1.3.2 楊輝三角2

1、PAGE PAGE 6楊輝三角教學(xué)設(shè)計(jì)大石橋市高級(jí)中學(xué) 周大勇一、教學(xué)內(nèi)容解析1“楊輝三角”的內(nèi)涵實(shí)際上就是二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，其內(nèi)容豐富，值得學(xué)生深入探討。對(duì)于楊輝三角所蘊(yùn)含的規(guī)律，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)，而難點(diǎn)就在于如何把學(xué)生通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)的規(guī)律進(jìn)行歸納，進(jìn)而推理論證，揭示其數(shù)學(xué)本質(zhì)。本節(jié)課利用了轉(zhuǎn)化和化歸的數(shù)學(xué)思想，把對(duì)觀察得到的規(guī)律的證明化歸為組合數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用上。2本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容屬于事實(shí)性知識(shí)，其特點(diǎn)是易懂難記，難于上升到理性的解釋。3本節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了兩個(gè)計(jì)數(shù)原理、組合及組合數(shù)的性質(zhì)的基礎(chǔ)上，又具體學(xué)習(xí)了二項(xiàng)式定理、二項(xiàng)式系數(shù)等概念的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。4從知識(shí)發(fā)生發(fā)展過(guò)程的角度上看，學(xué)生可以從直觀

2、上很好地觀察發(fā)現(xiàn)楊輝三角中蘊(yùn)含的數(shù)字規(guī)律，但對(duì)于高二的學(xué)生，他們思考問(wèn)題的思維已經(jīng)不僅僅滿(mǎn)足于“知其然”，他們更渴望的是“知其所以然”，在老師適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥下，學(xué)生能很自然地聯(lián)系到上位知識(shí)，即組合數(shù)的性質(zhì)與二項(xiàng)式系數(shù)的聯(lián)系，通過(guò)師生合作完成知識(shí)發(fā)展過(guò)程的探究，這符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，也體現(xiàn)了互助學(xué)習(xí)的價(jià)值觀教育。二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置新課程改革的課程目標(biāo)要求，課堂教學(xué)應(yīng)實(shí)現(xiàn)三維目標(biāo)，即知識(shí)與技能、過(guò)程與方法、情感態(tài)度與價(jià)值觀。因此，本節(jié)課制定了如下教學(xué)目標(biāo)及教學(xué)重難點(diǎn)：教學(xué)目標(biāo)：1 掌握二項(xiàng)展開(kāi)式中的二項(xiàng)式系數(shù)的基本性質(zhì)及其推導(dǎo)方法。2通過(guò)對(duì)楊輝三角中蘊(yùn)含的數(shù)字規(guī)律的初步探究，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、

3、經(jīng)過(guò)分析猜想證明以后解決問(wèn)題的能力，激勵(lì)學(xué)生自主創(chuàng)新。通過(guò)從不同的角度觀察楊輝三角，培養(yǎng)學(xué)生要從多角度看問(wèn)題的意識(shí)，提高學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力。3鼓勵(lì)學(xué)生在學(xué)習(xí)中學(xué)會(huì)交流、合作，培養(yǎng)學(xué)生團(tuán)結(jié)協(xié)作的精神。同時(shí)，通過(guò)了解我國(guó)古代數(shù)學(xué)的偉大成就，培養(yǎng)學(xué)生的愛(ài)國(guó)情感，增強(qiáng)民族自豪感。教學(xué)重、難點(diǎn)：教學(xué)重點(diǎn)：掌握二項(xiàng)展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)，探討“楊輝三角”中蘊(yùn)含的數(shù)字規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)解決問(wèn)題的能力。教學(xué)難點(diǎn)：如何發(fā)現(xiàn)、證明規(guī)律。通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生可以深刻地感知知識(shí)的形成過(guò)程，對(duì)于規(guī)律性的結(jié)論可以做出判斷，并上升到理性的思考。通過(guò)小組合作學(xué)習(xí)的方式，學(xué)生更加感受到在互助中學(xué)習(xí)，在

4、競(jìng)爭(zhēng)中學(xué)習(xí)的重要性，達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生團(tuán)結(jié)協(xié)作精神的目的。三、學(xué)生學(xué)情分析1. 在初中甚至小學(xué)，學(xué)生都在不同程度上進(jìn)行過(guò)數(shù)字規(guī)律探究方面的活動(dòng)，到了高中階段，學(xué)生已經(jīng)具備了更為理性的思考，對(duì)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律能夠嘗試證明。同時(shí)學(xué)生已掌握了組合及組合數(shù)的性質(zhì)，這是突破本節(jié)課難點(diǎn)的基礎(chǔ)。對(duì)于高二的學(xué)生來(lái)說(shuō)，基本接觸了高中階段常見(jiàn)的四種數(shù)學(xué)思想方法，即函數(shù)與方程，轉(zhuǎn)化和化歸，分類(lèi)討論以及數(shù)形結(jié)合的思想方法。另外，該班開(kāi)展“快樂(lè)益智課堂”學(xué)習(xí)模式，即小組內(nèi)擁有穩(wěn)定的成員，持續(xù)了一年多的相互支持、鼓勵(lì)和幫助，小組內(nèi)部及小組之間有了一定的解決問(wèn)題的能力，但對(duì)于本節(jié)課的難點(diǎn)證明規(guī)律，學(xué)生還需要在老師的指導(dǎo)下共同完成。四、

