【VIP專享】結構力學-結構動力學課件

1、14-1 概述14-2 結構的振動自由度 14-3 單自由度結構的自由振動 14-4 單自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動 14-5 單自由度結構在任意荷載作用下的強迫振動 14-6 多自由度結構的自由振動 第十四章 結構動力學14-7 多自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動 14-8 振型分解法14-9 無限自由度結構的振動14-10 計算頻率的近似方法 靜力荷載：大小、方向和作用位置不隨時間變化，或變化非常緩慢，不會促使結構產生顯著的運動狀態(tài)的變化，結構將處于平衡狀態(tài)。計算平衡狀態(tài)下結構的內力和變形問題稱為靜力計算。 注意：區(qū)分靜力荷載與動力荷載，不是單純從荷載本身性質來看，要看其對結構

2、產生的影響。一、結構動力計算的特點和任務1. 動力荷載與靜力荷載的區(qū)別： 隨時間變化的結構的位移和內力，稱為動位移和動內力，并稱為動力反應。計算動力荷載作用下結構的動力反應問題，稱為動力計算。 動力荷載（干擾力）：隨時間迅速變化的荷載 14-1 概述結構動力計算的特點：在動力荷載作用下，結構將產生振動，其位移和內力都 是隨時間變化的。在運動過程中，結構的質量具有加速 度，必須考慮慣性力的作用?？紤]慣性力的作用是結構動力計算的最主要特征。 結構靜力計算的特點：結構的位移和內力只取決于靜力荷載的大小及其分布 規(guī)律，與時間無關。2. 結構動力計算的特點3. 結構動力計算可分為兩大類：自由振動：結構受

3、到外部因素干擾發(fā)生振動，而在以后的振動過程中不再受外 部干擾力作用。強迫振動：如果結構在振動過程中還不斷受到外部干擾力作用，則稱為強迫 振動。 4. 結構動力計算的任務：(2) 分析計算動力荷載作用下結構的動力反應，確定動力荷載作用下結構的位移、內力等量值隨時間而變化的規(guī)律，從而找出其最大值以作為設計的依據。(1) 分析計算自由振動，得到的結構的動力特性(自振頻率、振型和阻尼參數)；14-1 概述 周期荷載 隨時間周期地變化的荷載。其中最簡單、最重要的是簡諧荷載(按弦或余弦函數規(guī)律變化)。二、動力荷載的分類 簡諧荷載1. 周期荷載非簡諧性周期荷載 例：打樁時落錘撞擊所產生的荷載。 14-1 概

4、述在很短的時間內，荷載值急劇減小(或增加)，如爆炸時所產生的荷載。2. 沖擊荷載 3. 突加常量荷載突然作用于結構上、荷載值在較長時間內保持不變。例：起重機起吊重物時所產生的荷載。上述荷載是時間的確定函數，稱之為確定性動力荷載。 14-1 概述 隨機荷載（非確定性荷載）荷載的變化極不規(guī)則，在任時刻的數值無法預測。地震荷載和風荷載都是隨機荷載。隨機荷載（非確定性荷載）4. 隨機荷載14-1 概述結構振動的自由度:結構在彈性變形過程中確定全部質點位置所需的獨立 參數的數目單自由度結構多自由度結構（自由度大于1的結構）14-2 結構振動的自由度當梁本身的質量遠小于電動機的質量時，可以不計梁本身的質量

5、，同時不考慮梁的軸向變形和質點的轉動，則梁上質點的位置只需由撓度y(t)就可確定。由質點豎向撓度為獨立參數的單自由度結構確定絕對剛性桿件上三個質點的位置只需桿件轉角(t)便可，故為單自由度結構。14-2 結構振動的自由度 雖然只有一個集中質點，但其位置需由水平位移x和豎向位移y兩個獨立參數才能確定，因此振動自由度等于2，為多自由度體系。 三層平面剛架橫梁的剛度可看作無窮大，結構振動時橫梁不能豎向移動和轉動而只能作水平移動，故振動自由度等于3，多自由度體系。14-2 結構振動的自由度 分析剛架的振動自由度時，仍可引用受彎直桿任意兩點之間的距離保持不變的假定，即略去桿件的軸向變形。因此，可采用施加

6、剛性鏈桿法來確定結構的振動自由度。剛性鏈桿法：在結構上施加最少數量的剛性鏈桿以限制剛架上所 有質點的位置， 則該剛架的自由度數即等于所加鏈桿數目。具有兩個集中質量，加入三根鏈桿即能使各質量固定不動其振動自由度為3。 注意：體系振動自由度的數目不完全取決于質點的數目，也與體系是否靜定或超靜定無關。體系的自由度數目與計算假定和計算精度有關。如果考慮質點的轉動慣性，還應增加控制轉動的約束，才能確定結構的振動自由度數目。14-2 結構振動的自由度 實際結構中，除有較大的集中質量外，還有連續(xù)分布的質量。對此，需要采用一定的簡化措施，把無限多自由度的問題簡化為單自由度或者有限多自由度的問題進行計算集中質量

7、法：把體系的連續(xù)分布質量集中為有限個集中質量(實際上是質點)，把原來是無限自由度的問題簡化成為有限自由度的問題。 簡化方法有多種，如集中質量法、廣義坐標法和有限元法等。本章重點討論集中質量法。 水塔的質量大部分集中在塔頂上，可簡化成以x(t)為位移參數的單自由度結構。14-2 結構振動的自由度凡屬需要考慮桿件本身質量（稱為質量桿）的結構都是無限自由度體系。 例：用集中質量法將連續(xù)分布質量的簡支梁簡化為有限自由度體系。將梁二等分，集中成三個集中質量，單自由度體系。 將梁三等分，質量集中成四個集中質量的兩個自由度體系。14-2 結構振動的自由度自由振動：結構在振動進程中不受外部干擾力作用的振動形式

