第二講直方圖

1、什么(shn me)是灰度級的直方圖呢？ 簡單地說，灰度級的直方圖就是反映(fnyng)一幅圖像中的灰度級與出現(xiàn)這種灰度的概率之間的關(guān)系的圖形，是圖像重要的統(tǒng)計特征。 灰度直方圖是圖像的一種統(tǒng)計表達，它反映了該圖中不同灰度級出現(xiàn)的統(tǒng)計概率。共五十三頁在灰度級中， r = 0 代表(dibio)黑， r = 1 代表白。 設(shè)變量(binling) r 代表圖像中像素灰度級。在圖像中，像素的灰度級可作歸一化處理，這樣，r 的值將限定在下述范圍之內(nèi):(44)共五十三頁 對于一幅給定的圖像來說，每一個像素取得0，1區(qū)間(q jin)內(nèi)的灰度級是隨機的，也就是說 是一個隨機變量。假定對每一瞬間它們是連續(xù)

2、的隨機變量，那么，就可以用概率密度函數(shù) 來表示原始圖像的灰度分布。共五十三頁 為了有利于數(shù)字圖像處理，必須(bx)引入離散形式。在離散形式下，用 rk 代表離散灰度級，用 Pr(rk) 代表 pr(r) ，并且有下式成立： 式中，nk為圖像中出現(xiàn)rk 這種灰度的像素數(shù)，n 是圖像中像素總數(shù)，而 就是概率論中所說(su shu)的頻數(shù)。在直角坐標系中作出 rk 與Pr(rk) 的關(guān)系圖形，這個圖形稱為直方圖。共五十三頁 灰度級的直方圖 共五十三頁我們注意到在暗色的圖像中，直方圖的組成成分集中在灰度級低（暗）的一側(cè)；反之，明亮的圖像的直方圖的組成成分則集中在灰度級高（亮）的一側(cè)；動態(tài)范圍小，也就是

3、對比度小，這種圖像直方圖集中于灰度級的中部；動態(tài)范圍正常的圖像直方圖的成分覆蓋了灰度級很寬的范圍。直觀上，若一圖像像素占有全部可能的灰度級并且(bngqi)分布均勻，則圖像有高的對比度和多變的灰度色調(diào)，即，可通過改變直方圖的形狀來達到增強圖像對比度。共五十三頁7直方圖修正(xizhng) 直方圖均衡化 直方圖規(guī)定(gudng)化 常用的方法：直方圖變換后可使圖像的灰度間距拉開或使灰度分布均勻，從而增大對比度，使圖像細節(jié)清晰，達到增強的目的。對于離散的圖像，用頻率來代替概率 。共五十三頁直方圖均衡化 直方圖均衡化是一種典型的通過對圖像的直方圖進行修正來獲得圖像增強效果的自動方法(fngf)。圖像

4、的灰度直方圖是一個1-D的離散函數(shù)灰度累積直方圖也是一個1-D的離散函數(shù) 共五十三頁直方圖均衡化直方圖均衡化主要用于增強動態(tài)范圍偏小的圖像的反差。基本思想(sxing)是把原始圖的直方圖變換為在整個灰度范圍內(nèi)均勻分布的形式，增加了像素灰度值的動態(tài)范圍，從而達到增強圖像整體對比度的效果。更一般的（歸一化的）概率表達形式：（圖像灰度統(tǒng)計直方圖） 共五十三頁共五十三頁11直方圖均衡化把原始(yunsh)圖的直方圖變換為均勻分布的形式需要一個變換函數(shù)即增強函數(shù)T。該變換函數(shù)T滿足2個條件：（1）T單值單增函數(shù)。（2）對 應(yīng) ， 有則有：共五十三頁直方圖均衡化上面的2個條件(tiojin)保證了： 第1

5、個條件保證逆變換存在，且原圖像各灰度級在變換后仍保持從黑到白的排列次序，防止變換后的圖像出現(xiàn)一些反轉(zhuǎn)的灰度級。第2個條件保證變換前后灰度值動態(tài)范圍的一致性，也可以說原圖像和變換后圖像有著同樣的灰度級范圍。共五十三頁一幅圖像的灰度級可視為區(qū)間0,L-1上的隨機變量，可以證明累積分布函數(shù)（CDF）滿足上述2個條件并能將r中的原始(yunsh)分布轉(zhuǎn)換為s中的均勻分布。事實上r的CDF就是原始圖像的累計直方圖。直方圖均衡化中T：共五十三頁直方圖均衡(jnhng)-流程1. 統(tǒng)計原始圖像的直方圖： 其中， 是歸一化的輸入圖像灰度級。2. 計算直方圖累積分布曲線3. 用累積分布函數(shù)作變換函數(shù)進行圖像灰度

