新教材人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊-第四章-數(shù)列-精品教學(xué)課件(共279頁)

1、4.1數(shù)列的概念第1課時(shí)數(shù)列的概念與簡單表示第2課時(shí)數(shù)列的遞推公式第1課時(shí)等差數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式4.2.1等差數(shù)列的概念第2課時(shí)等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用第1課時(shí)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和4.2.2等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式第2課時(shí)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)及應(yīng)用第1課時(shí)等比數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式4.3.1等比數(shù)列的概念第2課時(shí)等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用第1課時(shí)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和4.3.2等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式第2課時(shí)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)及應(yīng)用4.4數(shù)學(xué)歸納法第四章 數(shù)列一、數(shù)列1.定義:一般地,我們把按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列.2.項(xiàng):數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).數(shù)列的第一個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第1

2、項(xiàng),常用符號a1表示;第二個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第2項(xiàng),用a2表示第n個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng),用an表示.其中第1項(xiàng)也叫做首項(xiàng).3.表示:數(shù)列的一般形式是a1,a2,an,簡記為an.名師點(diǎn)析(1)數(shù)列是按一定的“順序”排列的一列數(shù),有序性是數(shù)列的基本屬性.數(shù)相同而順序不同的兩個(gè)數(shù)列是不相同的數(shù)列,例如1,2,3,與3,2,1就是不同的數(shù)列.(2)符號an和an是不同的概念,an表示一個(gè)數(shù)列,而an表示數(shù)列中的第n項(xiàng).4.1數(shù)列的概念第1課時(shí)數(shù)列的概念與簡單表示微思考數(shù)列與集合之間有怎樣的區(qū)別與聯(lián)系?提示:(1)集合中的元素具有確定性、無序性、互異性,而數(shù)列中的項(xiàng)具有確定性、有序

3、性、可重復(fù)性;(2)集合中的元素可以是數(shù),也可以是點(diǎn)、方程以及其他事物等,但數(shù)列中的每一項(xiàng)必須是數(shù);(3)數(shù)列an不是集合,它是數(shù)列的一個(gè)整體符號,an表示數(shù)列a1,a2,a3,an,而an表示數(shù)列的第n項(xiàng).二、數(shù)列的分類 類別含義按項(xiàng)的個(gè)數(shù)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列無窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列按項(xiàng)的變化趨勢遞增數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列遞減數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列常數(shù)列各項(xiàng)相等的數(shù)列擺動(dòng)數(shù)列從第2項(xiàng)起,有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng),有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列微練習(xí)下列敘述正確的是()A.所有數(shù)列可分為遞增數(shù)列和遞減數(shù)列兩類B.數(shù)列中的數(shù)由它的位置序號唯一確定C.數(shù)列1,3

4、,5,7可表示為1,3,5,7D.同一個(gè)數(shù)在數(shù)列中不可能重復(fù)出現(xiàn)解析:按項(xiàng)的變化趨勢,數(shù)列可分為遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列、擺動(dòng)數(shù)列等數(shù)列,A錯(cuò)誤;數(shù)列1,3,5,7與由實(shí)數(shù)1,3,5,7組成的集合1,3,5,7是兩個(gè)不同的概念,C錯(cuò)誤;同一個(gè)數(shù)在數(shù)列中可能重復(fù)出現(xiàn),如2,2,2,表示由實(shí)數(shù)2構(gòu)成的常數(shù)列,D錯(cuò)誤;對于給定的數(shù)列,數(shù)列中的數(shù)由它的位置序號唯一確定,B正確.答案:B三、數(shù)列的通項(xiàng)公式如果數(shù)列an的第n項(xiàng)an與它的序號n之間的對應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示,那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.名師點(diǎn)析(1)數(shù)列的通項(xiàng)公式實(shí)際上是一個(gè)以正整數(shù)集N*(或它的有限子集)1,2,n為定義域的

5、函數(shù)表達(dá)式.(2)并不是所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公式.(3)同一數(shù)列的通項(xiàng)公式,其表達(dá)形式可以是不唯一的,例如數(shù)列-1,1,-1,1,-1,1,的通項(xiàng)公式可以寫成an=(-1)n,an=(-1)n+2,an=cos n等.微練習(xí)若數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an=n2-1,則該數(shù)列的第10項(xiàng)a10=,224是該數(shù)列的第項(xiàng).解析:a10=102-1=99.令an=n2-1=224,解得n=15,即224是該數(shù)列的第15項(xiàng).答案:9915探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測數(shù)列的概念及分類 例1給出下列說法:數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)一定是無限的;數(shù)列1,3,2,6,3,9,是遞增的無窮數(shù)列;數(shù)列 ,是遞減的無窮數(shù)列;數(shù)