8、。產生自由振動的原因：結構在振動初始時刻受到干擾。初始干擾的形式: （1）結構具有初始位移 （2）結構具有初始速度 （3）上述二者同時存在1. 不考慮阻尼時的自由振動 對于各種單自由度體系的振動狀態(tài),都可以用一個簡單的質點彈簧模型來描述。 梁在質點重量W作用下的撓曲線稱為“靜平衡位置”。14-3 單自由度結構的自由振動取圖示質點彈簧體系中質點的靜力平衡位置為計算位移的原點，并規(guī)定位移y和質點所受的力都以向下為正。設彈簧發(fā)生單位位移時所需加的力為k11，稱為彈簧的剛度；單位力作用下彈簧產生的位移為11 ，稱為彈簧的柔度，k11與11二者之間滿足：無重懸臂梁、無重簡支梁簡化單彈簧體系時，彈簧的剛度

9、系數k11各等于多少？思考：簡支梁：懸臂梁 ：答：14-3 單自由度結構的自由振動 為了尋求結構振動時其位移以及各種量值隨時間變化的規(guī)律，需要先建立其振動微分方程，然后求解。振動微分方程的建立方法：（1）剛度法。即列動力平衡方程。設質點m在振動的任一時刻位移為y，取質點 m為隔離體，不考慮質點運動時受到的阻力，則作用于質點m上 的力有：(a) 彈簧恢復力該力有將質點拉回靜力平衡位置的趨勢，負號表示其方向恒與位移y的方向相反，即永遠指向靜力平衡位置。(b) 慣性力負號表示其方向恒與加速度 的方向相反對于彈簧處于靜力平衡位置時的初拉力，恒與質點的重量mg向平衡而抵消，故振動過程中這兩個力都毋須考慮

10、。14-3 單自由度結構的自由振動質點在慣性力F1和恢復力Fc作用下維持平衡，則有：或將F1和Fc的表達式代入令（14-1）有（14-2）單自由度結構自由振動微分方程14-3 單自由度結構的自由振動（2）柔度法。即列位移方程。當質點m振動時，把慣性力看作靜力荷載作用在體 系的質量上，則在其作用下結構在質點處的位移y應當為：即同剛度法所得方程此二階線性常系數齊次微分方程的通解為：(a)(b)由初始條件t=0時，有可得到有(14-3)14-3 單自由度結構的自由振動可見:單自由度體系無阻尼的自由振動是簡諧振動。 令 , 有 （14-4） （14-6） 其中（14-5） 位移滿足周期運動的下列條件：

11、 a表示質量m 的最大動位移，稱為振幅。其由常數 、初始條件 y0 和 v0 決定的。是初始位置的相位角，稱為初相角。它也取決于常數 、初始條件 y0 和 v0 。 T 稱為結構的自振周期，其常用的單位為秒(s)。自振周期的倒數代表每秒鐘內的振動次數，稱為工程頻率，記作f，其單位為1秒(s-1)，或稱為赫茲(Hz)。(14-7)14-3 單自由度結構的自由振動表示2秒內的振動次數，是結構動力性能的一個很重要的標志。 的單位為弧度秒(rads)，亦常簡寫為1s (s-1)。從圓周運動的角度來看，稱它為圓頻率，一般稱為自振頻率。 根據式(14-1)，可給出結構自振頻率的計算公式如下：相應地，結構的

12、自振周期T的計算公式為：式中g表示重力加速度，st 表示由于重量mg所產生的靜力位移。 結構的自振頻率和周期只取決于它自身的質量和剛度，與初始條件及外界的干擾因素無關，它反映著結構固有的動力特性。（14-8） 14-3 單自由度結構的自由振動解：三種支承情況的梁均為單自由度體系。例14-1 圖示為三種不同支承情況的單跨梁，EI常數，在梁中點有一集中質 量m，當不考慮梁的質量時，試比較三者的自振頻率。據此可得 隨著結構剛度的加大，其自振頻率也相應地增高。14-3 單自由度結構的自由振動2. 考慮阻尼時的自由振動物體的自由振動由于各種阻力的作用將逐漸衰減下去而不能無限延續(xù)。 阻力可分為兩種：一種是

13、外部介質的阻力；另一種來源于物體內部的作用。這些統稱為阻尼力。通常引用福格第假定，即近似認為振動中物體所受阻尼力與其振動速度成正比，稱為粘滯阻尼力，即：其中：為阻尼系數，負號表示阻尼力的方向恒與速度方向相反考慮阻尼時，質點m的動力平衡方程為即：令有 (14-9) 14-3 單自由度結構的自由振動 這是一個常系數齊次線性微分方程，設其解的形式為 解得 其特征方程為：根據阻尼大小不同，現分以下3種情況討論：(1) k，即大阻尼情況，此時r1和r2為兩個負實數，式 (14-9)通 解為： y(t)不是一個周期函數, 即在大阻尼情況下不會發(fā)生振動。（14-13） （14-14） (3) k=，即臨界阻

14、尼情況此時r1,2=-k ，方程(14-9)的解為y-t 曲線 以上兩種情況均不屬振動，位移時程曲線（y-t 曲線）表示體系從初始位移出發(fā)，逐漸返回到靜平衡位置而無振動發(fā)生。 y(t)不是周期函數，亦即在臨界阻尼情況下不會發(fā)生振動。此時，臨界阻尼系數14-3 單自由度結構的自由振動強迫振動：結構在動力荷載即外來干擾力作用下產生的振動。設質點m受干擾力F（t）作用，則質點m的動力平衡方程為：即：或 (14-18) 14-4 單自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動方程的解包括兩部分：對應齊次方程的通解和對應干擾力F(t)的特解 (14-18) 通解 特解 隨干擾力的不同而異。本節(jié)討論干擾力為簡諧周