5、教學(xué)策略分析本節(jié)課的教材所具有的特點(diǎn)是所涉及的內(nèi)容都是以結(jié)論的形式直接呈現(xiàn)，對(duì)于這些結(jié)論學(xué)生也不難理解。但是如果以講授課的形式來(lái)學(xué)習(xí)本節(jié)課的內(nèi)容，那么學(xué)生將陷入一種被動(dòng)學(xué)習(xí)的局面，學(xué)生不僅難于發(fā)現(xiàn)課本以外的其他規(guī)律，更甚者使學(xué)生能力缺失，對(duì)學(xué)習(xí)缺乏興趣，不能有效開(kāi)展課堂教學(xué)，提高課堂教學(xué)質(zhì)量。因此，這就要求我們必須從學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律出發(fā)，去暴露知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程。1根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)情感目標(biāo)，本節(jié)課先是以學(xué)生觀看視頻的方式，激勵(lì)學(xué)生探索的欲望，同時(shí)結(jié)合本節(jié)課的歷史材料，對(duì)學(xué)生進(jìn)行情感教育。2依據(jù)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程和學(xué)生的思維規(guī)律，本節(jié)課設(shè)計(jì)了“問(wèn)題串”的形式， 讓不同程度的學(xué)生都有所收獲

6、，有所成功，充分體現(xiàn)新課程“面向全體，讓不同的學(xué)生在學(xué)習(xí)上都能得到發(fā)展”的思想。通過(guò)填表的方式初步找規(guī)律，再獨(dú)立思考找規(guī)律，最后進(jìn)行合作交流，共同找規(guī)律并嘗試證明，在知識(shí)的形成過(guò)程中去培養(yǎng)學(xué)生思維的邏輯性、深刻性，這體現(xiàn)了學(xué)生學(xué)習(xí)由具體感知到理性思考的過(guò)程，為不同認(rèn)知基礎(chǔ)的學(xué)生提供合理的學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)。3為突出重點(diǎn)，本節(jié)課采取觀察啟發(fā)和問(wèn)題解決的方式引導(dǎo)學(xué)生思考，使學(xué)生主動(dòng)參與提出問(wèn)題和探索問(wèn)題的過(guò)程。同時(shí)采用學(xué)生以分組討論的方式，通過(guò)觀察分析歸納猜測(cè)推理論證鞏固反饋來(lái)理解和掌握內(nèi)容。（1） 為突破難點(diǎn)，對(duì)結(jié)論的推理證明將由師生共同完成。在結(jié)論的推證過(guò)程中去培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和演繹推理的能力以及化

7、歸的思想方法。（2）為了給學(xué)生提供學(xué)習(xí)反饋的機(jī)會(huì)，以更好地揭示學(xué)生對(duì)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展過(guò)程的認(rèn)知，本節(jié)課借助教育技術(shù)在內(nèi)的教學(xué)媒體，讓學(xué)生進(jìn)一步交流，幫助學(xué)生正確理解數(shù)學(xué)知識(shí)，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，同時(shí)顯示計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)的優(yōu)勢(shì)。五、教學(xué)過(guò)程教學(xué)內(nèi)容、設(shè)計(jì)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖（一）溫故知新1、 二項(xiàng)式定理2、 二項(xiàng)式系數(shù)學(xué)生回憶前面學(xué)過(guò)的相關(guān)知識(shí)，集體完成問(wèn)題。通過(guò)對(duì)學(xué)生已有的相關(guān)知識(shí)的調(diào)動(dòng)，對(duì)本節(jié)課的學(xué)習(xí)起到承上啟下的作用。（二）探索新知【問(wèn)題一】計(jì)算展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)并填入表格 學(xué)生獨(dú)立完成問(wèn)題一，主動(dòng)發(fā)表自己的見(jiàn)解。從學(xué)生已有的關(guān)于二項(xiàng)式定理的知識(shí)及二項(xiàng)式系數(shù)的運(yùn)算出發(fā)，讓學(xué)生通過(guò)填表的形式發(fā)現(xiàn)二項(xiàng)式系數(shù)

8、具有一定的規(guī)律。同時(shí)也讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)，這樣的表格不利于發(fā)現(xiàn)二項(xiàng)式系數(shù)的其它性質(zhì)，由此引發(fā)思考：如何對(duì)表格進(jìn)一步整理，得到更方便觀察二項(xiàng)式系數(shù)的數(shù)字規(guī)律的表格，由此可以自然引出“楊輝三角”。經(jīng)過(guò)對(duì)表格中的數(shù)據(jù)整理后，我們得到一張形如三角形的非常優(yōu)美的表。這樣的二項(xiàng)式系數(shù)表，早在我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的詳解九章算法一書(shū)里就出現(xiàn)了，我們把它叫做“楊輝三角”。 學(xué)生觀察并思考學(xué)習(xí)通過(guò)對(duì)楊輝的介紹，讓學(xué)生了解中國(guó)古代數(shù)學(xué)的偉大成就，增強(qiáng)學(xué)生的愛(ài)國(guó)情感?！締?wèn)題二】觀察“楊輝三角”，你能得到哪些數(shù)字規(guī)律？）學(xué)生觀察表中數(shù)字，獨(dú)立思考，初步形成自己的看法，并在習(xí)題紙中做好記錄。通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度觀

