數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)6課件

1、第六章樹(shù)和二叉樹(shù)6.1 樹(shù)的類(lèi)型定義6.2 二叉樹(shù)的類(lèi)型定義6.3 二叉樹(shù)的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)6.4 二叉樹(shù)的遍歷6.5 線索二叉樹(shù)6.6 樹(shù)和森林的表示方法6.7 樹(shù)和森林的遍歷6.8 哈夫曼樹(shù)與哈夫曼編碼6.1 樹(shù)的類(lèi)型定義數(shù)據(jù)對(duì)象 D：D是具有相同特性的數(shù)據(jù)元素的集合。 若D為空集，則稱(chēng)為空樹(shù) 。 否則: (1) 在D中存在唯一的稱(chēng)為根的數(shù)據(jù)元素root； (2) 當(dāng)n1時(shí)，其余結(jié)點(diǎn)可分為m (m0)個(gè)互 不相交的有限集T1, T2, , Tm，其中每一 棵子集本身又是一棵符合本定義的樹(shù)， 稱(chēng)為根root的子樹(shù)。 數(shù)據(jù)關(guān)系 R： 基本操作：查 找 類(lèi) 插 入 類(lèi)刪 除 類(lèi) Root(T) / 求樹(shù)

2、的根結(jié)點(diǎn) 查找類(lèi)：Value(T, cur_e) / 求當(dāng)前結(jié)點(diǎn)的元素值 Parent(T, cur_e) / 求當(dāng)前結(jié)點(diǎn)的雙親結(jié)點(diǎn)LeftChild(T, cur_e) / 求當(dāng)前結(jié)點(diǎn)的最左孩子 RightSibling(T, cur_e) / 求當(dāng)前結(jié)點(diǎn)的右兄弟TreeEmpty(T) / 判定樹(shù)是否為空樹(shù) TreeDepth(T) / 求樹(shù)的深度TraverseTree( T, Visit() ) / 遍歷InitTree(&T) / 初始化置空樹(shù) 插入類(lèi)：CreateTree(&T, definition) / 按定義構(gòu)造樹(shù)Assign(T, cur_e, value) / 給當(dāng)前結(jié)點(diǎn)

3、賦值InsertChild(&T, &p, i, c) / 將以c為根的樹(shù)插入為結(jié)點(diǎn)p的第i棵子樹(shù) ClearTree(&T) / 將樹(shù)清空 刪除類(lèi)：DestroyTree(&T) / 銷(xiāo)毀樹(shù)的結(jié)構(gòu)DeleteChild(&T, &p, i) / 刪除結(jié)點(diǎn)p的第i棵子樹(shù)ABCDEFGHIJMKLA( B(E, F(K, L), C(G), D(H, I, J(M) )T1T3T2樹(shù)根例如:() 有確定的根；() 樹(shù)根和子樹(shù)根之間為有向關(guān)系。有向樹(shù)：有序樹(shù)：子樹(shù)之間存在確定的次序關(guān)系。無(wú)序樹(shù)：子樹(shù)之間不存在確定的次序關(guān)系。對(duì)比樹(shù)型結(jié)構(gòu)和線性結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)線性結(jié)構(gòu)樹(shù)型結(jié)構(gòu)第一個(gè)數(shù)據(jù)元素 (無(wú)前驅(qū))