15、期荷載時的情況，如具有轉動部件的機器勻速轉動時，由于不平衡質量產生的離心力的豎直或水平分力等，表達為：(14-19) 其中 為干擾力的頻率，F為干擾力最大值。此時式(14-18)寫為： (14-20) 設方程的特解為：（b）（a）14-4 單自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動式(b) 代入式(14 -20)，得到式(a)+式(b) ，并引入初始條件，得到(14-21)由初始條件決定的自由振動伴生自由振動按干擾力頻率振動的純強迫振動或穩(wěn)態(tài)強迫振動由初始條件決定的自由振動階段和伴生自由振動階段會隨時間很快衰減掉，故稱為過渡階段；最后只剩下按干擾力頻率振動的純強迫振動，故稱為平穩(wěn)階段。實際問題中，

16、一般只討論純強迫振動。14-4 單自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動1. 不考慮阻尼的純強迫振動(14-22)因此，最大動力位移（振幅）為(14-23)其中:代表將干擾力最大值F作為靜載作用于結構上時引起的靜力位移位移動力系數，代表最大動力位移與靜力位移之比當時，值為負，表示動力位移與動力荷載的指向相反, 這種現象僅在不計阻尼時出現。14-4 單自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動 動力反應譜（動力放大系數隨頻比/變化的關系曲線）動力放大系數的大小反映了結構動力反應的強弱。單自由度結構，當干擾力與慣性力的作用點重合時，位移動力系數與內力動力系數是完全一樣的。當 ， 通常,當動力荷載(即干擾力

17、)的周期大于結構自振周期的五、六倍以上時，可將其視為靜力荷載。 (1) 當時，即/0，這時1。這種情況相當于靜力作用。14-4 單自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動 動力反應譜 (2) 當時，即/1，這時。即振幅趨于無限大,這種現象稱為共振。2) 實際上由于阻尼的存在共振時振幅不會無限增大。 1) 共振現象的形成有一個過程，振幅是由小逐漸變大的。 注意:3) 應避開0.75/ 時，即/1，這時值為負值,并且趨近于零。 這表明高頻簡諧荷載作用下，振幅趨近于零，體系處于靜止 狀態(tài)。 工程設計中，要求的是振幅絕對值,動力反應譜中/1 部分的畫在橫坐標的上方。注意:14-4 單自由度結構在簡諧荷載作

18、用下的強迫振動在單自由度體系上，當干擾力作用在質量上、擾力作用線與質體的振動位移方向重合時，其位移動力系數與內力動力系數是完全相同的，結構的最大動內力可以采用動力系數法求得。如果干擾力不作用在質量上，體系的位移和內力沒有一個統一的動力系數。這種情況下的結構動內力、動位移的計算，可用建立動力微分方程的方法計算。見書P89圖14-1514-4 單自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動解：在發(fā)電機重量作用下，梁中 點的最大靜力位移為：故自振頻率為例14-2 簡支梁中點裝有一臺電動機，電動機重量G=35kN。已知梁的慣性矩 I=8.810-5 m4， E=210GPa。發(fā)電機轉動時離心力的垂直分力為F=

19、sint， 且F=10KN。不計阻尼，求當發(fā)電機每分鐘轉數為n=500r/min時，梁的最大彎矩和撓度。干擾力頻率:動力系數:梁中點的最大彎矩為梁中點的最大撓度為14-4 單自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動 質體的動位移 y(t) 是以靜力平衡位置為零點來計算的，因此 y(t) 中不包括質體的重力影響，但在確定質體的最大豎向位移時，應加上這部分（st=11G）的影響。注意：14-4 單自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動運用圖乘法可求得 (a) (1) 設慣性力和動力荷載分別為單位力和單位力偶作用在體系上，并繪出相應的彎矩圖. 例14-3 圖示簡支梁跨中有一集中質量m，支座A 處受動力矩M

20、sint 的作用， 不計梁的質量，試求質點的動位移和支座A 處的動轉角的幅值。 解：該體系不能直接用放大系數求動位移，可由建立體系的振動方程來求解。14-4 單自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動式中 代ij入上式，經整理后得 (b)解式(b)得穩(wěn)態(tài)解為(c)(2) 根據疊加原理列出動位移 質點的動位移是慣性力FI(t) 和動力荷載共同作用下產生的，按疊加原理可表示為14-4 單自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動這說明質體動位移尚可應用放大系數計算。 質點的動位移幅值為 ，其中 為動荷載幅值M所引起的質點靜位移yst，動力系數。 支座A處的動轉角也是由慣性力FI(t)和動力荷載共同作用下產生

21、的，按疊加原理可表示為由穩(wěn)態(tài)解式(c)可知14-4 單自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動對式(c)求導兩次后代入上式，可得將式(a)和F *=3M/l代入上式, 得(c)14-4 單自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動 可見, 質點位移的動力系數和支座處動轉角的動力系數是不同的。 支座A處的動轉角幅值為 , 為動荷載幅值M所引起的靜轉角，為該動力系數。其中而 動荷載不作用在質量上時，體系不能用一個統一的動力系數來表示。14-4 單自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動由式(14-21)的第三項，有：命（14-27）（14-28）令 和 ，則振幅A可寫為（14-29） 2. 有阻尼的強迫振動14

