現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法---優(yōu)化設(shè)計(jì)PPT課件.ppt

1、1現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法第二部分 優(yōu)化設(shè)計(jì)（ Optimal design ）2第一章 優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本知識(shí)1-1 概論 尋找最優(yōu)的決策以獲得最好的經(jīng)濟(jì)效果，就促使最優(yōu)化技術(shù)迅速發(fā)展。評(píng)價(jià)一種設(shè)計(jì)方法優(yōu)劣的主要根據(jù)，是設(shè)計(jì)質(zhì)量及設(shè)計(jì)速度。設(shè)計(jì)質(zhì)量取決于所用的基本理論是否正確及設(shè)計(jì)方法恰當(dāng)與否，設(shè)計(jì)速度則取決于設(shè)計(jì)方法及運(yùn)算輔助工具。為提高設(shè)計(jì)質(zhì)量與設(shè)計(jì)速度，采用最佳的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法是極其重要的。 優(yōu)化設(shè)計(jì)是現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法的一個(gè)重要領(lǐng)域，已經(jīng)廣泛應(yīng)用到各個(gè)領(lǐng)域，如在生產(chǎn)中，如何使成本最低？如何合理地分配資源獲得最大經(jīng)濟(jì)效益？如何使設(shè)計(jì)的機(jī)械在滿(mǎn)足各項(xiàng)功能的前提下，使其重量最低、造價(jià)最低等。優(yōu)化設(shè)計(jì)技術(shù)的應(yīng)用，成

2、為促進(jìn)國(guó)民經(jīng)濟(jì)多、快、好、省地發(fā)展的有效方法。3優(yōu)化設(shè)計(jì)的改進(jìn)歷史： 1試算法 這種方法始于20世紀(jì)20代末。試算法以一定的理論公式為根據(jù)，利用已知或假定的技術(shù)條件，通過(guò)多次試算、修改，最終獲得適用的設(shè)計(jì)參數(shù)。 例如，設(shè)計(jì)一個(gè)剛度 一定的圓柱形螺旋壓簧，可以根據(jù)下列剛度公式進(jìn)行試算： 式中 彈簧所受的軸向負(fù)荷， 彈簧的平均直徑，簡(jiǎn)稱(chēng)中徑 彈簧在負(fù)荷P作用下所產(chǎn)生的變形量 彈簧的有效圈數(shù) 彈簧材料的直徑 彈簧材料的切變模量4根據(jù)上式，如己知或先預(yù)定 、 、 、 各參數(shù)，通過(guò)多次試算、修改，就有可能得到壓簧剛度等于或接近于 的設(shè)計(jì)參數(shù)。 剛度公式也可以寫(xiě)成一般的多元函數(shù)表達(dá)式，即式中 代表性能指標(biāo)

3、 ， 是設(shè)計(jì)參量，分別代表 、 、 、 ，所以 。 對(duì)于一個(gè)多元函數(shù)，如要求函數(shù)值一定，固然可以通過(guò)適當(dāng)選定各 值來(lái)滿(mǎn)足要求。但在 既有一定數(shù)值范圍限制又包括部分離散量的情況下，即使經(jīng)過(guò)多次試算，修改，也難獲得理想結(jié)果。計(jì)算量也會(huì)隨著試算次數(shù)的增多而加大。52表格法 這種方法始于20世紀(jì)30年代。它仍以一定的理論計(jì)算公式為根據(jù)，參照常用離散數(shù)列及規(guī)范，預(yù)制出系統(tǒng)的表格，供設(shè)計(jì)者直接查閱。目的在于簡(jiǎn)化設(shè)計(jì)過(guò)程、減少重復(fù)試算量。如螺旋狀拉、壓彈簧設(shè)計(jì)中所用曲度系數(shù)表格。表1-2 彈簧旋繞比與曲度系數(shù)對(duì)照表 制訂上表的根據(jù)是曲度系數(shù)計(jì)算式 ： 在選定C后，依上表即可查得K值。如表列數(shù)值不理想，尚須插

