材料力學(xué)-桿件的變形計算(匯總).ppt課件

1、第四章 桿件的變形計算 直桿在其軸線的外力作用下，縱向發(fā)生伸長或縮短變形，而其橫向變形相應(yīng)變細(xì)或變粗第一節(jié) 拉（壓）桿的軸向變形第四章 桿件的變形計算 1、桿的縱向總變形： 3、平均線應(yīng)變：2、線應(yīng)變： 單位長度的線變形abcdLPP d ac bL1.14、x點(diǎn)處的縱向線應(yīng)變：6、x點(diǎn)處的橫向線應(yīng)變：5、桿的橫向變形：.2二、拉壓桿的彈性定律1、等內(nèi)力拉壓桿的彈性定律2、變內(nèi)力拉壓桿的彈性定律內(nèi)力在n段中分別為常量時“EA”稱為桿的抗拉壓剛度。PPN(x)dxx.33、單向應(yīng)力狀態(tài)下的彈性定律4、泊松比（或橫向變形系數(shù)） 泊松比 、彈性模量 E 、切變模量G 都是材料的彈性常數(shù)，可以通過實(shí)驗(yàn)

2、測得。對于各向同性材料，可以證明三者之間存在著下面的關(guān)系.4 公式的適用條件 1）線彈性范圍以內(nèi)，材料符合胡克定律 2）在計算桿件的伸長時，l 長度內(nèi)其FN、A、l 均應(yīng)為常數(shù)，若為變截面桿或階梯桿，則應(yīng)進(jìn)行分段計算或積分計算。.5是誰首先提出彈性定律 彈性定律是材料力學(xué)等固體力學(xué)一個非常重要的基礎(chǔ)。一般認(rèn)為它是由英國科學(xué)家胡克(1635一1703)首先提出來的，所以通常叫做胡克定律。其實(shí)，在胡克之前1500年，我國早就有了關(guān)于力和變形成正比關(guān)系的記載。 東漢經(jīng)學(xué)家鄭玄(127200)對考工記弓人中“量其力，有三均”作了 這樣的注釋：“假令弓力勝三石，引之中三尺，弛其弦，以繩緩擐之，每加物一石

3、，則張一尺。” (圖).6“”胡：請問，弛其弦，以繩緩援之是什么意思? 鄭：這是講測量弓力時，先將弓的弦 松開，另外用繩子松松地套住弓的兩端，然后加重物，測量。 胡：我明白了。這樣弓體就沒有初始應(yīng)力，處于自然狀態(tài)。 .7 鄭：后來，到了唐代初期，賈公彥對我的注釋又作了注疏，他說：鄭又云假令弓力勝三石，引之中三尺者，此即三石力弓也。必知弓力三石者，當(dāng)弛其弦以繩緩擐之者，謂不張之，別以繩系兩箭，乃加物一石張一尺、二石張二尺、三石張三尺。其中”“兩蕭就是指弓的兩端。一條“胡：鄭老先生講“每加物一石，則張一尺”。和我講的完全是同一個意思。您比我早1500中就記錄下這種正比關(guān)系，的確了不起，和推測一文中

4、早就推崇過貴國的古代文化：目前我們還只是剛剛走到這個知識領(lǐng)域的邊緣，然而一旦對它有了充分的認(rèn)識，就將會在我們面前展現(xiàn)出一個迄今為止只被人們神話般地加以描述的知識王國”。1686年關(guān)于中國文字和語言的研究真是令人佩服之至我在.8例題4-1： 如圖所示階梯形直桿，已知該桿AB段橫截面面積A1=800mm2，BC段橫截面面積A2=240mm2，桿件材料的彈性模量E=200GPa，求該桿的總伸長量。.91）求出軸力，并畫出軸力圖2）求伸長量mm伸長縮短縮短.10例題4-2: 已知：l = 54 mm ，di = 15.3 mm，E200 GPa， = 0.3，擰緊后，l 0.04 mm。 試求：(a)