6、變換：根據(jù)計算得到的累積分布函數(shù)，建立輸入圖像與輸出圖像灰度級之間的對應(yīng)關(guān)系，即重新定位累計分布函數(shù) （與歸一化灰度等級 比較(bjio)，尋找最接近的一個作為原灰度級k變換后的新灰度級）。 共五十三頁的pk共五十三頁 例如：假定有一幅像素數(shù)為6464，灰度級為8級的圖像，其灰度級分布(fnb)、其灰度級直方圖如下表、下圖所示。對其進行均衡化處理，畫出均衡化處理之后的直方圖。 直方圖均衡化例題(lt)共五十三頁r0 =07900.19r1=1/710230.25r2=2/78500.21r3=3/76560.16r4=4/73290.08r5=5/72450.06r6=6/71220.03r7

7、=1810.026464的圖像(t xin)各灰度級對應(yīng)的概率分布表 共五十三頁18直方圖均衡化原始圖像(t xin)各灰度級對應(yīng)的概率分布灰度級01234567像素790102385065632924512281概率0.190.250.210.160.080.060.030.02例共五十三頁共五十三頁20直方圖均衡化圖像直方圖均衡化過程如下：（1）得到(d do)變換后的值：依此類推(y c li tu)，即可得到 例解：共五十三頁21直方圖均衡化（2）用式 將 擴展(kuzhn)到 范圍內(nèi)并取整，得：(3)將相同(xin tn)值的歸并起來,得: 例共五十三頁22直方圖均衡化（4）變換(b

8、inhun)后5個灰度級的像素數(shù) (5) 新灰度級分布(fnb) 例共五十三頁直方圖均衡(jnhng)-示例1共五十三頁圖像(t xin)的灰度級分布 k01234567rk01/72/73/74/75/76/71nk790102385065632924512281pr(rk)0.190.250.210.160.080.060.030.02Sk0.190.440.650.810.890.950.981Sk1/73/75/76/76/7111Sk1/73/75/76/71nsk7901023850985448pr(sk)0.190.250.210.240.11共五十三頁25直方圖均衡化 結(jié)果(j

9、i gu)原始(yunsh)直方圖變換函數(shù)直方圖均衡化結(jié)果共五十三頁26直方圖均衡化 效果(xiogu) 原圖(yun t)均衡化后效果圖共五十三頁 因為直方圖是近似的概率密度函數(shù)，所以用離散灰度級作變換時很少能得到完全平坦的結(jié)果。另外，從上例中可以看出變換后的灰度級減少了，這種現(xiàn)象叫做“簡并”現(xiàn)象。由于簡并現(xiàn)象的存在(cnzi)，處理后的灰度級總是要減少的。這是像素灰度有限的必然結(jié)果。由于上述原因，數(shù)字圖像的直方圖均衡只是近似的。 共五十三頁產(chǎn)生簡并現(xiàn)象的根源是利用變換公式 求新灰度時，所得到的 往往不是(b shi)允許的灰度值，這時就要采用舍入的方法求近似值，以便用與它最接近的允許灰度來

10、代替它。在舍入的過程中，一些相鄰的 值變成了相同的 值，這就發(fā)生了簡并現(xiàn)象，于是也就造成了一些灰度層次的損失。那么簡并現(xiàn)象(xinxing)如何產(chǎn)生？如何減少呢？共五十三頁 減少簡并現(xiàn)象的簡單方法是增加像素的比特數(shù)。比如(br)，通常用8bit來代表一個像素，而現(xiàn)在用12bit來表示一個像素，這樣就可減少簡并現(xiàn)象發(fā)生的機會，從而減少灰度層次的損失。另外，采用灰度間隔放大理論的直方圖修正法也可以減少簡并現(xiàn)象。這種灰度間隔放大可以按照眼睛的對比度靈敏度特性和成像系統(tǒng)的動態(tài)范圍進行放大。 減少(jinsho)簡并現(xiàn)象的方法共五十三頁 直方圖均衡化處理方法是行之有效的增強方法之一，但是由于它的變換函數(shù)

11、采用的是累積分布函數(shù)，因此正如前面所證明的那樣，它只能產(chǎn)生近似(jn s)均勻的直方圖這樣一種結(jié)果。這樣就必須會限制它的效能。4.1.4 直方圖規(guī)定(gudng)化處理 有時需要具有特定的直方圖的圖像，以便能夠?qū)D像中的某些灰度級加以增強。直方圖規(guī)定化方法就是針對上述思想提出來的一種直方圖修正增強方法。直方圖規(guī)定化共五十三頁 假設(shè) pr(r ) 是原始圖像灰度分布的概率密度函數(shù)， pz(z ) 是希望(xwng)得到的圖像的概率密度函數(shù)。如何建立 pr(r ) 和 pz(z ) 之間的聯(lián)系是直方圖規(guī)定化處理的關(guān)鍵。 所以，直方圖規(guī)定化處理的關(guān)鍵思路(sl)是尋找一個 pr(r ) 和 pz(z