4、值求解。d (mm)0.20.40.4511.12.22.5671618247145125104104846表1-1 彈簧旋繞比的選擇63圖算法 這種方法始于20世紀(jì)40年代。它也以一定的理論公式為根據(jù)，建立圖尺方程，確定圖尺系數(shù)，作出具有專(zhuān)用圖線(xiàn)的算圖。這些專(zhuān)用圖線(xiàn)，避免了函數(shù)值的離散化，使用時(shí)也需用插值法求中間值。圖1-1 曲度系數(shù)K值線(xiàn)圖具體使用方法是：如選 ， ，先分別在 線(xiàn)及 線(xiàn)上找到相應(yīng)的兩點(diǎn)，然后聯(lián)結(jié) 并延長(zhǎng)，與 K 線(xiàn)相交，交點(diǎn)即為K 值，等于1.44。7 4利用一元函數(shù)極值理論的設(shè)計(jì)方法這種方法始于20世紀(jì)40年代末，目的在于獲得理論上的最優(yōu)設(shè)計(jì)性能，是優(yōu)化設(shè)計(jì)的萌芽。如某一

5、設(shè)計(jì)的性能指標(biāo)為 ，諸設(shè)計(jì)參量為 ，并保持一定函數(shù)關(guān)系 的極大值或極小值，表征了設(shè)計(jì)的最優(yōu)性能必要條件： 充分條件：在x*點(diǎn)存在二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。當(dāng) 時(shí)為極大；當(dāng) 時(shí)為極小。所確定的設(shè)計(jì)參量，即為獲得最優(yōu)性能所應(yīng)選用的具體值。實(shí)際上，絕大多數(shù)設(shè)計(jì)都非一元問(wèn)題。這種設(shè)計(jì)方法雖有理論意義，但較少具有實(shí)用價(jià)值。8 5優(yōu)化設(shè)計(jì)法 (最優(yōu)化設(shè)計(jì)Optimal Design)起源：始于上世紀(jì)50年代末，而普及應(yīng)用于70年代概念：是以數(shù)學(xué)規(guī)劃理論為基礎(chǔ)，以電子數(shù)學(xué)計(jì)算為輔助工具的一種設(shè)計(jì)方法 原理：將優(yōu)化技術(shù)應(yīng)用于設(shè)計(jì)過(guò)程之中，最終獲得較理想的設(shè)計(jì)參數(shù)，由于這種設(shè)計(jì)一般多在完成初始設(shè)計(jì)之后進(jìn)行，最終獲得優(yōu)化參

6、數(shù)及結(jié)果，故稱(chēng)之為優(yōu)化設(shè)計(jì)。分類(lèi)：一為直接法（數(shù)值法）：直接計(jì)算函數(shù)值、比較函數(shù)值，并以之作為迭代，收斂根據(jù)的方法。 二為間接法（解析法）：以多變量函數(shù)極值理論為依據(jù)，利用函數(shù)性態(tài)、以之作為迭代，收斂根據(jù)的方法。兩種方法的擇優(yōu)、運(yùn)算過(guò)程，皆按預(yù)編程序在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行。故在有的技術(shù)領(lǐng)域中，亦將此過(guò)程稱(chēng)之為自動(dòng)設(shè)計(jì)。 9優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本思想 優(yōu)化算法各種各樣，但大多數(shù)方法都是采用數(shù)值法，其基本思想是搜索、迭代和逼近。就是說(shuō)，在求解時(shí)，從某一初始點(diǎn)x0出發(fā)，利用函數(shù)在某一局部區(qū)域的性質(zhì)和信息，確定下一步迭代的搜索方向和步長(zhǎng)，去尋找新的迭代點(diǎn)x1。然后用x1取代x0，(對(duì)于極小化問(wèn)題) x1點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值

