數(shù)理統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)總結(jié)-供參考

1、1統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布1.1基本概念：統(tǒng)計(jì)量、樣本矩、經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)總體X的樣本X1，X2，Xn，則T(X1，X2，Xn)即為統(tǒng)計(jì)量樣本均值樣本方差修正樣本方差樣本k階原點(diǎn)矩樣本k階中心矩經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù) 其中Vn(x)表示隨機(jī)事件出現(xiàn)的次數(shù),顯然,則有 補(bǔ)充： 二項(xiàng)分布B(n,p):EX=np DX=np(1-p)泊松分布: 均勻分布U(a,b): 指數(shù)分布: 正態(tài)分布: 當(dāng)時(shí)， 1.2統(tǒng)計(jì)量：充分統(tǒng)計(jì)量、因子分解定理、完備統(tǒng)計(jì)量、指數(shù)型分布族T是的充分統(tǒng)計(jì)量與無關(guān)T是的完備統(tǒng)計(jì)量要使Eg(T)=0,必有g(shù)(T)=0且h非負(fù)T是的充分統(tǒng)計(jì)量T是的充分完備統(tǒng)計(jì)量是的充分完備統(tǒng)計(jì)量1.3抽樣分布：分布，t

2、分布，F(xiàn)分布，分位數(shù)，正態(tài)總體樣本均值和方差的分布，非正態(tài)總體樣本均值的分布分布： T分布： 當(dāng)n2時(shí)，ET=0 F分布： 補(bǔ)充：Z=X+Y的概率密度 f(x,y)是X和Y的聯(lián)合概率密度的概率密度的概率密度函數(shù)： B函數(shù)： 1.4次序統(tǒng)計(jì)量及其分布：次序統(tǒng)計(jì)量、樣本中位數(shù)、樣本極差RX(k)的分布密度：X(1)的分布密度：X(n)的分布密度：2參數(shù)估計(jì)2.1點(diǎn)估計(jì)與優(yōu)良性：概念、無偏估計(jì)、均方誤差準(zhǔn)則、相合估計(jì)(一致估計(jì))、漸近正態(tài)估計(jì)的均方誤差：若是無偏估計(jì)，則對于的任意一個(gè)無偏估計(jì)量，有，則是的最小方差無偏估計(jì)，記MVUE相合估計(jì)(一致估計(jì)): 2.2點(diǎn)估計(jì)量的求法：矩估計(jì)法、最大似然估計(jì)

3、法矩估計(jì)法：求出總體的k階原點(diǎn)矩:解方程組 (k=1,2,.,m)，得即為所求最大似然估計(jì)法：寫出似然函數(shù)，求出lnL及似然方程 i=1,2,.,m解似然方程得到，即最大似然估計(jì) i=1,2,.,m補(bǔ)充：似然方程無解時(shí)，求出的定義域中使得似然函數(shù)最大的值，即為最大似然估計(jì)2.3MVUE和有效估計(jì)：最小方差無偏估計(jì)、有效估計(jì)T是的充分完備統(tǒng)計(jì)量，是的一個(gè)無偏估計(jì)為的惟一的MVUE最小方差無偏估計(jì)的求解步驟：求出參數(shù)的充分完備統(tǒng)計(jì)量T求出，則是的一個(gè)無偏估計(jì)或求出一個(gè)無偏估計(jì)，然后改寫成用T表示的函數(shù)綜合，是的MVUE或者：求出的矩估計(jì)或ML估計(jì)，再求效率，為1則必為MVUET是的一個(gè)無偏估計(jì)，則

4、滿足信息不等式，其中或，為樣本的聯(lián)合分布。最小方差無偏估計(jì)達(dá)到羅-克拉姆下界有效估計(jì)量效率為1無偏估計(jì)的效率：是的最大似然估計(jì)，且是的充分統(tǒng)計(jì)量是的有效估計(jì)2.4區(qū)間估計(jì)：概念、正態(tài)總體區(qū)間估計(jì)(期望、方差、均值差、方差比)及單側(cè)估計(jì)、非正態(tài)總體參數(shù)和區(qū)間估計(jì)一個(gè)總體的情況： 已知，求的置信區(qū)間：未知，求的置信區(qū)間：已知，求的置信區(qū)間：未知，求的置信區(qū)間：兩個(gè)總體的情況：，均已知時(shí)，求的區(qū)間估計(jì)：未知時(shí)，求的區(qū)間估計(jì)：未知時(shí)，求：非正態(tài)總體的區(qū)間估計(jì)：當(dāng)時(shí)， ，故用Sn代替Sn-13統(tǒng)計(jì)決策與貝葉斯估計(jì)3.1統(tǒng)計(jì)決策的基本概念：三要素、統(tǒng)計(jì)決策函數(shù)及風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)三要素：樣本空間和分布族、行動(dòng)空間（