5、 螺栓橫截面上的正應(yīng)力 (b) 螺栓的橫向變形d.11解：1) 求橫截面正應(yīng)力2) 螺栓橫向變形 螺栓直徑縮小 0.0034 mml = 54 mm ，di = 15.3 mm，E200 GPa， = 0.3，l 0.04 mm.12例4-3 節(jié)點(diǎn)位移問題 如圖所示桁架，鋼桿AC的橫截面面積A1=960mm2，彈性模量E1=200GPa。木桿BC的橫截面面積A2=25000mm2，長1m，彈性模量E2=10GPa。求鉸接點(diǎn)C的位移。F = 80 kN。.13分析 通過節(jié)點(diǎn)C的受力分析可以判斷AC桿受拉而BC桿受壓，AC桿將伸長，而BC桿將縮短。 因此，C節(jié)點(diǎn)變形后將位于C3點(diǎn) 由于材料力學(xué)中的

6、小變形假設(shè)，可以近似用C1和C2處的圓弧的切線來代替圓?。ㄒ郧写》ǎ?，得到交點(diǎn)C0.14解 1）分析節(jié)點(diǎn)C,求AC和BC的軸力（均預(yù)先設(shè)為拉力）拉壓伸長縮短.15解2）求AC和BC桿分別的變形量.16解3）分別作AC1和BC2的垂線交于C0C點(diǎn)總位移：(此問題若用圓弧精確求解).17第二節(jié) 圓軸的扭轉(zhuǎn)變形及相對扭轉(zhuǎn)角 在談到圓軸扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力公式的推導(dǎo)時，相距為 dx 的兩個相鄰截面之間有相對轉(zhuǎn)角dj取單位長度扭轉(zhuǎn)角用來表示扭轉(zhuǎn)變形的大小單位長度扭轉(zhuǎn)角的單位: rad/m抗扭剛度越大，單位長度扭轉(zhuǎn)角越小.18 在一段軸上，對單位長度扭轉(zhuǎn)角公式進(jìn)行積分，就可得到兩端相對扭轉(zhuǎn)角j 。相對扭轉(zhuǎn)角的單位

7、: rad當(dāng) 為常數(shù)時：請注意單位長度扭轉(zhuǎn)角和相對扭轉(zhuǎn)角的區(qū)別同種材料階梯軸扭轉(zhuǎn)時:.19例4-4 一受扭圓軸如圖所示，已知：T1=1400Nm， T2=600Nm， T3=800Nm， d1=60mm，d2=40mm，剪切彈性模量G=80GPa，計算最大單位長度扭轉(zhuǎn)角。.201）根據(jù)題意，首先畫出扭矩圖2）AB 段單位長度扭轉(zhuǎn)角：3）BC 段單位長度扭轉(zhuǎn)角：綜合兩段，最大單位扭轉(zhuǎn)角應(yīng)在BC 段 為 0.03978 rad/m.21例4-5 圖示一等直圓桿，已知 d =40mm a =400mm G =80GPa, j DB=1O ,求 : 1) 最大切應(yīng)力 2）j AC.221）畫出扭矩圖2

8、）求最大切應(yīng)力首先要求出M 的數(shù)值.23.24.25第三節(jié) 梁的變形 梁必須有足夠的剛度，即在受載后不至于發(fā)生過大的彎曲變形，否則構(gòu)件將無法正常工作。例如軋鋼機(jī)的軋輥，若彎曲變形過大，軋出的鋼板將薄厚不均勻，產(chǎn)品不合格；如果是機(jī)床的主軸，則將嚴(yán)重影響機(jī)床的加工精度。1、梁的變形.26.27 梁在平面內(nèi)彎曲時，梁軸線從原來沿 x 軸方向的直線變成一條在 xy 平面內(nèi)的曲線，該曲線稱為撓曲線。 某截面的豎向位移，稱為該截面的撓度 某截面的法線方向與x軸的夾角稱為該截面的轉(zhuǎn)角 撓度和轉(zhuǎn)角的大小和截面所處的 x 方向的位置有關(guān)，可以表示為關(guān)于 x 的函數(shù)。撓度方程（撓曲線方程）轉(zhuǎn)角方程1、梁的變形第三