7、應(yīng)比x0點(diǎn)的值為小。x0d0 x1d1x2d2x3d3xkxk+1xk+1 = xk + akdkdk10機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)的優(yōu)點(diǎn)使傳統(tǒng)機(jī)械設(shè)計(jì)中，求解可行解上升為求解最優(yōu)解成為可能使傳統(tǒng)機(jī)械設(shè)計(jì)中，性能指標(biāo)的校核可以不再進(jìn)行使機(jī)械設(shè)計(jì)的部分評(píng)價(jià)，由定性改定量成為可能使零缺陷（廢品）設(shè)計(jì)成為可能大大提高了產(chǎn)品的設(shè)計(jì)質(zhì)量，從而提高了產(chǎn)品的質(zhì)量大大提高了生產(chǎn)效率，降低了產(chǎn)品開(kāi)發(fā)周期1、美國(guó)BELL公司利用優(yōu)化方法解決450個(gè)設(shè)計(jì)變量的大型結(jié)構(gòu)優(yōu)化問(wèn)題。一個(gè)機(jī)翼質(zhì)量減輕了35%2、波音公司，在747的機(jī)身設(shè)計(jì)中收到了減輕質(zhì)量、縮短生產(chǎn)周期、降低成本的效果。3、武漢鋼鐵公司從德國(guó)引進(jìn)的1700薄板軋機(jī)，經(jīng)該

8、公司自主優(yōu)化之后，就多盈利幾百萬(wàn)歐元。11優(yōu)化設(shè)計(jì)的分類(lèi) 根據(jù)優(yōu)化問(wèn)題的不同特征，可有不同的分類(lèi)方法。 (1) 按有無(wú)約束：無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題和有約束優(yōu)化問(wèn)題。(2) 按設(shè)計(jì)變量的性質(zhì)：連續(xù)變量、離散變量和帶參變量。(3) 按問(wèn)題的物理結(jié)構(gòu)：優(yōu)化控制問(wèn)題和非優(yōu)化控制問(wèn)題。(4) 按模型所包含方程式的特性：線(xiàn)性規(guī)劃、非線(xiàn)性規(guī)劃、二次規(guī)劃和幾何規(guī)劃等。(5) 按變量的確定性性質(zhì)：確定性規(guī)劃和隨機(jī)規(guī)劃。12常用優(yōu)化方法的分類(lèi)13一、實(shí)際技術(shù)問(wèn)題及其數(shù)學(xué)模型 例1 現(xiàn)有一塊薄鐵皮，寬度 b =14厘米，長(zhǎng)度L = 24厘米，制成如圖所示的梯形槽，求斜邊長(zhǎng) x 和傾角為多大時(shí)，槽的容積最大 。1-2 優(yōu)化設(shè)

9、計(jì)的術(shù)語(yǔ)及概念這一優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題是具有兩個(gè)設(shè)計(jì)變量(即x和)的非線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題。14 例2：有一圓形等截面的銷(xiāo)軸，一端固定，一端作用著集中載荷F=1000N和扭矩M=100Nm。由于結(jié)構(gòu)需要，軸的長(zhǎng)度L不得小于8cm，已知銷(xiāo)軸材料的許用彎曲應(yīng)力W=120MPa，許用扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力=80MPa，允許撓度f(wàn)=0.01cm，密度=7.8t/m3，彈性模量E=2105MPa?，F(xiàn)要求在滿(mǎn)足使用要求的條件下，試設(shè)計(jì)一個(gè)用料最省的方案。優(yōu)化目標(biāo)用料最省條件強(qiáng)度條件剛度條件邊界條件15例3 設(shè)某車(chē)間生產(chǎn)A和B兩種產(chǎn)品，每種產(chǎn)品各有兩道工序，分別由兩臺(tái)機(jī)器完成這兩道工序，其工時(shí)列于表中。若每臺(tái)機(jī)器每周至多工作40小時(shí)。