6、列0,1,4,9,16,的通項(xiàng)公式是an=n2;數(shù)列1,5,2,10,3,15,沒有通項(xiàng)公式;擺動(dòng)數(shù)列也可能有通項(xiàng)公式.其中正確說法的序號是.分析:根據(jù)數(shù)列的定義、分類以及通項(xiàng)公式的概念進(jìn)行判斷. 探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解析:對于,錯(cuò)誤,數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)可以是有限項(xiàng)或無限項(xiàng);對于,錯(cuò)誤,該數(shù)列是無窮數(shù)列,但不是遞增數(shù)列;對于,正確;對于,錯(cuò)誤,該數(shù)列的通項(xiàng)公式是an=(n-1)2;對于,正確. 答案: 探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟數(shù)列類型的判斷在判斷數(shù)列是哪一種類型的數(shù)列時(shí)要緊扣概念及數(shù)列的特點(diǎn).對于是遞增、遞減、擺動(dòng)還是常數(shù)列要從項(xiàng)的變化趨勢來分析;而是有窮

7、還是無窮數(shù)列則看項(xiàng)的個(gè)數(shù)是有限還是無限.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練1下列正確說法的序號是.0,1,2,3,4,5是有窮數(shù)列;按從小到大排列的所有自然數(shù)構(gòu)成一個(gè)無窮遞增數(shù)列;-2,-1,1,3,-2,4,3是一個(gè)項(xiàng)數(shù)為5的數(shù)列;數(shù)列1,2,3,4,2n是無窮數(shù)列.解析:緊扣數(shù)列的有關(guān)概念,驗(yàn)證每一個(gè)說法是否正確.0,1,2,3,4,5是集合,而不是數(shù)列,故錯(cuò)誤;按從小到大排列的所有自然數(shù)構(gòu)成一個(gè)無窮遞增數(shù)列,故正確;同一個(gè)數(shù)在數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn),故此數(shù)列共有7項(xiàng),故錯(cuò)誤;數(shù)列1,2,3,4,2n,共有2n項(xiàng),是有窮數(shù)列,故錯(cuò)誤.答案:探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測

8、根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)求通項(xiàng)公式例2寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式:分析:觀察、分析,尋找數(shù)列的每一項(xiàng)與其所在項(xiàng)的序號之間的關(guān)系.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(2)數(shù)列各項(xiàng)的絕對值分別為1,3,5,7,9,是連續(xù)的正奇數(shù),其通項(xiàng)公式為2n-1;考慮(-1)n+1具有轉(zhuǎn)換符號的作用,所以數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=(-1)n+1(2n-1).(3)各項(xiàng)加1后,分別變?yōu)?0,100,1 000,10 000,此數(shù)列的通項(xiàng)公式為10n,可得原數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=10n-1.(4)數(shù)列中每一項(xiàng)均由三部分組成,分母是從1開始的奇數(shù)列,其通項(xiàng)公式為2n-1;分子的前一部分是從2開始的自然數(shù)的平方,其

9、通項(xiàng)公式為(n+1)2,分子的后一部分是減去一個(gè)自然數(shù),其通項(xiàng)公式為n,綜探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(5)這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)的絕對值都等于序號與序號加1的積的倒數(shù),且奇數(shù)項(xiàng)為負(fù),偶數(shù)項(xiàng)為正,所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式是探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟1.根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫通項(xiàng)公式的具體思路為:(1)先統(tǒng)一項(xiàng)的結(jié)構(gòu),如都化成分?jǐn)?shù)、根式等.(2)分析這一結(jié)構(gòu)中變化的部分與不變的部分,探索變化部分的規(guī)律與對應(yīng)序號間的關(guān)系.(3)對于符號交替出現(xiàn)的情況,可先觀察其絕對值,再用(-1)k處理符號.(4)對于周期出現(xiàn)的數(shù)列,考慮利用周期函數(shù)的知識解答.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成