9、節(jié) 梁的變形.28撓度和轉(zhuǎn)角的正負(fù)號規(guī)定在圖示的坐標(biāo)系中， 撓度 w 向上為正，向下為負(fù)。轉(zhuǎn)角規(guī)定截面法線與 x 軸夾角，逆時針為正，順時針為負(fù),即在圖示坐標(biāo)系中撓曲線具有正斜率時轉(zhuǎn)角 q 為正。1、梁的變形.29坐標(biāo)系的建立：坐標(biāo)原點(diǎn)一般設(shè)在梁的左端，并規(guī)定：以變形前的梁軸線為x軸，向右為正；以y軸代表曲線的縱坐標(biāo)（撓度），向上為正。撓度的符號規(guī)定：向上為正，向下為負(fù)。轉(zhuǎn)角的符號規(guī)定：逆時針轉(zhuǎn)向的轉(zhuǎn)角為正；順時針轉(zhuǎn)向的轉(zhuǎn)角為負(fù)。.30撓度和轉(zhuǎn)角的關(guān)系1、梁的變形在小變形假設(shè)條件下?lián)锨€的斜率（一階導(dǎo)數(shù)）近似等于截面的轉(zhuǎn)角.312、撓曲線近似微分方程純彎曲情況下 梁的中性層曲率與梁的彎矩之間的

10、關(guān)系是: 橫力彎曲情況下，若梁的跨度遠(yuǎn)大于梁的高度時，剪力對梁的變形可以忽略不計。但此時彎矩不再為常數(shù)。高等數(shù)學(xué)中，關(guān)于曲率的公式在梁小變形情況下，.322、撓曲線近似微分方程梁的撓曲線近似微分方程最終可寫為.33用積分法求梁的彎曲變形梁的撓曲線近似微分方程對上式進(jìn)行一次積分,可得到轉(zhuǎn)角方程（等直梁 EI 為常數(shù)）再進(jìn)行一次積分,可得到撓度方程其中， C 和 D 是積分常數(shù)，需要通過邊界條件或者連續(xù)條件來確定其大小。.34邊界條件：梁在其支承處的撓度或轉(zhuǎn)角是已知的，這樣的已知條件稱為邊界條件。連續(xù)條件：梁的撓曲線是一條連續(xù)、光滑、平坦的曲線。因此，在梁的同一截面上不可能有兩個不同的撓度值或轉(zhuǎn)角

11、值，這樣的已知條件稱為連續(xù)條件。積分常數(shù)與邊界條件、連續(xù)條件之間的關(guān)系：積分常數(shù)2n個=2n個 邊界條件+連續(xù)條件.35積分常數(shù)的物理意義和幾何意義物理意義：將x=0代入轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程，得即坐標(biāo)原點(diǎn)處梁的轉(zhuǎn)角，它的EI倍就是積分常數(shù)C；坐標(biāo)原點(diǎn)處梁的撓度的EI倍就是積分常數(shù)D。幾何意義：C轉(zhuǎn)角 D撓度.36邊界條件在約束處的轉(zhuǎn)角或撓度可以確定用積分法求梁的彎曲變形.37連續(xù)條件在梁的彎矩方程分段處，截面轉(zhuǎn)角相等，撓度相等。若梁分為n 段積分，則要出現(xiàn)2n 個待定常數(shù)，總可找到2n 個相應(yīng)的邊界條件或連續(xù)條件將其確定。用積分法求梁的彎曲變形.38積分常數(shù)C、D 由梁的位移邊界條件和光滑連續(xù)

12、條件確定。位移邊界條件光滑連續(xù)條件 彈簧變形.39利用積分法求梁變形的一般步驟：建立坐標(biāo)系（一般：坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)在梁的左端），求支座反力，分段列彎矩方程；分段列出梁的撓曲線近似微分方程，并對其積分兩次；利用邊界條件，連續(xù)條件確定積分常數(shù)；建立轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程；計算指定截面的轉(zhuǎn)角和撓度值，特別注意和及其所在截面。.40例4-6 如圖等直懸臂梁自由端受集中力作用，建立該梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程，并求自由端的轉(zhuǎn)角 和撓度 。 用積分法求梁的彎曲變形.41（1）按照圖示坐標(biāo)系建立彎矩方程 請同學(xué)們自己做一下（時間:1分鐘）（2）撓曲線近似微分方程（3）積分用積分法求梁的彎曲變形.42（4）確定積分常數(shù)

