6數(shù)字信號處理4課件

1、6.5 3、模擬原型直接變換法的一般設計方法其特點是不經過數(shù)字域或模擬域的頻率變換，直接完成受到一定限制，所以原型直接變換法只討論雙線性變換。數(shù)字濾波器的方法，這種方法稱模擬原型直接變換法，現(xiàn)在討論通過歸一化模擬低通原型濾波器直接設計各種設計的一般過程可以歸納為以下步驟：HL(j) Hd(e j)sz的變換。由于沖激不變法的混疊效應，使其應用4) 由雙線性變換關系將H (s)轉變?yōu)閿?shù)字濾波器的系統(tǒng)H (s) ；函數(shù)H (z) 。1)確定DF性能要求，確定數(shù)字濾波器各臨界頻率k。 2) 由雙線性變換關系將k變換為模擬低通截止頻率c；3) 由c、衰減指標求出模擬原型濾波器傳遞函數(shù) 模擬低通到數(shù)字低

2、通的變換關系為 由頻率變換關系示意圖如圖6.5.6所示。 1、模擬低通到數(shù)字低通HL(j) Hl(e j)得到頻率變換關系為 =tan(/2) 000CC|H (j)|H(ej)|tan /2CC4、H (s) ；2、模擬低通截止頻率C =tan(C /2) 一般設計步驟1、根據(jù)數(shù)字濾波器指標，確定數(shù)字臨界頻率C 3、將C =tan(C /2)代入得到模擬低通原型傳遞函數(shù)解 1) 根據(jù)給定數(shù)字濾波器指標，確定DF臨界頻率C例6.5.2 系統(tǒng)的采樣間隔 T = 250s(fs=4kHz)，要求設計一個三階巴特沃思低通濾波器，其三分貝截止頻率fC=1kHz。2) 由雙線性變換關系將C變換為模擬域臨

3、界頻率C =tan(C /2) ，則 C =1。三階巴特沃思歸一化低通原型 3) 按C 、衰減指標求出AF的傳遞函數(shù)H (s) 。4) 由雙線性變換關系將H (s)轉變?yōu)镈F的系統(tǒng)函數(shù)H (z) 模擬濾波器的頻率變換中，若H (s)是模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，則H (1/s)就是高通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。這一關系也適用雙線性變換。所以模擬低通到數(shù)字高通的變換關系為(6.5-26)2 模擬低通到數(shù)字高通HL(j) Hh(e j)得到頻率變換關系為由頻率變換關系示意圖如圖6.5.7所示。 (6.5-27) =cot (/2) |H(ej)|H (j)|CCh2h122cot /2000一般設計步驟H

4、(s)4)2、模擬低通截止頻率C =cot(C /2) 1、根據(jù)數(shù)字濾波器指標，確定數(shù)字臨界頻率C 3、將C =cot(C /2)代入得到模擬低通原型傳遞函數(shù)解、1) 確定DF臨界頻率C例6.5.3用雙線性變換設計一個三階巴特沃思高通濾波器，采樣頻率fs =6kHz，要求其三分貝截止頻率fC=1.5kHz(不計3kHz以上的頻率分量)。2) 由雙線性變換關系將C變換為模擬域臨界頻率C =cot(C /2) ，則C =1。 三階巴特沃思歸一化低通原型3) 按C 、衰減指標求出AF的歸一化傳遞函數(shù)H (s)。 4) 由雙線性變換關系將H (s)轉變?yōu)镈F的系統(tǒng)函數(shù)H (z)。3 模擬低通到數(shù)字帶通

5、 HL(j) HB(e j)要實現(xiàn)模擬低通數(shù)字帶通的變換，就要將模擬低通的=0 映射到數(shù)字帶通的中心頻率0上，而 = 要映射到數(shù)字頻率的高低端 = 及 =0上。即s平面的原點s=0要映射z平面的 平面的z = 1。 ，s = j要映射z這樣模擬低通到數(shù)字帶通的變換關系為(6.5-28)將z等于單位圓，z=e j代入上式 式中0 是數(shù)字帶通中心頻率。得到頻率變換關系為(6.5-29)直接原型低帶通的頻率變換關系示意圖如圖6.5.8所示。2010|H(ej)|H (j)|CC000證明sz的(6.5-28)式是穩(wěn)定的映射關系， 設z = r 0代入(6.5-28)式上式的分子永遠是非負的，所以 的

