2022高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)(人教A理一輪)指點(diǎn)迷津(三)　破解審題難關(guān)

1、高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計(jì)GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI指點(diǎn)迷津(三)破解審題難關(guān)第十章2022概率統(tǒng)計(jì)綜合問題是高考應(yīng)用型問題,解決問題需要經(jīng)歷收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)、處理數(shù)據(jù)、得出有用的結(jié)論幾個(gè)復(fù)雜過程.如果這幾個(gè)過程書寫步驟缺失則會(huì)造成丟分;如果數(shù)據(jù)處理不當(dāng)則會(huì)陷入龐大的數(shù)據(jù)運(yùn)算中,因此解決這類問題首先需要根據(jù)題目條件提取有用數(shù)據(jù),然后根據(jù)統(tǒng)計(jì)思想對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行相關(guān)處理、運(yùn)算,正確建立恰當(dāng)?shù)哪Ｐ?并按照一定的書寫步驟準(zhǔn)確無誤書寫出來,做到步驟不缺失、表述準(zhǔn)確無誤.學(xué)生在解答統(tǒng)計(jì)案例問題的時(shí)候,往往出現(xiàn)因?qū)忣}不清不能建立適當(dāng)?shù)哪Ｐ?或找不到解題的切入點(diǎn),甚至不

2、會(huì)求解問題.那么如何建立數(shù)學(xué)模型?下面就審題技巧問題給出五類題型,來展示如何根據(jù)題目所給出數(shù)據(jù),或采集的數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖,或利用整體代換,構(gòu)造熟悉的線性回歸模型,從而達(dá)到解題目的.【例1】某市居民用水?dāng)M實(shí)行階梯水價(jià).每人月用水量中不超過w立方米的部分按4元/立方米收費(fèi),超出w立方米的部分按10元/立方米收費(fèi).從該市隨機(jī)調(diào)查了10 000位居民,獲得了他們某月的用水量數(shù)據(jù),整理得到如下頻率分布直方圖:(1)如果w為整數(shù),那么根據(jù)此次調(diào)查,為使80%以上居民在該月的用水價(jià)格為4元/立方米,w至少定為多少?(2)假設(shè)同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的右端點(diǎn)值代替,當(dāng)w=3時(shí),估計(jì)該市居民該月的人均水費(fèi).類型

3、一與頻率分布直方圖有關(guān)的題型的審題技巧 審題通關(guān)題中第(1)步,求80%以上的居民在該月的用水價(jià)格為4元/立方米,找頻率和為80%所在的區(qū)間的位置;由頻率直方圖各用水量在區(qū)間內(nèi)的頻率,找出從0.5立方米到各界點(diǎn)的頻率和,80%的頻率在哪個(gè)區(qū)間上,然后求解.題中第(2)步,求該市居民該月的人均水費(fèi),已知頻率直方圖求得各區(qū)間頻率,列出頻率分布表;由同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的右端點(diǎn)值代替,由不超過w立方米的部分按4元/立方米收費(fèi),超出w立方米的部分按10元/立方米收費(fèi),解(1)由用水量的頻率分布直方圖知,該市居民該月用水量在區(qū)間0.5,1,(1,1.5,(1.5,2,(2,2.5,(2.5,3內(nèi)的

4、頻率依次為0.1,0.15,0.2,0.25,0.15.所以該月用水量不超過3立方米的居民占85%,用水量不超過2立方米的居民占45%.依題意,w至少定為3.(2)由用水量的頻率分布直方圖及題意,得居民該月用水費(fèi)用的數(shù)據(jù)分組與頻率分布表:組號(hào)12345678分組2,4(4,6(6,8(8,10(10,12(12,17(17,22(22,27頻率0.10.150.20.250.150.050.050.05根據(jù)題意,該市居民該月的人均水費(fèi)估計(jì)為0.14+0.156+0.28+0.2510+0.1512+0.0517+0.0522+0.0527=10.5(元).解題指導(dǎo)過圖表關(guān).審圖表、明數(shù)據(jù),能從