10、當(dāng)堂檢測2.常見數(shù)列的通項(xiàng)公式(1)數(shù)列-1,1,-1,1,的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=(-1)n,數(shù)列1,-1,1,-1,的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=(-1)n+1或(-1)n-1.(2)數(shù)列1,2,3,4,的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=n.(3)數(shù)列1,3,5,7,的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=2n-1.(4)數(shù)列2,4,6,8,的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=2n.(5)數(shù)列1,2,4,8,的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=2n-1.(6)數(shù)列1,4,9,16,的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=n2.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練2寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式,使它的前4項(xiàng)分別是下列各數(shù):探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測數(shù)列

11、通項(xiàng)公式的應(yīng)用 分析:數(shù)列的前3項(xiàng)已知,由此代入通項(xiàng)公式,可得到關(guān)于a,b,c的方程組,解方程組即得a,b,c的值,從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式,再求a4,a5;探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟數(shù)列中項(xiàng)的判定方法判斷給定的項(xiàng)是不是數(shù)列中的項(xiàng),實(shí)質(zhì)就是一個(gè)解方程的過程.若解得的n是正整數(shù),則該項(xiàng)是此數(shù)列中的項(xiàng);否則,就不是該數(shù)列中的項(xiàng).探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測數(shù)列的單調(diào)性及其應(yīng)用 (1)當(dāng)k=1時(shí),判斷數(shù)列an的單調(diào)性;(2)若數(shù)列an是遞減數(shù)列,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.分析:對于(1),因?yàn)橐阎獢?shù)列的通項(xiàng)公式,所以可以通過比較數(shù)列的

12、相鄰兩項(xiàng)an與an+1的大小來確定數(shù)列的單調(diào)性;對于(2),可根據(jù)數(shù)列是遞減數(shù)列,得出an與an+1的大小關(guān)系,從而確定k的取值范圍.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟判斷數(shù)列的增減性,一般是將其轉(zhuǎn)化為比較相鄰兩項(xiàng)的大小,常用的方法有作差法、作商法.作差法判斷數(shù)列增減性的步驟為先作差,再變形、定號,最后下結(jié)論.作商法適用于各項(xiàng)都是同號的數(shù)列,且應(yīng)比較比值與1的大小關(guān)系.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測A.遞增數(shù)列B.遞減數(shù)列C.常數(shù)列D.擺動(dòng)數(shù)列答案:B 探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測例5(1)已知數(shù)列an滿足an=n2-5n-6,nN*.數(shù)列中有哪些項(xiàng)是負(fù)數(shù)?

13、當(dāng)n為何值時(shí),an取得最小值?求出此最小值.分析:(1)根據(jù)數(shù)列的函數(shù)的特征,以及不等式的解法,即可求出;根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(1)解:an=n2-5n-60,解得0n6.nN*,數(shù)列中第1,2,3,4,5項(xiàng)為負(fù)數(shù),即-10,-12,-12,-10,-6.當(dāng)n0,即an+1an;當(dāng)n=9時(shí),an+1-an=0,即an+1=an;當(dāng)n9時(shí),an+1-an0,即an+1an.故a1a2a3a11a12,數(shù)列中有最大項(xiàng),最大項(xiàng)為第9,10項(xiàng),探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解法二:設(shè)ak是數(shù)列an的最大項(xiàng), 探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂

14、檢測反思感悟求數(shù)列的最大(小)項(xiàng)的兩種方法(1)由于數(shù)列是特殊的函數(shù),所以可以用研究函數(shù)的思想方法來研究數(shù)列的相關(guān)性質(zhì),如單調(diào)性、最大值、最小值等,此時(shí)要注意數(shù)列的定義域?yàn)檎麛?shù)集或其有限子集1,2,n這一條件.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測歸納法求數(shù)列的通項(xiàng)公式典例觀察圖中5個(gè)圖形的相應(yīng)小圓圈的個(gè)數(shù)的變化規(guī)律,猜想第n個(gè)圖中有小圓圈.分析:仔細(xì)觀察每個(gè)圖形中圓圈的個(gè)數(shù)與對應(yīng)順序之間的關(guān)系,從而歸納出第n個(gè)圖形中小圓圈的個(gè)數(shù).解析:觀察圖中5個(gè)圖形小圓圈的個(gè)數(shù)分別為1,12+1,23+1,34+1,45+1,故第n個(gè)圖中小圓圈的個(gè)數(shù)為(n-1)