10、產(chǎn)品A的單價(jià)為200元，產(chǎn)品B的單價(jià)為500元。問(wèn)每周A、B產(chǎn)品應(yīng)各生產(chǎn)多少件，可使總產(chǎn)值為最高。（這是生產(chǎn)規(guī)劃的最優(yōu)化問(wèn)題）解： 設(shè)該車(chē)間每周應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品A、B分別為 、 件。則有約束條件為： 該車(chē)間每周的總產(chǎn)值為最大就是目標(biāo)函數(shù)，即：16二、術(shù)語(yǔ)1設(shè)計(jì)變量 概念：設(shè)計(jì)變量是設(shè)計(jì)模型的基本成分，是設(shè)計(jì)最后所需確定的參數(shù)。設(shè)計(jì)變量的個(gè)數(shù)，即是所需求解問(wèn)題的維數(shù)。確定原則：在滿(mǎn)足設(shè)計(jì)基本要求的前提下，應(yīng)恰當(dāng)確定設(shè)計(jì)變量的數(shù)目，盡可能把影響不大的參數(shù)定為設(shè)計(jì)常量，只把對(duì)目標(biāo)函數(shù)影響較大的獨(dú)立參數(shù)選為設(shè)計(jì)變量。設(shè)計(jì)變量的分類(lèi)： )連續(xù)變量：可以在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)連續(xù)取值的變量。 )離散變量：只能在給定數(shù)列或

11、集合中取值的變量。17 2目標(biāo)函數(shù) 概念：以所選定的設(shè)計(jì)變量為自變量，以所要求的性能指標(biāo)為因變量，并按一定關(guān)系所建立起來(lái)的函數(shù)式。 它反映了設(shè)計(jì)性能要求與設(shè)計(jì)參數(shù)之間的關(guān)系。由于目標(biāo)函數(shù)的函數(shù)值大小可以評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)質(zhì)量的優(yōu)劣，也稱(chēng)為評(píng)價(jià)函數(shù)。 設(shè)計(jì)變量的個(gè)數(shù)，確定了目標(biāo)函數(shù)的維數(shù)。設(shè)計(jì)變量的冪及函數(shù)的性態(tài)，確定了目標(biāo)函數(shù)的性質(zhì)。 如果所選的設(shè)計(jì)變量與所要求的性能指標(biāo)之間無(wú)精確的函數(shù)關(guān)系，亦可采用曲線(xiàn)擬合、多元回歸或其他近似計(jì)算方法，獲得近似的函數(shù)式作為目標(biāo)函數(shù)。 如果在同一設(shè)計(jì)中，需要滿(mǎn)足一個(gè)以上的性能指標(biāo)，則可分別建立一個(gè)以上的目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式，并以之作為初始模型。這種目標(biāo)函數(shù)稱(chēng)為多目標(biāo)函數(shù)。18

12、3約束條件 概念：對(duì)設(shè)計(jì)變量的取值加以某些限制的條件稱(chēng)為約束條件。分類(lèi)：包括常量約束與約束方程兩類(lèi)。常量約束亦稱(chēng)邊界約束，它表明設(shè)計(jì)變量的允許取值范圍。約束方程亦稱(chēng)性能約束，它是以所選定的設(shè)計(jì)變量為自變量，利用幾何關(guān)系、設(shè)計(jì)規(guī)范，建立起來(lái)的函數(shù)式，它常用來(lái)限制某些設(shè)計(jì)性能。約束方程又分不等式約束和等式約束?？梢岳靡欢ǚ椒ǎ瑢⒓s束形式相互轉(zhuǎn)變。如 ，可轉(zhuǎn)變?yōu)?；亦可轉(zhuǎn)變?yōu)?。在所需求解的問(wèn)題中，有時(shí)并無(wú)約束，有時(shí)則有約束。194.設(shè)計(jì)空間及設(shè)計(jì)可行域 為便于分析、研究，應(yīng)用矩陣向量的知識(shí)，可將設(shè)計(jì)模型轉(zhuǎn)化為設(shè)計(jì)空間，并在此空間內(nèi)，討論擇優(yōu)過(guò)程。如將設(shè)計(jì)方案抽象為一個(gè)空間向量X，并將與之有關(guān)的各

