微積分(上冊)第三章課件

1、微 積 分（上冊）第三章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)的基本概念第一節(jié)函數(shù)的求導(dǎo)法則第二節(jié)高 階 導(dǎo) 數(shù)第三節(jié)隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)第四節(jié)函數(shù)的微分及其應(yīng)用第五節(jié)導(dǎo)數(shù)的基本概念第 一節(jié)一、 引例變速直線運(yùn)動的瞬時(shí)速度1.設(shè)有一做直線運(yùn)動的物體，其位置函數(shù)s=s(t)，當(dāng)t=t0時(shí)，s0=s(t0).當(dāng)由時(shí)刻t0變到t0+t時(shí)，物體在t這段時(shí)間內(nèi)所走過的路程(見圖3-1)為 s=s(t0+t)s(t0)圖 3-1一、 引例一、 引例曲線切線的斜率2.設(shè)曲線y=f(x)的圖像如圖3-2所示，點(diǎn)M(x0,y0)為曲線上一定點(diǎn)，在曲線上另取一點(diǎn)M1(x0+x,y0+y)，點(diǎn)M1的位置取決于x，它是曲線

2、上一動點(diǎn).下面來求點(diǎn)M(x0,y0)處的切線的斜率.由圖3-2易知割線MM1的斜率K為一、 引例圖 3-2一、 引例當(dāng)點(diǎn)M1沿曲線趨向點(diǎn)M時(shí)，也就是當(dāng)x0時(shí)，割線MM1的極限位置就是曲線在點(diǎn)M的切線MT.顯然，這時(shí)割線MM1的傾角趨向于切線MT的傾角，則切線的斜率二、 導(dǎo)數(shù)的定義上面兩個(gè)實(shí)例的具體含義雖然不同，但是從抽象的數(shù)量關(guān)系來看，它們的本質(zhì)是一樣的，都?xì)w結(jié)為函數(shù)值的增量與自變量增量的比值的極限.我們把這種極限稱為函數(shù)的導(dǎo)數(shù).二、 導(dǎo)數(shù)的定義函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的導(dǎo)數(shù)的概念1.定義1二、 導(dǎo)數(shù)的定義【例1】二、 導(dǎo)數(shù)的定義函數(shù)y=f(x)在(a,b)上的導(dǎo)數(shù)的概念2.定義2若函數(shù)y=f

3、(x)在(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)，則稱y=f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo).也就是說對于該區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)x都有一個(gè)導(dǎo)數(shù)值f(x)與之對應(yīng)，故f(x)是該區(qū)間上的一個(gè)函數(shù)，稱為f(x)在該區(qū)間上的導(dǎo)函數(shù)，簡稱導(dǎo)數(shù)，記為f(x)，dy或者y，有時(shí)也記為df.顯然，f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)f(x0)等于導(dǎo)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的函數(shù)值.二、 導(dǎo)數(shù)的定義一般地，某函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是一個(gè)函數(shù)，我們稱之為導(dǎo)函數(shù)；而函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是一個(gè)數(shù)值，我們稱之為函數(shù)在這點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值.注二、 導(dǎo)數(shù)的定義由導(dǎo)數(shù)的定義可知，求函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)，可以分為以下三個(gè)步驟：(1)求增量y=f(x+x)f(x)；下面，就根據(jù)這三個(gè)

4、步驟來求一些比較簡單的函數(shù)的導(dǎo)數(shù).二、 導(dǎo)數(shù)的定義【例2】二、 導(dǎo)數(shù)的定義【例3】二、 導(dǎo)數(shù)的定義【例4】二、 導(dǎo)數(shù)的定義【例5】這就是說余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是負(fù)的正弦函數(shù).二、 導(dǎo)數(shù)的定義【例6】求函數(shù)f(x)=ax(a0,a1)的導(dǎo)數(shù).這就是指數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)公式.特殊地，當(dāng)a=e時(shí)，因lne=1，故有 (ex)=ex.上式表明，以e為底的指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)就是它本身，這是以e為底的指數(shù)函數(shù)的一個(gè)重要特性.二、 導(dǎo)數(shù)的定義分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，必須用導(dǎo)數(shù)的定義來求.注二、 導(dǎo)數(shù)的定義函數(shù)左、右導(dǎo)數(shù)的概念2.與函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的左、右極限概念類似，我們可以定義函數(shù)左、右導(dǎo)數(shù)的概念.二、 導(dǎo)數(shù)的

