彈性力學(節(jié))自編

1、1彈性(tnxng)力學 ElasticityChapter 3. Solutions of plane problems in rectangular coordinates共五十五頁1.逆解法(ji f)框圖假設(jish)應力函數YES求應力分量NO滿足何邊界條件？YES結論NO2.步驟a) 假設一個應力函數；b) 檢查是否滿足c ) 根據應力函數求應力分量；d ) 檢查所求應力分量能滿足什么 樣的應力邊界條件。一. 逆解法e) 得出函數能解決何種問題3.1逆解法與半逆解法 多項式解答3.2 矩形梁的純彎曲3.3 位移分量的求出3.4 簡支梁受均布荷載3.1逆解法與半逆解法 多項式解答3

2、.5 楔形體受重力和液體壓力 3.1 逆解法與半逆解法 多項式解答難以直接求得共五十五頁二.半逆解法(ji f)1.半逆解法(ji f)框圖由邊界條件假設某應力的函數式(部分待定)YES求應力分量NO滿足邊界條件嗎?YES結論NOd) 根據應力函數求應力分量e) 檢查所求應力分量是否滿足 應力邊界條件。a) 根據邊界條件假設某應力 的函數式積分求應力函數 2. 步驟b) 對應力的函數式積分求應力 函數 c) 檢查是 否滿足f) 得出問題的解3.1 逆解法與半逆解法 多項式解答3.1逆解法與半逆解法 多項式解答3.2 矩形梁的純彎曲3.3 位移分量的求出3.4 簡支梁受均布荷載3.5 楔形體受重

3、力和液體壓力 3.1逆解法與半逆解法 多項式解答共五十五頁（4）結論：線性函數對應于無荷載、無應力、無應變的情況。應力函數 的線性項不影響(yngxing)應力分布，可舍去。（2）求出應力(yngl)分量(不計體力)1. 一次函數考察其能解決的問題？（1）檢查是否滿足滿足（3）考察邊界條件：無體力、無面力3.1 逆解法與半逆解法 多項式解答三.多項式解答3.1逆解法與半逆解法 多項式解答3.2 矩形梁的純彎曲3.3 位移分量的求出3.4 簡支梁受均布荷載3.5 楔形體受重力和液體壓力 3.1逆解法與半逆解法 多項式解答共五十五頁2. 二次函數(hnsh)（3）結論： F=ax2是y方向(fng

4、xing)均勻拉伸矩形板的解答（2）求出應力分量滿足單向均勻受拉考察其能解決的問題？(A)3.1 逆解法與半逆解法 多項式解答（1）檢查是否滿足3.1逆解法與半逆解法 多項式解答3.2 矩形梁的純彎曲3.3 位移分量的求出3.4 簡支梁受均布荷載3.5 楔形體受重力和液體壓力 3.1逆解法與半逆解法 多項式解答共五十五頁(B)3.1 逆解法(ji f)與半逆解法 多項式解答考察其能解決(jiju)的問題？（1）檢查是否滿足滿足？（2）求出應力分量單向均勻受拉（3）結論： F=by2是x方向均勻拉伸矩形板的解答3.1逆解法與半逆解法 多項式解答3.2 矩形梁的純彎曲3.3 位移分量的求出3.4

5、簡支梁受均布荷載3.5 楔形體受重力和液體壓力 3.1逆解法與半逆解法 多項式解答共五十五頁考察其能解決的問題?純剪應力狀態(tài)(zhungti)(C)3.1 逆解法(ji f)與半逆解法 多項式解答（1）檢查是否滿足滿足？（2）求出應力分量（3）結論： F=cxy對應于受純剪切作用的矩形板3.1逆解法與半逆解法 多項式解答3.2 矩形梁的純彎曲3.3 位移分量的求出3.4 簡支梁受均布荷載3.5 楔形體受重力和液體壓力 3.1逆解法與半逆解法 多項式解答共五十五頁二次式能解決的問題(wnt)小結3.1 逆解法(ji f)與半逆解法 多項式解答y方向均勻拉伸矩形板x方向均勻拉伸矩形板受純剪切作用的