13、設(shè)計(jì)變量抽象為各分向量(x1，x2， xn)，且各分向量線(xiàn)性獨(dú)立，則以各分向量為軸所構(gòu)成的空間，即為設(shè)計(jì)空間。如有n個(gè)獨(dú)立的設(shè)計(jì)變量，就可相應(yīng)地構(gòu)成n維空間。稱(chēng)為n維歐氏空間，記為En 。20顯然，在設(shè)計(jì)空間中的每一個(gè)點(diǎn)，都唯一地確定了一個(gè)空間向量，它代表了一組分向量及其數(shù)值，實(shí)際上也就代表了一種具體的設(shè)計(jì)方案。如在設(shè)計(jì)空間中存在著使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到極值的點(diǎn)，則該點(diǎn)就代表著一種優(yōu)化設(shè)計(jì)方案。如在該空間中僅有一極值點(diǎn)，則它就是全空間中的最優(yōu)設(shè)計(jì)方案。該點(diǎn)常用 表示。21在設(shè)計(jì)空間中，被約束條件所限定的區(qū)域K，即為設(shè)計(jì)可行域，如圖所示。其中 ， ， 為約束條件?？尚杏蚣s束的個(gè)數(shù) p 必須小于設(shè)計(jì)變量的

14、個(gè)數(shù) n22 設(shè)計(jì)可行域是設(shè)計(jì)空間的一個(gè)局部。優(yōu)化設(shè)計(jì)的尋優(yōu)過(guò)程，一般只應(yīng)在此區(qū)域內(nèi)進(jìn)行。最后確定的優(yōu)化點(diǎn)，也只能在此可行域內(nèi)，或在可行域的邊界上。否則，所得的設(shè)計(jì)參數(shù)將因超出約束而失去實(shí)用價(jià)值。 無(wú)約束優(yōu)化：在沒(méi)有限制的條件下，對(duì)設(shè)計(jì)變量求目標(biāo)函數(shù)的極小點(diǎn)，其極小點(diǎn)在目標(biāo)函數(shù)等值面的中心。 約束優(yōu)化：在可行域內(nèi)對(duì)設(shè)計(jì)變量求目標(biāo)函數(shù)的極小點(diǎn)，其極小點(diǎn)在可行域內(nèi)或在可行域邊界上。235. 優(yōu)化設(shè)計(jì)的一般數(shù)學(xué)模型 優(yōu)化設(shè)計(jì)一般常按兩大類(lèi)情況建模： 無(wú)約束極小化模型和有約束極小化模型。24 它一般地概括了設(shè)計(jì)中要求最復(fù)雜的情況，是有約束極小化模型。如僅有 (或包括 )，則稱(chēng)具有不等式約束。如僅有 ，

15、則稱(chēng)具有等式約束。如僅有 ，則稱(chēng)具有常量約束。目標(biāo)函數(shù)設(shè)計(jì)變量不等式約束條件等式約束條件常量約束條件25 設(shè)計(jì)中常遇到目標(biāo)函數(shù)為極大化問(wèn)題，因?yàn)?，故將研究、分析的重點(diǎn)放在極小化方面。 又由于可以利用一定的數(shù)學(xué)方法，將多目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)閱文繕?biāo)函數(shù)，有約束的模型轉(zhuǎn)化為無(wú)約束的模型，故對(duì)單目標(biāo)函數(shù)、無(wú)約束極小問(wèn)題的探討，應(yīng)成為探討優(yōu)化技術(shù)的基點(diǎn)和起點(diǎn)。26 三、優(yōu)化設(shè)計(jì)過(guò)程的形象化表達(dá) 優(yōu)化設(shè)計(jì)，就是根據(jù)設(shè)計(jì)模型及初始設(shè)計(jì)參數(shù)，利用一定的優(yōu)化方法編出程序，通過(guò)計(jì)算機(jī)，求出優(yōu)化參數(shù)及優(yōu)化性能指標(biāo)。為便于形象化表達(dá)擇優(yōu)過(guò)程，現(xiàn)在以二元函數(shù)為例進(jìn)行分析。1.等值線(xiàn)與優(yōu)化點(diǎn) 等值線(xiàn)圖等同于地圖上的等高線(xiàn)圖，