5、定義定義3二、 導(dǎo)數(shù)的定義定義4顯然，當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)在一點(diǎn)的左、右導(dǎo)數(shù)都存在且相等時(shí)，函數(shù)在該點(diǎn)才是可導(dǎo)的.二、 導(dǎo)數(shù)的定義(1)函數(shù)f(x)在a,b上是可導(dǎo)的，是指f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)可導(dǎo)，而且在左端點(diǎn)a處f+(a)存在，在右端點(diǎn)b處f(b)存在.(2)如果f(x)是分段函數(shù)，當(dāng)x0是分段函數(shù)的分界點(diǎn)時(shí)，需要用定義計(jì)算出左導(dǎo)數(shù)f(x0)和右導(dǎo)數(shù)f+(x0).若f(x0)與f+(x0)都存在且相等時(shí)，則f(x)在點(diǎn)x0可導(dǎo)，且有f (x0)=f(x0)=f+(x0)；若f(x0)f+(x0)時(shí)，則f(x)在點(diǎn)x=x0處不可導(dǎo).注二、 導(dǎo)數(shù)的定義【例9】二、 導(dǎo)數(shù)的定義【例10】三、

6、 導(dǎo)數(shù)的幾何意義設(shè)曲線y=f(x)如圖3-3所示，M0N=x,NM=y, 就是割線M0M的斜率.圖 3-3三、 導(dǎo)數(shù)的幾何意義當(dāng)x0時(shí)，點(diǎn)M沿曲線y=f(x)趨于點(diǎn)M0，割線M0M趨于它的極限位置M0T，而直線M0T是曲線y=f(x)在點(diǎn)M0處的切線.很明顯，當(dāng)x0時(shí)，有，于是有因此，函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)值f(x0)是曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0)處切線的斜率，即k=tan=f(x0).三、 導(dǎo)數(shù)的幾何意義【例11】求曲線y=x2在點(diǎn)(1,1)處的切線方程.解由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，y=x2的曲線在點(diǎn)(1,1)處的切線斜率為yx=1 =21=2，所以，曲線y=x2在點(diǎn)(1,1)

7、處的切線方程為y1=2(x1)，即2xy1=0.四、 函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系定理1也就是說函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)是在該點(diǎn)可導(dǎo)的必要條件而非充分條件.例如，函數(shù)f(x)=|x|在(,+)上連續(xù)，但x=0處的導(dǎo)數(shù)不存在.曲線f(x)=|x|在原點(diǎn)處沒有切線.四、 函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系【例12】設(shè)函數(shù)若要使f(x)為可導(dǎo)函數(shù)，應(yīng)如何選擇a,b？四、 函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系解當(dāng)x1和x0,a1)的導(dǎo)數(shù).二、 反函數(shù)的求導(dǎo)法則【例19】求y=arcsinx的導(dǎo)數(shù).二、 反函數(shù)的求導(dǎo)法則【例20】求y=arctanx的導(dǎo)數(shù).三、 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則定理6如果u=(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，而y=f(u)在點(diǎn)

8、u=(x)處可導(dǎo)，那么復(fù)合函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，并且其導(dǎo)數(shù)為或?qū)懗蓎x=yuux.證當(dāng)x有增量x時(shí)，u有增量u，從而y有增量y.當(dāng)u0時(shí)，有三、 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則由已知條件可得所以即yx=yuux.上述證明假定了當(dāng)|x|足夠小時(shí)，u0，如果該事實(shí)不成立，我們?nèi)阅茏C明該法則成立，證明過程請讀者思考.三、 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則注這個(gè)公式說明復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于復(fù)合函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù).該法則也稱為鏈?zhǔn)椒▌t，它可以推廣到多個(gè)中間變量的情形.假設(shè)有函數(shù)y=f(x)，它是由y=f(u),u=(v),v=(x)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，那么復(fù)合函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)為三、 復(fù)合函

9、數(shù)的求導(dǎo)法則【例22】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(1)y=sin 2x； (2)y=(1+2x)5；(3)y=tan(sinx)； (4)y=ln(x+1+x2).解(1)由y=sin u,u=2x,得y=yuux=cosu(2x)=2cos 2x.(2)由y=u5,u=1+2x，得y=yuux=(u5)(1+2x)=5u42=10u4=10(1+2x)4.(3)在熟練掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則后，中間變量可以不必寫出(默記在心里按法則逐步進(jìn)行)，于是有y=tan(sin x)=sec2(sin x)(sin x)=sec2(sin x)cos x=cos xsec2(sin x).三、 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法

