復(fù)變函數(shù)--全套課件

1、復(fù)變函數(shù)2 兩復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的實(shí)部和虛部分別相等. 復(fù)數(shù) z 等于0當(dāng)且僅當(dāng)它的實(shí)部和虛部同時(shí)等于0.說(shuō)明 兩個(gè)數(shù)如果都是實(shí)數(shù),可以比較它們的大小, 如果不全是實(shí)數(shù), 就不能比較大小, 也就是說(shuō), 復(fù)數(shù)不能比較大小.第一講 復(fù)數(shù)及其代數(shù)運(yùn)算3輻角的主值4 三角表示法利用歐拉公式復(fù)數(shù)可以表示成稱為復(fù)數(shù) z 的指數(shù)表示式.指數(shù)表示法利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系復(fù)數(shù)可以表示成5 方根單連通域與多連通域從幾何上看，單連通域就是無(wú)洞、無(wú)割痕的域.6 復(fù)變函數(shù)的概念注意: 復(fù)變函數(shù)的極限 極限計(jì)算的定理7復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性 連續(xù)的充要條件8解三、典型例題9解10例 解例5 求下列復(fù)數(shù)的輻角主值:解12例

2、 將下列復(fù)數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式:解故三角表示式為13指數(shù)表示式為故三角表示式為指數(shù)表示式為14故三角表示式為指數(shù)表示式為6、基本問(wèn)題(1) 已知方程求圖形例求下列方程所表示的曲線:解16化簡(jiǎn)后得一般方法：17解所以它的復(fù)數(shù)形式的參數(shù)方程為(2)已知圖形求方程例18例10試用復(fù)數(shù)表示圓的方程:其中，a,b,c,d是實(shí)常數(shù)。解：一般方法：20例解復(fù)數(shù)的運(yùn)算21例解22即23例解即2425例1解三、典型例題26所以象的參數(shù)方程為27例 函數(shù) 將 平面上的下列曲線變成 平面上的什么曲線？解又于是表示 平面上的圓.(1)28解表示 平面上以 為圓心， 為半徑的圓.放映結(jié)束，按Esc退出.29例2

3、證 (一)30根據(jù)定理一可知,證 (二)311）導(dǎo)數(shù)的定義1. 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分2)復(fù)變函數(shù)的微分 2. 解析函數(shù)可微 可導(dǎo) 連續(xù) 有定義極限存在 解析 第二章 3. 奇點(diǎn) 4.可導(dǎo)與解析的判定5、解析函數(shù)的判定方法6.初等解析函數(shù)1)指數(shù)函數(shù) 2)三角函數(shù)3）對(duì)數(shù)函數(shù)4)冪函數(shù)39例 解例 判定 在何處可導(dǎo)解不滿足柯西黎曼方程,41例判定下列函數(shù)在何處可導(dǎo), 在何處解析:解不滿足柯西黎曼方程,42四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)均連續(xù)43例 證44例 解45例解46例例1 例3 解例4解注意: 在實(shí)變函數(shù)中, 負(fù)數(shù)無(wú)對(duì)數(shù), 復(fù)變函數(shù)中負(fù)數(shù)有對(duì)數(shù).例5解例6解答案課堂練習(xí)例7解例10 解方程解 設(shè)C為平面上給定

4、的一條光滑(或按段光滑)曲線, 如果選定C的兩個(gè)可能方向中的一個(gè)作為正方向(或正向), 那末我們就把C理解為帶有方向的曲線, 稱為有向曲線.如果A到B作為曲線C的正向,那么B到A就是曲線C的負(fù)向,第三章 1.有向曲線2.積分計(jì)算（1）用參數(shù)方程將積分化成定積分3. 柯西古薩基本定理(柯西積分定理)由定理得4.原函數(shù)的定義 (牛頓-萊布尼茲公式)5. 閉路變形原理 復(fù)合閉路定理 一個(gè)解析函數(shù)沿閉曲線的積分，不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值.那末6.柯西積分公式一個(gè)解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的平均值. 7. 高階導(dǎo)數(shù)公式8.調(diào)和函數(shù)和共軛調(diào)和函數(shù) 任何在 D 內(nèi)解析的函數(shù),它的實(shí)部