15、n+1=n2-n+1.答案:n2-n+1探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟歸納是邏輯推理的一類,可以發(fā)現(xiàn)新命題.本例完美詮釋了“觀察現(xiàn)象,歸納規(guī)律,大膽猜想,小心求證”這一認(rèn)識發(fā)展規(guī)律.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測1.下列各項(xiàng)表示數(shù)列的是()A.,B.2 008,2 009,2 010,2 017C.銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形D.a+b,a-b,ab,a解析:數(shù)列是指按照一定次序排列的一列數(shù),而不能是圖形、文字、向量等,只有B項(xiàng)符合.答案:B探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測2.下列數(shù)列既是遞增數(shù)列,又是無窮數(shù)列的是()A.1,2,3,20B.-1,-2

16、,-3,-n,C.1,2,3,2,5,6,D.-1,0,1,2,100,解析:由遞增數(shù)列和無窮數(shù)列的定義知D項(xiàng)正確.答案:D探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測3.已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=log3(2n+1),則a3=.解析:an=log3(2n+1),a3=log3(23+1)=log39=2.答案:2答案:19 探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測第2課時(shí)數(shù)列的遞推公式一、遞推公式如果一個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或多項(xiàng)之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示,那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式.名師點(diǎn)析通項(xiàng)公式和遞推公式的區(qū)別通項(xiàng)公式直接反映了an與n之間的關(guān)系,即已知n的值,就可代入通項(xiàng)公式求

17、得該項(xiàng)的值an;遞推關(guān)系則是間接反映數(shù)列的式子,它是數(shù)列任意兩個(gè)(或多個(gè))相鄰項(xiàng)之間的推導(dǎo)關(guān)系,要求an,需將與之聯(lián)系的各項(xiàng)依次求出.微練習(xí)設(shè)數(shù)列an滿足a1=1,二、數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和1.數(shù)列an從第1項(xiàng)起到第n項(xiàng)止的各項(xiàng)之和,稱為數(shù)列an的前n項(xiàng)和,記作Sn,即Sn=a1+a2+an.如果數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn與它的序號n之間的對應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示,那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.名師點(diǎn)析(1)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn,求an,一般使用公式an=Sn-Sn-1(n2),但必須注意它成立的條件(n2且nN*).(2)由Sn-Sn-1求得的an,若當(dāng)n=1時(shí),a1的值不等于

18、S1的值,則數(shù)列的通項(xiàng)公式應(yīng)采用分段表示,即微練習(xí)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=n2+2,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.解:a1=S1=1+2=3,而n2時(shí),an=Sn-Sn-1=(n2+2)-(n-1)2+2=2n-1.在中,當(dāng)n=1時(shí),21-1=1,故a1不適合式.數(shù)列an的通項(xiàng)公式為探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測由遞推公式求前若干項(xiàng) 分析:由a1的值和遞推公式,分別逐一求出a2,a3,a4,a5的值. 探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟由遞推公式寫出數(shù)列的項(xiàng)的方法根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng),要弄清楚公式中各部分的關(guān)系,依次代入計(jì)算即可.另外,解答這類問題時(shí)還需注意:若已知首項(xiàng),通常將

19、所給公式整理成用前面的項(xiàng)表示后面的項(xiàng)的形式;若已知末項(xiàng),通常將所給公式整理成用后面的項(xiàng)表示前面的項(xiàng)的形式.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練1已知數(shù)列an滿足an=4an-1+3,且a1=0,則此數(shù)列的第5項(xiàng)是()A.15B.255C.16D.63解析:因?yàn)閍1=0,所以a2=4a1+3=3,a3=4a2+3=15,a4=4a3+3=63,a5=4a4+3=255.答案:B探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測由遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式 探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟由遞推公式求通項(xiàng)公式常用的方法有兩種:(1)累加法:當(dāng)an=an-1+f(n)

20、時(shí),常用an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1求通項(xiàng)公式.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測由數(shù)列的前n項(xiàng)和求通項(xiàng)公式例3若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=-2n2+10n,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.解:Sn=-2n2+10n,Sn-1=-2(n-1)2+10(n-1),an=Sn-Sn-1=-2n2+10n+2(n-1)2-10(n-1)=-4n+12(n2).當(dāng)n=1時(shí),a1=-2+10=8=-41+12.此時(shí)滿足an=-4n+12,an=12-4n.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測延伸探究試求本例中Sn的最大值. 又nN*,當(dāng)n=2