6、正負取決于分母r2 1的正負。 通過模擬低通設計數(shù)字帶通，除了要知道模擬低通的截在z平面單位圓內r 1時，對應 1單位圓外時，對應 0 是s的右半平面。所以穩(wěn)定的模擬系統(tǒng)可以映射為穩(wěn)定的數(shù)字系統(tǒng)。止頻率C，還要知道數(shù)字帶通的中心頻率0 。(6.5-30)由圖6.5.8及(6.5-29)式，有等式一般數(shù)字濾波器設計帶通，只給出上、下截止頻率式中 0是帶通中心頻率，1與2 。利用這兩個參數(shù)可以計算0 、C 。1為下截止頻率，2為上截止頻率，C是模擬低通截止頻率。利用 (6.5-30)式，解出 (6.5-31)(6.5-32)(6.5-33)對(6.5-32)式取反余弦，得到0為；歸納一般設計步驟：

7、2) 模擬低通截止頻率4)1、根據(jù)數(shù)字濾波器指標，確定數(shù)字臨界頻率C ；3、將C 代入得到模擬低通原型傳遞函數(shù)H (s)；例6.5.4系統(tǒng)的采樣間隔T=10s (fs =10kHz)，要求設計一個三階巴特沃思帶通濾波器，其三分貝上、下截止頻率f1 =12.5kHz，f2 =37.5kHz。解：1）、確定DF性能要求，確定DF臨界頻率k。 三階巴特沃思歸一化低通原型2) 確定模擬臨界頻率C3) 將C代入模擬低通原型得到傳遞函數(shù)H (s)。4） 4、模擬低通到數(shù)字帶阻變換低通到數(shù)字帶阻的變換關系為將帶通的關系倒置即為帶阻濾波器的關系，所以模擬 (6.5-34) 解出頻率變換關系(6.5-35)式中

8、 0是數(shù)字帶阻中心頻率直接原型低通到帶阻頻率變換關系的示意圖如圖6.5.9所示。CC2010|H(ej)|H (j)|與帶通變換相似 由圖6.5.8 及 (6.5-35) 式，得到等式(6.5-36)式中 0是帶阻中心頻率，1為下截止頻率，2為上截止頻率，C是模擬低通截止頻率。一般設計步驟2) 模擬低通截止頻率4)1、根據(jù)數(shù)字濾波器指標，確定數(shù)字臨界頻率C ；3、將C 代入得到模擬低通原型傳遞函數(shù)H (s)；表6.5.2列出原型設計的變換關系。 C=2fcT =2fc/fs變換關系頻率關系步驟低通 =tan (/2) 確定C =tan (C/2) C=2fcT =2fc/fs高通 =cot (

9、/2) 確定C =cot (C/2) 1=2f1T，2=2f2T 帶通1=2f1T，2=2f2T 帶阻6.6 IIR DF的頻域最優(yōu)設計前兩節(jié)研究的IIR DF設計方法都是通過設計一個模擬濾波器原型H (s) Hd(z) 。如果DF的要求復雜，例如希望具有幾個通帶和阻帶，或任意形狀的幅頻特性。或給定的是輸入序列以及希望的輸出序列，要求設計一個IIR DF，這時就需要用逼近的方法設計IIR DF，而不是通過AF轉換。因此只能用直接逼近理想特性的方法設計IIR DF，而不是通過AF轉換。際需要滿足不同誤差準則。本節(jié)所討論的直接逼近理誤差指標的可實現(xiàn)數(shù)字系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H (z) 。具體設眾所周知，可

10、實現(xiàn)的頻響H (e j)與理想頻響Hd(e j) 之間會有誤差。在具體設計各種濾波器時，要根據(jù)實想特性的方法，是在給定誤差準則條件下，求出滿足計時通常要借助計算機求解大量的線性或非線性的聯(lián)立方程，所以也稱DF的計算機輔助設計（CAD），利用CAD最終得到在可以實現(xiàn)的H (e j)或H (z) 。這種滿足某種誤差準則條件的設計也稱該準則下的最優(yōu)設計，本節(jié)討論的是IIR DF的頻域最優(yōu)設計。頻域最優(yōu)設計，其誤差函數(shù)以及誤差準則必定與頻響函數(shù)有關。定義某頻率觀測點上幅度誤差函數(shù)為：（6.6-1）1、頻域最大誤差準則設所有頻率觀測點上的最大誤差為最優(yōu)設計是利用CAD技術，確定H(z)的各個系數(shù)，使得最