5、所給圖表中正確提取解題所需要的信息來攻克審題問題,頻率分布直方圖是考查數(shù)據(jù)收集和整理的常用載體,掌握頻率分布直方圖中常見數(shù)據(jù)的提取方法是解決這類問題的關(guān)鍵,常見的提取方法有:(1)頻率:頻率分布直方圖中橫軸表示組別,縱軸表示 ,頻率=組距 ;(2)頻率比:頻率分布直方圖中各小長方形的面積之和為1,因?yàn)樵陬l率分布直方圖中組距是一個(gè)固定值,所以各小長方形高的比也就是頻率比,從而根據(jù)已知的幾組數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)比求有關(guān)值;(3)眾數(shù):最高小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo);(4)中位數(shù):平分頻率分布直方圖面積且垂直于橫軸的直線與橫軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo);(5)平均數(shù):頻率分布直方圖中每個(gè)小長方形的面積乘小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)

6、之和;(6)性質(zhì)應(yīng)用:若縱軸上存在參數(shù)值,則根據(jù)所有小長方形的高之和組距=1列方程即可求得參數(shù)值.類型二與莖葉圖有關(guān)的題型的審題技巧【例2】如圖所示,莖葉圖記錄了甲、乙兩組各4名同學(xué)的植樹棵數(shù).乙組記錄中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊,無法確認(rèn),在圖中以X表示.(1)如果X=8,求乙組同學(xué)植樹棵數(shù)的平均數(shù)和方差;(2)如果X=9,分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué),求這兩名同學(xué)的植樹總棵數(shù)為19的概率.審題通關(guān)本題第(1)步,已知莖葉圖求特征數(shù)字的值,由莖葉圖把X=8代入,讀出甲、乙兩組數(shù)據(jù),利用平均數(shù)和方差的定義公式求解;第(2)步,求兩名同學(xué)的植樹總棵數(shù)為19的概率,即求兩個(gè)同學(xué)植樹數(shù)目和為19的概率.由

7、莖葉圖把X=9代入,讀出甲、乙兩組數(shù)據(jù);從甲、乙兩組中隨機(jī)各選取一名同學(xué),把甲、乙兩組同學(xué)的植樹數(shù)用字母代替,每組取一個(gè)字母組成組合列舉出來.把植樹和為19的情況數(shù)出來,代入古典概型的概率公式求解.(2)設(shè)甲組4名同學(xué)分別為x1,x2,x3,x4,植樹棵數(shù)分別為9,9,11,11,乙組4名同學(xué)分別為y1,y2,y3,y4,植樹棵數(shù)分別為9,8,9,10.分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué),所有可能的結(jié)果有(x1,y1),(x1,y2),(x1,y3),(x1,y4),(x2,y1),(x2,y2),(x2,y3),(x2,y4),(x3,y1),(x3,y2),(x3,y3),(x3,y4),

8、(x4,y1),(x4,y2),(x4,y3),(x4,y4),共16種.設(shè)“選出的兩名同學(xué)的植樹總棵數(shù)為19”為事件A,則事件A包含的結(jié)果有(x1,y4),(x2,y4),(x3,y2),(x4,y2),共4種,解題指導(dǎo)過文字關(guān):抓關(guān)鍵語句,破干擾信息,會(huì)轉(zhuǎn)換信息.對(duì)于莖葉圖提供的具體的數(shù)據(jù),找準(zhǔn)各組數(shù)據(jù)共同的莖及各自的葉是處理此類問題的關(guān)鍵.如果所有數(shù)據(jù)過大,在計(jì)算平均數(shù)時(shí),可以將所有數(shù)據(jù)同時(shí)減去一個(gè)數(shù)字再計(jì)算,減去一個(gè)數(shù)后方差不變.另外,除了要掌握各類數(shù)據(jù)的計(jì)算方法以外,還要能從提供的數(shù)據(jù)的趨勢分析預(yù)測結(jié)果.莖葉圖數(shù)據(jù)很具體,常聯(lián)系古典概型進(jìn)行考查,此時(shí)則需建模古典概型模型,根據(jù)所給定的