21、或n=3時(shí),Sn最大,即S2或S3最大.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測函數(shù)思想在數(shù)列中的應(yīng)用典例在數(shù)列an中,an=3n2-14n-8,求該數(shù)列的最小項(xiàng).方法總結(jié)解決數(shù)列問題時(shí),可以借鑒函數(shù)的方法,但必須注意數(shù)列相對函數(shù)的特殊性,尤其是數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)n只能取正整數(shù).探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測答案:C 探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測2.已知數(shù)列an,an-1=man+1(n1),且a2=3,a3=5,則實(shí)數(shù)m等于()A.0B.C.2D.5解析:由題意,得a2=ma3+1,即3=5m+1,答案:B 探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測3.若數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=-2n2+25n,則

22、數(shù)列an的各項(xiàng)中最大項(xiàng)是()A.第4項(xiàng)B.第5項(xiàng)C.第6項(xiàng)D.第7項(xiàng)答案:C 探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測4.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=n-5an+23,nN*,則數(shù)列an的通項(xiàng)公式an=()答案:C 探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測5.求三角形數(shù)數(shù)列1,3,6,10,的通項(xiàng)公式. 解:用an表示該數(shù)列,則a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,an-an-1=n(n2).以上各式兩邊分別相加,得an-a1=2+3+4+n.a1=1,第1課時(shí)等差數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式4.2.1等差數(shù)列的概念一、等差數(shù)列一般地,如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)

23、常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,公差通常用字母d表示.名師點(diǎn)析等差數(shù)列概念的理解(1)定義中強(qiáng)調(diào)“從第2項(xiàng)起”,因?yàn)榈?項(xiàng)沒有前一項(xiàng).(2)每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差必須是同一個(gè)常數(shù)(因?yàn)橥粋€(gè)常數(shù)體現(xiàn)了等差數(shù)列的基本特征).(3)公差d是每一項(xiàng)(從第2項(xiàng)起)與它的前一項(xiàng)的差,不要把被減數(shù)與減數(shù)弄顛倒.(4)公差可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)、零.(5)等差數(shù)列的增減性與公差d的關(guān)系:當(dāng)d0時(shí),是遞增數(shù)列;當(dāng)d0,a70.(1)求公差d的值;(2)求通項(xiàng)an.又公差d為整數(shù),所以d=-4.(2)因?yàn)榈炔顢?shù)列an的首項(xiàng)為23,公差為-4,所以通項(xiàng)an=23-4(n-1)=-4n+27

24、.第2課時(shí)等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用一、等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系 微練習(xí)若an為等差數(shù)列,ap=q,aq=p(pq),則ap+q為()A.p+qB.0C.-(p+q)解析:設(shè)圖象過點(diǎn)(p,q)和(q,p)的一次函數(shù)為y=kx+b,則 所以圖象過點(diǎn)(p,q)和(q,p)的一次函數(shù)為y=-x+(p+q),由等差數(shù)列和一次函數(shù)的關(guān)系可知an=-n+(p+q),所以ap+q=-(p+q)+(p+q)=0.答案:B二、等差數(shù)列的常用性質(zhì) 名師點(diǎn)析(1)等差數(shù)列an中,若m+n=2p,則am+an=2ap(m,n,pN*).(2)等差數(shù)列an中,若m+n+t=p+q+r,則am+an+at=ap+aq+ar(m

25、,n,t,p,q,rN*).(3)等差數(shù)列an中,微練習(xí)(1)判斷正誤.在等差數(shù)列的通項(xiàng)公式中,an是關(guān)于n的一次函數(shù).()在等差數(shù)列an中,若am+an=ap+aq,則m+n=p+q.()等差數(shù)列去掉前面連續(xù)的若干項(xiàng)后,剩下的項(xiàng)仍構(gòu)成等差數(shù)列.()擺動(dòng)數(shù)列不可能是等差數(shù)列.()在等差數(shù)列an中,若m+n=p,則am+an=ap.()在等差數(shù)列an中,若m+n+p=3t,則am+an+ap=3at.()答案:(2)在等差數(shù)列an中,若a5=7,a9=19,則a2+a12=,a7=.解析:a2+a12=a5+a9=7+19=26.因?yàn)閍5+a9=2a7=26,所以a7=13.答案:2613探究一