22、-4 單自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動 動力系數不僅與頻比有關，而且還與阻尼比 有關。 動力系數與頻比和阻尼比的關系圖 在0.75時，則很小，表明質量m接近于不動或只作極微小的振動。 (1) 阻尼對簡諧荷載的動力系數影響較大簡諧荷載作用下有阻尼穩(wěn)態(tài)振動的主要特點：14-4 單自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動(2) 在=1的共振情況下, 動力系數為 動力系數與頻比和阻尼比的關系圖 在考慮阻尼的影響時，共振時動力系數不是無窮大, 而是一個有限值。在研究共振時的動力反應時，阻尼的影響是不容忽略的。 14-4 單自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動 用求極值的方法確定的最大值發(fā)生在 處, 因

23、的值通常都很小，近似地將=1時的值作為最大值。(3) 最大值并不發(fā)生在=1處。動力系數與頻比和阻尼比的關系圖14-4 單自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動當1時，01時，/2；當=1時， =/2。 (4) 阻尼體系的位移y(t)=Asin(t-)和干擾力F(t)=sint 不同步， 其相位角為。 只要有阻尼存在, 位移總是滯后于振動荷載。14-4 單自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動共振時, =/2, 位移方程式為 y(t)= ystcost= 1/(2)，=，c=cc=2m阻尼力為注意到共振時可見共振時干擾力與阻尼力互相平衡。共振時受力特點討論:14-4 單自由度結構在簡諧荷載作用下的強

24、迫振動 為了減小動力放大系數， 當 =/ 1時稱為(共振后區(qū)) ，這時，應設法減小結構的自振頻率。這種方法稱為“柔性方案”。動力系數與頻比和阻尼比的關系圖討論：14-4 單自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動采用沖量方法首先討論瞬時沖量的動力反應，在此基礎上討論一般動力荷載下的動力反應。1. 強迫力為一般動力荷載-無阻尼(1) 瞬時沖量的動力反應假定沖擊荷載作用之前體系的初位移及初速度均為零。由于荷載作用時間極短，可以認為在沖擊荷載作用完畢的瞬間，體系的位移仍為零。但沖擊荷載有沖量，可以使處于靜止狀態(tài)的質點獲得速度而引起自由振動。 思考：體系在沖擊荷載作用下獲得的是位移還是速度？ 14-5 單

25、自由度結構在任意荷載作用下的強迫振動 根據動量定律，質點在瞬時沖量F t 作用下的動量變化為由于v0=0, 所以有 原來初位移、初速度為零的體系,在沖擊荷載作用后的瞬間,變成了初位移為零,初速度為 的自由振動問題。由(14-30)得14-5 單自由度結構在任意荷載作用下的強迫振動 若沖擊荷載不是在t0，而是在t時作用，則上式中的t 應改為(t - )。(14-31) 由式(14-30)可得在t 時作用瞬時沖量S引起的動力反應。(14-30)14-5 單自由度結構在任意荷載作用下的強迫振動(2)一般動力荷載F(t)的動力反應。 把整個加載過程看成是由一系列瞬時沖量所組成的。在時刻t 作用的荷載為

26、F(t) ，此荷載在微分時段 d內產生的沖量為dS=F(t)d 。根據式(14-31)，此微分沖量引起的動力反應為：(g)對加載過程中產生的微分反應進行疊加，得出總反應如下：稱為杜哈梅(Duhamel)積分。 (14-32)14-5 單自由度結構在任意荷載作用下的強迫振動 (14-33) 式中第一、二項代表自由振動部分，第三項代表強迫振動部分。(14-32)如果初始位移y0和初始速度v0 不為零，則總位移應為：14-5 單自由度結構在任意荷載作用下的強迫振動2.幾種動荷載的動力反應 (1) 突加長期荷載 o F(t)t0F 突加長期荷載就是指突然施加于結構并繼續(xù)作用在結構上的荷載，它可表示為：

27、 如果原結構的初始位移和初始速度都等于零，將式（h）代入式(9-32)并進行積分后，可得動力位移如下： （h） (14-34) (14-32)14-5 單自由度結構在任意荷載作用下的強迫振動當t=T/2時，y(t)max=2yst，動力系數為=2。位移時程曲線圖 (14-34) 式中 表示在靜力荷載F0作用下所產生的靜力位移。 當突加荷載作用在系統上的時間超過t=T/2 時就算作長期荷載, 這時引起的最大動力位移為相應靜力位移的兩倍。14-5 單自由度結構在任意荷載作用下的強迫振動 其特點是當t=0時，在質體上突然施加常量荷裁F0，而且一直保持不變，直到t=t1時突然卸去。 (2) 突加短期荷

28、載 體系在這種荷載作用下的位移反應，可按兩個階段分別計算再疊加。 第一階段（0tt1）：此階段與突加長期荷載相同，因此動力位移反應仍按公式(9-34)計算。 荷載可以看作突加長期荷載F0 (圖中坐標上方實線及所續(xù)虛線部分)疊加上t=t1 時突加上來的負長期荷載(F0 )(圖坐標下方虛線部分)。14-5 單自由度結構在任意荷載作用下的強迫振動(14-35) 第二階段(tt1)：荷載可以看作突加長期荷載F0 (圖中坐標上方實線所續(xù)虛線部分)疊加上t=t1 時的負突加長期荷載(-F0) (圖9中坐標下方虛線部分)。當tt1時，有 第一階段（0tt1）與突加長期荷載相同，動力位移反應為14-5 單自由

29、度結構在任意荷載作用下的強迫振動 質點位移反應可分為兩個階段按式（14-33）積分求得。(3) 爆炸沖擊荷載變化規(guī)律為第一階段（0tt1）14-5 單自由度結構在任意荷載作用下的強迫振動(14-37) 第二階段（t t1） 當(t1T)0.4時，最大位移反應在第一階段出現，否則就出現在第二階段出。 從前面幾種動力荷載作用下單自由度體系的位移反應可知，最大位移反應與與t1T有關。 最大位移反應可用速度為零（即位移的導數）這個條件下的時間值來計算。14-5 單自由度結構在任意荷載作用下的強迫振動3. 當強迫力為一般動力荷載情況-有阻尼有阻尼體系在一般動力荷載 F(t) 作用時，其動力位移也可表示為