4、 根結(jié)點(diǎn) (無(wú)前驅(qū))最后一個(gè)數(shù)據(jù)元素 (無(wú)后繼)多個(gè)葉子結(jié)點(diǎn) (無(wú)后繼)其它數(shù)據(jù)元素(一個(gè)前驅(qū)、 一個(gè)后繼)其它數(shù)據(jù)元素(一個(gè)前驅(qū)、 多個(gè)后繼)基 本 術(shù) 語(yǔ)結(jié)點(diǎn):結(jié)點(diǎn)的度:樹(shù)的度:葉子結(jié)點(diǎn):分支結(jié)點(diǎn):數(shù)據(jù)元素+若干指向子樹(shù)的分支分支的個(gè)數(shù)樹(shù)中所有結(jié)點(diǎn)的度的最大值度為零的結(jié)點(diǎn)度大于零的結(jié)點(diǎn)DHIJM趙老根趙躍進(jìn)趙小康趙改革趙開(kāi)放趙解放趙抗美趙衛(wèi)兵趙永紅(從根到結(jié)點(diǎn)的)路徑：孩子結(jié)點(diǎn)、雙親結(jié)點(diǎn)兄弟結(jié)點(diǎn)、堂兄弟祖先結(jié)點(diǎn)、子孫結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)的層次:樹(shù)的深度： 由從根到該結(jié)點(diǎn)所經(jīng)分支和結(jié)點(diǎn)構(gòu)成ABCDEFGHIJMKL假設(shè)根結(jié)點(diǎn)的層次為1，第l 層的結(jié)點(diǎn)的子樹(shù)根結(jié)點(diǎn)的層次為l+1樹(shù)中葉子結(jié)點(diǎn)所在的最大層次任

5、何一棵非空樹(shù)是一個(gè)二元組 Tree = （root，F(xiàn)）其中：root 被稱(chēng)為根結(jié)點(diǎn) F 被稱(chēng)為子樹(shù)森林森林：是m（m0）棵互不相交的樹(shù)的集合ArootBCDEFGHIJMKLF6.2 二叉樹(shù)的類(lèi)型定義 二叉樹(shù)或?yàn)榭諛?shù)，或是由一個(gè)根結(jié)點(diǎn)加上兩棵分別稱(chēng)為左子樹(shù)和右子樹(shù)的、互不交的二叉樹(shù)組成。ABCDEFGHK根結(jié)點(diǎn)左子樹(shù)右子樹(shù)二叉樹(shù)的五種基本形態(tài)：N空樹(shù)只含根結(jié)點(diǎn)NNNLRR右子樹(shù)為空樹(shù)L左子樹(shù)為空樹(shù)左右子樹(shù)均不為空樹(shù) 二叉樹(shù)的主要基本操作：查 找 類(lèi)插 入 類(lèi)刪 除 類(lèi) Root(T); Value(T, e); Parent(T, e); LeftChild(T, e); RightChil

6、d(T, e); LeftSibling(T, e); RightSibling(T, e); BiTreeEmpty(T); BiTreeDepth(T); PreOrderTraverse(T, Visit(); InOrderTraverse(T, Visit(); PostOrderTraverse(T, Visit(); LevelOrderTraverse(T, Visit(); InitBiTree(&T); Assign(T, &e, value); CreateBiTree(&T, definition); InsertChild(T, p, LR, c);ClearBiTr

7、ee(&T); DestroyBiTree(&T);DeleteChild(T, p, LR);二叉樹(shù)的重要特性 性質(zhì) 1 ： 在二叉樹(shù)的第 i 層上至多有2i-1 個(gè)結(jié)點(diǎn)。 (i1)用歸納法證明： 歸納基： 歸納假設(shè)： 歸納證明：i = 1 層時(shí)，只有一個(gè)根結(jié)點(diǎn)： 2i-1 = 20 = 1；假設(shè)對(duì)所有的 j，1 j i，命題成立；二叉樹(shù)上每個(gè)結(jié)點(diǎn)至多有兩棵子樹(shù)，則第 i 層的結(jié)點(diǎn)數(shù) = 2i-2 2 = 2i-1 。性質(zhì) 2 ： 深度為 k 的二叉樹(shù)上至多含 2k-1 個(gè)結(jié)點(diǎn)（k1）。證明： 基于上一條性質(zhì)，深度為 k 的二叉樹(shù)上的結(jié)點(diǎn)數(shù)至多為 20+21+ +2k-1 = 2k-1 。