6、矩形板3.1逆解法與半逆解法 多項式解答3.2 矩形梁的純彎曲3.3 位移分量的求出3.4 簡支梁受均布荷載3.5 楔形體受重力和液體壓力 3.1逆解法與半逆解法 多項式解答共五十五頁三次(sn c)函數(2) 求出應力(yngl)分量 能解決什么問題?(1) 檢查是否滿足滿足相容方程xyL03.1 逆解法與半逆解法 多項式解答3.1逆解法與半逆解法 多項式解答3.2 矩形梁的純彎曲3.3 位移分量的求出3.4 簡支梁受均布荷載3.5 楔形體受重力和液體壓力 3.1逆解法與半逆解法 多項式解答共五十五頁(3) 考察(koch)邊界條件(a) 上、下邊界(binji)（主邊界(binji)）條件

7、說明上、下邊界無面力作用xyL03.1 逆解法與半逆解法 多項式解答三次函數 能解決什么問題?3.1逆解法與半逆解法 多項式解答3.2 矩形梁的純彎曲3.3 位移分量的求出3.4 簡支梁受均布荷載3.5 楔形體受重力和液體壓力 3.1逆解法與半逆解法 多項式解答共五十五頁(3) 考察(koch)邊界條件(b) 左、右邊界(binji)（次邊界(binji)）條件3.1 逆解法與半逆解法 多項式解答三次函數 能解決什么問題?0 xyLyL0能解決矩形截面梁純彎曲問題3.1逆解法與半逆解法 多項式解答3.2 矩形梁的純彎曲3.3 位移分量的求出3.4 簡支梁受均布荷載3.5 楔形體受重力和液體壓力

8、 3.1逆解法與半逆解法 多項式解答共五十五頁若能，試求應力分量（不計體力），并畫出圖示桿件上的面力，指出應力函數(hnsh)所能解決的問題。3.1 逆解法(ji f)與半逆解法 多項式解答例1：試檢驗函數 能否做應力函數？3.1逆解法與半逆解法 多項式解答3.2 矩形梁的純彎曲3.3 位移分量的求出3.4 簡支梁受均布荷載3.5 楔形體受重力和液體壓力 3.1逆解法與半逆解法 多項式解答byzh0LLxy解：1.檢驗函數：代入(2-25)式，滿足。故可作為應力函數2.應力分量：由（2-24）式：3.板邊面力：由（2-15）式求出邊界上的面力：共五十五頁3.1 逆解法(ji f)與半逆解法 多

9、項式解答3.1逆解法(ji f)與半逆解法 多項式解答3.2 矩形梁的純彎曲3.3 位移分量的求出3.4 簡支梁受均布荷載3.5 楔形體受重力和液體壓力 3.1逆解法與半逆解法 多項式解答4.上述應力函數所能解決的問題：桿件所受面力如圖：0LLxy由上圖可知，x方向的合力為：設偏心距為e，則：解得：由此可知，該應力函數可以解決偏心距為 的拉伸問題。共五十五頁3.2 矩形(jxng)梁的純彎曲一. 計算(j sun)模型矩形截面梁，體力不計 考察兩種情形：1）寬度遠小于深度和長度 （平面應力）2）寬度遠大于深度和長度 （平面應變）取單位寬度梁研究：令單位寬度上力偶矩為M1yzhM0LLxMy3.

10、1逆解法與半逆解法 多項式解答3.2 矩形梁的純彎曲3.3 位移分量的求出3.4 簡支梁受均布荷載3.5 楔形體受重力和液體壓力 3.2 矩形梁的純彎曲共五十五頁二. 求應力(yngl)(3) 求出應力(yngl)分量(1) 假設應力函數；(2) 檢查是否滿足滿足1yzhM0LLxMy3.2 矩形梁的純彎曲3.1逆解法與半逆解法 多項式解答3.2 矩形梁的純彎曲3.3 位移分量的求出3.4 簡支梁受均布荷載3.5 楔形體受重力和液體壓力 3.2 矩形梁的純彎曲共五十五頁三. 邊界條件檢查所求應力分量(fn ling)是否滿足應力邊界條件(并求待定常數a)(1) 檢查(jinch)上、下邊界（主