5、判決空間）、損失函數(shù)統(tǒng)計(jì)決策函數(shù)d(X):本質(zhì)上是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，可用來估計(jì)未知參數(shù)風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)：是關(guān)于的函數(shù)3.2貝葉斯估計(jì)：先驗(yàn)分布與后驗(yàn)分布、貝葉斯風(fēng)險(xiǎn)、貝葉斯估計(jì)求樣本X=(X1,X2,.,Xn)的分布：樣本X與的聯(lián)合概率分布：求關(guān)于x的邊緣密度的后驗(yàn)密度為：取時(shí)的貝葉斯估計(jì)為：貝葉斯風(fēng)險(xiǎn)為：取時(shí)，貝葉斯估計(jì)為：補(bǔ)充：的貝葉斯估計(jì)：取損失函數(shù)，則貝葉斯估計(jì)為3.3minimax估計(jì)對決策空間中的決策函數(shù)d1(X),d2(X),.，分別求出在上的最大風(fēng)險(xiǎn)值在所有的最大風(fēng)險(xiǎn)值中選取相對最小值，此值對應(yīng)的決策函數(shù)就是最小最大決策函數(shù)。4假設(shè)檢驗(yàn)4.1基本概念：零假設(shè)(H0)與備選假設(shè)(H1)、檢驗(yàn)規(guī)

6、則、兩類錯(cuò)誤、勢函數(shù)零假設(shè)通常受到保護(hù)，而備選假設(shè)是當(dāng)零假設(shè)被拒絕后才能被接受。檢驗(yàn)規(guī)則：構(gòu)造一個(gè)統(tǒng)計(jì)量T(X1,X2,.,X3)，當(dāng)H0服從某一分布，當(dāng)H0不成立時(shí)，T的偏大偏小特征。據(jù)此，構(gòu)造拒絕域W第一類錯(cuò)誤（棄真錯(cuò)誤）：第二類錯(cuò)誤（存?zhèn)五e(cuò)誤）：勢函數(shù)：當(dāng)時(shí)，為犯第一類錯(cuò)誤的概率當(dāng)時(shí)，為犯第二類錯(cuò)誤的概率4.2正態(tài)總體均值與方差的假設(shè)檢驗(yàn)：t檢驗(yàn)、X2檢驗(yàn)、F檢驗(yàn)、單邊檢驗(yàn)一個(gè)總體的情況： 已知，檢驗(yàn)：未知，檢驗(yàn)：已知，檢驗(yàn)：未知，檢驗(yàn)：兩個(gè)總體的情況：，未知時(shí)，檢驗(yàn)：未知時(shí)，檢驗(yàn)：單邊檢驗(yàn)：舉例說明，已知，檢驗(yàn)：構(gòu)造，給定顯著性水平，有。當(dāng)H0成立時(shí)，因此。故拒絕域?yàn)?.3非參數(shù)假設(shè)檢

7、驗(yàn)方法：擬合優(yōu)度檢驗(yàn)、科爾莫戈羅夫檢驗(yàn)、斯米爾諾夫檢驗(yàn)擬合優(yōu)度檢驗(yàn): 其中Ni表示樣本中取值為i的個(gè)數(shù)，r表示分布中未知參數(shù)的個(gè)數(shù)科爾莫戈羅夫檢驗(yàn)： 實(shí)際檢驗(yàn)的是斯米爾諾夫檢驗(yàn)： 實(shí)際檢驗(yàn)的是4.4似然比檢驗(yàn)明確零假設(shè)和備選假設(shè)：構(gòu)造似然比：拒絕域：5方差分析5.1單因素方差分析：數(shù)學(xué)模型、離差平方和分解、顯著性檢驗(yàn)、參數(shù)估計(jì)數(shù)學(xué)模型,(i=1,2,.,m;j=1,2,.,ni)總離差平方和組內(nèi)離差平方和 組間離差平方和當(dāng)H0成立時(shí)，構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量，當(dāng)H0不成立時(shí)，有偏大特征且應(yīng)用：若原始數(shù)據(jù)比較大而且集中，可減去同一數(shù)值再解題輔助量：5.2兩因素方差分析：數(shù)學(xué)模型、離差平方和分解、顯著性檢驗(yàn)數(shù)學(xué)模型,(i=1,2,.,r;j=1,2,.,s)總離差平方和組內(nèi)離差平方和 因素B引起的離差平方和當(dāng)H0成立時(shí)，因素A引起的離差平方和當(dāng)H0成立時(shí)，輔助量：構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量：6回歸分析6.1一元線性回歸：回歸模型、未知參數(shù)的估計(jì)(、2)、參數(shù)估計(jì)量的分布(Y02*2)回歸模型：i=1,2,.,n.的估計(jì)： 分布：的估計(jì)： 6.2多元線性回歸：回歸模型、參數(shù)估計(jì)、分布回歸模型： i=1,2,.,n.參數(shù)估計(jì)：7多元分析初步7.1定義及性質(zhì)：定義、性質(zhì)其中為X的均值向量，