10、則注對于初學(xué)者來說，求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是一個(gè)難點(diǎn).但若能夠熟悉復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程，并牢記“由外向里，逐層求導(dǎo)”的八字原則，則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)就會變得簡便易行.所謂“由外向里”，就是按照復(fù)合的層次，從最外面開始，依次向里；“逐層求導(dǎo)”就是一層一層地求下去，直到自變量為止.最后，把各層求的導(dǎo)數(shù)的結(jié)果乘起來即可.三、 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則【例23】y=cosln(1+2x)，求y.解該復(fù)合函數(shù)從最外層看是余弦函數(shù)，向里依次是對數(shù)函數(shù)、簡單函數(shù)1+2x.按照上面的八字原則，需要分別對余弦函數(shù)、對數(shù)函數(shù)及函數(shù)1+2x求導(dǎo)，然后乘積即得三、 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則【例24】求函數(shù)y=sin22x的導(dǎo)數(shù).解該函數(shù)是由

11、冪函數(shù)、正弦函數(shù)、簡單函數(shù)2x復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù).由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則得y=2sin2xcos 2x2=2sin 4x.三、 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則【例25】【例26】已知y=f(x2)sin f(x),f為可導(dǎo)函數(shù)，求y.解y=f(x2)sin f(x)+f(x2)sin f(x)=2xf(x2)sin f(x)+f(x2)f(x)cos f(x).三、 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則關(guān)于求導(dǎo)記號的幾點(diǎn)說明：(1)對于復(fù)合函數(shù)y=f(x)，如果不設(shè)中間變量，y表明y對自變量x求導(dǎo)；如果設(shè)有中間變量u=(x)，求y對自變量x求導(dǎo)，應(yīng)記成dydx或yx，否則就不容易區(qū)分y對自變量x求導(dǎo)還是對中間變量u求導(dǎo)；(2

12、)(f(x)表示復(fù)合函數(shù)對自變量x求導(dǎo)；而f(x)表示函數(shù)f(u)對中間變量u求導(dǎo)，其中u=(x).注高 階 導(dǎo) 數(shù)第 三 節(jié)第三節(jié) 高 階 導(dǎo) 數(shù) 當(dāng)x變化時(shí)，f(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)仍是一個(gè)關(guān)于x的函數(shù)，對于這個(gè)新的函數(shù)，如果可導(dǎo)，就可以將f(x)繼續(xù)對x進(jìn)行求導(dǎo)，從而得到“導(dǎo)了再導(dǎo)”的函數(shù)，這就是高階導(dǎo)數(shù).一、 高階導(dǎo)數(shù)的定義引列求變速直線運(yùn)動物體的瞬時(shí)加速度.一、 高階導(dǎo)數(shù)的定義分析如果物體的運(yùn)動方程為s=s(t)，則變速直線運(yùn)動的瞬時(shí)速度v是路程s對時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)，即而加速度a又是速度v對時(shí)間t的變化率，也就是速度v對時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)，即 于是這種導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù) 或(s)稱為s對t的二階導(dǎo)數(shù)，記

13、為s(t).所以，物體運(yùn)動的加速度就是路程s對時(shí)間t的二階導(dǎo)數(shù).一、 高階導(dǎo)數(shù)的定義一般地，如果函數(shù)y=fx的導(dǎo)數(shù)y=fx仍是x的可導(dǎo)函數(shù)，就稱y=fx的導(dǎo)數(shù)為函數(shù)y=fx的二階導(dǎo)數(shù)，記為相應(yīng)地，把y=fx的導(dǎo)數(shù)f(x)稱為函數(shù)y=fx的一階導(dǎo)數(shù).類似地,二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù),記為 三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為四階導(dǎo)數(shù),記為 一般地，fx的n1階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為fx的n階導(dǎo)數(shù)，記為一、 高階導(dǎo)數(shù)的定義二階或二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù).由高階導(dǎo)數(shù)的定義知，求函數(shù)y=fx的高階導(dǎo)數(shù)，只需連續(xù)多次求導(dǎo)數(shù)即可，因此仍可應(yīng)用前面的求導(dǎo)方法進(jìn)行計(jì)算.一、 高階導(dǎo)數(shù)的定義【例27】一、 高階導(dǎo)數(shù)的定義【例28】

