數(shù)字信號處理第一章離散時間信號與系統(tǒng)課件

1、第一章 離散時間信號與系統(tǒng)1.1 離散時間信號序列1.2 線性移不變系統(tǒng)1.3 線性常系數(shù)差分方程1.4 連續(xù)時間信號的抽樣1.1 離散時間信號序列 信號是傳遞信息的函數(shù)。針對信號的自變量（時間）和幅值的取值情況，可分為：（1）連續(xù)時間信號時間取連續(xù)值，幅值可連續(xù)可離散。 模擬信號：時間取連續(xù)值，幅值連續(xù) 量化信號：時間取連續(xù)值，幅值離散（2）離散時間信號時間取離散值，幅值可連續(xù)可離散。數(shù)字信號時間和幅值均取離散值。 抽樣信號時間取離散值，幅值連續(xù)(3)模擬信號，抽樣信號，數(shù)字信號的關(guān)系數(shù)字信號：時間和幅值均為離散 的信號。模擬信號：時間和幅值均為連續(xù) 的信號。抽樣信號：時間離散的，幅值 連續(xù)

2、的信號。量化抽樣信號 連續(xù)離散模擬量化抽樣數(shù)字:幅值、時間連續(xù):幅值離散、時間連續(xù):時間離散、幅值連續(xù):幅值、時間離散1.1 離散時間信號序列離散時間信號一般是對模擬信號 xa(t) 進行等間隔采樣獲得的，采樣間隔為T，得到：一、離散時間信號序列的概念0txa(t)0 xa(nT)tT2T1.1 離散時間信號序列對于不同的 n 值，xa(nT) 是一個有序的數(shù)字序列，該數(shù)字序列就是離散時間信號。注意，這里的n取整數(shù)，非整數(shù)時無定義。離散時間信號的表示方法：公式法、圖形法、集合法。1.1 離散時間信號序列二、常用序列1. 單位抽樣序列(n)01/tp(t)0(1)t(t)1n0(n)1.1 離散

3、時間信號序列2. 單位階躍序列u(n)t0u(t)10nu(n)1.1 離散時間信號序列(n)與u(n)之間的關(guān)系令n-k=m，有1.1 離散時間信號序列3. 矩形序列RN(n)N為矩形序列的長度0nR4(n)1231.1 離散時間信號序列4. 實指數(shù)序列，a為實數(shù)0n0a1a-1或-1a0,序列的幅值擺動0n-1a00na0 時，序列右移延遲當(dāng) n00 時，序列左移超前x(n)n0n0 x(n-2)1.1 離散時間信號序列4. 序列的翻轉(zhuǎn)n0 x(-n) x(-n)是x(n)的翻轉(zhuǎn)序列。x(-n)是以縱軸（n=0）為對稱軸將序列x(n)加以翻轉(zhuǎn)。x(n)n01.1 離散時間信號序列5. 尺度

4、變換x(n)n0n0 x(2n)是序列每隔m點取一點形成的，相當(dāng)于時間軸n壓縮了m倍。抽取序列是序列相鄰抽樣點間補（m1)個零值點，表示零值插值。插值序列1.1 離散時間信號序列6. 累加（等效積分）7. 差分運算 前向差分 后向差分8. 卷積和等效為翻褶、移位、相乘和相加四個步驟。1.1 離散時間信號序列1.2 線性移不變系統(tǒng)離散時間系統(tǒng)Tx(n)y(n)系統(tǒng)可定義為將輸入序列x(n)映射成輸出序列y(n)的唯一變換或運算，并用T表示，即1.2.1 線性系統(tǒng)若系統(tǒng)滿足可加性與比例性,則稱此系統(tǒng)為離散時間線性系統(tǒng)。其中a、b為任意常數(shù)。設(shè)例是線性系統(tǒng)。證：所以，此系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。例所代表的系統(tǒng)

5、不是線性系統(tǒng)。證：但是所以，此系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)。1.2.2 時不變系統(tǒng)（移不變系統(tǒng)）時不變系統(tǒng)Tx(n)y(n)若則n0為任意整數(shù)。輸入時移n0位，其輸出也時移n0位，而幅值卻保持不變。例判斷系統(tǒng)證：所以，此系統(tǒng)是時不變系統(tǒng)。的時不變性。證：所以，此系統(tǒng)不是時不變系統(tǒng)。同理，可證明 所代表的系統(tǒng)不是時不變系統(tǒng)。例判斷系統(tǒng)的時不變性。1.2.3 單位沖激響應(yīng)與卷積和T(n)h(n)一個既滿足疊加原理，又滿足時不變條件的系統(tǒng)，被稱為線性時不變系統(tǒng)(linear shift invariant,LTI)。線性時不變系統(tǒng)可用它的單位沖激響應(yīng)來表征。 單位沖激響應(yīng)，也稱單位抽樣響應(yīng)，是指輸入為單位沖激序

