6數(shù)字信號(hào)處理4課件

1、6.5 3、模擬原型直接變換法的一般設(shè)計(jì)方法其特點(diǎn)是不經(jīng)過數(shù)字域或模擬域的頻率變換，直接完成受到一定限制，所以原型直接變換法只討論雙線性變換。數(shù)字濾波器的方法，這種方法稱模擬原型直接變換法，現(xiàn)在討論通過歸一化模擬低通原型濾波器直接設(shè)計(jì)各種設(shè)計(jì)的一般過程可以歸納為以下步驟：HL(j) Hd(e j)sz的變換。由于沖激不變法的混疊效應(yīng)，使其應(yīng)用4) 由雙線性變換關(guān)系將H (s)轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)字濾波器的系統(tǒng)H (s) ；函數(shù)H (z) 。1)確定DF性能要求，確定數(shù)字濾波器各臨界頻率k。 2) 由雙線性變換關(guān)系將k變換為模擬低通截止頻率c；3) 由c、衰減指標(biāo)求出模擬原型濾波器傳遞函數(shù) 模擬低通到數(shù)字低

2、通的變換關(guān)系為 由頻率變換關(guān)系示意圖如圖6.5.6所示。 1、模擬低通到數(shù)字低通HL(j) Hl(e j)得到頻率變換關(guān)系為 =tan(/2) 000CC|H (j)|H(ej)|tan /2CC4、H (s) ；2、模擬低通截止頻率C =tan(C /2) 一般設(shè)計(jì)步驟1、根據(jù)數(shù)字濾波器指標(biāo)，確定數(shù)字臨界頻率C 3、將C =tan(C /2)代入得到模擬低通原型傳遞函數(shù)解 1) 根據(jù)給定數(shù)字濾波器指標(biāo)，確定DF臨界頻率C例6.5.2 系統(tǒng)的采樣間隔 T = 250s(fs=4kHz)，要求設(shè)計(jì)一個(gè)三階巴特沃思低通濾波器，其三分貝截止頻率fC=1kHz。2) 由雙線性變換關(guān)系將C變換為模擬域臨

3、界頻率C =tan(C /2) ，則 C =1。三階巴特沃思?xì)w一化低通原型 3) 按C 、衰減指標(biāo)求出AF的傳遞函數(shù)H (s) 。4) 由雙線性變換關(guān)系將H (s)轉(zhuǎn)變?yōu)镈F的系統(tǒng)函數(shù)H (z) 模擬濾波器的頻率變換中，若H (s)是模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，則H (1/s)就是高通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。這一關(guān)系也適用雙線性變換。所以模擬低通到數(shù)字高通的變換關(guān)系為(6.5-26)2 模擬低通到數(shù)字高通HL(j) Hh(e j)得到頻率變換關(guān)系為由頻率變換關(guān)系示意圖如圖6.5.7所示。 (6.5-27) =cot (/2) |H(ej)|H (j)|CCh2h122cot /2000一般設(shè)計(jì)步驟H

4、(s)4)2、模擬低通截止頻率C =cot(C /2) 1、根據(jù)數(shù)字濾波器指標(biāo)，確定數(shù)字臨界頻率C 3、將C =cot(C /2)代入得到模擬低通原型傳遞函數(shù)解、1) 確定DF臨界頻率C例6.5.3用雙線性變換設(shè)計(jì)一個(gè)三階巴特沃思高通濾波器，采樣頻率fs =6kHz，要求其三分貝截止頻率fC=1.5kHz(不計(jì)3kHz以上的頻率分量)。2) 由雙線性變換關(guān)系將C變換為模擬域臨界頻率C =cot(C /2) ，則C =1。 三階巴特沃思?xì)w一化低通原型3) 按C 、衰減指標(biāo)求出AF的歸一化傳遞函數(shù)H (s)。 4) 由雙線性變換關(guān)系將H (s)轉(zhuǎn)變?yōu)镈F的系統(tǒng)函數(shù)H (z)。3 模擬低通到數(shù)字帶通