5、和虛部都是 D 內(nèi)的調(diào)和函數(shù).定理 區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)的虛部為實(shí)部的共軛調(diào)和函數(shù). 共軛調(diào)和函數(shù)解:(1)例1 直線OB的參數(shù)方程為積分都與路線C 無(wú)關(guān)(2)直線OA的參數(shù)方程為直線AB的參數(shù)方程為例2 解(1) 積分路徑的參數(shù)方程為y=x(2) 積分路徑的參數(shù)方程為y=xy=x(3) 積分路徑由兩段直線段構(gòu)成x軸上直線段的參數(shù)方程為1到1+i直線段的參數(shù)方程為例3 解積分路徑的參數(shù)方程為例4 解積分路徑的參數(shù)方程為重要結(jié)論：積分值與路徑圓周的中心和半徑無(wú)關(guān).例解根據(jù)柯西古薩定理, 有例3解根據(jù)柯西古薩定理得例1 計(jì)算 例2 計(jì)算 例3 計(jì)算 三、典型例題例1解依題意知, 根據(jù)復(fù)合閉路定理,例

6、2 解圓環(huán)域的邊界構(gòu)成一條復(fù)合閉路,根據(jù)閉路復(fù)合定理,例3解由復(fù)合閉路定理, 此結(jié)論非常重要, 用起來(lái)很方便, 因?yàn)椴槐厥菆A, a也不必是圓的圓心, 只要a在簡(jiǎn)單閉曲線內(nèi)即可.例1解由柯西積分公式三、典型例題例2解例2解由閉路復(fù)合定理, 得例2解例 3解根據(jù)柯西積分公式知,三、典型例題例1解根據(jù)復(fù)合閉路定理3. 偏積分法 如果已知一個(gè)調(diào)和函數(shù) u, 那末就可以利用柯西黎曼方程求得它的共軛調(diào)和函數(shù) v, 從而構(gòu)成一個(gè)解析函數(shù)u+vi. 這種方法稱為偏積分法.解例1 得一個(gè)解析函數(shù)這個(gè)函數(shù)可以化為例1 解:利用柯西黎曼方程, 因而得到解析函數(shù) 因而得到解析函數(shù)第四章1.復(fù)數(shù)列記作表達(dá)式稱為復(fù)數(shù)項(xiàng)無(wú)

7、窮級(jí)數(shù).其最前面 項(xiàng)的和稱為級(jí)數(shù)的部分和.部分和2.復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1) 定義2) 復(fù)級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散充要條件必要條件非絕對(duì)收斂的收斂級(jí)數(shù)稱為條件收斂級(jí)數(shù).3)復(fù)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂如果 收斂, 那末稱級(jí)數(shù) 為絕對(duì)收斂.絕對(duì)收斂 條件收斂稱為這級(jí)數(shù)的部分和. 級(jí)數(shù)最前面項(xiàng)的和3.復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)其中各項(xiàng)在區(qū)域 D內(nèi)有定義.表達(dá)式稱為復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù), 記作 4. 冪級(jí)數(shù) 1) 在復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中, 形如的級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù).-阿貝爾Abel定理如果級(jí)數(shù)在收斂,那末對(duì)的級(jí)數(shù)必絕對(duì)收斂,如果在級(jí)數(shù)發(fā)散, 那末對(duì)滿足的級(jí)數(shù)必發(fā)散.滿足2)收斂定理(3) 既存在使級(jí)數(shù)發(fā)散的正實(shí)數(shù), 也存在使級(jí)數(shù)收斂的正實(shí)數(shù).此

