材料力學-桿件的變形計算(匯總).ppt課件

1、第四章 桿件的變形計算 直桿在其軸線的外力作用下，縱向發(fā)生伸長或縮短變形，而其橫向變形相應變細或變粗第一節(jié) 拉（壓）桿的軸向變形第四章 桿件的變形計算 1、桿的縱向總變形： 3、平均線應變：2、線應變： 單位長度的線變形abcdLPP d ac bL1.14、x點處的縱向線應變：6、x點處的橫向線應變：5、桿的橫向變形：.2二、拉壓桿的彈性定律1、等內(nèi)力拉壓桿的彈性定律2、變內(nèi)力拉壓桿的彈性定律內(nèi)力在n段中分別為常量時“EA”稱為桿的抗拉壓剛度。PPN(x)dxx.33、單向應力狀態(tài)下的彈性定律4、泊松比（或橫向變形系數(shù)） 泊松比 、彈性模量 E 、切變模量G 都是材料的彈性常數(shù)，可以通過實驗

2、測得。對于各向同性材料，可以證明三者之間存在著下面的關系.4 公式的適用條件 1）線彈性范圍以內(nèi)，材料符合胡克定律 2）在計算桿件的伸長時，l 長度內(nèi)其FN、A、l 均應為常數(shù)，若為變截面桿或階梯桿，則應進行分段計算或積分計算。.5是誰首先提出彈性定律 彈性定律是材料力學等固體力學一個非常重要的基礎。一般認為它是由英國科學家胡克(1635一1703)首先提出來的，所以通常叫做胡克定律。其實，在胡克之前1500年，我國早就有了關于力和變形成正比關系的記載。 東漢經(jīng)學家鄭玄(127200)對考工記弓人中“量其力，有三均”作了 這樣的注釋：“假令弓力勝三石，引之中三尺，弛其弦，以繩緩擐之，每加物一石

3、，則張一尺。” (圖).6“”胡：請問，弛其弦，以繩緩援之是什么意思? 鄭：這是講測量弓力時，先將弓的弦 松開，另外用繩子松松地套住弓的兩端，然后加重物，測量。 胡：我明白了。這樣弓體就沒有初始應力，處于自然狀態(tài)。 .7 鄭：后來，到了唐代初期，賈公彥對我的注釋又作了注疏，他說：鄭又云假令弓力勝三石，引之中三尺者，此即三石力弓也。必知弓力三石者，當弛其弦以繩緩擐之者，謂不張之，別以繩系兩箭，乃加物一石張一尺、二石張二尺、三石張三尺。其中”“兩蕭就是指弓的兩端。一條“胡：鄭老先生講“每加物一石，則張一尺”。和我講的完全是同一個意思。您比我早1500中就記錄下這種正比關系，的確了不起，和推測一文中

4、早就推崇過貴國的古代文化：目前我們還只是剛剛走到這個知識領域的邊緣，然而一旦對它有了充分的認識，就將會在我們面前展現(xiàn)出一個迄今為止只被人們神話般地加以描述的知識王國”。1686年關于中國文字和語言的研究真是令人佩服之至我在.8例題4-1： 如圖所示階梯形直桿，已知該桿AB段橫截面面積A1=800mm2，BC段橫截面面積A2=240mm2，桿件材料的彈性模量E=200GPa，求該桿的總伸長量。.91）求出軸力，并畫出軸力圖2）求伸長量mm伸長縮短縮短.10例題4-2: 已知：l = 54 mm ，di = 15.3 mm，E200 GPa， = 0.3，擰緊后，l 0.04 mm。 試求：(a)

5、 螺栓橫截面上的正應力 (b) 螺栓的橫向變形d.11解：1) 求橫截面正應力2) 螺栓橫向變形 螺栓直徑縮小 0.0034 mml = 54 mm ，di = 15.3 mm，E200 GPa， = 0.3，l 0.04 mm.12例4-3 節(jié)點位移問題 如圖所示桁架，鋼桿AC的橫截面面積A1=960mm2，彈性模量E1=200GPa。木桿BC的橫截面面積A2=25000mm2，長1m，彈性模量E2=10GPa。求鉸接點C的位移。F = 80 kN。.13分析 通過節(jié)點C的受力分析可以判斷AC桿受拉而BC桿受壓，AC桿將伸長，而BC桿將縮短。 因此，C節(jié)點變形后將位于C3點 由于材料力學中的

6、小變形假設，可以近似用C1和C2處的圓弧的切線來代替圓?。ㄒ郧写》ǎ玫浇稽cC0.14解 1）分析節(jié)點C,求AC和BC的軸力（均預先設為拉力）拉壓伸長縮短.15解2）求AC和BC桿分別的變形量.16解3）分別作AC1和BC2的垂線交于C0C點總位移：(此問題若用圓弧精確求解).17第二節(jié) 圓軸的扭轉變形及相對扭轉角 在談到圓軸扭轉切應力公式的推導時，相距為 dx 的兩個相鄰截面之間有相對轉角dj取單位長度扭轉角用來表示扭轉變形的大小單位長度扭轉角的單位: rad/m抗扭剛度越大，單位長度扭轉角越小.18 在一段軸上，對單位長度扭轉角公式進行積分，就可得到兩端相對扭轉角j 。相對扭轉角的單位