9、察“楊輝三角”，讓學(xué)生感受對(duì)待同一事物“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”的妙處。通過(guò)獨(dú)立思考，為下一環(huán)節(jié)的小組合作交流提供素材?！締?wèn)題三】 請(qǐng)與同組的其它同學(xué)交流你的想法，并試著證明你們的猜想。學(xué)生分小組合作交流，集思廣益。通過(guò)小組合作交流的形式，讓學(xué)生的不同想法產(chǎn)生碰撞，產(chǎn)生智慧的火花?！締?wèn)題四】 請(qǐng)各小組派代表發(fā)表你們的看法。各小組派代表發(fā)言，并投影他們的討論成果。經(jīng)過(guò)獨(dú)立思考與合作交流以后，各小組得到的規(guī)律已初具規(guī)模。通過(guò)派代表發(fā)言的形式，使各組可以一起分享討論成果。同時(shí)對(duì)一些教材上沒(méi)有又較難證明的規(guī)律，可以在這一環(huán)節(jié)共同解決。教師在這個(gè)環(huán)節(jié)中應(yīng)做好充分的準(zhǔn)備，對(duì)學(xué)生有可能找到的規(guī)律做出

10、預(yù)設(shè)，切不可因?yàn)樽约簻?zhǔn)備不足而扼殺了學(xué)生的創(chuàng)新精神。（三）例題學(xué)生自主思考獨(dú)立完成任務(wù)學(xué)生板書(shū)解題過(guò)程提升解決問(wèn)題的能力通過(guò)設(shè)計(jì)有針對(duì)性和有效性的例題和練習(xí)，使學(xué)生能鞏固知識(shí)、訓(xùn)練技能，又幫助學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)基本思想，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展數(shù)學(xué)能力。學(xué)生和教師觀察、思考、點(diǎn)評(píng)（四）評(píng)價(jià)反思從本節(jié)課的探索過(guò)程中你收獲了什么？學(xué)生舉手發(fā)言，談?wù)勛约旱氖斋@。讓學(xué)生回味這節(jié)課，總結(jié)自己的收獲，表達(dá)自己在課堂上收獲的知識(shí)與培養(yǎng)的情感，同時(shí)教師可以在這一環(huán)節(jié)檢查自己的預(yù)設(shè)目標(biāo)是否達(dá)到，以便做好課后反思。（五）課后延伸楊輝三角奧秘?zé)o窮，只要大家從不同角度運(yùn)用合情推理，一定會(huì)發(fā)現(xiàn)更多的規(guī)律。激勵(lì)學(xué)生課后繼續(xù)探索楊

11、輝三角，使學(xué)生意識(shí)到應(yīng)該把探究愿望貫穿在課堂內(nèi)外。（六）板書(shū)設(shè)計(jì)楊輝三角教學(xué)評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)本節(jié)課采用了“快樂(lè)益智課堂教學(xué)模式”,在教學(xué)過(guò)程中,本人深深地感到很大的困惑:如何在教學(xué)大綱指定課時(shí)內(nèi)同時(shí)把握到“探究性教學(xué)方式”與“知識(shí)傳授”兩不誤？通過(guò)課堂的摸索把握及學(xué)校許多經(jīng)驗(yàn)豐富的教師的點(diǎn)評(píng)指導(dǎo)，我深深地體會(huì)到：一要從研究“如何把學(xué)生教會(huì)”變?yōu)椤叭绾巫寣W(xué)生會(huì)學(xué)”。知識(shí)是不能被傳遞的，教師在課堂上傳遞的只是信息，知識(shí)必須通過(guò)學(xué)生的主動(dòng)建構(gòu)才能獲得，也就是說(shuō)，學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)者自己的事情，誰(shuí)也不能代替。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中首先要確立學(xué)生的主體地位，建立探索性的學(xué)習(xí)方式，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的意識(shí)。1、要培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)：教師要通過(guò)創(chuàng)設(shè)真實(shí)、復(fù)雜且具有挑戰(zhàn)性的開(kāi)放型問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生參與探究、思考，把學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)還給學(xué)生，讓學(xué)生在自主活動(dòng)中學(xué)會(huì)觀察，學(xué)會(huì)思考，學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)，努力營(yíng)造一個(gè)有利于學(xué)生生活活潑、主動(dòng)求知的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)環(huán)境。2、應(yīng)鍛煉學(xué)生的各種能力：活動(dòng)課前的準(zhǔn)備，鍛煉學(xué)生搜集處理信息的能力。調(diào)查詢(xún)問(wèn)，鍛煉學(xué)生動(dòng)口、動(dòng)手能力；課堂教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生概括能力