2022年線性代數(shù)題庫(kù)及答案6套

1、線代參考一PAGE PAGE 28線性代數(shù)題庫(kù)一填空題(每小題3分,滿分30分)寫出4階行列式中含因子的項(xiàng)為_。行列式的充分必要條件為_。設(shè)A為方陣,滿足,則_。同階方陣,若,必有,則應(yīng)為_矩陣。設(shè)A為n階方陣,有非零解,則A必有一個(gè)特征值為_。設(shè)相似于對(duì)角陣,則_。設(shè)向量組是向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組,則與間關(guān)系為_。由所生成的線性空間為_。二次型的正定性為_。若,且,則_。(8分)計(jì)算2n階行列式(8分)解矩陣方程 求四. (10分)設(shè)向量組A: 求向量組A的秩及一個(gè)最大無(wú)關(guān)組.五. 12分)討論方程組的解的情況 六. (16分)求正交變換,將二次型 化為標(biāo)準(zhǔn)形,并寫出其標(biāo)準(zhǔn)形.七. (8分)

2、設(shè)且線性無(wú)關(guān), 證明:線性無(wú)關(guān). 八. (8分)為n階方陣,且與均不可逆. 則可否對(duì)角化?2010線性代數(shù)期末試題及參考答案一、判斷題(正確填T，錯(cuò)誤填F。每小題2分，共10分) 1 A是n階方陣，則有。 （ ）2 A，B是同階方陣，且，則。 （ ）3如果與等價(jià)，則的行向量組與的行向量組等價(jià)。 ( )4若均為階方陣，則當(dāng)時(shí)，一定不相似。 ( )5n維向量組線性相關(guān)，則也線性相關(guān)。 （ ）二、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共15分）1下列矩陣中，（ ）不是初等矩陣。（A） (B) (C) (D) 2設(shè)向量組線性無(wú)關(guān)，則下列向量組中線性無(wú)關(guān)的是（ ）。（A） （B） （C） （D）3設(shè)A為n階方陣，且。

3、則（） (A) (B) (C) (D) 4設(shè)為矩陣，則有（ ）。（A）若，則有無(wú)窮多解；（B）若，則有非零解，且基礎(chǔ)解系含有個(gè)線性無(wú)關(guān)解向量；（C）若有階子式不為零，則有唯一解；（D）若有階子式不為零，則僅有零解。5若n階矩陣A，B有共同的特征值，且各有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，則（ ） （A）A與B相似 （B），但|A-B|=0 （C）A=B （D）A與B不一定相似，但|A|=|B| 三、填空題（每小題4分，共20分）1 。2為3階矩陣，且滿足3,則=_， 。3向量組，是線性 （填相關(guān)或無(wú)關(guān)）的，它的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組是 。4 已知是四元方程組的三個(gè)解，其中的秩=3，則方程組的通解為 。5設(shè)，

4、且秩(A)=2，則a= 。四、計(jì)算下列各題（每小題9分，共45分）。1已知A+B=AB，且，求矩陣B。2.設(shè)，而，求。3.已知方程組有無(wú)窮多解，求a以及方程組的通解。4.求一個(gè)正交變換將二次型化成標(biāo)準(zhǔn)型5 A，B為4階方陣，AB+2B=0，矩陣B的秩為2且|E+A|=|2E-A|=0。（1）求矩陣A的特征值；（2）A是否可相似對(duì)角化？為什么？；（3）求|A+3E|。五證明題（每題5分，共10分）。1若是對(duì)稱矩陣，是反對(duì)稱矩陣，是否為對(duì)稱矩陣？證明你的結(jié)論。2設(shè)為矩陣，且的秩為n，判斷是否為正定陣？證明你的結(jié)論。線性代數(shù)試題解答一、1（F）（）2（T） 3（F）。如反例：，。4（T）（相似矩陣行