11、邊界）準確滿足hM0LLxMy3.2 矩形梁的純彎曲3.1逆解法與半逆解法 多項式解答3.2 矩形梁的純彎曲3.3 位移分量的求出3.4 簡支梁受均布荷載3.5 楔形體受重力和液體壓力 3.2 矩形梁的純彎曲共五十五頁已滿足(mnz)(2) 檢查(jinch)左、右邊界（次邊界）已滿足hM0LLxMy3.2 矩形梁的純彎曲3.1逆解法與半逆解法 多項式解答3.2 矩形梁的純彎曲3.3 位移分量的求出3.4 簡支梁受均布荷載3.5 楔形體受重力和液體壓力 3.2 矩形梁的純彎曲三. 邊界條件共五十五頁與材料力學(ci lio l xu)的解答完全相同y分布規(guī)律3.2 矩形(jxng)梁的純彎曲3

12、.1逆解法與半逆解法 多項式解答3.2 矩形梁的純彎曲3.3 位移分量的求出3.4 簡支梁受均布荷載3.5 楔形體受重力和液體壓力 3.2 矩形梁的純彎曲四. 應力解答hM0LLxMy結論：矩形梁的純彎曲，材料力學的解答為精確解。共五十五頁3.1逆解法(ji f)與半逆解法 多項式解答3.2 矩形(jxng)梁的純彎曲3.3 位移分量的求出3.4 簡支梁受均布荷載3.5 楔形體受重力和液體壓力 3.2 矩形梁的純彎曲例：已知函數 試檢查它能否作為應力函數？若能，試求應力分量（不計體力），并畫出圖示矩形薄板邊界上的面力。1yzh0LLxy解：1.檢驗函數：代入(2-25)式，滿足。故可作為應力函

13、數。2.應力分量：由（2-24）式：3.由應力邊界條件（2-15）式確定矩形薄板上的面力：0 xy共五十五頁3-3 位移(wiy)分量的求出一. 求應變(yngbin)分量由物理方程二. 求位移分量用幾何方程積分u、v必須滿足式改寫為：3.1逆解法與半逆解法 多項式解答3.2 矩形梁的純彎曲3.3 位移分量的求出3.4 簡支梁受均布荷載3.5 楔形體受重力和液體壓力 3.3 位移分量的求出共五十五頁要使上式成立(chngl)，必有為常量其中(qzhng)u0，v0為常量故：其中、 u0，v0為積分常數，須由位移約束條件求出。3.1逆解法與半逆解法 多項式解答3.2 矩形梁的純彎曲3.3 位移分

14、量的求出3.4 簡支梁受均布荷載3.5 楔形體受重力和液體壓力 3.3 位移分量的求出3-3 位移分量的求出二. 求位移分量共五十五頁討論(toln)：1. 證明平面假設(jish)是正確的xyaq由求鉛垂線段的轉角a同一截面，x為常量，則a為常量，橫截面保持平面2、梁的各縱向纖維的曲率由小變形時與材力結果一致3.1逆解法與半逆解法 多項式解答3.2 矩形梁的純彎曲3.3 位移分量的求出3.4 簡支梁受均布荷載3.5 楔形體受重力和液體壓力 3.3 位移分量的求出3-3 位移分量的求出二. 求位移分量共五十五頁三. 位移(wiy)約束條件1）簡支梁由位移(wiy)約束條件確定位移(wiy)解答

15、中的待定常數Lyx代入位移條件后得：位移分量：梁的撓曲線方程：由約束條件3.1逆解法與半逆解法 多項式解答3.2 矩形梁的純彎曲3.3 位移分量的求出3.4 簡支梁受均布荷載3.5 楔形體受重力和液體壓力 3.3 位移分量的求出3-3 位移分量的求出共五十五頁2）懸臂梁xyL在梁右端(x=L)：對于y的任何值要求：多項式解答無法(wf)精確滿足。必須放松(fn sn)端部約束條件：右端截面中點A無位移且過該點的截面法線不轉動3.1逆解法與半逆解法 多項式解答3.2 矩形梁的純彎曲3.3 位移分量的求出3.4 簡支梁受均布荷載3.5 楔形體受重力和液體壓力 3.3 位移分量的求出3-3 位移分量