9、條件進(jìn)行計(jì)數(shù)求解.類型三與柱狀圖有關(guān)的審題技巧【例3】某公司計(jì)劃購買1臺(tái)機(jī)器,該種機(jī)器使用三年后即被淘汰.機(jī)器有一易損零件,在購進(jìn)機(jī)器時(shí),可以額外購買這種零件作為備件,每個(gè)200元.在機(jī)器使用期間,如果備件不足再購買,則每個(gè)500元.現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購買幾個(gè)易損零件,為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù),得下面柱狀圖.記x表示1臺(tái)機(jī)器在三年使用期內(nèi)需更換的易損零件數(shù),y表示1臺(tái)機(jī)器在購買易損零件上所需的費(fèi)用(單位:元),n表示購機(jī)的同時(shí)購買的易損零件數(shù).(1)若n=19,求y與x的函數(shù)解析式;(2)若要求“需更換的易損零件數(shù)不大于n”的頻率不小于0.5,求n

10、的最小值;(3)假設(shè)這100臺(tái)機(jī)器在購機(jī)的同時(shí)每臺(tái)都購買19個(gè)易損零件,或每臺(tái)都購買20個(gè)易損零件,分別計(jì)算這100臺(tái)機(jī)器在購買易損零件上所需費(fèi)用的平均數(shù),以此作為決策依據(jù),購買1臺(tái)機(jī)器的同時(shí)應(yīng)購買19個(gè)還是20個(gè)易損零件?審題通關(guān)本題第(1)步,求y與x的函數(shù)解析式,則需根據(jù)題意,建立函數(shù)模型.由額外購買零件作備件,每個(gè)200元,備件不足再購買,則每個(gè)500元,備件充足便宜,不足費(fèi)用加大,過量備件浪費(fèi);n表示購機(jī)的同時(shí)購買的易損零件數(shù),若n=19,不超過19個(gè)按每個(gè)200元支付19個(gè)易損零件的費(fèi)用,多于19個(gè)的部分每個(gè)500元;x表示1臺(tái)機(jī)器在三年使用期內(nèi)需更換的易損零件數(shù),y表示1臺(tái)機(jī)器在

11、購買易損零件上所需的費(fèi)用,結(jié)合 構(gòu)造分段函數(shù)模型,寫成分段函數(shù)形式.本題第(2)步確定“需更換的易損零件數(shù)不大于n”的頻率不小于0.5的n的最小值,就是求“更換的易損零件數(shù)不大于n”的事件的頻率和大于等于0.5.由柱狀圖信息更換零件數(shù)目及該數(shù)目對(duì)應(yīng)的頻數(shù),列出頻率分布表;由頻率分布表,確定頻率和比0.5大和頻率和比0.5小的更換零件頻數(shù),根據(jù)省錢原則,把第一個(gè)大于0.5的頻數(shù)作為n值最小值.本題第(3)步已知購機(jī)時(shí)購買19個(gè)備用件或購買20個(gè)備用件,求100臺(tái)機(jī)器在柱狀圖情形下,所需費(fèi)用的平均數(shù),并根據(jù)平均數(shù)下決策,實(shí)質(zhì)就是求n=19和n=20,100件機(jī)器購置更換易損件所需的費(fèi)用.若都購買1

12、9個(gè)易損零件,根據(jù)柱狀圖,購置100臺(tái)機(jī)器每臺(tái)都買19個(gè)備用件,所需費(fèi)用10019200;更換零件數(shù)為20,有20臺(tái)機(jī)器,每臺(tái)多買1個(gè),所需費(fèi)用為20500;更換零件數(shù)為21,有10臺(tái)機(jī)器,每臺(tái)多買2個(gè),所需費(fèi)用為210500;所需費(fèi)用的平均數(shù),平均數(shù)= ;購買20個(gè)備用件,原理同上;購買備用件決策,根據(jù)所需費(fèi)用平均數(shù)值比較大小,數(shù)值較小的實(shí)惠.解(1)當(dāng)x19時(shí),y=19200=3 800當(dāng)x19時(shí),y=19200+(x-19)500=500 x-5 700,所以(2)由柱狀圖可知,更換易損零件數(shù)的頻率如下表所示:更換的易損零件數(shù)161718192021頻率0.060.160.240.240