5、 HL(j) HB(e j)要實(shí)現(xiàn)模擬低通數(shù)字帶通的變換，就要將模擬低通的=0 映射到數(shù)字帶通的中心頻率0上，而 = 要映射到數(shù)字頻率的高低端 = 及 =0上。即s平面的原點(diǎn)s=0要映射z平面的 平面的z = 1。 ，s = j要映射z這樣模擬低通到數(shù)字帶通的變換關(guān)系為(6.5-28)將z等于單位圓，z=e j代入上式 式中0 是數(shù)字帶通中心頻率。得到頻率變換關(guān)系為(6.5-29)直接原型低帶通的頻率變換關(guān)系示意圖如圖6.5.8所示。2010|H(ej)|H (j)|CC000證明sz的(6.5-28)式是穩(wěn)定的映射關(guān)系， 設(shè)z = r 0代入(6.5-28)式上式的分子永遠(yuǎn)是非負(fù)的，所以 的

6、正負(fù)取決于分母r2 1的正負(fù)。 通過模擬低通設(shè)計(jì)數(shù)字帶通，除了要知道模擬低通的截在z平面單位圓內(nèi)r 1時(shí)，對(duì)應(yīng) 1單位圓外時(shí)，對(duì)應(yīng) 0 是s的右半平面。所以穩(wěn)定的模擬系統(tǒng)可以映射為穩(wěn)定的數(shù)字系統(tǒng)。止頻率C，還要知道數(shù)字帶通的中心頻率0 。(6.5-30)由圖6.5.8及(6.5-29)式，有等式一般數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)帶通，只給出上、下截止頻率式中 0是帶通中心頻率，1與2 。利用這兩個(gè)參數(shù)可以計(jì)算0 、C 。1為下截止頻率，2為上截止頻率，C是模擬低通截止頻率。利用 (6.5-30)式，解出 (6.5-31)(6.5-32)(6.5-33)對(duì)(6.5-32)式取反余弦，得到0為；歸納一般設(shè)計(jì)步驟：

7、2) 模擬低通截止頻率4)1、根據(jù)數(shù)字濾波器指標(biāo)，確定數(shù)字臨界頻率C ；3、將C 代入得到模擬低通原型傳遞函數(shù)H (s)；例6.5.4系統(tǒng)的采樣間隔T=10s (fs =10kHz)，要求設(shè)計(jì)一個(gè)三階巴特沃思帶通濾波器，其三分貝上、下截止頻率f1 =12.5kHz，f2 =37.5kHz。解：1）、確定DF性能要求，確定DF臨界頻率k。 三階巴特沃思?xì)w一化低通原型2) 確定模擬臨界頻率C3) 將C代入模擬低通原型得到傳遞函數(shù)H (s)。4） 4、模擬低通到數(shù)字帶阻變換低通到數(shù)字帶阻的變換關(guān)系為將帶通的關(guān)系倒置即為帶阻濾波器的關(guān)系，所以模擬 (6.5-34) 解出頻率變換關(guān)系(6.5-35)式中

8、 0是數(shù)字帶阻中心頻率直接原型低通到帶阻頻率變換關(guān)系的示意圖如圖6.5.9所示。CC2010|H(ej)|H (j)|與帶通變換相似 由圖6.5.8 及 (6.5-35) 式，得到等式(6.5-36)式中 0是帶阻中心頻率，1為下截止頻率，2為上截止頻率，C是模擬低通截止頻率。一般設(shè)計(jì)步驟2) 模擬低通截止頻率4)1、根據(jù)數(shù)字濾波器指標(biāo)，確定數(shù)字臨界頻率C ；3、將C 代入得到模擬低通原型傳遞函數(shù)H (s)；表6.5.2列出原型設(shè)計(jì)的變換關(guān)系。 C=2fcT =2fc/fs變換關(guān)系頻率關(guān)系步驟低通 =tan (/2) 確定C =tan (C/2) C=2fcT =2fc/fs高通 =cot (

