工具變量法：2SLS

1、=0工具變量法（一）：2SLS實證研究的常見問題之一為內生性（），即解釋變量與擾動項相關。研究者通常要花很大精力來解決內生性問題，而工具變量法則是解決內生性的常用利器。內生性及其后果考慮最簡單的一元線性回歸模型:列二住+肚+6(i=1Il)其中，J為被解釋變量，匸為解釋變量，與；為待估計的未知參數，下標-表示個體（比如，第個企業(yè)），-為隨機擾動項（包含除.-外影響的所有其他因素），而為樣本容內生性意味著解釋變量與擾動項相關，即如果存在內生性，則稱解釋變量為內生變量（）；反之，則稱b為外生變量（）。內生性的嚴重后果是使得L估計量不一致（Si即無論樣本容量多大，LS估計量也不會收斂至真實的參數值。

2、工具變量的思想工具變量的思想其實很簡單。雖然內生變量是壞的變量（與擾動項相關），但仍可能有好的部分（與擾動項不相關的部分），正如壞人通常也有好的一面。如果能將內生變量.分解為內生部分與外生部分之和，則可能使用其外生部分得到一致估計。而要實現這種分離，通常需要借助另一變量，比如，稱為工具變量（，簡記IV因為它起著工具性的作用。顯然，并非任何變量都可以作為工具變量。首先，變量要能夠幫助內生變量；分離出一個外生部分，則變量自身必須是干凈的，即滿足外生性（與擾動項不相關）：其次，變量J還須與工有一定關系，即滿足相關性（衛(wèi)與工相關）C”DV（逐、T/0尋找內生變量的外生部分假設找到內生變量工的有效工具變

3、量則可將工對進行回歸，從而分離出工的外生部分：S=;+曲+g此回歸稱為第一階段回歸（）。由工具變量的相關性（了與工相關）可知，去（）；否則，無法實現此分離。記此回歸的擬合值（）為；=+S益其相應的殘差（）為顯然，第一階段回歸將內生變量/分解為兩部分：%=僉+Ui其中，第一階段回歸的擬合值為工具變量的線性函數，故為外生部分（因為.外生）；而其余的殘差為內生部分。二階段最小二乘法既然第一階段回歸的擬合值心外生，故只要將必替代原模型中的內生變量;即可用得到一致估計：加=生+聳+（己,+萬魚）稱此回歸為.第二階段回歸（）r不難證明，在此回歸中，必與擾動項-不相關。首先，由于為工具變量的線性函數，故與不

4、相關。其次，根據的正交性（陳強，1）,回歸的擬合值與殘差正交（），故a（第一階段回歸的擬合值）與必（第一階段回歸的殘差）不相關。因此，為一致估計。由于此工具變量法通過兩個回歸來實現，故稱為二階段最小二乘法（，簡記）S多個工具變量如果有多個工具變量，比如I與二，也不難處理，只要將這兩個工具變量同時放入第一階段回歸即可：s=7+$為+昭譏+爲而第二階段回歸依然不變。加入控制變量在多元回歸中，一般還有其他的外生變量或控制變量，比如y-i=口+艮工訂十圧工衛(wèi)+紡其中，r為內生變量，而-為外生變量。此時，應將外生變量-也放入第一階段回歸中。原因有二。首先，二可作為自身的工具變量，因為滿足相關性（二與自身

5、完全相關）與外生性（二為外生變量）。其次，如果不將外生變量二放入第一階段回歸，則無法保證第一階段回歸的殘差:；與-正交，使得第二階段回歸的擾動項可能與-相關（二在第二階段回歸方程中），導致第二階段回歸不一致。多個內生變量如果只有個內生變量，則僅需個工具變量即可進行估計。類似地，如果有個內生變量，則至少需要個工具變量才能進行估計。理由如下。假設有個內生變量-i與-但只有個工具變量.。此時，存在兩個第一階段回歸方程:Si=71+一坯1=衛(wèi)+隔-坯2所得的擬合值分別為Jl爲1=71-齢A.兔=72-昭顯然，由于-1與-V均為工具變量.的線性函數，故二者之間存在嚴格的線性關系。因此,將與同時放入第二階

6、段回歸方程，將導致嚴格多重共線性（tictticoihea使得無法進行L估計。識別條件（Identification由上可知，如果工具變量個數少于內生變量個數，則無法進行2SL估計，稱為不可識別（nidentifidd,因為無法得到對模型參數的一致估計。如果工具變量個數正好等于內生變量個數，則稱為恰好識別（tidentifiedactidentified。如果工具變量個數大于內生變量個數，則稱為過度識別（oeidentified在恰好識別或過度識別的情況下，均可進行2SL估計；而在不可識別的情況下，則無法進行。2SLS的大樣本性質可以證明（陳強，2，第章），2SLS估計量為一致估計（conitertc,且隨著樣本容量增大，其漸近分布為正態(tài)分布（atoticno）ait而且，如果擾動項為球形擾動項（滿足同方差、無自相關），則2SL為最有效率的工具變量法。如果擔心擾動項存在異方差，則依然可使用穩(wěn)健標準誤（ottanda）進行!統(tǒng)計o推斷。當然，2SLS的這些優(yōu)秀性質都依賴于工具變量的有