8、時(shí), 級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)除原點(diǎn)外處處發(fā)散.3)收斂圓與收斂半徑對(duì)于一個(gè)冪級(jí)數(shù), 其收斂半徑的情況有三種:對(duì)所有的正實(shí)數(shù)都收斂.即級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處收斂.(2) 對(duì)所有的正實(shí)數(shù)除外都發(fā)散.在收斂圓周上是收斂還是發(fā)散, 不能作出一般的結(jié)論, 要對(duì)具體級(jí)數(shù)進(jìn)行具體分析.注意.收斂圓收斂半徑方法1: 比值法方法2: 根值法4)收斂半徑的求法那末收斂半徑那末收斂半徑5)冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算與性質(zhì)如果當(dāng)時(shí),又設(shè)在內(nèi)解析且滿足那末當(dāng)時(shí),(2)冪級(jí)數(shù)的代換(復(fù)合)運(yùn)算復(fù)變冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)的解析性設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為那末是收斂圓內(nèi)的解析函數(shù) .它的和函數(shù)即(1)(2)在收斂圓內(nèi)的導(dǎo)數(shù)可將其冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)得到, 即(3)在收

9、斂圓內(nèi)可以逐項(xiàng)積分, 即或5. 泰勒級(jí)數(shù)其中泰勒級(jí)數(shù) 1)定理設(shè)在區(qū)域內(nèi)解析,為 內(nèi)的一為到的邊界上各點(diǎn)的最短距離, 那末點(diǎn),時(shí),成立,當(dāng)2)常見(jiàn)函數(shù)的泰勒展開(kāi)式 6. 洛朗級(jí)數(shù)定理C為圓環(huán)域內(nèi)繞 的任一正向簡(jiǎn)單閉曲線.為洛朗系數(shù).1)函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)的洛朗展開(kāi)式在圓環(huán)域內(nèi)的洛朗(Laurent)級(jí)數(shù). 某一圓環(huán)域內(nèi)的解析函數(shù)展開(kāi)為含有正、負(fù)冪項(xiàng)的級(jí)數(shù)是唯一的, 這就是 f (z) 的洛朗級(jí)數(shù). 根據(jù)正、負(fù)冪項(xiàng)組成的的級(jí)數(shù)的唯一性, 可用代數(shù)運(yùn)算、代換、求導(dǎo)和積分等方法去展開(kāi) .(2) 間接展開(kāi)法2)將函數(shù)展為洛朗級(jí)數(shù)的方法(1) 直接展開(kāi)法而解 例解 級(jí)數(shù)滿足必要條件, 但例 判別級(jí)數(shù)的斂散性

10、.解解 由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別法知絕對(duì)收斂.例 判別級(jí)數(shù)的斂散性.例故原級(jí)數(shù)收斂, 且為絕對(duì)收斂.因?yàn)樗杂烧?xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別法知:解故原級(jí)數(shù)收斂.所以原級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂.例解例 求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑解說(shuō)明:例1解例2 解例3解上式兩邊逐項(xiàng)求導(dǎo),例4 解三、典型例題例1解本例中圓環(huán)域的中心 z = 0 既是各負(fù)冪項(xiàng)的奇點(diǎn),例2 內(nèi)是處處解析的,試把 f (z) 在這些區(qū)域內(nèi)展開(kāi)成洛朗級(jí)數(shù).解oxy112oxy由且仍有2oxy由此時(shí)仍有例3解 洛朗級(jí)數(shù)在積分上的應(yīng)用1）定義 如果函數(shù)在 不解析, 但在的某一去心鄰域內(nèi)處處解析, 則稱為的孤立奇點(diǎn).第五章1. 孤立奇點(diǎn)的概念與分類孤立奇點(diǎn)奇點(diǎn)2）孤立

11、奇點(diǎn)的分類依據(jù)在其孤立奇點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)的情況分為三類:i) 可去奇點(diǎn); ii) 極點(diǎn); iii) 本性奇點(diǎn).定義 如果洛朗級(jí)數(shù)中不含 的負(fù)冪項(xiàng), 那末孤立奇點(diǎn) 稱為 的可去奇點(diǎn). i) 可去奇點(diǎn)ii) 極點(diǎn) 定義 如果洛朗級(jí)數(shù)中只有有限多個(gè)的負(fù)冪項(xiàng), 其中關(guān)于的最高冪為即級(jí)極點(diǎn).那末孤立奇點(diǎn)稱為函數(shù)的或?qū)懗蓸O點(diǎn)的判定方法在點(diǎn) 的某去心鄰域內(nèi)其中 在 的鄰域內(nèi)解析, 且 的負(fù)冪項(xiàng)為有的洛朗展開(kāi)式中含有限項(xiàng).(a) 由定義判別(b) 由定義的等價(jià)形式判別(c) 利用極限判斷 .如果洛朗級(jí)數(shù)中含有無(wú)窮多個(gè)那末孤立奇點(diǎn)稱為的本性奇點(diǎn).的負(fù)冪項(xiàng),注意: 在本性奇點(diǎn)的鄰域內(nèi)不存在且不為iii)本