6、列時系統(tǒng)的輸出，一般用h(n)來表示：根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加性質(zhì)又根據(jù)時不變性質(zhì)設(shè)系統(tǒng)的輸入用x(n)表示，而因此，系統(tǒng)輸出為通常把上式稱為離散卷積或線性卷積或卷積和。這一關(guān)系常用符號“*”表示：1.2.3單位沖激響應(yīng)與卷積和線性時不變系統(tǒng)的一個重要特性是它的輸入與輸出序列之間存在著線性卷積關(guān)系：用單位抽樣響應(yīng)h(n)來描述系統(tǒng)h(n)x(n)y(n)1.2.3單位沖激響應(yīng)與卷積和線性卷積的計算計算步驟如下： (1)翻褶：先在坐標(biāo)軸m上畫出x(m)和h(m)，將h(m)以縱坐標(biāo)為對稱軸折疊成 h(-m)。 (2)移位：將h(-m)移位n，得h(n-m)。當(dāng)n為正數(shù)時，右移n；當(dāng)n為負(fù)數(shù)時，左移n。

7、 (3)相乘：將h(n-m)和x(m)的對應(yīng)點值相乘。 (4)相加：把所有的乘積累加起來，即得y(n)。 例已知x(n)和h(n)分別為：和a為常數(shù)，且1a，試求x(n)和h(n)的線性卷積。 計算線性卷積時，一般要分幾個區(qū)間分別加以考慮，下面舉例說明。 解參看圖，分段考慮如下：(1)對于n4，且n-60，即46，且n-64，即64，即n10。0nx(n)40nh(n)6n-6mh(n-m) n圖解說明0mx(m)40mh(m)6-6mh(0-m)06(1) n0n-6mh(n-m)n0(3) 4n6n-6mh(n-m)n046n-6mh(n-m)n06(4) 610n-6mh(n-m)n04

8、(2) 0n4n-6mh(n-m)n04圖解說明(1) n0n-6mh(n-m)n00mx(m)4(2)在0n4區(qū)間上n-6mh(n-m)n040mx(m)4(3)在4n6區(qū)間上n-6mh(n-m)n0460mx(m)4(4)在6n10區(qū)間上n-6mh(n-m)n06100mx(m)4綜合以上結(jié)果，y(n)可歸納如下：卷積結(jié)果y(n)如圖所示 6ny(n)1004例設(shè)有一線性時不變系統(tǒng)，其單位 沖激響應(yīng)為解：分段考慮如下：(1)對于n0；(2)對于0n N1；(3)對于nN。試求x(n)和h(n)的線性卷積。(2)在0nN 區(qū)間上(3)在nN 區(qū)間上(1)(2)(3)y(n)例設(shè)有一線性時不變

9、系統(tǒng)，其3142x(m)m01234215h(m)m10234解：m0-2-3-4-11h(-m)-3-1120mh(1-m)-23-1120mh(2-m)-2ny(n)-1120-2345665241322103142x(m)m01234對有限長序列相卷，可用豎乘法注：1. 各點要分別乘、分別加且不跨點進位； 2. 卷積結(jié)果的起始序號等于兩序列的起始序號之和。由上面幾個例子的討論可見，對于h(n)x(n)y(n)設(shè)x(n)和h(n)兩序列的長度分別是N 和M ，線性卷積后的序列長度為(N + M -1)。線性卷積的性質(zhì)：1.交換律h(n)x(n)y(n)x(n)h(n)y(n)2.結(jié)合律h1

10、(n)x(n)y(n)h2(n)h1(n) h2(n)x(n)y(n)線性卷積的性質(zhì)：3.分配律h1(n)x(n)y(n)h2(n)+h1(n)+ h2(n)x(n)y(n)線性卷積的性質(zhì)：4.序列與單位沖激序列的線性卷積線性卷積的性質(zhì)：例h1(n)x(n)y(n)h2(n)求系統(tǒng)的輸出y(n)。m(n)解：設(shè)級聯(lián)的第一個系統(tǒng)輸出 m(n)1.2.4 系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性在系統(tǒng)中，若輸出y(n)只取決于n時刻，以及n時刻以前的輸入，即稱該系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。對于線性時不變系統(tǒng)，具有因果性的充要條件是系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)滿足：如因果系統(tǒng)是指輸出的變化不領(lǐng)先于輸入的變化的系統(tǒng)。1.因果系統(tǒng)2.穩(wěn)定系統(tǒng)對