13、 由邊界條件代入上面兩式（5）列出轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程，將 C、D 的值代入方程用積分法求梁的彎曲變形.43（6）求B點(diǎn)的撓度和轉(zhuǎn)角在自由端 ， x = l用積分法求梁的彎曲變形.44例4-7 如圖所示，簡支梁受集中力F 作用，已知EI 為常量。試求B 端轉(zhuǎn)角和跨中撓度。用積分法求梁的彎曲變形.45（1）求約束反力FAFB（2）列出彎矩方程AC段CB段（3）建立撓曲線微分方程并積分；由于彎矩方程在C點(diǎn)處分段，故應(yīng)對AC和CB分別計算用積分法求梁的彎曲變形.46FAFBAC段CB段用積分法求梁的彎曲變形.47FAFB利用邊界條件和連續(xù)條件確定四個積分常數(shù)AC段CB段邊界條件:連續(xù)條件:由于撓曲線

14、在C點(diǎn)處是連續(xù)光滑的，因此其左右兩側(cè)轉(zhuǎn)角和撓度應(yīng)相等。 即代入上面的式子用積分法求梁的彎曲變形.48FAFB得到轉(zhuǎn)角方程和撓度方程AC段CB段（5）求B指定截面處的撓度和轉(zhuǎn)角若用積分法求梁的彎曲變形.49 通過積分法我們可以求出梁任意一截面上的撓度和轉(zhuǎn)角，但是當(dāng)載荷情況復(fù)雜時，彎矩方程分段就很多，導(dǎo)致出現(xiàn)大量積分常數(shù)，運(yùn)算較為繁瑣。而在工程中，較多情況下并不需要得出整個梁的撓曲線方程，只需要某指定截面的撓度和轉(zhuǎn)角，或者梁截面的最大撓度和轉(zhuǎn)角，這時采用疊加法比積分法方便。 在桿件符合線彈性、小變形的前提下，變形與載荷成線性關(guān)系，即任一載荷使桿件產(chǎn)生的變形均與其他載荷無關(guān)。這樣只要分別求出桿件上每

15、個載荷單獨(dú)作用產(chǎn)生的變形，將其相加，就可以得到這些載荷共同作用時桿件的變形。這就是求桿件變形的疊加法。 用疊加法求等截面梁的變形時，每個載荷作用下的變形可查教材7879頁表4-2計算得出。疊加法求梁的變形.50一、載荷疊加：多個載荷同時作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形 等于每個載荷單獨(dú)作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形的代數(shù)和。二、結(jié)構(gòu)形式疊加（逐段剛化法）：.51結(jié)構(gòu)形式疊加（逐段剛化法) 原理說明。=+PL1L2ABCBCPL2f1f2等價等價xfxffPL1L2ABC剛化AC段PL1L2ABC剛化BC段PL1L2ABCMxf.52查表時應(yīng)注意坐標(biāo)和載荷的方向、跨長及字符一一對應(yīng)。疊加法求梁的變形.53例4-8

16、 求圖中所示梁跨中點(diǎn)的撓度及 A 點(diǎn)的轉(zhuǎn)角。已知 ，梁的抗彎剛度EI 為常數(shù) 。疊加法求梁的變形.54=+疊加法求梁的變形.55例4-9 如圖，梁的左半段受到均布載荷q 的作用，求 B 端的撓度和轉(zhuǎn)角。梁的抗彎剛度EI 為常數(shù) 。疊加法求梁的變形.56考慮其變形: 由于CB 段梁上沒有載荷，各截面的彎矩均為零，說明在彎曲過程中此段并不產(chǎn)生變形，即CB 仍為直線。根據(jù)幾何關(guān)系可知：由于在小變形的假設(shè)前提下查表:代入上面的計算式疊加法求梁的變形.57 在使用疊加法求解梁的變形時，我們通常需要參考教材表4-2中列出的各種基本形式梁的撓曲線方程和特定點(diǎn)的位移。 類似于外伸梁和其它一些較為復(fù)雜結(jié)構(gòu)的梁的問題中，有些梁是不能直接查表進(jìn)行位移的疊加計算，需要經(jīng)過分析和處理才能查表計算。 一般的處理方式是把梁分段，并把每段按照受力與變形等效的原則變成表中形式的梁，然后查表按照疊加法求解梁的變形。也可將復(fù)雜梁的各段逐段剛化求解位移，最后進(jìn)行