2014年高考數(shù)學(xué)文科（高考真題+模擬新題）分類匯編：推理與證明

1、 數(shù) 學(xué)推理與證明 M1合情推理與演繹推理16，2014福建卷 已知集合a，b，c0，1，2，且下列三個(gè)關(guān)系：a2；b2；c0有且只有一個(gè)正確，則100a10bc等于_16201解析 (i)若正確，則不正確，由不正確得c0，由正確得a1，所以b2，與不正確矛盾，故不正確(ii)若正確，則不正確，由不正確得a2，與正確矛盾，故不正確(iii)若正確，則不正確，由不正確得a2，由不正確及正確得b0，c1，故正確則100a10bc10021001201.142014全國(guó)新課標(biāo)卷 甲、乙、丙三位同學(xué)被問(wèn)到是否去過(guò)A，B，C三個(gè)城市時(shí)，甲說(shuō)：我去過(guò)的城市比乙多，但沒(méi)去過(guò)B城市乙說(shuō)：我沒(méi)去過(guò)C城市丙說(shuō)：我

2、們?nèi)巳ミ^(guò)同一城市由此可判斷乙去過(guò)的城市為_(kāi)14A解析 由甲沒(méi)去過(guò)B城市，乙沒(méi)去過(guò)C城市，而三人去過(guò)同一城市，可知三人去過(guò)城市A，又由甲最多去過(guò)兩個(gè)城市，且去過(guò)的城市比乙多，故乙只去過(guò)A城市142014陜西卷 已知f(x)eq f(x,1x)，x0，若f1(x)f(x)，fn1(x)f(fn(x)，nN，則f2014(x)的表達(dá)式為_(kāi)14.eq f(x,12014x)解析 由題意，得f1(x)f(x)eq f(x,1x)，f2(x)eq f(f(x,1x),1f(x,1x)eq f(x,12x)，f3(x)eq f(x,13x)，由此歸納推理可得f2014(x)eq f(x,12014x).M

3、2直接證明與間接證明21、2014湖南卷 已知函數(shù)f(x)xcos xsin x1(x0)(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)記xi為f(x)的從小到大的第i(iN*)個(gè)零點(diǎn)，證明：對(duì)一切nN*，有eq f(1,xeq oal(2,1)eq f(1,xeq oal(2,2)eq f(1,xeq oal(2,n)eq f(2,3).21解： (1)f(x)cos xxsin xcos xxsin x.令f(x)0，得xk(kN*)當(dāng)x(2k，(2k1)(kN)時(shí)，sin x0，此時(shí)f(x)0; 當(dāng)x(2k1)，(2k2)(kN)時(shí)，sin x0.故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(2k，(2k1)(kN)

4、，單調(diào)遞增區(qū)間為(2k1)，(2k2)(kN)(2)由(1)知，f(x)在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞減又feq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)0，故x1eq f(,2).當(dāng)nN*時(shí)，因?yàn)閒(n)feq blcrc(avs4alco1(（n1）)(1)nn1(1)n1(n1)10，且函數(shù)f(x)的圖像是連續(xù)不斷的，所以f(x)在區(qū)間(n，(n1)內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn)又f(x)在區(qū)間(n，(n1)上是單調(diào)的，故nxn1(n1).因此，當(dāng)n1時(shí)，eq f(1,xeq oal(2,1)eq f(4,2)eq f(2,3)；當(dāng)n2時(shí)，eq f(1,xeq oal(2,1)eq f(1,xeq o

5、al(2,2)eq f(1,2)(41)eq f(2,3)；當(dāng)n3時(shí)，eq f(1,xeq oal(2,1)eq f(1,xeq oal(2,2)eq f(1,xeq oal(2,n)0)，設(shè)fn(x)為fn1(x)的導(dǎo)數(shù)，nN*.(1)求2f1eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)eq f(,2)f2eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)的值；(2)證明：對(duì)任意的nN*，等式eq blc|rc|(avs4alco1(nfn1blc(rc)(avs4alco1(f(,4)f(,4)fnblc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq f(r(2),2)都成立23解

6、： (1)由已知，得f1(x)f0(x)eq blc(rc)(avs4alco1(f(sin x,x)eq f(cos x,x)eq f(sin x,x2)，于是f2(x)f1(x)eq blc(rc)(avs4alco1(f(cos x,x)eq blc(rc)(avs4alco1(f(sin x,x2)eq f(sin x,x)eq f(2cos x,x2)eq f(2sin x,x3)，所以f1eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)eq f(4,2)，f2eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)eq f(2,)eq f(16,3).故2f1eq blc(rc)(