30、杜哈梅積分。由于沖量S=mv0 ，故在初始時刻由沖量S 引起的振動為 （9-46）單獨由初始速度v0(初始位移為零)所引起的振動為14-5 單自由度結構在任意荷載作用下的強迫振動 把一般動力荷載F 的加載過程看作是由無限多個瞬時沖量所組成，對t =到 t = +d的時間分段上的微分沖量dS=F()d來說，它所引起的動位移為 (t ) 積分后即得開始處于靜止狀態(tài)的單自由度體系有阻尼的受迫振動方程為 (14-47)14-5 單自由度結構在任意荷載作用下的強迫振動如果還有初始位移y0和初始速度v0，則總位移為 (14-47)(14-48)這就是有阻尼情況下的杜哈梅積分。14-5 單自由度結構在任意荷

31、載作用下的強迫振動 工程實際中有很多結構是不宜簡化為單自由度體系計算的。例如多層房屋、多跨不等高工業(yè)廠房以及煙囪等, 都必須按多自由度體系來處理。 圖示等截面煙囪，將其分為八段，從上到下將每兩段的質量集中于其中點，將一個無限自由度的體系簡化為四個自由度體系。14-6 多自由度結構的自由振動圖示簡支梁的自重略去不計, 體系有n個振動自由度，y1、y2、yi、yn分別代表這些質點自靜平衡位置量起的位移。 1. 振動微分方程的建立（剛度法、柔度法） 剛度法（1）首先加入附加鏈桿阻止所有質點的位移,則在各質點的慣性力 作用下，各鏈桿產生和慣性力大小相等、方向相反的反力；可按照位移法的步驟來處理14-6

32、 多自由度結構的自由振動（2）其次令各鏈桿發(fā)生與各質點實際位置相同的位移，此時各鏈桿上所需施加 的力為FRi(i=1,2,n)。（3）不考慮阻尼時，將上述兩種情況疊加，各附加鏈桿上的總反力為零，由此 可列出各質點的動力平衡方程。以質點mi 為例： 即： 14-6 多自由度結構的自由振動 (14-46)同理，體系中的每一個質點都可以列出相應的動力平衡方程式，有寫成矩陣形式： (14-48) 簡寫為：14-6 多自由度結構的自由振動Y和分別是位移向量和加速度向量： M和K分別是質量矩陣和剛度矩陣：14-6 多自由度結構的自由振動 體系中某質點i 產生位移 yi 可看成是系統內各質點運動時的慣性力共

33、同引起的。即柔度法 考慮每一個質點的位移，可得一組運動微分方程式：FI1，FI2，FIn為質點1，2，n 的慣性力。體系的柔度系數ij為作用在質點j上的單位力引起質點i 的位移。14-6 多自由度結構的自由振動寫成矩陣形式： 稱為體系的柔度矩陣, I單位矩陣。 或(14-51)所以，由剛度法建立的公式（14-48）與公式（14-51）是完全相通的。 因為： 14-6 多自由度結構的自由振動 設公式（14-51）的特解為：2. 按柔度法求解(14-51)即所有質點按同一頻率同一相位作同步簡諧振動，但各質點的振幅值各不相同(14-53)(14-54)有(f )柔度法的振幅方程14-6 多自由度結構

34、的自由振動柔度法的頻率方程振幅向量A 存在非零解的條件為 (14-56)(14-55) 根據頻率方程可得到n個自振頻率 ，將它們由小到大排列，分別稱為第一，第二，第n頻率，并總稱為結構自振的頻譜。注意: 體系自振頻率的個數和它的自由度數目相同。14-6 多自由度結構的自由振動此時各質點按同一頻率 作同步簡諧振動，但各質點的位移相互間的比值并不隨時間而變化，也就是說在任何時刻結構的振動都保持同一形狀，整個結構就像一個單自由度結構一樣在振動。這種多自由度結構按任一自振頻率 進行的簡諧振動稱為主振動，與其相應的特定振動形式稱為主振型(振型)將 代回式(14-53)，得到：(14-59)將n個自振頻率

35、中的任一個 代入式(f )，得到特解為(14-57)14-6 多自由度結構的自由振動n個主振動的線性組合，構成振動微分方程的一般解：(14-60) 和 取決于初始條件。然而自振頻率和振型與外因干擾無關，只取決于結構的質量分布和柔度系數，因而反映著結構本身固有的動力特性。由于此時系數行列式為零，因此n個方程中只有（n-1）個是獨立的，因而不能求得 的確定值，但可確定各質點振幅間的相對比值，便確定了振型。 振型向量規(guī)準化振型向量14-6 多自由度結構的自由振動對于兩個自由度結構，振幅方程（14-53）為：令 ，將上式展開得：頻率方程為：(14-61)14-6 多自由度結構的自由振動兩個自振頻率為：

36、(14-62)兩個主振型為：(14-63) (14-64) 14-6 多自由度結構的自由振動例14-3 圖示簡支梁在跨度的三分之一處有兩個大小相等的集中質 量m，試分析其自由振動。設梁的自重略去不計，EI常數。 解: (1) 計算柔度系數ij 14-6 多自由度結構的自由振動 求得 將ij和m值代人上式(2)求頻率：14-6 多自由度結構的自由振動將i和ij值代上入 式得第一主振型為 第二主振型為 (3) 分析振型14-6 多自由度結構的自由振動 可以看出，如果結構本身和質量分布都是對稱的，則其振型不是正對稱的便是反對稱的。第一主振型第二主振型14-6 多自由度結構的自由振動例14-4 圖示剛

