC/MSE B因素 SSR k-1 MSR=SSR/(k-1) FR=MSR/MSE 隨機(jī)誤差 SSE (r-1)(k-1) MSE=SSE/(r-1)(k-1) 合計(jì) SST n-1 SST/(n-1) 在飲料銷售例中，如果我們還關(guān)心不同超市是否對(duì)銷售有影響，這時(shí)可將5個(gè)不同的超市作為因素B考慮，它有5個(gè)水平。雙因素分析結(jié)果如下：五、雙因素方差分析7/21/202234拒

17、絕原假設(shè)表明因素(自變量)與觀測(cè)值之間有關(guān)系組間平方和(SSA)度量了自變量(顏色)對(duì)因變量(銷售量)的影響效應(yīng)只要組間平方和SSA不等于0，就表明兩個(gè)變量之間有關(guān)系(只是是否顯著的問題) 當(dāng)組間平方和比組內(nèi)平方和(SSE)大，而且大到一定程度時(shí)，就意味著兩個(gè)變量之間的關(guān)系顯著，大得越多，表明它們之間的關(guān)系就越強(qiáng)。反之，就意味著兩個(gè)變量之間的關(guān)系不顯著，小得越多，表明它們之間的關(guān)系就越弱六、關(guān)系強(qiáng)度的測(cè)量 7/21/202235變量間關(guān)系的強(qiáng)度用自變量平方和(SSA)占總平方和(SST)的比例大小來(lái)反映自變量平方和占總平方和的比例記為R2 ,即其平方根R就可以用來(lái)測(cè)量?jī)蓚€(gè)變量之間的關(guān)系強(qiáng)度，取值范圍01。 六、關(guān)系強(qiáng)度的測(cè)量 7/21/202236第1步：選擇“工具 ”下拉菜單第2步：選擇“數(shù)據(jù)分析 ”選項(xiàng)第3步：在分析工具中選擇“單因素方差分析 ”