5、列式值相同）5（F）二、1選B。初等矩陣一定是可逆的。2選B。A中的三個(gè)向量之和為零，顯然A線性相關(guān)； B中的向量組與，等價(jià), 其秩為3，B向量組線性無(wú)關(guān)；C、D中第三個(gè)向量為前兩個(gè)向量的線性組合，C、D中的向量組線性相關(guān)。3選C 。由，)。4選D。A錯(cuò)誤，因?yàn)椋荒鼙ＷC；B錯(cuò)誤，的基礎(chǔ)解系含有個(gè)解向量；C錯(cuò)誤，因?yàn)橛锌赡?，無(wú)解；D正確，因?yàn)椤?選A。A正確，因?yàn)樗鼈兛蓪?duì)角化，存在可逆矩陣，使得，因此都相似于同一個(gè)對(duì)角矩陣。三、1 （按第一列展開）2 ；（=）3 相關(guān)（因?yàn)橄蛄總€(gè)數(shù)大于向量維數(shù)）。 。因?yàn)?，? 。因?yàn)?，原方程組的導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系中只含有一個(gè)解向量，取為，由原方程組的通解可表為

6、導(dǎo)出組的通解與其一個(gè)特解之和即得。5（四、1解法一：。將與組成一個(gè)矩陣，用初等行變換求。=。故 。解法二：。，因此。2解：，。3解法一：由方程組有無(wú)窮多解，得，因此其系數(shù)行列式。即或。當(dāng)時(shí)，該方程組的增廣矩陣于是，方程組有無(wú)窮多解。分別求出其導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，原方程組的一個(gè)特解，故時(shí)，方程組有無(wú)窮多解，其通解為，當(dāng)時(shí)增廣矩陣，此時(shí)方程組無(wú)解。解法二：首先利用初等行變換將其增廣矩陣化為階梯形。由于該方程組有無(wú)窮多解，得。因此，即。求通解的方法與解法一相同。4解：首先寫出二次型的矩陣并求其特征值。二次型的矩陣，因此得到其特征值為，。再求特征值的特征向量。解方程組，得對(duì)應(yīng)于特征值為的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)

7、的特征向量，。解方程組得對(duì)應(yīng)于特征值為的一個(gè)特征向量。再將，正交化為，。最后將，單位化后組成的矩陣即為所求的正交變換矩陣，其標(biāo)準(zhǔn)形為。5 解：（1）由知-1，2為的特征值。，故-2為的特征值，又的秩為2，即特征值-2有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，故的特征值為-1，2，-2，-2。（2）能相似對(duì)角化。因?yàn)閷?duì)應(yīng)于特征值-1，2各有一個(gè)特征向量，對(duì)應(yīng)于特征值-2有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，所以有四個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，故可相似對(duì)角化。（3）的特征值為2，5，1，1。故=10。五、1為對(duì)稱矩陣。 證明： =，所以為對(duì)稱矩陣。2為正定矩陣。證明：由知為對(duì)稱矩陣。對(duì)任意的維向量，由得， =，由定義知是正定矩陣。

8、線性代數(shù)參考題二填空題(每小題3分,滿分30分)設(shè)都是5階矩陣,且,則 已知,則 (其中I是n階單位陣),已知矩陣A的秩r(A)=2,則 4,又是的代數(shù)余子式, 則 5若一向量組只有唯一的極大無(wú)關(guān)組,則該向量組 6設(shè)是正定二次型, 則的取值區(qū)間為 7設(shè)是階正交矩陣,則 8設(shè) 相似于對(duì)角陣,則 9設(shè)非齊次線性方程組的兩個(gè)解為的秩為,則 的一般解 .10已知向量組的 秩為2,則 二(8分)計(jì)算n階行列式三(8分)求矩陣滿足四(10分)設(shè) 求向量組的秩及其一個(gè)極大無(wú)關(guān)組.五. (12分)問(wèn)常數(shù)各取何值時(shí), 方程組 無(wú)解,有唯一解,或有無(wú)窮多解,并在有無(wú)窮多解時(shí)寫出其一般解.六. (16分)求正交變換