14、求指數(shù)函數(shù)y=ax(a0,a1)的n階導(dǎo)數(shù).解y=axln a,y=axln2a,y“=axln3a,y(n)=axlnna,即 ax(n)=axlnna.特別地，ex(n)=ex.一、 高階導(dǎo)數(shù)的定義【例29】求正弦函數(shù)y=sinx的n階導(dǎo)數(shù).一、 高階導(dǎo)數(shù)的定義【例30】求冪函數(shù)y=x(R)的n階導(dǎo)數(shù).解y=x1，y=(1)x2，y=(1)(2)x3，y(4)=(1)(2)(3)x4.一般地，可得y(n)=(1)(2)(n+1)xn，即x(n)=(1)(2)(n+1)xn.當(dāng)=n時(shí)，得xn(n)=n(n1)(n2)321=n!,而xn(n+1)=0.一、 高階導(dǎo)數(shù)的定義【例31】設(shè)y=ln

15、(1+x)，求y(n).一、 高階導(dǎo)數(shù)的定義【例32】一、 高階導(dǎo)數(shù)的定義【例33】設(shè)f(x)具有任意階導(dǎo)數(shù)，且f(x)=f2(x)，求證：f(x)的n階導(dǎo)數(shù)f(n)(x)=n!fn+1(x).證由f(x)=f2(x)，得f(x)=2f(x)f(x)=2!f3(x)，f(x)=2!3f2(x)f(x)=3!f4(x).假設(shè)f(n1)(x)=(n1)!fn(x)，則f(n)(x)=(n1)!nfn1(x)f(x)=n!fn+1(x),所以原命題成立.二、 萊布尼茲公式如果函數(shù)u=ux與v=vx都在點(diǎn)x處具有n階導(dǎo)數(shù)，那么u(x)+v(x)與u(x)-v(x)在點(diǎn)x處都具有n階導(dǎo)數(shù)，且 u(x)v

16、(x)(n)=u(x)(n)v(x)(n),但乘積u(x)v(x)的n階導(dǎo)數(shù)卻并不如此簡單.由 u(x)v(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x)首先得出u(x)v(x)=u(x)v(x)+2u(x)v(x)+u(x)v(x)，u(x)v(x) =u (x)v(x)+3u(x)v(x)+3u(x)v(x)+u(x)v (x).二、 萊布尼茲公式用數(shù)學(xué)歸納法可以證明上式稱為萊布尼茲公式.二、 萊布尼茲公式【例34】設(shè)y=x2sin x,求y (20).解設(shè)u(x)=sinx,vx=x2,則由萊布尼茲公式知二、 萊布尼茲公式【例35】年齡在0至36個(gè)月之間的男嬰的平均體重可以表示成函數(shù)(t)=8

17、.15+1.82t0.059 6t2+0.000 758t3，其中t用月來度量，而用磅(1磅=0.454千克)來度量，求一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)男嬰體重增長的加速度.解 對(t)=8.15+1.82t0.059 6t2+0.000 758t3求導(dǎo)，得(t)=1.820.119 2t+0.002 274t2，(t)=0.119 2+0.004 548t,因此，一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)男嬰體重增長的加速度為(t)=0.119 2+0.004 548t.隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)第 四 節(jié)一、 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)函數(shù)y=fx表示變量y與x之間的對應(yīng)關(guān)系，這種對應(yīng)關(guān)系有不同的表達(dá)方式.例如，y=sin x,y=1+x等，其特點(diǎn)是

18、因變量y和含有自變量x的式子分別位于等號的兩邊，稱此類函數(shù)為顯函數(shù).而有些函數(shù)，因變量y與自變量x之間的關(guān)系以方程F(x,y)=0的形式出現(xiàn)，這樣的函數(shù)稱為隱函數(shù)，如ex+yxy=0，2xy+1=0等.有些隱函數(shù)容易化為顯函數(shù),如3x2+2y5=0可化為y=12(3x25);有些隱函數(shù)則很難化為顯函數(shù),如由方程ex+y=xy所確定的函數(shù).因此有必要找出直接由方程F(x,y)=0求出它所確定的隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)的方法.一、 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)y=fx是由方程F(x,y)=0所確定的隱函數(shù)，則Fx,f(x)0.由于此式左端是將y=fx代入F(x,y)所得到的復(fù)合函數(shù)，因此，根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則將等式兩邊同時(shí)對

