注冊巖土工程師基礎(chǔ)培訓(xùn)資料無窮級數(shù)和微分

1、 無窮級數(shù)一、數(shù)項級數(shù)二、冪級數(shù)討論斂散性求收斂范圍，將函數(shù)展開為冪級數(shù)，求和。1.數(shù)項級數(shù)及收斂定義：給定一個數(shù)列將各項依即稱上式為無窮級數(shù)，其中第 n 項叫做級數(shù)的一般項,級數(shù)的前 n 項和稱為級數(shù)的部分和.次相加, 簡記為收斂 ,則稱無窮級數(shù)并稱 S 為級數(shù)的和。 等比級數(shù)(又稱幾何級數(shù))( q 稱為公比 ). 級數(shù)收斂 ,級數(shù)發(fā)散 .其和為P-級數(shù)2.無窮級數(shù)的基本性質(zhì) 性質(zhì)1.設(shè) c 是非零常數(shù)，則級數(shù)收斂于 S ,則有相同的斂散性。若與收斂于 c S .性質(zhì)2. 設(shè)有兩個收斂級數(shù)則級數(shù)也收斂, 其和為說明:(2) 若兩級數(shù)中一個收斂一個發(fā)散 , 則必發(fā)散 . 但若二級數(shù)都發(fā)散 ,不

2、一定發(fā)散.(1) 性質(zhì)2 表明收斂級數(shù)可逐項相加或減 .(用反證法可證)性質(zhì)3.在級數(shù)前面加上或去掉有限項, 不會影響級數(shù)的斂散性.性質(zhì)5：設(shè)收斂級數(shù)則必有可見: 若級數(shù)的一般項不趨于0 , 則級數(shù)必發(fā)散 .*例1.判斷下列級數(shù)的斂散性: (比較審斂法)設(shè)且存在對一切有(1) 若強(qiáng)級數(shù)則弱級數(shù)(2) 若弱級數(shù)則強(qiáng)級數(shù)則有收斂 ,也收斂 ;發(fā)散 ,也發(fā)散 .是兩個正項級數(shù), (常數(shù) k 0 ),3.正項級數(shù)審斂法 (比較審斂法的極限形式)則有兩個級數(shù)同時收斂或發(fā)散 ;(2) 當(dāng) l = 0 (3) 當(dāng) l = 設(shè)兩正項級數(shù)滿足(1) 當(dāng) 0 l 時,的斂散性. 例3. 判別級數(shù)解:根據(jù)比較審斂法

3、的極限形式知發(fā)散比值審斂法 ( Dalembert 判別法)設(shè) 為正項級數(shù), 且則(1) 當(dāng)(2) 當(dāng)時, 級數(shù)收斂 ;或時, 級數(shù)發(fā)散 . 根值審斂法 ( Cauchy判別法)設(shè) 為正項級數(shù), 且則因此級數(shù)收斂.解:4.交錯級數(shù)及其審斂法 則各項符號正負(fù)相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù) . ( Leibnitz 判別法 ) 若交錯級數(shù)滿足條件:則級數(shù)收斂 。5.絕對收斂與條件收斂 定義: 對任意項級數(shù)若若原級數(shù)收斂, 但取絕對值以后的級數(shù)發(fā)散, 則稱原級收斂 ,數(shù)絕對收斂 ；則稱原級數(shù)條件收斂 . 絕對收斂的級數(shù)一定收斂 .由絕對收斂概念和萊布尼茲定理知:交錯級數(shù)例5. 證明下列級數(shù)絕對收斂 :證:

4、而收斂 ,收斂因此絕對收斂 .判斷數(shù)項級數(shù)斂散的方法1、利用已知結(jié)論：等比級數(shù)、P-級數(shù)及級數(shù)性質(zhì)2、利用必要條件：主要判別發(fā)散3、求部分和數(shù)列的極限4、正項級數(shù)的審斂法1）比值審斂法（根值審斂法）2）比較審斂法（或極限形式）5、交錯級數(shù)審斂法：萊布尼茲定理6、一般級數(shù)審斂法：先判斷是否絕對收斂，如果絕對收斂則一定收斂；否則判斷是否條件收斂發(fā) 散發(fā) 散收 斂收斂發(fā)散 1.Abel定理 若冪級數(shù)則對滿足不等式的一切 x 冪級數(shù)都絕對收斂.反之, 若當(dāng)?shù)囊磺?x , 該冪級數(shù)也發(fā)散 . 時該冪級數(shù)發(fā)散 ,則對滿足不等式二、求冪級數(shù)收斂域*例6.已知冪級數(shù)在處收斂，則該級數(shù)在處是收斂還是發(fā)散？若收斂