12、性奇點(diǎn)綜上所述:孤立奇點(diǎn)可去奇點(diǎn)m級(jí)極點(diǎn)本性奇點(diǎn)洛朗級(jí)數(shù)特點(diǎn)存在且為有限值不存在且不為無(wú)負(fù)冪項(xiàng)含無(wú)窮多個(gè)負(fù)冪項(xiàng)含有限個(gè)負(fù)冪項(xiàng)關(guān)于的最高冪為i) 零點(diǎn)的定義不恒等于零的解析函數(shù)如果能表示成其中在解析且m為某一正整數(shù),那末稱為的 m 級(jí)零點(diǎn). 3)函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系ii)零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系如果是的 m 級(jí)極點(diǎn), 那末就是的 m 級(jí)零點(diǎn). 反過(guò)來(lái)也成立. 2. 留數(shù)記作定義 如果的一個(gè)孤立奇點(diǎn), 則沿內(nèi)包含的任意一條簡(jiǎn)單閉曲線 C 的積分的值除后所得的數(shù)稱為以1)留數(shù)定理 設(shè)函數(shù)在區(qū)域 D內(nèi)除有限個(gè)孤外處處解析, C 是 D內(nèi)包圍諸奇點(diǎn)的一條正向簡(jiǎn)單閉曲線, 那末立奇點(diǎn)留數(shù)定理將沿封閉曲線C積分轉(zhuǎn)

13、化為求被積函數(shù)在C內(nèi)各孤立奇點(diǎn)處的留數(shù).(1) 如果為的可去奇點(diǎn), 則如果 為 的一級(jí)極點(diǎn), 那末 a) (2) 如果為的本性奇點(diǎn), 則需將成洛朗級(jí)數(shù)求展開(kāi)(3) 如果為的極點(diǎn), 則有如下計(jì)算規(guī)則2)留數(shù)的計(jì)算方法 c)設(shè)及在如果那末為一級(jí)極點(diǎn), 且有都解析，如果 為 的 級(jí)極點(diǎn), 那末b) 1.留數(shù)定理 設(shè)函數(shù)在區(qū)域 D內(nèi)除有限個(gè)孤外處處解析, C 是 D內(nèi)包圍諸奇點(diǎn)的一條正向簡(jiǎn)單閉曲線, 則立奇點(diǎn)留數(shù)定理將沿封閉曲線C積分轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)在C內(nèi)各孤立奇點(diǎn)處的留數(shù).留數(shù)的應(yīng)用注1 計(jì)算閉路積分步驟1 明確積分曲線及內(nèi)部奇點(diǎn)2 確定奇點(diǎn)類型,計(jì)算留數(shù)3 應(yīng)用留數(shù)定理,求積分注2 計(jì)算定積分(不要求)注3 計(jì)算廣義積分(不要求)例2 指出函數(shù)在點(diǎn)的奇點(diǎn)特性.解即在的不論怎樣小的去心鄰域內(nèi), 的奇點(diǎn)存在, 函數(shù)的奇點(diǎn)為總有不是孤立奇點(diǎn).所以如果補(bǔ)充定義:時(shí),那末在解析.例3 中不含負(fù)冪項(xiàng),是的可去奇點(diǎn) . 例4 說(shuō)明為的可去奇點(diǎn).解 所以為的可去奇點(diǎn).無(wú)負(fù)冪項(xiàng)另解 的可去奇點(diǎn).為課堂練習(xí)求的奇點(diǎn), 如果是極點(diǎn), 指出它的級(jí)數(shù).答案(1)由于知是的一級(jí)零點(diǎn) .課堂練習(xí)是五級(jí)零點(diǎn)