8、性質(zhì) 3 ： 對(duì)任何一棵二叉樹(shù)，若它含有n0 個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)、n2 個(gè)度為 2 的結(jié)點(diǎn)，則必存在關(guān)系式：n0 = n2+1。證明：設(shè) 二叉樹(shù)上結(jié)點(diǎn)總數(shù) n = n0 + n1 + n2又 二叉樹(shù)上分支總數(shù) b = n1+2n2 而 b = n-1 = n0 + n1 + n2 - 1由此， n0 = n2 + 1 。兩類(lèi)特殊的二叉樹(shù)：滿(mǎn)二叉樹(shù)：指的是深度為k且含有2k-1個(gè)結(jié)點(diǎn)的二叉樹(shù)。完全二叉樹(shù)：樹(shù)中所含的 n 個(gè)結(jié)點(diǎn)和滿(mǎn)二叉樹(shù)中編號(hào)為 1 至 n 的結(jié)點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)。123456789101112131415abcdefghij 性質(zhì) 4 ： 具有 n 個(gè)結(jié)點(diǎn)的完全二叉樹(shù)的深度為 log2n +1

9、 。證明：設(shè)完全二叉樹(shù)的深度為 k 則根據(jù)第二條性質(zhì)得 2k-1 n 2k 即 k-1 log2 n n，則該結(jié)點(diǎn)無(wú)左孩子， 否則，編號(hào)為 2i 的結(jié)點(diǎn)為其左孩子結(jié)點(diǎn)；(3) 若 2i+1n，則該結(jié)點(diǎn)無(wú)右孩子結(jié)點(diǎn)， 否則，編號(hào)為2i+1 的結(jié)點(diǎn)為其右孩子結(jié)點(diǎn)。6.3 二叉樹(shù)的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)二、二叉樹(shù)的鏈?zhǔn)?存儲(chǔ)表示一、 二叉樹(shù)的順序 存儲(chǔ)表示#define MAX_TREE_SIZE 100 / 二叉樹(shù)的最大結(jié)點(diǎn)數(shù)typedef TElemType SqBiTreeMAX_ TREE_SIZE; / 0號(hào)單元存儲(chǔ)根結(jié)點(diǎn)SqBiTree bt;一、 二叉樹(shù)的順序存儲(chǔ)表示例如:ABCDEF A B D

10、C E F 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 131401326二、二叉樹(shù)的鏈?zhǔn)酱鎯?chǔ)表示1. 二叉鏈表2三叉鏈表3雙親鏈表4線索鏈表ADEBCFrootlchild data rchild結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu):1. 二叉鏈表typedef struct BiTNode / 結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu) TElemType data; struct BiTNode *lchild, *rchild; / 左右孩子指針 BiTNode, *BiTree;lchild data rchild結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu):C 語(yǔ)言的類(lèi)型描述如下:ADEBCFroot2三叉鏈表parent lchild data rchild結(jié)點(diǎn)

11、結(jié)構(gòu): typedef struct TriTNode / 結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu) TElemType data; struct TriTNode *lchild, *rchild; / 左右孩子指針 struct TriTNode *parent; /雙親指針 TriTNode, *TriTree;parent lchild data rchild結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu):C 語(yǔ)言的類(lèi)型描述如下:0123456 data parent結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu):3雙親鏈表LRTagLRRRLABCDEF1401326 typedef struct BPTNode / 結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu) TElemType data; int *parent; /

12、指向雙親的指針 char LRTag; / 左、右孩子標(biāo)志域 BPTNode typedef struct BPTree / 樹(shù)結(jié)構(gòu) BPTNode nodesMAX_TREE_SIZE; int num_node; / 結(jié)點(diǎn)數(shù)目 int root; / 根結(jié)點(diǎn)的位置 BPTree6.4二叉樹(shù)的遍歷一、問(wèn)題的提出二、先左后右的遍歷算法三、算法的遞歸描述四、中序遍歷算法的非遞歸描述五、遍歷算法的應(yīng)用舉例 順著某一條搜索路徑巡訪二叉樹(shù)中的結(jié)點(diǎn)，使得每個(gè)結(jié)點(diǎn)均被訪問(wèn)一次，而且僅被訪問(wèn)一次。一、問(wèn)題的提出“訪問(wèn)”的含義可以很廣，如：輸出結(jié)點(diǎn)的信息等。 “遍歷”是任何類(lèi)型均有的操作，對(duì)線性結(jié)構(gòu)而言，只有