7、avs4alco1(f(,2)eq f(,2)f2eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)1.(2)證明：由已知得，xf0(x)sin x，等式兩邊分別對(duì)x求導(dǎo)，得f0(x)xf0(x)cos x，即f0(x)xf1(x)cos xsineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,2).類似可得2f1(x)xf2(x)sin xsin(x)，3f2(x)xf3(x)cos xsineq blc(rc)(avs4alco1(xf(3,2)，4f3(x)xf4(x)sin xsin(x2)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明等式nfn1(x)xfn(x)sineq blc(rc)(avs4alc

8、o1(xf(n,2)對(duì)所有的nN*都成立(i)當(dāng)n1時(shí)，由上可知等式成立(ii)假設(shè)當(dāng)nk時(shí)等式成立，即kfk1(x)xfk(x)sineq blc(rc)(avs4alco1(xf(k,2).因?yàn)閗fk1(x)xfk(x)kfk1(x)fk(x)xfk(x)(k1)fk(x)xfk1(x)，eq blcrc(avs4alco1(sinblc(rc)(avs4alco1(xf(k,2)coseq blc(rc)(avs4alco1(xf(k,2)eq blc(rc)(avs4alco1(xf(k,2)sineq blcrc(avs4alco1(xf(（k1）,2)，所以(k1)fk(x)xfk

9、1(x)sineq blcrc(avs4alco1(xf(（k1）,2)，因此當(dāng)nk1時(shí)，等式也成立綜合(i)(ii)可知，等式nfn1(x)xfn(x)sineq blc(rc)(avs4alco1(xf(n,2)對(duì)所有的nN*都成立令xeq f(,4)，可得nfn1eq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq f(,4)fneq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)f(n,2)(nN*)，所以eq blc|rc|(avs4alco1(nfn1blc(rc)(avs4alco1(f(,4)f(,4)fnblc(r

10、c)(avs4alco1(f(,4) (nN*) M4 單元綜合52014湖南長(zhǎng)郡中學(xué)月考 記Sk1k2k3knk，當(dāng)k1，2，3，時(shí)，觀察下列等式：S1eq f(1,2)n2eq f(1,2)n，S2eq f(1,3)n3eq f(1,2)n2eq f(1,6)n，S3eq f(1,4)n4eq f(1,2)n3eq f(1,4)n2，S4eq f(1,5)n5eq f(1,2)n4eq f(1,3)n3eq f(1,30)n，S5eq f(1,6)n6eq f(1,2)n5eq f(5,12)n4An2，由此可以推測(cè)A_5eq f(1,12)解析 根據(jù)所給等式可知，各等式右邊的各項(xiàng)系數(shù)之和

11、為1，所以eq f(1,6)eq f(1,2)eq f(5,12)A1，解得Aeq f(1,12).62014日照一中月考 二維空間中圓的一維測(cè)度(周長(zhǎng))l2r，二維測(cè)度(面積)Sr2，觀察發(fā)現(xiàn)Sl；三維空間中球的二維測(cè)度(表面積)S4r2，三維測(cè)度(體積)Veq f(4,3)r3，觀察發(fā)現(xiàn)VS.已知四維空間中“超球”的三維測(cè)度V8r3，猜想其四維測(cè)度W_.62r4解析 因?yàn)閃8r3，所以W2r4.72014甘肅天水一中期末 觀察下列等式：(11)21；(21)(22)2213；(31)(32)(33)23135.照此規(guī)律，第n個(gè)等式為_(kāi)7(n1)(n2)(n3)(nn)2n135(2n1)解

12、析 觀察等式規(guī)律可知第n個(gè)等式為(n1)(n2)(n3)(nn)2n135(2n1)82014南昌調(diào)研 已知整數(shù)對(duì)的序列為(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，(1，5)，(2，4)，則第57個(gè)數(shù)對(duì)是_8(2，10)解析 由題意，發(fā)現(xiàn)所給序數(shù)列有如下規(guī)律：(1，1)的和為2，共1個(gè)；(1，2)，(2，1)的和為3，共2個(gè)；(1，3)，(2，2)，(3，1)的和為4，共3個(gè)；(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)的和為5，共4個(gè)；(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)的和為6，共5個(gè)由此可知，當(dāng)數(shù)對(duì)中兩個(gè)數(shù)字之和為n時(shí)，有n1個(gè)數(shù)對(duì)易知第57個(gè)數(shù)對(duì)中兩數(shù)之和為12，且是兩數(shù)之和為12的數(shù)對(duì)中的第2個(gè)數(shù)對(duì)，故為(2，10)92014福州模擬 已知點(diǎn)A(x1，ax1)，B(x2，ax2)是函數(shù)yax(a1)的圖像上任意不同的兩點(diǎn)，依據(jù)圖像可知，線段AB總是位于A，B兩點(diǎn)之間函數(shù)圖像的上方，因此有結(jié)論eq f(ax1ax2,2)aeq f(x1x2,2)成立運(yùn)