9、,將二次型化為 標(biāo)準(zhǔn)形,并寫出其標(biāo)準(zhǔn)形.七. (8分)設(shè)向量線性無(wú)關(guān),且 證明向量組線性無(wú)關(guān). 八. (8分)為n階方陣,且與均不可逆。 試討論是否相似于對(duì)角陣,并說(shuō)明理由.線性代數(shù)參考題三填空題(每小題3分,滿分30分)設(shè)都是階方陣,且則 .設(shè)是矩陣,是的轉(zhuǎn)置矩陣,且的行向量組線性無(wú)關(guān). 則秩 是 次多項(xiàng)式.4.若 5.階數(shù)量矩陣的相似矩陣是 6.若是實(shí)對(duì)稱矩陣,則屬于的不同特征值的特征向量一定 7.向量組線性 關(guān).8.設(shè)是可逆矩陣的一個(gè)特征值,則矩陣有一個(gè)特征值等于 9.設(shè)是矩陣,則齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是 10.設(shè)是階正定矩陣,則方程組的解的集合是 二.計(jì)算題(每題8分,共

10、40分)計(jì)算階行列式3.用初等變換法求下列矩陣的逆4.設(shè)中的兩組基為:其中 求基到基的過(guò)渡矩陣求三.(10分)求下列向量組的秩和一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組.并說(shuō)明該向量組是線性相關(guān)還是線性無(wú)關(guān).四.(6分)判斷下面二次型是否正定二次型五.(14分)，求可逆矩陣,使得為對(duì)角矩陣,并且給出線性代數(shù)參考題四填空題(每小題3分,滿分30分)設(shè) 都是4維列向量,且4階行列式則4階行列式_已知線性相關(guān),不能由線性表示則線性 _設(shè)是階矩陣 ,是階矩陣,且,則的取值范圍是_4.設(shè)是43矩陣,且的秩且則_5.設(shè)0是矩陣的特征值,則_6.設(shè)是正定二次型,則的取值區(qū)間為 7.矩陣對(duì)應(yīng)的二次型是_8. 設(shè)相似于對(duì)角陣,則9.

11、設(shè)為3階方陣,為伴隨矩陣,則=_ 10.設(shè)是不可逆矩陣,則_(8分)計(jì)算行列式三.(8分) 三階方陣滿足關(guān)系式:,且,求四.(10分)設(shè) 求向量組的秩及其一個(gè)極大無(wú)關(guān)組.五. (12分)問(wèn)常數(shù)取何值時(shí), 方程組 無(wú)解,有唯一解,或有無(wú)窮多解,并在有無(wú)窮多解時(shí)寫出其一般解.六. (16分)求正交變換,將二次型化為 標(biāo)準(zhǔn)形,并寫出其標(biāo)準(zhǔn)形.七. (8分)設(shè) 都是階矩陣,且可逆,證明與有相同的特征值八. (8分) 設(shè)向量組線性無(wú)關(guān),向量可由向量組線性表示,而向量不能由向量組線性表示.證明:個(gè)向量必線性無(wú)關(guān).線性代數(shù)參考題五填空題 (每小題3分，滿分30分)1.= 已知= (0, -1 , 2)T ,

12、 =(0, -1 , 1)T , 且A =T , 則A4 = 設(shè)A、B為4階方陣，且=2，=81，則= 設(shè)3階方陣A的非零特征值為5，-3，則= 與向量組1= (,)T , 2= (, -, -)T , 3= (, -, -)T ,都正交的單位向量4= A是34矩陣，其秩rank=2, B=, 則rank= _ 設(shè)1、2是非齊次方程組Ax=b的兩個(gè)不同的解，是對(duì)應(yīng)的齊次方程組的基礎(chǔ)解系，則用1 ,2 ,表示Ax=b的通解為 向量組1= (1, 1 , 1)T , 2= (1, 2 ,4)T , 3= (1, a , a2)T 線性無(wú)關(guān)的充要條件為a 且a 。設(shè)可逆方陣A的特征值為，則kA-1的

13、特征值為 。f(x1, x2, x3)= x12+ax22+2x32-2x1x2為正定二次型，則a的取值范圍為 二.（10分）計(jì)算n階行列式Dn = 三（8分）設(shè)A、B為3階矩陣，且A2B = A + B E ， 其中A =，E為3階單位矩陣，求矩陣B。四.（8分）確定a、b的值，使矩陣 A=的秩為2。五.（10分）設(shè)1= (1, 0, 2, 1)T , 2= (1, 2, 0, 1)T , 3= (2, 1, 3, 0)T , 4= (2, 5, -1, 4)T , 求此向量組的秩及一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。 （8分）設(shè)1 ,2 , ,n ,n+1線性相關(guān)，而其中任意 n個(gè)向量均線性無(wú)關(guān)， 證明:必存