5、，是條件收斂還是絕對收斂？解：由Abel定理 ，該冪級數(shù)在處絕對收斂，故在絕對收斂。例7. 已知處條件收斂 , 問該級數(shù)收斂半徑是多少 ?答:根據(jù)Abel 定理可知, 級數(shù)在收斂 ,時發(fā)散 .故收斂半徑為若的系數(shù)滿足1) 當(dāng) 0 時,2) 當(dāng) 0 時,3) 當(dāng) 時,則 的收斂半徑為2.求收斂半徑對端點 x =1, 的收斂半徑及收斂域.解:對端點 x = 1, 級數(shù)為交錯級數(shù)收斂; 級數(shù)為發(fā)散 . 故收斂域為例8.求冪級數(shù) 例9.的收斂域.解: 令 級數(shù)變?yōu)楫?dāng) t = 2 時, 級數(shù)為此級數(shù)發(fā)散;當(dāng) t = 2 時, 級數(shù)為此級數(shù)條件收斂;因此級數(shù)的收斂域為故原級數(shù)的收斂域為即三、求函數(shù)的冪級數(shù)

6、展開式1、對函數(shù)作恒等變形（如果需要的話）2、利用已知結(jié)論，用變量代換或求導(dǎo)積分得所求函數(shù)的冪級數(shù)3、寫出收斂范圍的冪級數(shù)展開式展開成解：例10.求函數(shù)四、求冪級數(shù)的和函數(shù)這是冪級數(shù)展開問題的逆問題，利用已知結(jié)論或求導(dǎo)積分，求冪級數(shù)在收斂域內(nèi)的和函數(shù)。微分方程一、微分方程的基本概念二、解微分方程含未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的方程叫做微分方程 .方程中所含未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)叫做微分方程一、微分方程的基本概念的階.例如：一階微分方程二階微分方程 使方程成為恒等式的函數(shù).通解 解中所含獨立的任意常數(shù)的個數(shù)與方程 確定通解中任意常數(shù)的條件.初始條件(或邊值條件):的階數(shù)相同.特解微分方程的解 不含任意常數(shù)的

7、解, 定解條件 其圖形稱為積分曲線.例1. 驗證函數(shù)是微分方程的解.解: 是方程的解 .二、解微分方程1. 一階微分方程可分離變量，一階線性2. 高階微分方程可降階微分方程，二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)，二階線性常系數(shù)齊次微分方程求解。分離變量方程的解法:(2)兩邊積分 (3)得到通解稱為方程的隱式通解, 或通積分.(1)分離變量*例2. 求微分方程的通解.解: 分離變量得兩邊積分得即( C 為任意常數(shù) )因此可能增、減解.一階線性微分方程一階線性微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式:若 Q(x) 0, 若 Q(x) 0, 稱為非齊次方程 .稱為齊次方程 ;解*例3.利用一階線性方程的通解公式得：令因此即同理可得依次

8、通過 n 次積分, 可得含 n 個任意常數(shù)的通解 .型的微分方程 例5.求解 解: 型的微分方程 設(shè)原方程化為一階方程設(shè)其通解為則得再一次積分, 得原方程的通解例6. 求解解: 代入方程得分離變量積分得利用于是有兩端再積分得利用因此所求特解為型的微分方程 令故方程化為設(shè)其通解為即得分離變量后積分, 得原方程的通解例7. 求解代入方程得兩端積分得故所求通解為解:定理 1.是二階線性齊次方程的兩個線性無關(guān)特解, 則數(shù)) 是該方程的通解.例如, 方程有特解且常數(shù),故方程的通解為二階線性齊次方程解的結(jié)構(gòu)特征方程:實根 特 征 根通 解二階線性常系數(shù)齊次微分方程求解例9.的通解.解: 特征方程特征根:因此原方程的通解為例10. 求解初值問題解: 特征方程有重根因此原方程的通解為利用初始條件得于是所求初值問題的解為*例