26、探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用例1(1)已知等差數(shù)列an,a5=10,a15=25,求a25的值;(2)已知等差數(shù)列an,a3+a4+a5+a6+a7=70,求a1+a9的值;(3)已知數(shù)列an,bn都是等差數(shù)列,且a1=2,b1=-3,a7-b7=17,求a19-b19的值.分析:利用等差數(shù)列的性質(zhì)解決各個(gè)問題. 探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解:(1)(方法1)設(shè)an的公差為d, (方法2)因?yàn)?+25=215,所以在等差數(shù)列an中有a5+a25=2a15,從而a25=2a15-a5=225-10=40.(方法3)因?yàn)?,15,25成等差數(shù)列,所以a5,a15,a25也

27、成等差數(shù)列,因此a25-a15=a15-a5,即a25-25=25-10,解得a25=40.(2)由等差數(shù)列的性質(zhì),得a3+a7=a4+a6=2a5=a1+a9,所以a3+a4+a5+a6+a7=5a5=70,于是a5=14,故a1+a9=2a5=28.(3)令cn=an-bn,因?yàn)閍n,bn都是等差數(shù)列,所以cn也是等差數(shù)列,設(shè)其公差為d,由已知,得c1=a1-b1=5,c7=17,則5+6d=17,解得d=2,故a19-b19=c19=5+182=41.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟求等差數(shù)列基本運(yùn)算的兩種方法一是利用基本量運(yùn)算,借助于a1,d建立方程組進(jìn)行運(yùn)算,這是最基本的方

28、法;二是利用性質(zhì)運(yùn)算,運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)可簡化計(jì)算,往往會有事半功倍的效果.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測延伸探究(1)已知數(shù)列an為等差數(shù)列,且a1+a6+a11=3,則a3+a9=.(2)已知an為等差數(shù)列,a15=8,a60=20,則a75=.解析:(1)因?yàn)閿?shù)列an為等差數(shù)列,所以a1+a11=2a6,即3a6=3,解得a6=1,故a3+a9=2a6=2.(2)因?yàn)閍n為等差數(shù)列,所以a15,a30,a45,a60,a75也成等差數(shù)列,設(shè)其公差為d,則a15為首項(xiàng),a60為其第4項(xiàng),所以a60=a15+3d,即20=8+3d,解得d=4,所以a75=a60+d=20+4=24.答案

29、:(1)2(2)24探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測等差數(shù)列的綜合問題例2(1)設(shè)an是公差為正數(shù)的等差數(shù)列,若a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,求a11+a12+a13的值;(2)已知四個(gè)數(shù)依次成等差數(shù)列,且是遞增數(shù)列,這四個(gè)數(shù)的平方和為94,首尾兩數(shù)之積比中間兩數(shù)之積少18,求此等差數(shù)列.分析:(1)利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解;(2)可設(shè)這四個(gè)數(shù)依次為a-3d,a-d,a+d,a+3d進(jìn)行求解.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解:(1)設(shè)an的公差為d,a1+a3=2a2,a1+a2+a3=15=3a2,a2=5.又a1a2a3=80,an是公差為正數(shù)的等差數(shù)列,a1a3=(5-

30、d)(5+d)=16,解得d=3或d=-3(舍去),a12=a2+10d=35,a11+a12+a13=3a12=105.(2)設(shè)這四個(gè)數(shù)分別為a-3d,a-d,a+d,a+3d,則探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟三個(gè)數(shù)或四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列時(shí),設(shè)未知量的技巧如下:(1)當(dāng)?shù)炔顢?shù)列an的項(xiàng)數(shù)n為奇數(shù)時(shí),可先設(shè)中間一項(xiàng)為a,再用公差為d向兩邊分別設(shè)項(xiàng):,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,.(2)當(dāng)?shù)炔顢?shù)列an的項(xiàng)數(shù)n為偶數(shù)時(shí),可先設(shè)中間兩項(xiàng)為a-d,a+d,再以公差為2d向兩邊分別設(shè)項(xiàng):,a-3d,a-d,a+d,a+3d,.這樣可減少計(jì)算量.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(2)