13、一條搜索路徑(因?yàn)槊總€(gè)結(jié)點(diǎn)均只有一個(gè)后繼)，故不需要另加討論。而二叉樹(shù)是非線性結(jié)構(gòu)， 每個(gè)結(jié)點(diǎn)有兩個(gè)后繼，則存在如何遍歷即按什么樣的搜索路徑遍歷的問(wèn)題。 對(duì)“二叉樹(shù)”而言，可以有三條搜索路徑：1先上后下的按層次遍歷；2先左（子樹(shù)）后右（子樹(shù)）的遍歷；3先右（子樹(shù)）后左（子樹(shù)）的遍歷。二、先左后右的遍歷算法先（根）序的遍歷算法中（根）序的遍歷算法后（根）序的遍歷算法 若二叉樹(shù)為空樹(shù)，則空操作；否則，（1）訪問(wèn)根結(jié)點(diǎn)；（2）先序遍歷左子樹(shù)；（3）先序遍歷右子樹(shù)。先（根）序的遍歷算法： 若二叉樹(shù)為空樹(shù)，則空操作；否則，（1）中序遍歷左子樹(shù)；（2）訪問(wèn)根結(jié)點(diǎn)；（3）中序遍歷右子樹(shù)。中（根）序的遍歷算法

14、： 若二叉樹(shù)為空樹(shù)，則空操作；否則，（1）后序遍歷左子樹(shù)；（2）后序遍歷右子樹(shù)；（3）訪問(wèn)根結(jié)點(diǎn)。后（根）序的遍歷算法：三、算法的遞歸描述void Preorder (BiTree T, void( *visit)(TElemType& e)1 / 先序遍歷二叉樹(shù) 2 if (T) 3 visit(T-data); / 訪問(wèn)結(jié)點(diǎn)4 Preorder(T-lchild, visit); / 遍歷左子樹(shù)5 Preorder(T-rchild, visit);/ 遍歷右子樹(shù)6 7ADBT 可以這樣理解：無(wú)論先序、中序、后序遍歷二叉樹(shù)，遍歷時(shí)的搜索路線是相同的：從根節(jié)點(diǎn)出發(fā)，逆時(shí)針延二叔叉樹(shù)外緣移動(dòng)對(duì)

15、每個(gè)節(jié)點(diǎn)均途徑三次。 先序遍歷：第一次經(jīng)過(guò)節(jié)點(diǎn)時(shí)訪問(wèn)。 中序遍歷：第二次經(jīng)過(guò)節(jié)點(diǎn)時(shí)訪問(wèn)。 后序遍歷：第三次經(jīng)過(guò)節(jié)點(diǎn)時(shí)訪問(wèn)。AB123四、中序遍歷算法的非遞歸描述BiTNode *GoFarLeft(BiTree T, Stack *S) if (!T ) return NULL; while (T-lchild ) Push(S, T); T = T-lchild; return T;void Inorder_I(BiTree T, void (*visit) (TelemType& e) Stack *S; t = GoFarLeft(T, S); / 找到最左下的結(jié)點(diǎn) while(t) v

16、isit(t-data); if (t-rchild) t = GoFarLeft(t-rchild, S); else if ( !StackEmpty(S ) / 棧不空時(shí)退棧 t = Pop(S); else t = NULL; / ?？毡砻鞅闅v結(jié)束 / while/ Inorder_I 五、遍歷算法的應(yīng)用舉例1、統(tǒng)計(jì)二叉樹(shù)中葉子結(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù) (先序遍歷)2、求二叉樹(shù)的深度(后序遍歷)3、復(fù)制二叉樹(shù)(后序遍歷)4、建立二叉樹(shù)的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)1、統(tǒng)計(jì)二叉樹(shù)中葉子結(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)算法基本思想: 先序(或中序或后序)遍歷二叉樹(shù)，在遍歷過(guò)程中查找葉子結(jié)點(diǎn)，并計(jì)數(shù)。由此，需在遍歷算法中增添一個(gè)“計(jì)數(shù)”的參數(shù)，并