16、的求出三. 位移約束條件odyyxA共五十五頁代入后：位移(wiy)分量：odyyxA3.1逆解法(ji f)與半逆解法 多項式解答3.2 矩形梁的純彎曲3.3 位移分量的求出3.4 簡支梁受均布荷載3.5 楔形體受重力和液體壓力 3.3 位移分量的求出3-3 位移分量的求出三. 位移約束條件2）懸臂梁共五十五頁梁軸線的撓度(nod)方程：轉角(zhunjio)方程：注：對于平面應變問題3.1逆解法與半逆解法 多項式解答3.2 矩形梁的純彎曲3.3 位移分量的求出3.4 簡支梁受均布荷載3.5 楔形體受重力和液體壓力 3.3 位移分量的求出3-3 位移分量的求出三. 位移約束條件2）懸臂梁共五

17、十五頁3.1逆解法(ji f)與半逆解法 多項式解答3.2 矩形(jxng)梁的純彎曲3.3 位移分量的求出3.4 簡支梁受均布荷載3.5 楔形體受重力和液體壓力 3.3 位移分量的求出 算例例：試確定應力函數 對應簡支梁的位移u,v及梁軸撓度方程，設梁長L，高h，厚b（bL,h)（不計體力）解：由前例知該問題為偏心距 的拉伸問題。先求應變。Lyxbh代人幾何方程：共五十五頁3.1逆解法(ji f)與半逆解法 多項式解答3.2 矩形(jxng)梁的純彎曲3.3 位移分量的求出3.4 簡支梁受均布荷載3.5 楔形體受重力和液體壓力 3.3 位移分量的求出 算例積分：于是：共五十五頁3.1逆解法(

18、ji f)與半逆解法 多項式解答3.2 矩形(jxng)梁的純彎曲3.3 位移分量的求出3.4 簡支梁受均布荷載3.5 楔形體受重力和液體壓力 3.3 位移分量的求出 算例邊界條件：故撓度方程：共五十五頁3-4 簡支梁受均布荷載(hzi)由材力知：3.1逆解法(ji f)與半逆解法 多項式解答3.2 矩形梁的純彎曲3.3 位移分量的求出3.4 簡支梁受均布荷載3.5 楔形體受重力和液體壓力 3.4 簡支梁受均布荷載單位厚度矩形截面簡支梁為研究對象 1推求應力函數F的形式(半逆解法) 擠壓應力sy主要由荷載q引起，q不隨x變化，可假設sy與x無關： 共五十五頁3-4 簡支梁受均布荷載(hzi)3

19、.1逆解法(ji f)與半逆解法 多項式解答3.2 矩形梁的純彎曲3.3 位移分量的求出3.4 簡支梁受均布荷載3.5 楔形體受重力和液體壓力 3.4 簡支梁受均布荷載1推求應力函數F的形式 由 得 代入相容方程中 上式看成是關于x的一元2次方程，對于lxl的任意值恒成立，意味著方程有無窮多個根，就必須 共五十五頁3-4 簡支梁受均布荷載(hzi)3.1逆解法(ji f)與半逆解法 多項式解答3.2 矩形梁的純彎曲3.3 位移分量的求出3.4 簡支梁受均布荷載3.5 楔形體受重力和液體壓力 3.4 簡支梁受均布荷載1推求應力函數F的形式 積分常數（共有9個）需由邊界條件確定。 共五十五頁3-4

20、 簡支梁受均布荷載(hzi)3.1逆解法(ji f)與半逆解法 多項式解答3.2 矩形梁的純彎曲3.3 位移分量的求出3.4 簡支梁受均布荷載3.5 楔形體受重力和液體壓力 3.4 簡支梁受均布荷載2應力分量表達式 共五十五頁3-4 簡支梁受均布荷載(hzi)3.1逆解法(ji f)與半逆解法 多項式解答3.2 矩形梁的純彎曲3.3 位移分量的求出3.4 簡支梁受均布荷載3.5 楔形體受重力和液體壓力 3.4 簡支梁受均布荷載3由邊界條件確定待定常數 (1) 對稱性的利用 問題關于y軸對稱，應力場分布亦左、右對稱。所以，sx、sy應為x的偶函數，txy應為x的奇函數。有：E=F=G=0。共五十