11、一個線性時不變系統(tǒng)來說，系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是單位取樣響應(yīng)絕對可和，即穩(wěn)定系統(tǒng)是指對于每個有界輸入x(n)，都產(chǎn)生有界輸出y(n)的系統(tǒng)。即如果|x(n)|M(M為正常數(shù))，有|y(n)|+，則該系統(tǒng)被稱為穩(wěn)定系統(tǒng)。 1.2.4 系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性例設(shè)某線性時不變系統(tǒng)，其單位沖激響應(yīng)為式中a是實常數(shù)，試分析該系統(tǒng)的因果穩(wěn)定性。 解：由于n0時，h(n)=0，故此系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。所以 時，此系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。例設(shè)某線性時不變系統(tǒng)，其單位沖激響應(yīng)為式中a是實常數(shù)，試分析該系統(tǒng)的因果穩(wěn)定性。 解：(1)討論因果性由于n0時，h(n)0，故此系統(tǒng)是非因果系統(tǒng)。 (2)討論穩(wěn)定性所以 時，此系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)

12、。1.3 線性常系數(shù)差分方程一個N 階線性常系數(shù)差分方程用下式表示：連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng) 線性常系數(shù)微分方程離散時間線性時不變系統(tǒng) 線性常系數(shù)差分方程求解差分方程的基本方法有三種：經(jīng)典法求齊次解、特解、全解遞推法求解時需用初始條件啟動計算變換域法將差分方程變換到Z域進行求解例設(shè)差分方程為求輸出序列 ？ 假設(shè)輸入為，初始條件為解：1.3 線性常系數(shù)差分方程依次類推綜合初始條件1.3 線性常系數(shù)差分方程延時延時a0 x(n)x(n)a1x(n-1)-b1y(n-1)a0 x(n-1)a1-b1y(n)差分方程表示法是可直接得到系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)1.3 線性常系數(shù)差分方程1.4 連續(xù)時間信號的抽樣連續(xù)時間

13、信號離散時間信號抽樣內(nèi)插信號經(jīng)過采樣以后，將發(fā)生一些什么變化？例如，信號頻譜將發(fā)生怎樣變化；經(jīng)過采樣后信號內(nèi)容會不會有丟失；如果信號沒有被丟失，其反變換應(yīng)該怎樣進行，即由數(shù)字信號恢復(fù)成模擬信號應(yīng)該具備那些條件等。 ？抽樣是什么？S0tT2T0tP(t)T0txa(t)最高頻率為fc 理想抽樣1.4.1 理想抽樣概念xa(t)P(t)0txa(t)0t0tT1T定義單位沖激函數(shù)t0 (t)(1)單位沖激函數(shù)的抽樣性：若f(t)為連續(xù)函數(shù)，則有將上式推廣，可得t0 (t-t0)1.4.1 理想抽樣概念即即-11.4.1 理想抽樣抽樣信號的頻譜由于 是周期函數(shù)可用傅立葉級數(shù)表示，即采樣角頻率系數(shù)1.

14、4.1 理想抽樣抽樣信號的頻譜1.4.1 理想抽樣抽樣信號的頻譜對稱性移頻特性根據(jù)1.4.1 理想抽樣抽樣信號的頻譜0(S)S2S-S-2SS1.4.1 理想抽樣抽樣信號的頻譜1.4.1 理想抽樣抽樣信號的頻譜即抽樣信號的頻譜是原模擬信號頻譜的周期延拓，其延拓周期為s 。1.4.1 理想抽樣抽樣信號的頻譜討論： S/2CS2S3S0-S(c)-CCS/20(a)最高截止頻率S/20-S2SS(b)1.4.1 理想抽樣抽樣定理Nyquist頻率折疊頻率CS/2S0-S抽樣定理 ：要想抽樣后能夠不失真地還原出原信號，則抽樣頻率必須大于兩倍原信號頻譜的最高截止頻率（s2C）。由上面的分析有，頻譜發(fā)生混疊的原因有兩個：1.采樣頻率低2.連續(xù)信號的頻譜沒有被限帶1.4.1 理想抽樣抽樣定理0C 2C 3C 4C 可選s =(34)C 低通采樣1.4.1 理想抽樣抽樣定理對于頻帶非帶限信號1.頻域分析且在 時，0TS/2-S/2 G(j)g(t)1.4.2 抽樣的恢復(fù)（信號重建）時，0001.4.2 抽樣的恢復(fù)（信號重建）2.時域分析g(t)時，0T1.4.2 抽樣的恢復(fù)（信號重建）或稱為內(nèi)插函數(shù)1.4.2 抽樣的恢復(fù)（信號重建）抽樣內(nèi)插公式抽樣內(nèi)插公式表明：只要滿足采樣頻率高于兩倍信號最高截止頻率，則整個連續(xù)時間信號就可以用