17、將算法中“訪問(wèn)結(jié)點(diǎn)”的操作改為：若是葉子，則計(jì)數(shù)器增1。void CountLeaf (BiTree T, int& count) if ( T ) if (!T-lchild)& (!T-rchild) count+; / 對(duì)葉子結(jié)點(diǎn)計(jì)數(shù) CountLeaf( T-lchild, count); CountLeaf( T-rchild, count); / if / CountLeaf2、求二叉樹(shù)的深度(后序遍歷)算法基本思想: 從二叉樹(shù)深度的定義可知，二叉樹(shù)的深度應(yīng)為其左、右子樹(shù)深度的最大值加1。由此，需先分別求得左、右子樹(shù)的深度，算法中“訪問(wèn)結(jié)點(diǎn)”的操作為：求得左、右子樹(shù)深度的最大值，然

18、后加 1 。 首先分析二叉樹(shù)的深度和它的左、右子樹(shù)深度之間的關(guān)系。int Depth (BiTree T ) / 返回二叉樹(shù)的深度 if ( !T ) depthval = 0; else depthLeft = Depth( T-lchild ); depthRight= Depth( T-rchild ); depthval = 1 + (depthLeft depthRight ? depthLeft : depthRight); return depthval;3、復(fù)制二叉樹(shù)其基本操作為：生成一個(gè)結(jié)點(diǎn)。根元素T左子樹(shù)右子樹(shù)根元素NEWT左子樹(shù)右子樹(shù)左子樹(shù)右子樹(shù)(后序遍歷)BiTNode

19、 *GetTreeNode(TElemType item, BiTNode *lptr , BiTNode *rptr ) if (!(T = (BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode) exit(1); T- data = item; T- lchild = lptr; T- rchild = rptr; return T; 生成一個(gè)二叉樹(shù)的結(jié)點(diǎn)(其數(shù)據(jù)域?yàn)閕tem,左指針域?yàn)閘ptr,右指針域?yàn)閞ptr)BiTNode *CopyTree(BiTNode *T) if (!T ) return NULL; if (T-lchild ) newlptr = CopyTr

20、ee(T-lchild);/復(fù)制左子樹(shù) else newlptr = NULL; if (T-rchild ) newrptr = CopyTree(T-rchild);/復(fù)制右子樹(shù) else newrptr = NULL; newT = GetTreeNode(T-data, newlptr, newrptr); return newT; / CopyTreeABCDEFGHK D C B H K G F E A例如：下列二叉樹(shù)的復(fù)制過(guò)程如下：newT4、建立二叉樹(shù)的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)不同的定義方法相應(yīng)有不同的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)的建立算法 以字符串的形式 根 左子樹(shù) 右子樹(shù)定義一棵二叉樹(shù)例如:ABCD以空白字符

21、“ ”表示A(B( ,C( , ),D( , )空樹(shù)只含一個(gè)根結(jié)點(diǎn)的二叉樹(shù)A以字符串“A ”表示以下列字符串表示Status CreateBiTree(BiTree &T) scanf(&ch); if (ch= ) T = NULL; else if (!(T = (BiTNode *)malloc(sizeof(BiTNode) exit(OVERFLOW); T-data = ch; / 生成根結(jié)點(diǎn) CreateBiTree(T-lchild); / 構(gòu)造左子樹(shù) CreateBiTree(T-rchild); / 構(gòu)造右子樹(shù) return OK; / CreateBiTreeA B C

22、D ABCD上頁(yè)算法執(zhí)行過(guò)程舉例如下：ATBCD 按給定的表達(dá)式建相應(yīng)二叉樹(shù) 由先綴表示式建樹(shù)例如：已知表達(dá)式的先綴表示式 -+ a b c / d e 由原表達(dá)式建樹(shù)例如：已知表達(dá)式 (a+b)c d/e對(duì)應(yīng)先綴表達(dá)式 -+ a b c / d e的二叉樹(shù)abcde-+/特點(diǎn)： 操作數(shù)為葉子結(jié)點(diǎn) 運(yùn)算符為分支結(jié)點(diǎn)scanf(&ch);if ( In(ch, 字母集 ) 建葉子結(jié)點(diǎn);else 建根結(jié)點(diǎn); 遞歸建左子樹(shù); 遞歸建右子樹(shù);由先綴表示式建樹(shù)的算法的基本操作：a+b(a+b)c d/ea+bc 分析表達(dá)式和二叉樹(shù)的關(guān)系:ab+abc+abc+(a+b)cabcde-+/基本操作:sca