21、五頁3-4 簡支梁受均布荷載(hzi)3.1逆解法(ji f)與半逆解法 多項式解答3.2 矩形梁的純彎曲3.3 位移分量的求出3.4 簡支梁受均布荷載3.5 楔形體受重力和液體壓力 3.4 簡支梁受均布荷載3由邊界條件確定待定常數 (2) 上、下面邊界條件 4個方程，正好可以解出sy、txy中所含的4個待定常數A、B、C、D。還有H、K未知 共五十五頁3-4 簡支梁受均布荷載(hzi)3.1逆解法(ji f)與半逆解法 多項式解答3.2 矩形梁的純彎曲3.3 位移分量的求出3.4 簡支梁受均布荷載3.5 楔形體受重力和液體壓力 3.4 簡支梁受均布荷載3由邊界條件確定待定常數 (3) 左、右

22、端面邊界條件 還有H、K未知 由sx表達式知，H、K無論取何值，均無法精確滿足這一條件。退一步，只要求端面上水平分布面力為自平衡力系，主矢、主矩均為0。這樣處理，根據圣維南原理，只在端部產生誤差。 確實滿足 校核端部剪力條件是否滿足？ 共五十五頁3-4 簡支梁受均布荷載(hzi)3.1逆解法(ji f)與半逆解法 多項式解答3.2 矩形梁的純彎曲3.3 位移分量的求出3.4 簡支梁受均布荷載3.5 楔形體受重力和液體壓力 3.4 簡支梁受均布荷載4應力解答共五十五頁3-4 簡支梁受均布荷載(hzi)3.1逆解法(ji f)與半逆解法 多項式解答3.2 矩形梁的純彎曲3.3 位移分量的求出3.4

23、 簡支梁受均布荷載3.5 楔形體受重力和液體壓力 3.4 簡支梁受均布荷載5分析討論梁任一截面x處的彎矩M與剪力Fs分別是 則彎曲正應力與剪應力可寫成共五十五頁3-4 簡支梁受均布荷載(hzi)3.1逆解法(ji f)與半逆解法 多項式解答3.2 矩形梁的純彎曲3.3 位移分量的求出3.4 簡支梁受均布荷載3.5 楔形體受重力和液體壓力 3.4 簡支梁受均布荷載5分析討論(1) 縱向彎曲正應力sx 縱向彎曲正應力sx為主要應力。 跨度2l=2h時，修正項為1/15；跨度2l=4h時，修正項為1/60。 結論：對于細長梁(跨度4h)，材料力學的解答已足夠精確；否則應計及彈性力學修正項。 即，材料

24、力學的解答只適用于細長梁。 共五十五頁3-4 簡支梁受均布荷載(hzi)3.1逆解法(ji f)與半逆解法 多項式解答3.2 矩形梁的純彎曲3.3 位移分量的求出3.4 簡支梁受均布荷載3.5 楔形體受重力和液體壓力 3.4 簡支梁受均布荷載5分析討論(2) 擠壓應力sy 擠壓應力sy為次要應力，材料力學中沒有考慮擠壓應力。 (2) 剪應力txy 與材料力學的解答一致 共五十五頁3.1逆解法(ji f)與半逆解法 多項式解答3.2 矩形(jxng)梁的純彎曲3.3 位移分量的求出3.4 簡支梁受均布荷載3.5 楔形體受重力和液體壓力 3.3 位移分量的求出 算例例：試檢驗 是否滿足相容方程，若

25、滿足，試求應力分量（不計體力），對圖示矩形板該應力函數能解決什么問題？并求u，v及撓度曲線。設梁長L，高h，厚b=1（bL,h)Lyxbh解：1.檢驗函數：代入(2-25)式，滿足。故可作為應力函數2.求應力分量：由（2-24）式：3.板邊面力：由（2-15）式求出邊界上的面力：共五十五頁3.1逆解法(ji f)與半逆解法 多項式解答3.2 矩形(jxng)梁的純彎曲3.3 位移分量的求出3.4 簡支梁受均布荷載3.5 楔形體受重力和液體壓力 3.3 位移分量的求出 算例將以上面力畫在板的邊界上，各邊上水平和鉛錘方向的合力為：由此可知，該應力函數可作為在自由端（x=0）有集中力p作用的懸臂梁的