7、: rad當 為常數(shù)時：請注意單位長度扭轉角和相對扭轉角的區(qū)別同種材料階梯軸扭轉時:.19例4-4 一受扭圓軸如圖所示，已知：T1=1400Nm， T2=600Nm， T3=800Nm， d1=60mm，d2=40mm，剪切彈性模量G=80GPa，計算最大單位長度扭轉角。.201）根據(jù)題意，首先畫出扭矩圖2）AB 段單位長度扭轉角：3）BC 段單位長度扭轉角：綜合兩段，最大單位扭轉角應在BC 段 為 0.03978 rad/m.21例4-5 圖示一等直圓桿，已知 d =40mm a =400mm G =80GPa, j DB=1O ,求 : 1) 最大切應力 2）j AC.221）畫出扭矩圖2

8、）求最大切應力首先要求出M 的數(shù)值.23.24.25第三節(jié) 梁的變形 梁必須有足夠的剛度，即在受載后不至于發(fā)生過大的彎曲變形，否則構件將無法正常工作。例如軋鋼機的軋輥，若彎曲變形過大，軋出的鋼板將薄厚不均勻，產(chǎn)品不合格；如果是機床的主軸，則將嚴重影響機床的加工精度。1、梁的變形.26.27 梁在平面內(nèi)彎曲時，梁軸線從原來沿 x 軸方向的直線變成一條在 xy 平面內(nèi)的曲線，該曲線稱為撓曲線。 某截面的豎向位移，稱為該截面的撓度 某截面的法線方向與x軸的夾角稱為該截面的轉角 撓度和轉角的大小和截面所處的 x 方向的位置有關，可以表示為關于 x 的函數(shù)。撓度方程（撓曲線方程）轉角方程1、梁的變形第三

9、節(jié) 梁的變形.28撓度和轉角的正負號規(guī)定在圖示的坐標系中， 撓度 w 向上為正，向下為負。轉角規(guī)定截面法線與 x 軸夾角，逆時針為正，順時針為負,即在圖示坐標系中撓曲線具有正斜率時轉角 q 為正。1、梁的變形.29坐標系的建立：坐標原點一般設在梁的左端，并規(guī)定：以變形前的梁軸線為x軸，向右為正；以y軸代表曲線的縱坐標（撓度），向上為正。撓度的符號規(guī)定：向上為正，向下為負。轉角的符號規(guī)定：逆時針轉向的轉角為正；順時針轉向的轉角為負。.30撓度和轉角的關系1、梁的變形在小變形假設條件下?lián)锨€的斜率（一階導數(shù)）近似等于截面的轉角.312、撓曲線近似微分方程純彎曲情況下 梁的中性層曲率與梁的彎矩之間的

10、關系是: 橫力彎曲情況下，若梁的跨度遠大于梁的高度時，剪力對梁的變形可以忽略不計。但此時彎矩不再為常數(shù)。高等數(shù)學中，關于曲率的公式在梁小變形情況下，.322、撓曲線近似微分方程梁的撓曲線近似微分方程最終可寫為.33用積分法求梁的彎曲變形梁的撓曲線近似微分方程對上式進行一次積分,可得到轉角方程（等直梁 EI 為常數(shù)）再進行一次積分,可得到撓度方程其中， C 和 D 是積分常數(shù)，需要通過邊界條件或者連續(xù)條件來確定其大小。.34邊界條件：梁在其支承處的撓度或轉角是已知的，這樣的已知條件稱為邊界條件。連續(xù)條件：梁的撓曲線是一條連續(xù)、光滑、平坦的曲線。因此，在梁的同一截面上不可能有兩個不同的撓度值或轉角

11、值，這樣的已知條件稱為連續(xù)條件。積分常數(shù)與邊界條件、連續(xù)條件之間的關系：積分常數(shù)2n個=2n個 邊界條件+連續(xù)條件.35積分常數(shù)的物理意義和幾何意義物理意義：將x=0代入轉角方程和撓曲線方程，得即坐標原點處梁的轉角，它的EI倍就是積分常數(shù)C；坐標原點處梁的撓度的EI倍就是積分常數(shù)D。幾何意義：C轉角 D撓度.36邊界條件在約束處的轉角或撓度可以確定用積分法求梁的彎曲變形.37連續(xù)條件在梁的彎矩方程分段處，截面轉角相等，撓度相等。若梁分為n 段積分，則要出現(xiàn)2n 個待定常數(shù)，總可找到2n 個相應的邊界條件或連續(xù)條件將其確定。用積分法求梁的彎曲變形.38積分常數(shù)C、D 由梁的位移邊界條件和光滑連續(xù)

