2015年全國(guó)高校自主招生數(shù)學(xué)模擬試卷

1、2015 年高校招生數(shù)學(xué)模擬試卷十二一、選擇題(36 分)1已知數(shù)列xn滿足 xn+1=xnxn1(n2)，x1=a， x2=b， 記 Sn=x1+x2+xn，則下列結(jié)論正確的是 (A)x100a，S100=2ba (C)x100b，S100=ba(B)x100b，S1002ba (D)x100a，S100baAE CF如圖，正四面體 ABCD 中，E 在棱 AB 上，F(xiàn) 在棱 CD 上，使得EB=FD= (0 f()f()f()(D) f()f()f()f()34(A)f()f()f()f()(C) f()f()f()f()6如果空間三條直線 a，b，c 兩兩成異面直線，那么與 a，b，c

2、都相交的直線有(A) 0 條(B) 1 條(C)多于 1的有限條(D) 無(wú)窮多條二填空題(每小題 9 分，共 54 分)(x1)3(x1)=1，則 x+y .1設(shè) x，y 為實(shí)數(shù)，且滿足(y1)=13(y1)y22過(guò)雙曲線 x2 2 =1 的右焦點(diǎn)作直線 l 交雙曲線于 A、B 兩點(diǎn)，若實(shí)數(shù) 使得|AB| 的直線 l 恰有 3 條，則 =.1已知復(fù)數(shù) z 滿足2z+z=1，則 z 的幅角主值范圍是已知三棱錐 SABC 的底面是以 AB 為斜邊的等腰直角三角形，SA=SB=SC=2，AB=2，設(shè) S、A、B、C 四點(diǎn)均在以 O 為球心的某個(gè)球面上，則點(diǎn) O 到平面 ABC 的距離為設(shè) ABCDE

3、F 為正六邊形，一只青蛙開(kāi)始在頂點(diǎn) A 處，它每次可隨意地跳到相鄰兩頂點(diǎn)之一若在 5 次之內(nèi)跳到 D 點(diǎn)，則停止跳動(dòng)；若 5 次之內(nèi)不能到達(dá) D 點(diǎn)，則跳完 5 次也停止跳動(dòng)，那么這只青蛙從開(kāi)始到停止，可能出現(xiàn)的不同跳法共種設(shè) a logz+logx(yz)1+1，b logx1+log(xyz+1)，c logy+log(xyz)1+1，記 a，b，c 中最大數(shù)為 M，則 M 的最小值為三、（20 分） 設(shè) xyz ，且 x+y+z ，求乘積 cosx siny cosz 的最大值和最小值122四、(20 分)設(shè)雙曲線 xy1 的兩支為 C1，C2(如圖)，正三角形 PQR 的三頂點(diǎn)位于此雙

4、曲線上求證：P、Q、R 不能都在雙曲線的同一支上；設(shè) P(1，1)在 C2 上， Q、R 在 C1 上，求頂點(diǎn) Q、R 的坐標(biāo)五、(20 分)設(shè)非零復(fù)數(shù) a1，a2，a3，a4，a5 滿足a2 a3 a4 a5= = = ，a1 a2 a3 a41 1 1 1 1a +a +a +a +a =4( + + + + )=S12345a a a a a12345其中 S 為實(shí)數(shù)且|S|2求證：復(fù)數(shù) a1，a2，a3，a4，a5 在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于同一圓周上2013 年高校招生數(shù)學(xué)模擬試卷十二參考一、選擇題(每小題 6 分，共 36 分)1已知數(shù)列xn滿足 xn+1=xnxn1(n2)，x1=

5、a， x2=b， 記 Sn=x1+x2+xn，則下列結(jié)論正確的是 (A)x100a，S100=2ba (C)x100b，S100=ba(B)x100b，S1002ba (D)x100a，S100ba解：x1=a，x2=b，x3=ba，x4=a，x5=b，x6=ab，x7=a，x8=b，此數(shù)列循環(huán)，xn+6=xn，于是 x100=x4=a，又 x1+x2+x3+x4+x5+x6=0，故 S100=2ba選 AAE CF如圖，正四面體 ABCD 中，E 在棱 AB 上，F(xiàn) 在棱 CD 上，使得EB=FD= (0+)，記 f()=+ 其中 表示 EF 與 AC 所成的角， 表示 EF 與 BD 所成