13、.200.10所以更換易損零件數(shù)不大于18的頻率為0.06+0.16+0.24=0.460.5,故n的最小值為19.(3)若每臺(tái)都購買19個(gè)易損零件,則這100臺(tái)機(jī)器在購買易損零件上所需費(fèi)用的平均數(shù)為若每臺(tái)都購買20個(gè)易損零件,則這100臺(tái)機(jī)器在購買易損零件上所需費(fèi)用的平均數(shù)為因?yàn)? 000300空氣質(zhì)量優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴(yán)重污染天數(shù)61418272015(1)已知某企業(yè)每天的經(jīng)濟(jì)損失y(單位:元)與空氣質(zhì)量指數(shù)x的關(guān)系式為 若在本年內(nèi)隨機(jī)抽取一天,試估計(jì)這一天的經(jīng)濟(jì)損失超過400元的概率;(2)若本次抽取的樣本數(shù)據(jù)有30天是在供暖季,其中有8天為嚴(yán)重污染.根據(jù)提供的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),完成下

14、面的22列聯(lián)表,并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“該城市本年的空氣嚴(yán)重污染與供暖有關(guān)”?P(K2k0)0.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828是否在供暖季非嚴(yán)重污染嚴(yán)重污染合計(jì)是否合計(jì)100審題通關(guān)本題第(1)步,通過經(jīng)濟(jì)損失y(單位:元)與空氣質(zhì)量指數(shù)x的關(guān)系式,當(dāng)0 x100時(shí),y為0;當(dāng)100300時(shí),y=2 000.若一天的經(jīng)濟(jì)損失超過400元,4x-400400,得到x200.由空氣質(zhì)量指數(shù)x200,通過監(jiān)測數(shù)據(jù)找出空氣質(zhì)量指數(shù)大于200的頻數(shù),代入古典概型概率公式求概率.本題第(2)步,本次抽取的樣本數(shù)據(jù)有30天是在供暖

15、季,其中有8天為嚴(yán)重污染,求出非嚴(yán)重污染的天數(shù);通過列聯(lián)表提示數(shù)據(jù)總天數(shù)為100,嚴(yán)重污染共有15天,求出非供暖季嚴(yán)重污染的天數(shù),非供暖季非嚴(yán)重污染的天數(shù);根據(jù)列聯(lián)表得到相應(yīng)數(shù)據(jù);代入K2公式,求出K2值,根據(jù)獨(dú)立檢驗(yàn)概率比對(duì)參照表,下結(jié)論.解(1)記“在本年內(nèi)隨機(jī)抽取一天,該天的經(jīng)濟(jì)損失超過400元”為事件A.由y400,得x200.由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可知,空氣質(zhì)量指數(shù)大于200的頻數(shù)為35,(2)根據(jù)題設(shè)中的數(shù)據(jù)得到如下22列聯(lián)表:將22列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算,得因?yàn)?.5753.841,所以有95%的把握認(rèn)為“該城市本年的空氣嚴(yán)重污染與供暖有關(guān)”.是否在供暖季非嚴(yán)重污染嚴(yán)重污染合計(jì)是2283

16、0否63770合計(jì)8515100解題指導(dǎo)過邏輯推理關(guān):根據(jù)上下文條件的聯(lián)系,逐步推導(dǎo)解決問題需要的條件.處理頻率分布表的數(shù)據(jù)的關(guān)鍵是搞清表格中各行、各列數(shù)的意義,特別地,表格中最后一行或最后一列中的數(shù)據(jù)多為合計(jì)(或總計(jì)).然后根據(jù)已知條件,逐步推導(dǎo)題目要求所需條件,審題時(shí),要前后聯(lián)系,注意隱含條件的使用.有關(guān)獨(dú)立性檢驗(yàn)則需根據(jù)條件,推導(dǎo)列聯(lián)表的各個(gè)數(shù)值,代入公式求解K2的值,查臨界比對(duì)表確定臨界值k0,理解臨界表的含義,下對(duì)結(jié)論:即如果kk0,就推斷“X與Y有關(guān)系”,這種推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過P(K2k0);否則,就認(rèn)為在犯錯(cuò)誤的概率不超過P(K2k0)的前提下不能推斷“X與Y有關(guān)”.類型五與折線圖和線性