19、自變量x求導(dǎo)(函數(shù)y看成是x的函數(shù),y的函數(shù)看成以y為中間變量的復(fù)合函數(shù)),得到一個(gè)關(guān)于 的方程,然后從中解出 即可.一、 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【例36】求由方程x2+xy+y2=4所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y.解這里要注意的是：y是x的函數(shù)，則xy或y2就是x的復(fù)合函數(shù)，只不過中間變量為y.將方程兩邊分別對x求導(dǎo)，得 2x+y+xy+2yy=0，解方程求出y，得一、 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【例37】求由方程2x2y2+xcosy=12所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解方程兩邊同時(shí)對x求導(dǎo)，有一、 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【例38】求拋物線y2=4x(見圖3-4)在點(diǎn)(1,2)處的切線方程.圖 3-4一、 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解先求切線的斜率.在

20、方程兩邊對x求導(dǎo)得 2yy=4，從而在點(diǎn)(1,2)處的切線的斜率 于是所求的切線方程為 y2=x1，即y=x+1.一、 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【例40】求函數(shù)y=2xx的導(dǎo)數(shù).一、 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【例41】一、 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)本例如果直接用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是很復(fù)雜的，而使用對數(shù)求導(dǎo)法可使運(yùn)算級別降低，從而比較方便.對數(shù)求導(dǎo)法適宜于多個(gè)函數(shù)的乘積、乘方、開方及冪指函數(shù)的求導(dǎo).注二、 由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一般地，如果參數(shù)方程 (3-1)確定了y與x之間的函數(shù)關(guān)系，則稱此函數(shù)為由參數(shù)方程(3-1)確定的函數(shù).在實(shí)際問題中，有時(shí)我們需要計(jì)算由參數(shù)方程(3-1)所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然而從參數(shù)方程

21、(3-1)中消去參數(shù)t有時(shí)會有一定的困難.因此，我們希望有一種方法能直接由參數(shù)方程算出它所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來.下面就來討論由參數(shù)方程(3-1)所確定的函數(shù)的求導(dǎo)方法.二、 由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在參數(shù)方程(3-1)中，若函數(shù)x=(t)具有單調(diào)連續(xù)反函數(shù)t=1(x)，且此反函數(shù)能與函數(shù)y=(t)構(gòu)成復(fù)合函數(shù)，那么由參數(shù)方程(3-1)所確定的函數(shù)可以看成是由函數(shù)y=(t)，t=1(x)復(fù)合而成的函數(shù)y=1(x).現(xiàn)在，要計(jì)算這個(gè)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù).為此再假定函數(shù)x=(t)，y=(t)都可導(dǎo)，而且(t)0.于是根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，則二、 由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(3-2)二、 由參數(shù)方程確定的函

22、數(shù)的導(dǎo)數(shù)【例42】二、 由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【例43】二、 由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【例44】三、 相關(guān)變化率設(shè)x=x(t)及y=y(t)都是可導(dǎo)函數(shù),如果變量x與y之間存在某種關(guān)系,則它們的變化率 與 之間也存在一定關(guān)系,這樣兩個(gè)相互依賴的變化率稱為相關(guān)變化率.相關(guān)變化率問題就是研究兩個(gè)變化率之間的關(guān)系，以便從其中一個(gè)變化率求出另一個(gè)變化率.注三、 相關(guān)變化率【例45】設(shè)氣體以100 cm3/min的速率充入球狀的氣球，求在半徑為10 cm時(shí)，氣球半徑增加的速率(設(shè)氣體壓力不變).解設(shè)在時(shí)刻t氣球的體積為V，半徑為r,則函數(shù)的微分及其應(yīng)用第 五 節(jié)第五節(jié) 函數(shù)的微分及其應(yīng)用前面介紹的

23、導(dǎo)數(shù)是描述函數(shù)在某點(diǎn)處的變化率.有時(shí)還需要考慮某點(diǎn)處當(dāng)自變量有較小改變時(shí)，函數(shù)值相應(yīng)的增量大小，而要精確計(jì)算函數(shù)值的增量往往很復(fù)雜，于是引入微分的概念.一、 引例引列1求自由落體運(yùn)動中，物體由時(shí)刻t到t+t所經(jīng)過路程的近似值.一、 引例分析自由落體的路程s與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系是s=12gt2，當(dāng)時(shí)間從t到t+t時(shí)，路程s有相應(yīng)的增量上式中，gtt是t的線性函數(shù)，12g(t)2是當(dāng)t0時(shí)比t高階的無窮小.因此，當(dāng)|t|很小時(shí)，可以把12g(t)2忽略，而得到路程增量的近似值 sgtt.一、 引例引列2一塊正方形均勻鐵板(見圖3-5)，受熱膨脹后邊長由x0變到x0+x，問面積y改變了多少？圖 3-5