6、的角，則f()在(0，+)單調(diào)增加f()在(0，+)單調(diào)減少f() 在(0，1)單調(diào)增加，而在(1，+單調(diào)減少f()在(0，+)為常數(shù)AE CG CF解：作 EGAC 交 BC 于 G，連 GF，則EB=GB=FD，故 GFBD故GEF=，GFE=，但 ACBD，故EGF=90故 f()為常數(shù)選 D3設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)及公差均為非負(fù)整數(shù)，項(xiàng)數(shù)不少于 3，且各項(xiàng)的和為 972，則這樣的數(shù)列共有(A)2 個(gè)(B)3 個(gè)(C)4 個(gè)(D)5 個(gè)1解：設(shè)首項(xiàng)為 a，公差為 d，項(xiàng)數(shù)為 n，則 na+2n(n1)d=97 ，n2a+(n1)d=297 ，即 n 為 2972 的大于 3 的約數(shù) n=972

7、，2a+(9721)d=2，d=0，a=1；d1 時(shí) a0有一解；n=97，2a+96d=194，d=0，a=97；d=1，a=a=49；d=2，a=1.有三解；n=297，n=2972，無(wú)解n=1，2 時(shí) n3.選 C4在平面直角坐標(biāo)系中，若方程 m(x2+y2+2y+1)=(x2y+3)2 表示的曲線為橢圓，則 m 的取值范圍為22(A)(0，1)(B)(1，+)(C)(0，5)(D)(5，+)解：看成是軌跡上點(diǎn)到(0，1)的距離與到直線 x2y+3=0 的距離的比：x2+(y+1)2 |x2y+3| = 5m5，選 D12+(2)215155設(shè) f(x)=x2x， arcsin ，=ar

8、ctan ，=arcos( )，=arccot( )，則3434(A)f()f()f()f()(C) f(i)f()f()f()(B) f() f()f()f()(D) f()f()f()f()解：f(x)的對(duì)稱軸為 x=2， 2 35易得， 06432 3 4 0故 f(t)單調(diào)增，現(xiàn) x1=1y，x+y=2解：原方程組即(1y)3t+1，f (t)=3t2取 f(t)=t3y22過(guò)雙曲線 x2 2 =1 的右焦點(diǎn)作直線 l 交雙曲線于 A、B 兩點(diǎn)，若實(shí)數(shù) 使得|AB|的直線 l 恰有 3 條，則 =2b2解：右最短的焦點(diǎn)弦=4又 2a=2，故與左、右兩支相交的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)2a=2，a這樣的弦

9、由對(duì)稱性有兩條故 =4 時(shí)2ab24設(shè) AB 的傾斜角為 ，則右的焦點(diǎn)弦 =4，當(dāng) =90時(shí)，=4=a c cos 13cos 22222ab242與左支相交時(shí)，=arccos3時(shí)，=a2c2cos2=13cos2=4故 =413已知復(fù)數(shù) z 滿足2z+z=1，則 z 的幅角主值范圍是1解： 2z+z =14r +(4cos2 1)r +1=0 ，這個(gè)等式成立等價(jià)于關(guān)于 x 的二次方程4214x +(4cos21)x+1=0 有正根=(4cos21) 160，由 x1x2=40，故必須 x1+x2=224cos2104333cos2 (2k+1)arccos 2(2k+1)+arccos 44

10、413 13 k+2 arccos k+ + arccos ，(k=0，1)242 244已知三棱錐 SABC 的底面是以 AB 為斜邊的等腰直角三角形，SA=SB=SC=2，AB=2，設(shè) S、A、B、C 四點(diǎn)均在以 O 為球心的某個(gè)球面上，則點(diǎn) O 到平面 ABC 的距離為解：SA=SB=SC=2，S 在面 ABC 上的射影為 AB 中點(diǎn) H， SH平面 ABCSH 上任意一點(diǎn)到 A、B、C 的距離相等SH= 3，CH=1，在面 SHC 內(nèi)作 SC 的垂直平分線 MO 與 SH 交于 O，則 O 為 SABC2 3 3的外接球球心SM=1，SO=，OH= 3 ，即為 O 與平面 ABC 的距