9、/2) 確定C =cot (C/2) 1=2f1T，2=2f2T 帶通1=2f1T，2=2f2T 帶阻6.6 IIR DF的頻域最優(yōu)設(shè)計(jì)前兩節(jié)研究的IIR DF設(shè)計(jì)方法都是通過設(shè)計(jì)一個(gè)模擬濾波器原型H (s) Hd(z) 。如果DF的要求復(fù)雜，例如希望具有幾個(gè)通帶和阻帶，或任意形狀的幅頻特性。或給定的是輸入序列以及希望的輸出序列，要求設(shè)計(jì)一個(gè)IIR DF，這時(shí)就需要用逼近的方法設(shè)計(jì)IIR DF，而不是通過AF轉(zhuǎn)換。因此只能用直接逼近理想特性的方法設(shè)計(jì)IIR DF，而不是通過AF轉(zhuǎn)換。際需要滿足不同誤差準(zhǔn)則。本節(jié)所討論的直接逼近理誤差指標(biāo)的可實(shí)現(xiàn)數(shù)字系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H (z) 。具體設(shè)眾所周知，可

10、實(shí)現(xiàn)的頻響H (e j)與理想頻響Hd(e j) 之間會(huì)有誤差。在具體設(shè)計(jì)各種濾波器時(shí)，要根據(jù)實(shí)想特性的方法，是在給定誤差準(zhǔn)則條件下，求出滿足計(jì)時(shí)通常要借助計(jì)算機(jī)求解大量的線性或非線性的聯(lián)立方程，所以也稱DF的計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)（CAD），利用CAD最終得到在可以實(shí)現(xiàn)的H (e j)或H (z) 。這種滿足某種誤差準(zhǔn)則條件的設(shè)計(jì)也稱該準(zhǔn)則下的最優(yōu)設(shè)計(jì)，本節(jié)討論的是IIR DF的頻域最優(yōu)設(shè)計(jì)。頻域最優(yōu)設(shè)計(jì)，其誤差函數(shù)以及誤差準(zhǔn)則必定與頻響函數(shù)有關(guān)。定義某頻率觀測(cè)點(diǎn)上幅度誤差函數(shù)為：（6.6-1）1、頻域最大誤差準(zhǔn)則設(shè)所有頻率觀測(cè)點(diǎn)上的最大誤差為最優(yōu)設(shè)計(jì)是利用CAD技術(shù)，確定H(z)的各個(gè)系數(shù)，使得最

11、大誤差Em 最小，即為最大誤差最小準(zhǔn)則。(6.6-2)iEm=maxe() 誤差函數(shù)也稱為評(píng)價(jià)函數(shù)，目標(biāo)函數(shù)。2、頻域均方誤差準(zhǔn)則誤差的能量是誤差函數(shù)的均方值（6.6-3）最優(yōu)設(shè)計(jì)是利用CAD技術(shù)，確定H(z)的各個(gè)系數(shù)，使得均方誤差最小。即誤差能量最小，這是均方誤差最小準(zhǔn)則。E2=e(i)2 一般 k 個(gè)二階節(jié)級(jí)聯(lián)表示的系統(tǒng)函數(shù)為，計(jì)算這些頻率上的均方誤差為要求在一組離散的頻率i(i=1,2,M)上規(guī)定理想的頻響Hd(e j) ，通常通帶內(nèi)取，阻帶取6.6.1 頻域最小均方誤差將式(6.6-5)代入式(6.6-4)，得到 （6.6-5）（6.6-6）（6.6-7） l=1,2,k 其中al、