37、架，在梁跨中D處和柱頂A處有大小相等的集中質量 m，支座C處為彈性支承，彈簧的剛性系數k=(3EI)/l3。試求 自振頻率和振型。 1. 求柔度系數 解：體系有兩自由度，A處質點的水平位移和D處質的豎向位移。 繪制M1、M2圖,由圖乘及彈簧內力虛功計算得14-6 多自由度結構的自由振動2. 寫出振型方程（a） 3. 寫出頻率方程，求頻率展開式為解得 相應的頻率為14-6 多自由度結構的自由振動 當=1=27.083時，設A1(1)=1, 得 第一主振型為第二主振型為當= 2=2.917 時，設A1(2)=1，得4. 求振型并繪出振型圖由所得結果繪出振型14-6 多自由度結構的自由振動 3. 按

38、剛度法求解(14-66) (14-65)振幅方程 頻率方程 將得到的n個自振頻率 代回振幅方程，得：(14-67)同樣可確定n個主振型。對于兩個自由度結構，頻率方程為：14-6 多自由度結構的自由振動展開得：兩個主振型為：14-6 多自由度結構的自由振動例14-5 三層剛架如圖所示。設自上到下，各層樓面的質量(包括柱子質量)分別 為m1=180000kg，m2=270000kg，m3=270000kg；各層的層間側移剛度( 即該層柱子上、下兩端發(fā)生單位相對位移時，該層各柱剪力之和)分別 為k1=98MN/m，k2=196MN/m，k3=245MN/m。求剛架的自振頻率和振 型。設橫梁的剛度EI

39、。 解: (1)求頻率。體系的自由度數為3。振型方程為頻率方程為14-6 多自由度結構的自由振動 建立剛度矩陣和質量矩陣由圖b可得： 由圖c可得： 由圖d可得： 14-6 多自由度結構的自由振動得剛度矩陣： 質量矩陣為：14-6 多自由度結構的自由振動頻率方程： 引入符號 ,則展開式為14-6 多自由度結構的自由振動解方程得：由 求得三個自振頻率為：14-6 多自由度結構的自由振動將 代入式(K-2M)=0，為求標準化振型，規(guī)定1( j )=1 。2. 求振型：第三振型 第二振型 第一振型 14-6 多自由度結構的自由振動(4) 與單自由度體系相同，多自由度體系的自振頻率和主振型也是體系本身的

40、固有性質。 對于多自由度體系: (1) 在多自由度體系自由振動問題中，主要問題是確定體系的全部自振頻率及其相應的主振型。 (2) 多自由度體系自振頻率不止一個，其個數與體系自由度的個數相等。自振頻率可由特征方程求出。 (3) 每個自振頻率有自己相應的主振型。主振型是多自由度體系能夠按單自由度振動時所具有的特定形式。14-6 多自由度結構的自由振動對上述兩式分別兩邊同時左乘 和 ，有對其中任兩個不同的主振型向量Xi和 Xj ，有 4. 主振型的正交性n個自由度結構具有n個自振頻率及n個主振型，每一頻率及其相應主振型都滿足(14-67)(b)(a)(d)(c)（d）式兩邊轉置，有(e)（c）式-（

41、e）式，有14-6 多自由度結構的自由振動當(ij)時，有這說明，對于質量矩陣M，不同頻率的兩個主振型是彼此正交的。同理可以證明，對于質量矩陣K，不同頻率的兩個主振型彼此也是正交的。 對于標準化的振型向量，也同樣具有正交性，即振型正交性的物理意義: 體系按某一振型振動時，它的慣性力不會在其它振型上作功。也就是說它的能量不會轉移到其它振型上去，說明各個主振型都能夠單獨出現，彼此線形無關。 主振型的正交性是結構本身的固有特性，它不僅可以用來簡化結構的動力計算，而且還可以用來檢驗所求的主振型是否正確。14-6 多自由度結構的自由振動 計算結構在動力荷載作用下的位移和內力, 即結構的動力反應。本節(jié)只研

42、究結構在簡諧荷載作用下的動力反應問題。求解的方法只討論直接法。 若干擾力頻率處于共振區(qū)以外，則阻尼的影響不大。本節(jié)不考慮阻尼。體系強迫振動要解決的問題14-7 多自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動振動過程中的任一時刻 t ，引起體系位移的力有兩種：1. 各質點的慣性力FI1( t ) 、 FI2( t ) 、 FIn( t )2. 干擾力 F1sint 、 F2sint 、 Fksint一、 柔度法建立振動微分方程式體系中任一質點mi 的位移 yi 為： yiP為所有干擾力在質點 mi 處引起的位移。14-7 多自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動動力荷載達到最大值時在質點 mi 處所引起的

43、靜力位移。 注意到F( t )= mi i，有對于n個自由度體系，可以建立n個這樣的方程。寫成矩陣形式為：M +y=P sint (14-73)(14-72) P=1P 2P nPT為動荷載幅值引起的靜力位移列向量。 為結構的柔度矩陣。14-7 多自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動 是一個非齊次線性微分方程組。它的一般解由兩部分組成：一部分是對應齊次微分方程的解；另一部分則是某一特解。齊次解對應于自由振動部分，這部分將很快衰減掉。在研究強迫振動問題時，著重討論式(14-79)的特解,即穩(wěn)定強迫振動的解。 M +y=P sint (14-73)設方程的特解為： y=Asint (14-74)

44、A=A1 A2 AnTA為強迫振動位移幅值列向量：A1、A2、An.將y 連同 =A2sint 代入式(14-73)，化簡后得(14-76)解方程組可求出各質點在純強迫振動中的振幅：由式(14-74)可得各質點的振動方程。14-7 多自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動令FI0= 2MAFI=M =2MAsint = FI0 sint FIi0= 2miAi (i=1,2, ,n)y=AsintFI0 稱為慣性力幅值列向量。 寫成展開形式為：由上式可以看出： 位移、慣性力和干擾力均按同一頻率作同步簡諧振動，且同時達到幅值。各質點的慣性力為： FI= M= 2MAsint (14-77)式中FI