23、nf(&ch);if (In(ch, 字母集 ) 建葉子結(jié)點(diǎn); 暫存; else if (In(ch, 運(yùn)算符集) 和前一個(gè)運(yùn)算符比較優(yōu)先數(shù); 若當(dāng)前的優(yōu)先數(shù)“高”，則暫存; 否則建子樹(shù); 僅知二叉樹(shù)的先序序列“abcdefg” 不能唯一確定一棵二叉樹(shù)，由二叉樹(shù)的先序和中序序列建樹(shù) 如果同時(shí)已知二叉樹(shù)的中序序列“cbdaegf”，則會(huì)如何？ 二叉樹(shù)的先序序列二叉樹(shù)的中序序列左子樹(shù)左子樹(shù)右子樹(shù)右子樹(shù)根根a b c d e f gc b d a e g f例如:aab bccddeeffggabcdefg先序序列中序序列6.5線索二叉樹(shù) 何謂線索二叉樹(shù)？ 線索鏈表的遍歷算法 如何建立線索鏈表？一、

24、何謂線索二叉樹(shù)？遍歷二叉樹(shù)的結(jié)果是， 求得結(jié)點(diǎn)的一個(gè)線性序列。ABCDEFGHK例如:先序序列: A B C D E F G H K中序序列: B D C A H G K F E后序序列: D C B H K G F E A指向該線性序列中的“前驅(qū)”和 “后繼” 的指針，稱(chēng)作“線索”與其相應(yīng)的二叉樹(shù)，稱(chēng)作 “線索二叉樹(shù)”包含 “線索” 的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)，稱(chēng)作 “線索鏈表”A B C D E F G H K D C B E 對(duì)線索鏈表中結(jié)點(diǎn)的約定： 在二叉鏈表的結(jié)點(diǎn)中增加兩個(gè)標(biāo)志域，并作如下規(guī)定：若該結(jié)點(diǎn)的左子樹(shù)不空，則Lchild域的指針指向其左子樹(shù)， 且左標(biāo)志域的值為“指針 Link”； 否則，L

25、child域的指針指向其“前驅(qū)”， 且左標(biāo)志的值為“線索 Thread” 。若該結(jié)點(diǎn)的右子樹(shù)不空，則rchild域的指針指向其右子樹(shù)， 且右標(biāo)志域的值為 “指針 Link”；否則，rchild域的指針指向其“后繼”， 且右標(biāo)志的值為“線索 Thread”。 如此定義的二叉樹(shù)的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)稱(chēng)作“線索鏈表”。typedef struct BiThrNod TElemType data; struct BiThrNode *lchild, *rchild; / 左右指針 PointerThr LTag, RTag; / 左右標(biāo)志 BiThrNode, *BiThrTree;線索鏈表的類(lèi)型描述： type

26、def enum Link, Thread PointerThr; / Link=0:指針，Thread=1:線索二、線索鏈表的遍歷算法: for ( p = firstNode(T); p; p = Succ(p) ) Visit (p);由于在線索鏈表中添加了遍歷中得到的“前驅(qū)”和“后繼”的信息，從而簡(jiǎn)化了遍歷的算法。例如: 對(duì)中序線索化鏈表的遍歷算法 中序遍歷的第一個(gè)結(jié)點(diǎn) ？ 在中序線索化鏈表中結(jié)點(diǎn)的后繼 ？左子樹(shù)上處于“最左下”（沒(méi)有左子樹(shù)）的結(jié)點(diǎn)。若無(wú)右子樹(shù)，則為后繼線索所指結(jié)點(diǎn)；否則為對(duì)其右子樹(shù)進(jìn)行中序遍歷時(shí)訪問(wèn)的第一個(gè)結(jié)點(diǎn)。void InOrderTraverse_Thr(BiT