12、bl、cl、dl為待定系數(shù)，共有4k個(gè)系數(shù)。H(z)中的A ，使均方誤差E最小。為此求誤差函數(shù)E對(duì)每個(gè)參數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并令其為零。我們要解決的問題是求出G(z)中的al、bl、cl、dl以及解出 一個(gè)方程則令令=a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2，ak,bk,ck,dkl=1,2,k l=1,2,k l=1,2,k l=1,2,k 4k個(gè)方程求求E對(duì)每個(gè)參數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到4k+1個(gè)非線性方程，借助CAD解出這些方程，可得4k+1個(gè)系數(shù)。如果指標(biāo)滿足不了實(shí)際需求，只有k增加，再重新計(jì)算。實(shí)際設(shè)計(jì)時(shí)因?yàn)槭虑皼]有限制零、極點(diǎn)的位置，zp=r 1 ，這使得所設(shè)計(jì)的系統(tǒng)不穩(wěn)定。 G(e j)的某些

13、極點(diǎn)可能在單位圓外，即有處理時(shí)可以用1/r代替r ，而不會(huì)影響幅頻特性的形狀。假設(shè)極點(diǎn)形狀。假設(shè)極點(diǎn)zp=r e j，r 1，則取zp=(1/r )e j 為極點(diǎn)，因?yàn)槎荷厦娴耐茖?dǎo)結(jié)果表明兩者的幅度只相差一個(gè)常數(shù)，一般用zp代替zp后再做最優(yōu)化的計(jì)算時(shí)會(huì)得到進(jìn)一步的優(yōu)化。另外，相鄰的i之間的頻率不要求相等，可以在幅度變化快的區(qū)間頻率間隔取得小一些，以保證結(jié)果的正確性。而在幅度變化慢的區(qū)間頻率間隔取得大一些，以減少計(jì)算工作量。例如一個(gè)截止頻率為0.2的理想低通特性，前20點(diǎn)的i間隔可取0.01 ，后面的間隔為0.1 。6.6.2 頻域最小p誤差準(zhǔn)則6.6.1是 IIR DF 的幅頻特性最小均方

14、誤差設(shè)計(jì)。這種方法討論的只涉及幅度函數(shù)誤差的平方(能量)。如果把上面公式中的平方改為p次方，再乘以加權(quán)系數(shù)W(i) 則是另一種誤差準(zhǔn)則，稱為p誤差準(zhǔn)則。不但有幅度的p誤差準(zhǔn)則，還有群遲延的p誤差準(zhǔn)則。p誤差準(zhǔn)則設(shè)計(jì)的目標(biāo)是使得誤差函數(shù) p 次方加權(quán)平均最小。1、幅度設(shè)計(jì)的p誤差準(zhǔn)則幅度的最優(yōu)設(shè)計(jì)。p是大于2的整數(shù)。Epa是幅度誤差p次方的加權(quán)平均數(shù)，簡(jiǎn)稱為幅度誤差函數(shù)， Wa(i) 是Epa的加權(quán)系數(shù)。設(shè)計(jì)目標(biāo)就是使 Epa最小，可即得到p誤差準(zhǔn)則下2、群遲延的p誤差準(zhǔn)則遲延的p誤差函數(shù)， W (i)是E p的加權(quán)系數(shù)。E p是群遲延誤差的p次方的加權(quán)平均數(shù)，簡(jiǎn)稱為群群遲延3、最優(yōu)化設(shè)計(jì)在討論p誤差準(zhǔn)則時(shí)，H(e j)、 ()用極坐標(biāo)形式表示較為方便。r0l、0l是第 l 對(duì)零點(diǎn)的模、角rpl、pl是第 l 對(duì)極點(diǎn)的模、角將每個(gè)零、極點(diǎn)分量用極坐標(biāo)表示：H(ej)；于是（6.6-14）=H(e j)e j()其中將各相位分量代入群遲延中，得到其中設(shè)計(jì)的目標(biāo)是找到A、 r0l、rpl、0l、pl ，使Epa 、 E p最小。 將H(e j)=AG(e j)代入Epa ，有，得其為零，即(1) 幅度p