45、=FI1 FI2 FIn T為慣性力列向量。14-7 多自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動 在計算最大動位移和最大動內力時，可先求得慣性力的幅值FIi0 ，然后再把FIi0 和干擾力幅值 Fi 同時作用于結構上，按靜力分析方法即可求得最大動位移和最大動內力。14-7 多自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動二、剛度法建立振動微分方程 當干擾力均作用在質點處時，由n個自由度的剛度法基本體系，得出其動力平衡方程如下： (14-80)寫成矩陣形式為：M +KY= F( t ) (14-81)14-7 多自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動 F( t )= Fsint式中F=F1 F2 Fn T 為荷

46、載幅值列向量。 若各干擾力為同步簡諧荷載，即：在平穩(wěn)階段各質點亦均按頻率荷載 作同步簡諧振動。設：Y= Y0 sint (14-82) 將Y和 =-2Asint 代人式(14-80),并消去公因子sint ,得 (K2M) Y0=F (14-83) 則 Y0= (K2M)-1F14-7 多自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動 由 A 便可求得各質點的慣性力幅值：FI0= 2MA 或 FIi0= 2miAi (i=1,2, ,n) 其展開形式為：(14-92) 14-7 多自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動注意: 當有簡諧集中荷載未作用于質量上時，可假設該處的質量為零后再套用公式(14-87)

47、或公式(14-88); 當有簡諧分布荷載作用時，則需先化為作用于質量上處的等效動力荷載，或者是采用柔度法計算。14-7 多自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動 解 設以FI10、FI20分別代表質點 m1、m2的慣性力幅值，其典型方程如下：例14-6 試求圖示體系的最大動位移和動內力圖。已知 ，m1=m2=m , EI=常數。14-7 多自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動柔度系數和自由項可利用圖乘法求得將上述數值代人典型方程(a)，化簡后得14-7 多自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動解得： FI10 =0.2936F ， FI20 =0.2689F 將FI10、FI20和F 共同作用在結

48、構上，然后按靜力計算方法求得最大動位移。14-7 多自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動最大動位移圖最大動內力圖14-7 多自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動算得截面 l 處動荷載幅值所產生的靜力值分別為： 相應的動力系數為： 由此可見，在多自由度體系中，沒有一個統一的動力系數，這是與前述單自由度體系不相同的。14-7 多自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動 例14-7 求示結構質點的振幅和繪制最大動力彎矩圖。已知m1=m2=m，F= ql， ,各桿EI=常數。 解 用柔度法求解。繪出M1、M2圖,計算柔度系數和自由項.14-7 多自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動繪 MP自由項計算如下1

49、4-7 多自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動將求得的柔度系數、自由項以及帶入慣性力幅值方程（14-85） 得以 乘上式經整理后得解得體系的最大慣性力為：FI10 =2.63ql ， FI20 =1.62ql 負值表明慣性力的方向與 圖中的單位力的方向相反。14-7 多自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動 最大動力彎矩圖按 求得，當簡諧荷載向右和向下時，對應的彎矩圖為實線所示；當簡諧荷載向左和向上時，對應的彎矩圖為虛線所示。14-7 多自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動解 干擾力頻率為求得各剛度系數為：14-7 多自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動 剛度矩陣為 質量矩陣為 干擾力幅值列向量

50、為 F=5 0 T kN14-7 多自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動由 第一層樓面處振幅 A1 =0.206mm 第二層樓面處振幅 A2 =0.202mm 慣性力幅值FI10 = 2mA= 15.712100(0.206104) =5.08kN FI20 = 2m2 A 2 = 15.712120(0.202104) =5.98kN 有 14-7 多自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動 將干擾力幅值和慣性力幅值作用在結構上, 由位移法求得各桿端最大動彎矩并作彎矩圖。M圖(kNm)14-7 多自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動多自由度結構無阻尼強迫振動微分方程為（14-81）對于只有集中質

51、量的結構，質量矩陣M是對角矩陣，但剛度矩陣K一般不是對角矩陣，因此振動微分方程的各方程為耦聯的。當荷載F(t)為任意動力荷載時，求解微分聯立方程組是很困難的。 為此，可利用主振型的正交性通過坐標變換的途徑，把位移Y分解為各主振型的疊加，使聯立方程組變?yōu)橄嗷オ毩⒌姆匠蹋喕嬎恪＜凑裥头纸夥?。位移向量稱為幾何坐標將結構已規(guī)準化的n個主振型向量作基底把幾何坐標Y表示為基底的線性組合，即（14-86）展開為：（14-87）可簡寫為：（14-88）14-8 振型分解法這就把幾何坐標Y變換成數目相同的正則坐標稱為主振型矩陣，為幾何坐標和正則坐標之間的轉換矩陣將式(14-88)代入式(14-81)，并左乘

52、有（14-90）利用主振型的正交性，易證明14-8 振型分解法同理，有其中，相應于第i個主振型的廣義質量，廣義質量矩陣廣義剛度矩陣其中，相應于第i個主振型的廣義剛度，由前節(jié)可知，令j=i，將廣義質量和廣義剛度表達式代入，有或這就是自振頻率與廣義剛度和廣義質量之間的關系14-8 振型分解法記（14-97）則（14-98）廣義荷載向量（14-99）其中，相應于第i個主振型的廣義荷載（14-101）將廣義質量矩陣、廣義剛度矩陣、廣義荷載向量代入式(14-90)，有即方程組已解除耦聯，式(14-90)成為n個獨立方程。14-8 振型分解法或因為所以（14-102）這與單自由度結構的強迫振動方程略去阻尼