27、hrTree T, void (*Visit)(TElemType e) p = T-lchild; / p指向根結(jié)點(diǎn) while (p != T) / 空樹(shù)或遍歷結(jié)束時(shí)，p=T while (p-LTag=Link) p = p-lchild; / 第一個(gè)結(jié)點(diǎn) while (p-RTag=Thread & p-rchild!=T) p = p-rchild; Visit(p-data); / 訪問(wèn)后繼結(jié)點(diǎn) p = p-rchild; / p進(jìn)至其右子樹(shù)根 / InOrderTraverse_Thr 在中序遍歷過(guò)程中修改結(jié)點(diǎn)的左、右指針域，以保存當(dāng)前訪問(wèn)結(jié)點(diǎn)的“前驅(qū)”和“后繼”信息。遍歷過(guò)程中

28、，附設(shè)指針pre, 并始終保持指針pre指向當(dāng)前訪問(wèn)的、指針p所指結(jié)點(diǎn)的前驅(qū)。三、如何建立線索鏈表？void InThreading(BiThrTree p) if (p) / 對(duì)以p為根的非空二叉樹(shù)進(jìn)行線索化 InThreading(p-lchild); / 左子樹(shù)線索化 if (!p-lchild) / 建前驅(qū)線索 p-LTag = Thread; p-lchild = pre; if (!pre-rchild) / 建后繼線索 pre-RTag = Thread; pre-rchild = p; pre = p; / 保持 pre 指向 p 的前驅(qū) InThreading(p-rchil

29、d); / 右子樹(shù)線索化 / if / InThreadingStatus InOrderThreading(BiThrTree &Thrt, BiThrTree T) / 構(gòu)建中序線索鏈表 if (!(Thrt = (BiThrTree)malloc( sizeof( BiThrNode) exit (OVERFLOW); Thrt-LTag = Link; Thrt-RTag =Thread; Thrt-rchild = Thrt; / 添加頭結(jié)點(diǎn) return OK; / InOrderThreading if (!T) Thrt-lchild = Thrt; else Thrt-lch

30、ild = T; pre = Thrt; InThreading(T); pre-rchild = Thrt; / 處理最后一個(gè)結(jié)點(diǎn) pre-RTag = Thread; Thrt-rchild = pre; 6.6 樹(shù)和森林 的表示方法樹(shù)的三種存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)一、雙親表示法二、孩子鏈表表示法三、樹(shù)的二叉鏈表(孩子-兄弟） 存儲(chǔ)表示法ABCDEFG0 A -11 B 02 C 03 D 04 E 2 5 F 26 G 5r=0n=7data parent一、雙親表示法: typedef struct PTNode Elem data; int parent; / 雙親位置域 PTNode; data

31、parent#define MAX_TREE_SIZE 100結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu):C語(yǔ)言的類(lèi)型描述:typedef struct PTNode nodes MAX_TREE_SIZE; int r, n; / 根結(jié)點(diǎn)的位置和結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù) PTree;樹(shù)結(jié)構(gòu):ABCDEFG0 A -11 B 02 C 03 D 04 E 25 F 26 G 5r=0n=7 data firstchild 1 2 34 56二、孩子鏈表表示法:-1000224typedef struct CTNode int child; struct CTNode *next; *ChildPtr;孩子結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu): child nextC語(yǔ)言

32、的類(lèi)型描述: typedef struct Elem data; ChildPtr firstchild; / 孩子鏈的頭指針 CTBox;雙親結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu) data firstchildtypedef struct CTBox nodesMAX_TREE_SIZE; int n, r; / 結(jié)點(diǎn)數(shù)和根結(jié)點(diǎn)的位置 CTree;樹(shù)結(jié)構(gòu):ABCDEFG AB C E D F Groot AB C E D F G 三、樹(shù)的二叉鏈表 (孩子-兄弟）存儲(chǔ)表示法typedef struct CSNode Elem data; struct CSNode *firstchild, *nextsibling; C