24、一、 引例分析分析設(shè)此鐵板的邊長為x,則面積y是x的函數(shù)：y=x2.鐵板受溫度變化影響時(shí)，面積的增量可以看成是當(dāng)自變量x自x0取得增量x時(shí),函數(shù)y相應(yīng)的增量y,即 y=x0+x2-x20=2x0 x+x2.上式中，2x0 x是x的線性函數(shù)，它是y的主要部分；y的另一部分是x2，它是y的次要部分，當(dāng)x很小時(shí)，x2比2x0 x要小得多，也就是說，當(dāng)x很小時(shí)，面積增量y可以近似地用2x0 x表示，即 y2x0 x,一、 引例由此式作為y的近似值，略去的部分x2是比x高階的無窮小.這兩個(gè)問題的實(shí)際意義雖然不同，但在數(shù)量關(guān)系上卻具有相同的特點(diǎn)：函數(shù)的增量可以表示成兩部分，一部分為自變量增量的線性函數(shù)，另

25、一部分是當(dāng)自變量增量趨于零時(shí)，比自變量增量高階的無窮小.據(jù)此特點(diǎn)，便形成了微分的概念.二、 微分的定義設(shè)函數(shù)y=f(x)在某區(qū)間內(nèi)有定義,x0及x0+x在這區(qū)間內(nèi),如果函數(shù)的增量y=f(x0+x)f(x0)可表示為 y=Ax+o(x),其中A是與x無關(guān)的常數(shù),則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0可微,并且稱Ax為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處相應(yīng)于自變量增量x的微分,記為dyx=x0,即 dyx=x0=Ax.下面討論可微與可導(dǎo)之間的關(guān)系.二、 微分的定義定理7函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可微的充分必要條件是函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，且當(dāng)f(x)在點(diǎn)x0可微時(shí)，其微分 dyx=x0=f(x0)x.證必要

26、性.函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可微,即y=Ax+o(x)，有二、 微分的定義【例46】求函數(shù)y=1+3x2在x=1,x=0.01時(shí)的增量及微分.函數(shù)y=fx在任意點(diǎn)x的微分，稱為函數(shù)的微分，記為dy或df(x)，即 dy=f(x)x.為了統(tǒng)一記號，通常把自變量x的增量稱為自變量的微分，記為dx，即dx=x，于是函數(shù)y=fx的微分又可記為 dy=fxdx.二、 微分的定義【例47】三、 微分的幾何意義下面我們來討論微分的幾何意義，這樣大家能對微分有比較直觀的了解.在直角坐標(biāo)系中，已知曲線y=f(x)及其上一點(diǎn)M(x0,y0)和鄰近點(diǎn)N(x0+x,y0+y)，由圖3-6可見圖 3-6三、 微分的幾

27、何意義 MQ=x,QN=y，過點(diǎn)M作曲線的切線MT交QN于點(diǎn)P，它的傾角為，則 QP=MQtan =f(x0)x，即dy=QP.由此可見，當(dāng)自變量有增量x時(shí)，y=f(x)在點(diǎn)x0處的微分dy等于曲線在點(diǎn)M(x0,y0)處的切線的縱坐標(biāo)的改變量.四、 微分基本公式及運(yùn)算法則由微分定義知，函數(shù)的微分是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f(x)乘以自變量的微分dx，所以只要把導(dǎo)數(shù)表中的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算公式都乘以dx，就得到相應(yīng)函數(shù)的微分表和微分的運(yùn)算法則.四、 微分基本公式及運(yùn)算法則微分公式表1.四、 微分基本公式及運(yùn)算法則微分的四則運(yùn)算法則2.四、 微分基本公式及運(yùn)算法則復(fù)合函數(shù)的微分法則3.與復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則相對應(yīng)的復(fù)合函數(shù)的微分法則可推導(dǎo)如下.若u=(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，y=f(u)在點(diǎn)u處可導(dǎo)，則 dy=fuxdx=fudx=fudu.由此可見，對于y=f(u)來說，不論u是自變量還