11、離3設(shè) ABCDEF 為正六邊形，一只青蛙開(kāi)始在頂點(diǎn) A 處，它每次可隨意地跳到相鄰兩頂點(diǎn)之一若在 5 次之內(nèi)跳到 D 點(diǎn)，則停止跳動(dòng)；若 5 次之內(nèi)不能到達(dá) D 點(diǎn)，則跳完 5 次也停止跳動(dòng)，那么這只青蛙從開(kāi)始到停止，可能出現(xiàn)的不同跳法共種解：青蛙跳 5 次，只可能跳到 B、D、F 三點(diǎn)(染色可證)青蛙順時(shí)針跳 1 次算+1，逆時(shí)針跳 1 次算1，寫 5 個(gè)“1”，在中填“+”號(hào)或“”號(hào)：11111規(guī)則可解釋為：前三個(gè)中如果同號(hào)，則停止填寫；若不同號(hào)，則后 2 個(gè)中繼續(xù)填寫符號(hào)前三同號(hào)的方法有 2 種；前三個(gè)不同號(hào)的方法有 232=6 種，后兩個(gè)中填號(hào)的方法有 22 種 共有 2+64=26

12、 種方法設(shè) a logz+logx(yz)1+1，b logx1+log(xyz+1)，c logy+log(xyz)1+1，記 a，b，c 中最大數(shù)為 M，則 M 的最小值為x1 1解：a=log(y+z)，b=log(yz+x)，c=log(yz+y)1 1 a+c=log(yz+x+yz+x)2log2于是 a、c 中必有一個(gè)log2即 Mlog2，于是 M 的最小值log2但取 x=y=z=1，得 a=b=c=log2即此時(shí) M=log2于是 M 的最小值log2 所求值=log2三、（本題滿分 20 分）設(shè) xyz ，且 x+y+z= ，求乘積 cosx siny cosz 的最大值

13、和最小值122解：由于 xyz ，故 x 2= 126212311111 cosx siny cosz=cosx2sin(y+z)+sin(yz)=2cos2x+2cosxsin(yz)2cos23值=8 即最小1(由于6 x3 ，yz，故 cosxsin(yz)0)，當(dāng) y=z=12 ，x=3 時(shí)，cosx siny cosz=8 111 cosx siny cosz=cosz2sin(x+y)sin(xy)=2cos z2coszsin(xy)21112+ 3 由于 sin(xy)0，cosz0，故 cosx siny cosz2cos2z=2cos2= (1+cos6)=12285當(dāng) x

14、= y=12 ，z=12 時(shí)取得最大值2+ 31 最大值，最小值 88四、(本題滿分 20 分)設(shè)雙曲線 xy1 的兩支為 C1，C2(如圖)，正三角形 PQR 的三頂點(diǎn)位于此雙曲線上求證：P、Q、R 不能都在雙曲線的同一支上；設(shè) P(1，1)在 C2 上， Q、R 在 C1 上，求頂點(diǎn) Q、R 的坐標(biāo) 1 1解：設(shè)某個(gè)正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都在同一支上此三點(diǎn)的坐標(biāo)為 P(x1， )，Q(x2， )，x1x2 11 1 1R(x3， )不妨設(shè) 0 x1x2 0 x3x1 x2 x3y2y1 1 1 ；k =k=PQQRx x1 2x xx x2 321 1 1 +x1x2 x2x3tanPQR=0)則 h (cos2+isin2) Rsin2=0245191h (cos2+isin2) 1 h (cos2+isin2) ，cos20=k(kZ)224441111q=r(cos+isin)，(r0)則 q+q=(r+ r )cos+i(r r )sinRsin=0 q+qR再令或 r=1111