33、SNode, *CSTree;C語(yǔ)言的類(lèi)型描述:結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu): firstchild data nextsibling 森林和二叉樹(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系設(shè)森林 F = ( T1, T2, , Tn ); T1 = (root，t11, t12, , t1m);二叉樹(shù) B =( LBT, Node(root), RBT );由森林轉(zhuǎn)換成二叉樹(shù)的轉(zhuǎn)換規(guī)則為:若 F = ，則 B = ；否則， 由 ROOT( T1 ) 對(duì)應(yīng)得到 Node(root)； 由 (t11, t12, , t1m ) 對(duì)應(yīng)得到 LBT； 由 (T2, T3, Tn ) 對(duì)應(yīng)得到 RBT。由二叉樹(shù)轉(zhuǎn)換為森林的轉(zhuǎn)換規(guī)則為：若 B = ， 則

34、 F = ；否則，由 Node(root) 對(duì)應(yīng)得到 ROOT( T1 )；由LBT 對(duì)應(yīng)得到 ( t11, t12, ，t1m)；由RBT 對(duì)應(yīng)得到 (T2, T3, , Tn)。 由此，樹(shù)的各種操作均可對(duì)應(yīng)二叉樹(shù)的操作來(lái)完成。 應(yīng)當(dāng)注意的是，和樹(shù)對(duì)應(yīng)的二叉樹(shù)，其左、右子樹(shù)的概念已改變?yōu)椋?左是孩子，右是兄弟。6.7樹(shù)和森林的遍歷一、樹(shù)的遍歷二、森林的遍歷三、樹(shù)的遍歷的應(yīng)用樹(shù)的遍歷可有三條搜索路徑:按層次遍歷:先根(次序)遍歷:后根(次序)遍歷: 若樹(shù)不空，則先訪問(wèn)根結(jié)點(diǎn)，然后依次先根遍歷各棵子樹(shù)。 若樹(shù)不空，則先依次后根遍歷各棵子樹(shù)，然后訪問(wèn)根結(jié)點(diǎn)。 若樹(shù)不空，則自上而下自左至右訪問(wèn)樹(shù)中每

35、個(gè)結(jié)點(diǎn)。 A B C DE F G H I J K 先根遍歷時(shí)頂點(diǎn)的訪問(wèn)次序：A B E F C D G H I J K 后根遍歷時(shí)頂點(diǎn)的訪問(wèn)次序：E F B C I J K H G D A 層次遍歷時(shí)頂點(diǎn)的訪問(wèn)次序：A B C D E F G H I J K B C DE F G H I J K1森林中第一棵樹(shù)的根結(jié)點(diǎn)；2森林中第一棵樹(shù)的子樹(shù)森林；3森林中其它樹(shù)構(gòu)成的森林。森林由三部分構(gòu)成：1. 先序遍歷森林的遍歷 若森林不空，則訪問(wèn)森林中第一棵樹(shù)的根結(jié)點(diǎn)；先序遍歷森林中第一棵樹(shù)的子樹(shù)森林；先序遍歷森林中(除第一棵樹(shù)之外)其 余樹(shù)構(gòu)成的森林。即：依次從左至右對(duì)森林中的每一棵樹(shù)進(jìn)行先根遍歷。中

36、序遍歷 若森林不空，則中序遍歷森林中第一棵樹(shù)的子樹(shù)森林；訪問(wèn)森林中第一棵樹(shù)的根結(jié)點(diǎn)；中序遍歷森林中(除第一棵樹(shù)之外)其 余樹(shù)構(gòu)成的森林。即：依次從左至右對(duì)森林中的每一棵樹(shù)進(jìn)行后根遍歷。 樹(shù)的遍歷和二叉樹(shù)遍歷的對(duì)應(yīng)關(guān)系 ？先根遍歷后根遍歷樹(shù)二叉樹(shù)森林先序遍歷先序遍歷中序遍歷中序遍歷設(shè)樹(shù)的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)為孩子兄弟鏈表typedef struct CSNode Elem data; struct CSNode *firstchild, *nextsibling; CSNode, *CSTree; int TreeDepth(CSTree T) 1 if(!T) return 0;2 else 3 h1 = TreeDepth( T-firstchild );4 h2 = TreeD