53、后的形式相同，故可按同樣方法求解。（14-103）在初位移和初速度為零的情況下，可用杜哈梅積分求得式(14-102)的解為：這樣，就把n個自由度結構的計算簡化為n個單自由度計算問題。在分別求得了各正則坐標i ,可得到幾何坐標yi14-8 振型分解法振型分解法的計算步驟： （1）求自振頻率 和振型 （2）計算廣義質量和廣義荷載 （3）求解正則坐標的振動微分方程，得到i（i=1,2,n） （4）計算幾何坐標 ，求出各質點位移 ，然后即可計算其它動力反應（加速度、慣性力等）14-8 振型分解法14-9 無限自由度結構的振動 結構自振頻率的計算是結構動力計算的一個重要內容。從實用的要求來說, 有必要采

54、用近似的計算方法求解。能量法就是用來計算基本領率1的近似方法。 實際結構振動時,由于阻尼作用的影響,高振型分量很快就會消失?；绢l率的計算很重要。在我國有關設計規(guī)范中往往可以根據與基本頻率對應的最大周期，便可從規(guī)范中選取各種有關的計算參數。 14-10 計算頻率的近似方法 結構在振動中，具有兩種形式的能量，一種是由于具有質量和速度而構成的動能V(t)，另一種則是由于結構變形而存儲的應變能U(t)。 根據能量守恒定律，結構在無阻尼自由振動中的任何時刻，其動能和應變能之和應等于常數，即14-10 計算頻率的近似方法 當結構處于最大振幅位置時，其動能V 等于零，而應變能具有最大值Umax。 當結構處

55、于靜力平衡位置的瞬間，其動能V具 有最大值Vmax，而應變能則為零。據此，有Umax+ 0 = Vmax+ 0 =常數亦即 Umax= Vmax 利用這一關系式即可得到確定頻率的方程。14-10 計算頻率的近似方法 設圖示單跨梁以某一頻率作自由振動,其位移可表示為 y(x,t)=y(x)sin(t+) y(x)為各點的位移幅值，代表振型，故又稱為振型函數。則梁速度為 微段dx質量的動能為整個梁的動能為當動能為最大值時，cos(t+)=1 , 有 (14-93)14-10 計算頻率的近似方法 應變能(只考慮彎曲變形能)為：當應變能為最大值時，sin(t+)=1，有由Umax= Vmax 得：（1

56、4-94）（14-95）14-10 計算頻率的近似方法 如果結構上除分布質量m(x)外，還有集中質量mi(i=1,2,n)，設以yi 表示集中質量i 點處相應的振幅，則有（14-96） （14-97）若結構上只有集中質量而不計分布質量時，則有14-10 計算頻率的近似方法 1. 利用上述公式計算自振頻率時，必須知道振型曲線y(x), 但實際上y(x)事先往往是不知道的，因此必須先假定y(x)來進行計算，這就使得求得的自振頻率高于精確值。注意： 2. 通常第一頻率所對應的振型易于估計，易于用簡單的函數表達，因此瑞利法主要是用于求第一頻率的近似值。14-10 計算頻率的近似方法 在假定振型曲線時，

57、應該使它滿足位移的邊界條件，通常多采用某一靜力荷載作用下的彈性曲線來作為振型曲線y(x)。此時，應變能Umax可以更簡便地用相應的外力功Wmax來代替。由Umax與Vmax相等，即得確定頻率的另一計算公式：（14-98)14-10 計算頻率的近似方法 對于單跨梁，通常假設其自重作用下的彈性曲線作為振型曲線，就可以得到基本頻率1的良好近似解。 計算經驗表明，基頻的計算對振型曲線是不敏感的，只要所設振型曲線滿足位移邊界條件，且與真實振型曲線接近，就能得出相當精確的解答。 對于其他結構，當用能量法求基本頻率時，則首先要判斷基本振型的大致形狀，它應該是結構在振動時容易出現的較為簡單的變形形式，然后假設

58、一與它接近的曲線方程 y(x)，這樣算得的頻率也就是對應于基本頻率的近似解。14-10 計算頻率的近似方法 例14-25 均質等截面簡支梁，粱長為l ，單位梁長的質量為 , 其抗彎剛度EI為常數，若取振型曲線為：m (1) 圖b所示的正弦曲線 ； (2) 梁在自重作用下的撓曲線,分別計算自振頻率，并將所得結果進行比較。 解 (1) 振型為正弦曲線得 14-10 計算頻率的近似方法 正弦曲線 是準確的第一階主振型， x y(x)=asin l(2) 設振型為梁在自重作用下的撓曲線：所以 因此由它求得的是第一頻率的精確解。根據自重作用下的撓曲線求得的結果也具有很高的精確度。討論：14-10 計算頻

59、率的近似方法一、幾個值得注意的問題 1. 彈性體系的振動自由度 描述體系的振動，需要確定體系中全部質量在任一瞬時的位置，為此所需要的獨立坐標數就是彈性體系振動的自由度。值得注意的是：體系中集中質量的個數不一定等于體系振動的自由度，自由度數目與計算假定有關，而與集中質量數目和超靜定次數無關。三個集中質量，一個自由度一個集中質量，兩個自由度第十四章 結構動力學總結2. 確定體系振動自由度的方法 方法一 可以運用附加鏈桿法，使質量不發(fā)生線位移所施加的附加鏈桿數即為體系的計算自由度。例如圖a中，需要兩個鏈桿才能阻止集中質量的線位移(圖b)，故體系有兩個振動自由度。 方法二 當忽略桿件的軸向變形時，可以運用幾何構