高中數(shù)學(xué)題型全面歸納（學(xué)生版）：4.4解三角形20

1、 第四節(jié)解三角形考綱解讀掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題.能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題.命題趨勢探究1.本節(jié)為高考的必考和重點考查內(nèi)容，在選擇題、填空題和解答題中都有出現(xiàn)，并越來越成為三角函數(shù)部分的核心考點.2.題型有三：一是解三角形出現(xiàn)邊角互化求角、求邊；二是三角形形狀判定；三是最值問題.題型和分值較穩(wěn)定，且有逐漸上升趨勢，屬中等難度.知識點精講在中，角所對邊依次為1.角的關(guān)系2.正弦定理為的外接圓的直徑）.正弦定理的應(yīng)用：已知兩角及一邊求解三角形.已知兩邊及其中一邊的對角，求另一對角：若ab,已知角求角. 若ab,已知

2、角求角，一解（銳角）.3.余弦定理（已知兩邊a,b及夾角求第三邊c）（已知三邊求角）.余弦定理的應(yīng)用：已知兩邊及夾角求解第三邊；已知三邊求角；已知兩邊及一邊對角不熟第三邊.4.三角形面積公式題型歸納及思路提示題型67正弦定理的應(yīng)用思路提示（1）已知兩角及一邊求解三角形；（2）已知兩邊一對角；.（3）兩邊一對角，求第三邊.一、利用正弦定理解三角形例4.39已知中，求及邊長評注本題已知兩角及一邊，用正弦定理：在中，變式1在中，角所對邊依次為則角的大小為.例4.40在中，角所對邊依次為記若函數(shù)是常數(shù)）只有一個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）.或或評注三角形問題一般先根據(jù)題意作出圖 形，抓住已知量，充分想

3、到三角形的邊角關(guān)系及正弦定理，并盡可能轉(zhuǎn)化和構(gòu)造 直角三角形.變式1 （1）在中，已知角所對的邊分別為且 如果三角形有解，則角A的取值范圍是 ;(2) 在中，已知角所對的邊分別為且如果三角形有解，則角B的取值范圍是 ;（3）在中，已知角所對的邊分別為且如果三角形有解，則角C的取值范圍是 .變式2在中，內(nèi)角的對邊分別是，若，則為（ ）A B C D二、利用正弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化例4.41 在中，若A=2B，則的取值范圍為（ ）. 評注 在中，利用正弦定理，進(jìn)行邊與角的轉(zhuǎn)化，在條件中有邊也有角時，一般考慮統(tǒng)一成邊或角的形式，再由兩角和與差的公式來求解.變式1 （1）若在銳角中，若A=2B，則的取值范

4、圍為 ;（2）若在直角中，若A=2B，則的取值集合為 ;（3）若在鈍角中，若A=2B，則的取值集合為 .變式2 在中，則AB+2BC的最大值為 .變式3 已知分別為三個內(nèi)角的對邊，（1）求A； （2）若，的面積為，求.變式4 在中，角的對邊分別為已知，（1）求證： （2）若，求的面積.題型68 余弦定理的應(yīng)用思路提示(1)已知兩邊一夾角或兩邊及一對角，求第三邊.(2)已知三邊求角或已知三邊判斷三角形的形狀，先求最大角的余弦值，若余弦值一、利用余弦定理解三角形例4.42 在 中， ，則a= . 變式1在 中， ， (1)求的值； （2）求 的值. 變式2 在 中，若，則變式3 已知的三邊長成公比

5、為的等比數(shù)列，則其最大角的余弦值為 .例4.43 在中，角所對邊的長分別為若，則的最小值為（ ）. 變式1 在中，角所對邊分別為若，求的取值范圍.變式2在中，角所對邊分別為若，求的最大值.二、利用余弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化例4.44在中，角所對邊分別為若則角B的值為（ ）. 或 或變式1在中，角所對邊分別為且（1）求A的值；（2）求的最大值.變式2 在銳角三角形中，角所對邊分別為若，則變式3在中，角所對邊分別為且，求題型69 判斷三角形的形狀思路提示（1）求最大角的余弦，判斷是銳角、直角還是鈍角三角形.（2）用正弦定理或余弦定理把條件的邊和角都統(tǒng)一成邊或角，判斷是等腰、等邊還是直角三角形.例4.45

6、 在中，若，則此三角形必為（ ）.A.等腰三角形 B.等邊三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形變式1設(shè)的內(nèi)角為所對邊分別為若 則的形狀為（ ）.A.銳角三角形 B.鈍角三角形 C.直角三角形 D.不確定變式2 在中，若，則的形狀為（ ）.A.銳角三角形 B.鈍角三角形 C.直角三角形 D.不確定變式3已知中，則的形狀為（ ）.A.直角三角形 B.等腰三角形或直角三角形 C.正三角形 D. 等腰直角三角形變式4（1）已知函數(shù)求的最小正周期和值域；（2）在中，角所對邊分別為若且，試判斷的形狀.題型70 正、余弦定理與的綜合思路提示 先利用平面向量的有關(guān)知識如向量數(shù)量積將向量問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)

7、形式，再利用三角函數(shù)轉(zhuǎn)化求解.例4.46在中，角所對邊分別為且（1）求證： （2）求邊長的值；（3）若，求的面積.評注 +得平行四邊形公式：平行四邊形兩條對角線的平方和等于四邊的平方和，即在中，.變式1 在中，則BC=（） 變式2在中，角所對邊分別為(1)求C； （2）若，求變式3在中，角所對邊分別為且（1）求的面積； （2），求的值.變式4在中，角所對邊分別為且（1）求的值； （2）若且，求和的值.題型71 解三角形的實際應(yīng)用思路提示根據(jù)題意畫出圖形，將題設(shè)已知、未知顯示在圖形中，建立已知、未知關(guān)系，利用三角知識求解.例4.47 如圖4-36所示，游客從某旅游景區(qū)的景點A處下山至C處有兩種路

8、徑.一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C，現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50m/min，在甲出發(fā)2min后，乙從A乘纜車到B，在B處停留1min后，再從B處勻速步行到C.假設(shè)纜車勻速直線運動的速度為了130m/min，山路AC長為1260m，經(jīng)測量，（1）求索道AB的長； （2）問乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離 最短？（3）為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？評注 解三角形應(yīng)用題問題，關(guān)鍵是能根據(jù)實際問題的背景建立三角形的模型，再正弦定理和余弦定理求解三角形，最后要特別注意結(jié)果要符合題意，并帶上單位.變式1 為了測量正在海面勻速行駛的某航船的位置，如圖4-37所示，在海岸上選取距離1km的兩個觀測點C，D，在某天10：00觀察到該航船在A處，此時測得2分鐘后，該船行駛到B處，此時測得則船速為 .(km/min). 最有效訓(xùn)練題20（限時45分鐘）1.在中，角所對邊分別為若角依次成等差數(shù)列，且則 2.的三個內(nèi)角所對邊分別為則 3.已知的三邊長分別為且面積則 4 . 在中，角，的對邊分別為，且，若的面積，則的最小值為（ ）A B C D35. .在中，則A的取值范圍是（ ）. 6.在銳角中，已知，則的取值范圍為（ ）. 7.在中，若的面積為，則8.在