16、它表達(dá)了二元函數(shù)函數(shù)值大小及其變化規(guī)律，它是以相等數(shù)值點(diǎn)的連線(xiàn)表示連續(xù)分布且逐漸變化的數(shù)量特征的一種圖形。27例 目標(biāo)函數(shù)f (x)一60 x1一120 x2的等值線(xiàn)族。這是一組相互平行的直線(xiàn)，函數(shù)值沿箭頭所指方間逐漸下降。如圖所示。28 Ox1 f(X)x2C3C1C2f(X) =C3f(X) =C2f(X) =C1f (X)=f (x1, x2)有心等值線(xiàn)族X(qián)*29 若將這些曲線(xiàn)投影于下x1 ，x2 軸所構(gòu)成的平面內(nèi)，則得一組等值線(xiàn)，如圖所示。它們亦相當(dāng)于過(guò)C 軸上Ci 各點(diǎn)所作。 圖 1-4 平行于x1x2平面的各平面與空間曲面的交線(xiàn)在x1x2平面上的投影，它們形象地表達(dá)了函數(shù)值的大小及

17、其變化規(guī)律， ， 點(diǎn)即函數(shù)值的極小點(diǎn)， 表示該點(diǎn)的函數(shù)值( 軸垂直于紙面)。 30 可以證明，對(duì)于二元函數(shù)，如有極值點(diǎn)存在，則在該點(diǎn)附近的等值線(xiàn)為一族共心橢園。設(shè) 為函數(shù) 的一個(gè)極值點(diǎn)，則 一元函數(shù)的泰勒展開(kāi)式：二元函數(shù)的泰勒展開(kāi)式：31),( ),( ),( *2*122*2*1),(12*2*111222121xxfaxxfaxxfaxxxx=如令32所以，Hesse矩陣必須是正定的。 如以上條件成立，則亦表明等值線(xiàn)方程為橢圓方程，故在極值點(diǎn)附近，對(duì)于某些常數(shù) 的等值線(xiàn)，都是以 為中心的橢圓，該中心即優(yōu)化點(diǎn) 。 可見(jiàn)，在圖示 坐標(biāo)所構(gòu)成設(shè)計(jì)場(chǎng)內(nèi)，橢圓族的中心 即優(yōu)化設(shè)計(jì)方案所在。 33例

18、函數(shù)f(x)xl2十x22一4x1十4的圖形(旋轉(zhuǎn)拋物面)，以及用平面f(X)c 切割該拋物面所得交線(xiàn)在設(shè)計(jì)空間中的投影。函數(shù)的等值面族34(a) 問(wèn)題的立體圖 (b) 設(shè)計(jì)空間的關(guān)系圖例 優(yōu)化問(wèn)題的圖解法352擇優(yōu)過(guò)程的形象表達(dá) 仍以二元函數(shù)為例，已知該函數(shù)的極小值點(diǎn) 及其附近的等值線(xiàn)族，如圖1-5所示。圖中的 點(diǎn)代表任選的一組初始設(shè)計(jì)參數(shù)。極小化的優(yōu)化過(guò)程，就是從 點(diǎn)開(kāi)始，按照一定的方向，以一定步長(zhǎng)，一步步地接近 點(diǎn)，直到滿(mǎn)足要求的條件時(shí)止。36圖1-5 擇優(yōu)過(guò)程 具體的一種過(guò)程：如從X0點(diǎn)開(kāi)始，先沿x1軸方向一步步前進(jìn)，由于C1C2C3C*，故每走一步后，函數(shù)值皆有所改善。當(dāng)達(dá)到X15點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值反而增大，這時(shí)應(yīng)退回到X14點(diǎn)。然后沿x2軸方向一步步前進(jìn)，直到X24點(diǎn)，函數(shù)值反而增大時(shí)再退回到X23點(diǎn)。然后再沿著x1軸方向搜索，當(dāng)發(fā)現(xiàn)函數(shù)值增大時(shí)止，后撤一步，再次換軸。如此反復(fù)搜索、反復(fù)迭代，直到接近X*時(shí)止。這就是擇優(yōu)、搜索、迭代的一種過(guò)程。37 由上例可見(jiàn)，擇優(yōu)過(guò)程也就是按照一定方向，一步步地接近優(yōu)化點(diǎn) 的過(guò)程。它的根本問(wèn)題可歸納為：如何