26、近似解。由物理方程：Lyx共五十五頁3.1逆解法(ji f)與半逆解法 多項式解答3.2 矩形(jxng)梁的純彎曲3.3 位移分量的求出3.4 簡支梁受均布荷載3.5 楔形體受重力和液體壓力 3.3 位移分量的求出 算例幾何方程積分：共五十五頁3.1逆解法(ji f)與半逆解法 多項式解答3.2 矩形(jxng)梁的純彎曲3.3 位移分量的求出3.4 簡支梁受均布荷載3.5 楔形體受重力和液體壓力 3.3 位移分量的求出 算例故撓度方程：邊界條件：共五十五頁3-5 楔形體受重力和液體(yt)壓力求解(qi ji)：用半逆解法1應力函數F的選取某些水壩、擋土墻等可簡化成楔形體問題。 荷載：液體

27、壓力r2g與楔形體重力r1g。sx、sy、txy 應為a、x、y ，r2g， r1g的函數 量綱分析：應力分量sx、sy、txy單位是N/m2，而重力單位為N/m3。 所以：sx、sy、txy均應為x和y的純一次式，應力函數F應為x和y的純三次式。應力函數是雙調和函數，無論系數取何值，均能滿足雙調和方程 根據實際問題的特點進行猜測 3.1逆解法與半逆解法 多項式解答3.2 矩形梁的純彎曲3.3 位移分量的求出3.4 簡支梁受均布荷載3.5 楔形體受重力和液體壓力 3.5 楔形體受重力和液體壓力 應力分量應該是A r1g x, B r1g y，C r2gx，D r2gy 的組合。 共五十五頁求解

28、(qi ji)：用半逆解法2由邊界條件確定(qudng)待定系數三個應力分量表達式是 (1) 鉛垂面(x=0)邊界條件 得出即c=0于是還有a、b待定3.1逆解法與半逆解法 多項式解答3.2 矩形梁的純彎曲3.3 位移分量的求出3.4 簡支梁受均布荷載3.5 楔形體受重力和液體壓力 3.5 楔形體受重力和液體壓力 共五十五頁求解(qi ji)：用半逆解法2由邊界條件確定(qudng)待定系數(1) 鉛垂面(x=0)邊界條件 解出即(2) 斜面邊界條件 斜邊方程是x=ytga，兩個方向余弦分別是 斜面為自由表面，無任何面力作用，故 3.1逆解法與半逆解法 多項式解答3.2 矩形梁的純彎曲3.3

29、位移分量的求出3.4 簡支梁受均布荷載3.5 楔形體受重力和液體壓力 3.5 楔形體受重力和液體壓力 共五十五頁求解(qi ji)結果：Levy解 3求解(qi ji)結果實際應用中應注意以下三點： 由著名力學家Levy首先得出，稱為Levy解。設計規(guī)范中的計算公式即以此解答為依據。 (1) 壩身往往不是等截面的，且壩身也不可能是無限長的。精確的分析應采用有限元方法。但，壩身上有一些伸縮縫，將壩身分成若干段。在每一段范圍內，壩身近似為等截面，可處理成平面應變問題。(2) 壩身往下也不是無限長的。實際壩身底部與基礎相連，變形在底部受到基礎約束作用，故上述解答在壩身底部是不精確的。(3) 壩頂總是

30、有一定寬度的，其上往往還有荷載作用。故上述解答在頂部也是不精確的。 3.1逆解法與半逆解法 多項式解答3.2 矩形梁的純彎曲3.3 位移分量的求出3.4 簡支梁受均布荷載3.5 楔形體受重力和液體壓力 3.5 楔形體受重力和液體壓力 沿水平方向Levy解： 共五十五頁3.1逆解法(ji f)與半逆解法 多項式解答3.2 矩形(jxng)梁的純彎曲3.3 位移分量的求出3.4 簡支梁受均布荷載3.5 楔形體受重力和液體壓力 3.5 楔形體受重力和液體壓力 算例1圖示為一僅受自重的三角形懸臂梁，其密度為 ，選用應力函數：求應力分量。解：將應力函數代人相容方程（2-25）顯然滿足。再將應力函數代人應力表達式（2-2