11、大誤差Em 最小，即為最大誤差最小準則。(6.6-2)iEm=maxe() 誤差函數(shù)也稱為評價函數(shù)，目標函數(shù)。2、頻域均方誤差準則誤差的能量是誤差函數(shù)的均方值（6.6-3）最優(yōu)設計是利用CAD技術，確定H(z)的各個系數(shù)，使得均方誤差最小。即誤差能量最小，這是均方誤差最小準則。E2=e(i)2 一般 k 個二階節(jié)級聯(lián)表示的系統(tǒng)函數(shù)為，計算這些頻率上的均方誤差為要求在一組離散的頻率i(i=1,2,M)上規(guī)定理想的頻響Hd(e j) ，通常通帶內取，阻帶取6.6.1 頻域最小均方誤差將式(6.6-5)代入式(6.6-4)，得到 （6.6-5）（6.6-6）（6.6-7） l=1,2,k 其中al、

12、bl、cl、dl為待定系數(shù)，共有4k個系數(shù)。H(z)中的A ，使均方誤差E最小。為此求誤差函數(shù)E對每個參數(shù)的導數(shù)，并令其為零。我們要解決的問題是求出G(z)中的al、bl、cl、dl以及解出 一個方程則令令=a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2，ak,bk,ck,dkl=1,2,k l=1,2,k l=1,2,k l=1,2,k 4k個方程求求E對每個參數(shù)的導數(shù)，得到4k+1個非線性方程，借助CAD解出這些方程，可得4k+1個系數(shù)。如果指標滿足不了實際需求，只有k增加，再重新計算。實際設計時因為事前沒有限制零、極點的位置，zp=r 1 ，這使得所設計的系統(tǒng)不穩(wěn)定。 G(e j)的某些

13、極點可能在單位圓外，即有處理時可以用1/r代替r ，而不會影響幅頻特性的形狀。假設極點形狀。假設極點zp=r e j，r 1，則取zp=(1/r )e j 為極點，因為而：上面的推導結果表明兩者的幅度只相差一個常數(shù)，一般用zp代替zp后再做最優(yōu)化的計算時會得到進一步的優(yōu)化。另外，相鄰的i之間的頻率不要求相等，可以在幅度變化快的區(qū)間頻率間隔取得小一些，以保證結果的正確性。而在幅度變化慢的區(qū)間頻率間隔取得大一些，以減少計算工作量。例如一個截止頻率為0.2的理想低通特性，前20點的i間隔可取0.01 ，后面的間隔為0.1 。6.6.2 頻域最小p誤差準則6.6.1是 IIR DF 的幅頻特性最小均方

14、誤差設計。這種方法討論的只涉及幅度函數(shù)誤差的平方(能量)。如果把上面公式中的平方改為p次方，再乘以加權系數(shù)W(i) 則是另一種誤差準則，稱為p誤差準則。不但有幅度的p誤差準則，還有群遲延的p誤差準則。p誤差準則設計的目標是使得誤差函數(shù) p 次方加權平均最小。1、幅度設計的p誤差準則幅度的最優(yōu)設計。p是大于2的整數(shù)。Epa是幅度誤差p次方的加權平均數(shù)，簡稱為幅度誤差函數(shù)， Wa(i) 是Epa的加權系數(shù)。設計目標就是使 Epa最小，可即得到p誤差準則下2、群遲延的p誤差準則遲延的p誤差函數(shù)， W (i)是E p的加權系數(shù)。E p是群遲延誤差的p次方的加權平均數(shù)，簡稱為群群遲延3、最優(yōu)化設計在討論p誤差準則時，H(e j)、 ()用極坐標形式表示較為方便。r0l、0l是第 l 對零點的模、角rpl、pl是第 l 對極點的模、角將每個零、極點分量用極坐標表示：H(ej)；于是（6.6-14）=H(e j)e j()其中將各相位分量代入群遲延中，得到其中設計的目標是找到A、 r0l、rpl、0l、pl ，使Epa 、 E p最小。 將H(e j)=AG(e j)代入Epa ，有，得其為零，即(1) 幅度p