12、 ) 間的中介，在 pr(r ) ， pz(z )間搭建一座橋梁，建立 r 與 z 的關(guān)系。 共五十三頁 首先對原始(yunsh)圖像進行直方圖均衡化處理，即： (416) 假定已經(jīng)得到了所希望的圖像(t xin)，并且它的概率密度函數(shù)是 。 對這幅圖像也作均衡化處理，即：式 4-2式 4-1共五十三頁因為對于(duy)兩幅圖同樣做了均衡化處理，所以 和 具有同樣的均勻密度。其中上式的逆過程為： (418) 這樣(zhyng)，如果用從原始圖像中得到的均勻灰度級 來代替逆過程中的 ，其結(jié)果灰度級將是所要求的概率密度函數(shù) 的灰度級。 共五十三頁根據(jù)以上思路，可以總結(jié)出直接直方圖規(guī)定化增強處理的步

13、驟如下：(1)、用直方圖均衡化方法將原始圖像(t xin)作均衡化處理(2)、規(guī)定希望的灰度概率密度函數(shù) ，并用式求得變換函數(shù) ； 共五十三頁 (3)、將逆變換函數(shù) 用到步驟(1)中所得到的灰度級。（4）、 這樣，就實現(xiàn)了r與z的映射關(guān)系(gun x)。以上三步得到了原始圖像的另一種處理方法。在這種處理方法中得到的新圖像的灰度級具有事先規(guī)定的概率密度函數(shù)。共五十三頁原始(yunsh)直方圖數(shù)據(jù) 共五十三頁規(guī)定(gudng)的直方圖數(shù)據(jù) 共五十三頁均衡化處理(chl)后的直方圖數(shù)據(jù) 共五十三頁（1）對原始圖像進行直方圖均衡化映射處理的數(shù) 值列于表欄目內(nèi)。（2）利用下式計算(j sun)變換函數(shù)。

14、計算步驟如下： 直方圖規(guī)定(gudng)化例共五十三頁共五十三頁以此類推(y c li tu)求得： （3）用直方圖均衡化中的 sk 進行(jnxng) G 的反變換求z 。 共五十三頁這一步實際上是近似過程(guchng)。也就是找出 與 的最接近的值。例如：與它最接近的是 所以可寫成 用這樣方法可得到下列變換值，共五十三頁（4）用 找出 r 與 z 的映射(yngsh)關(guān)系 共五十三頁共五十三頁結(jié)果(ji gu)直方圖數(shù)據(jù) （5）根據(jù)這樣的映射重新分配像素，并用(bn yn) n=4096去除，可得到最后的直方圖。 共五十三頁圖47 直方圖規(guī)定(gudng)化處理方法 共五十三頁47直方圖

15、規(guī)定(gudng)化結(jié)果(ji gu)原始直方圖規(guī)定直方圖結(jié)果直方圖共五十三頁直方圖規(guī)定化-示例(shl)列表共五十三頁49直方圖規(guī)定(gudng)化效果(xiogu)原始圖像規(guī)定直方圖規(guī)定化后直方圖規(guī)定化后的圖像 共五十三頁由圖可見，結(jié)果直方圖并不很接近希望的形狀，與直方圖均衡化的情況一樣，這種誤差是多次近似造成的。只有在連續(xù)的情況下，求得準確的反變換函數(shù)才能得到準確的結(jié)果。在灰度級減少時，規(guī)定的和最后得到的直方圖之間的誤差趨向于增加。但是實際處理效果表明，盡管(jn gun)是一種近似的直方圖也可以得到較明顯的增強效果。共五十三頁 利用直方圖規(guī)定化方法進行圖像增強的主要困難(kn nn)在

16、于如何構(gòu)成有意義的直方圖。一般有兩種方法，一種是給定一個規(guī)定的概率密度函數(shù)，如高斯，瑞利等函數(shù)。另一種方法是規(guī)定一個任意(rny)可控制的直方圖，其形狀可由一些直線所組成，得到希望的形狀后，將這個函數(shù)數(shù)字化。共五十三頁52直方圖規(guī)定(gudng)化灰度級01234567概率0.00.000.000.200.600.000.2灰度級01234567像素790102385065632924512281概率0.190.250.210.160.080.060.030.02例原始(yunsh)圖像各灰度級對應(yīng)的概率分布已知規(guī)定直方圖概率分布如下,求出結(jié)果直方圖 ？共五十三頁內(nèi)容摘要什么是灰度級的直方圖呢。灰度直方圖是圖像的一種統(tǒng)計表達(biod)，它反映了該圖中不同灰度級出現(xiàn)的統(tǒng)計