12、條件確定。位移邊界條件光滑連續(xù)條件 彈簧變形.39利用積分法求梁變形的一般步驟：建立坐標系（一般：坐標原點設在梁的左端），求支座反力，分段列彎矩方程；分段列出梁的撓曲線近似微分方程，并對其積分兩次；利用邊界條件，連續(xù)條件確定積分常數(shù)；建立轉角方程和撓曲線方程；計算指定截面的轉角和撓度值，特別注意和及其所在截面。.40例4-6 如圖等直懸臂梁自由端受集中力作用，建立該梁的轉角方程和撓曲線方程，并求自由端的轉角 和撓度 。 用積分法求梁的彎曲變形.41（1）按照圖示坐標系建立彎矩方程 請同學們自己做一下（時間:1分鐘）（2）撓曲線近似微分方程（3）積分用積分法求梁的彎曲變形.42（4）確定積分常數(shù)

13、 由邊界條件代入上面兩式（5）列出轉角方程和撓曲線方程，將 C、D 的值代入方程用積分法求梁的彎曲變形.43（6）求B點的撓度和轉角在自由端 ， x = l用積分法求梁的彎曲變形.44例4-7 如圖所示，簡支梁受集中力F 作用，已知EI 為常量。試求B 端轉角和跨中撓度。用積分法求梁的彎曲變形.45（1）求約束反力FAFB（2）列出彎矩方程AC段CB段（3）建立撓曲線微分方程并積分；由于彎矩方程在C點處分段，故應對AC和CB分別計算用積分法求梁的彎曲變形.46FAFBAC段CB段用積分法求梁的彎曲變形.47FAFB利用邊界條件和連續(xù)條件確定四個積分常數(shù)AC段CB段邊界條件:連續(xù)條件:由于撓曲線

14、在C點處是連續(xù)光滑的，因此其左右兩側轉角和撓度應相等。 即代入上面的式子用積分法求梁的彎曲變形.48FAFB得到轉角方程和撓度方程AC段CB段（5）求B指定截面處的撓度和轉角若用積分法求梁的彎曲變形.49 通過積分法我們可以求出梁任意一截面上的撓度和轉角，但是當載荷情況復雜時，彎矩方程分段就很多，導致出現(xiàn)大量積分常數(shù)，運算較為繁瑣。而在工程中，較多情況下并不需要得出整個梁的撓曲線方程，只需要某指定截面的撓度和轉角，或者梁截面的最大撓度和轉角，這時采用疊加法比積分法方便。 在桿件符合線彈性、小變形的前提下，變形與載荷成線性關系，即任一載荷使桿件產(chǎn)生的變形均與其他載荷無關。這樣只要分別求出桿件上每

15、個載荷單獨作用產(chǎn)生的變形，將其相加，就可以得到這些載荷共同作用時桿件的變形。這就是求桿件變形的疊加法。 用疊加法求等截面梁的變形時，每個載荷作用下的變形可查教材7879頁表4-2計算得出。疊加法求梁的變形.50一、載荷疊加：多個載荷同時作用于結構而引起的變形 等于每個載荷單獨作用于結構而引起的變形的代數(shù)和。二、結構形式疊加（逐段剛化法）：.51結構形式疊加（逐段剛化法) 原理說明。=+PL1L2ABCBCPL2f1f2等價等價xfxffPL1L2ABC剛化AC段PL1L2ABC剛化BC段PL1L2ABCMxf.52查表時應注意坐標和載荷的方向、跨長及字符一一對應。疊加法求梁的變形.53例4-8

16、 求圖中所示梁跨中點的撓度及 A 點的轉角。已知 ，梁的抗彎剛度EI 為常數(shù) 。疊加法求梁的變形.54=+疊加法求梁的變形.55例4-9 如圖，梁的左半段受到均布載荷q 的作用，求 B 端的撓度和轉角。梁的抗彎剛度EI 為常數(shù) 。疊加法求梁的變形.56考慮其變形: 由于CB 段梁上沒有載荷，各截面的彎矩均為零，說明在彎曲過程中此段并不產(chǎn)生變形，即CB 仍為直線。根據(jù)幾何關系可知：由于在小變形的假設前提下查表:代入上面的計算式疊加法求梁的變形.57 在使用疊加法求解梁的變形時，我們通常需要參考教材表4-2中列出的各種基本形式梁的撓曲線方程和特定點的位移。 類似于外伸梁和其它一些較為復雜結構的梁的問題中，有些梁是不能直接查表進行位移的疊加計算，需要經(jīng)過分析和處理才能查表計算。 一般的處理方式是把梁分段，并把每段按照受力與變形等效的原則變成表中形式的梁，然后查表按照疊加法求解梁的變形。也可將復雜梁的各段逐段剛化求解位移，最后進行