14、在（n+1）個(gè)全不為零的數(shù)k1 ,k2 , kn ,kn+1使得k11 + k22 + + knn + kn+1n+1 = 0七、（10分）設(shè)齊次方程組 a11x1 + a12x2 + + a1nxn = 0 , a21x1 + a22x2 + + a2nxn = 0 , an1x1 + an2x2 + + annxn = 0 ,的系數(shù)行列式=0，A的某一元素akj的代數(shù)余子式Akj0，證明: x = (Ak1 , Ak2 , , Akn)T為此方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系。八、（16分）求正交矩陣P，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形并寫出此標(biāo)準(zhǔn)形。 f(x1, x2, x3) = -x12-x22-x32+4x1

15、x2+4x1x3-4x2x3線性代數(shù)參考六一.填空題(每小題3分,滿分30分)設(shè)是3階矩陣,且,其中均為3維行向量, ,則行列式 2.已知方陣滿足(為常數(shù)),則 3.設(shè),則應(yīng)滿足_.4.設(shè)線性相關(guān), 線性無(wú)關(guān),則線性_關(guān).5.設(shè)線性相關(guān),則滿足關(guān)系式_6.設(shè)A滿足,則A有特征值_7.設(shè)A為n階方陣,且是的三個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量, 則的一個(gè)基礎(chǔ)解系為_.8.二次型正定,則滿足條件 _.9.設(shè)方陣相似于對(duì)角矩陣,則_.10.設(shè)A是矩陣,則_二.(8分)計(jì)算n階行列式三(8分)設(shè) , 求矩陣,使?jié)M足下面的關(guān)系式: 四.(10分)設(shè)向量組 確定的值,使向量組的秩為2,并求一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組.五. (8分

16、)設(shè)線性方程組 的系數(shù)矩陣為A,設(shè)B為3階方陣,已知,且,求的值.六. (14分)設(shè)實(shí)二次型 求正交變換,將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形.確定該二次型的正定性.七. (8分)設(shè)列向量是一個(gè)n維實(shí)向量,已知是單位向量.令矩陣 證明:是一個(gè)對(duì)稱的正交矩陣. 八.(14分)已知和是線性空間的兩組基,其中 求由基到基的過(guò)渡矩陣A.設(shè)向量在基下的坐標(biāo)為,求在基下的坐標(biāo).線性代數(shù)參考題一答案：填空題(每小題3分,滿分30分)1與；2.；3.；4.可逆陣或滿秩陣或非奇異陣；5.特征根為0；6.；7.；8.；9.負(fù)定；10.陳治中版線性代數(shù)例題1.5.7（p.26）答案：令則令，則因而，構(gòu)成一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，且陳治中版線性

17、代數(shù)習(xí)題4.6（p.121）答案：p.211將二次型化成矩陣，顯然為實(shí)對(duì)稱陣，可以正交對(duì)角化的，即由特征方程，得，當(dāng) 對(duì)應(yīng)的特征向量為，標(biāo)準(zhǔn)化為；當(dāng) 對(duì)應(yīng)的特征向量為和正交化，標(biāo)準(zhǔn)化為 ，標(biāo)準(zhǔn)化因而，且令由 以及線性無(wú)關(guān)得線性無(wú)關(guān)。由已知有 及 ，顯然有特征根分別為0和。故此可對(duì)角化。線性代數(shù)參考題二答案： 當(dāng) 當(dāng) 單位化得正交矩陣 所以得到標(biāo)準(zhǔn)型：線性代數(shù)參考題三答案：二. 1）；2）；3）；4）5）三四五特征根為：當(dāng)，當(dāng)，故 線性代數(shù)參考題四答案：四 線性代數(shù)參考題五答案：二.五. ； 且 線性代數(shù)參考題六答案：一.填空題答案1-1；2. ；3.；4.線性相關(guān)；5.；6. 1；7.；8.；9.；10. 2二. 居余馬線性代數(shù)$1.2 例8(p.17)：將按第一行展開，