31、已知三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,且數(shù)列是遞增的,它們的和為18,平方和為116,求這三個(gè)數(shù).答案:A 探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測由得a=6,代入得d=2.該數(shù)列是遞增的,d=-2舍去,d=2,這三個(gè)數(shù)分別為4,6,8.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用例3九章算術(shù)“竹九節(jié)”問題:現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子,自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列,最上面4節(jié)的容積共3升,最下面3節(jié)的容積共4升,則從上往下數(shù),第5節(jié)的容積為()分析:設(shè)出等差數(shù)列的首項(xiàng)與公差,運(yùn)用等差數(shù)列的知識解決. 探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解析:設(shè)所構(gòu)成的等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1,公差為d,則答案:B 探究一探究二探究三

32、素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟解決等差數(shù)列實(shí)際應(yīng)用問題的步驟及注意點(diǎn)1.解答數(shù)列實(shí)際應(yīng)用問題的基本步驟:(1)審題,即仔細(xì)閱讀材料,認(rèn)真理解題意;(2)建模,即將已知條件翻譯成數(shù)學(xué)(數(shù)列)語言,將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題;(3)判型,即判斷該數(shù)列是否為等差數(shù)列;(4)求解,即求出該問題的數(shù)學(xué)解;(5)還原,即將所求結(jié)果還原到實(shí)際問題中.2.在利用數(shù)列方法解決實(shí)際問題時(shí),一定要弄清首項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)等關(guān)鍵問題.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練2第一屆現(xiàn)代奧運(yùn)會于1896年在希臘雅典舉行,以后每4年舉行一次,如因故不能舉行,屆數(shù)照算,那么2020年將在日本東京舉行的奧運(yùn)會是()A.第30屆B.第31屆C

33、.第32屆D.第33屆解析:依題意知舉行奧運(yùn)會的年份構(gòu)成以1 896為首項(xiàng),4為公差的等差數(shù)列,通項(xiàng)公式為an=1 896+4(n-1),令2 020=1 896+4(n-1),解得n=32.答案:C探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測等差數(shù)列的探索性問題 (1)求證:數(shù)列bn為等差數(shù)列.(2)設(shè)cn= ,試問數(shù)列cn中是否存在三項(xiàng),它們可以構(gòu)成等差數(shù)列?若存在,求出這三項(xiàng);若不存在,說明理由.分析:(1)證明(bn+1-bn)為常數(shù);(2)假設(shè)存在三項(xiàng)成等差數(shù)列,利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)列式推出一個(gè)矛盾的結(jié)論.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(2)解:假設(shè)數(shù)列cn中存在三項(xiàng),它們可以構(gòu)成等差數(shù)列.

34、不妨設(shè)為第p,r,q(pr0.a1=1,且a2+a6=a8,2+6d=1+7d,解得d=1.若p-q=10,則ap-aq=10d=10.答案:104.已知直角三角形的三條邊的長度成等差數(shù)列,則它們長度的比等于.解析:設(shè)這個(gè)直角三角形的三邊長分別為a-d,a,a+d,根據(jù)勾股定理,得(a-d)2+a2=(a+d)2,解得a=4d,于是這個(gè)直角三角形的三邊長分別是3d,4d,5d,即這個(gè)直角三角形的三邊長的比是345.答案:345探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測5.某公司2017年經(jīng)銷一種數(shù)碼產(chǎn)品,獲利200萬元,從2018年起,預(yù)計(jì)其利潤每年比上一年減少20萬元.按照這一規(guī)律,如果公司不開發(fā)新

35、產(chǎn)品,也不調(diào)整經(jīng)營策略,從哪一年起,該公司經(jīng)銷這一產(chǎn)品將出現(xiàn)虧損?解:記2017年為第1年,由題設(shè)可知第1年獲利200萬元,第2年獲利180萬元,第3年獲利160萬元,則每年獲利構(gòu)成等差數(shù)列an,且當(dāng)an0時(shí),該公司經(jīng)銷此產(chǎn)品將虧損.設(shè)第n年的利潤為an,因?yàn)閍1=200,公差d=-20,所以an=a1+(n-1)d=220-20n.由題意知,數(shù)列an為遞減數(shù)列,令an0,即an=220-20n11,即從第12年起,也就是從2028年開始,該公司經(jīng)銷此產(chǎn)品將出現(xiàn)虧損.第1課時(shí)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和4.2.2等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及其推導(dǎo) 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)方法倒序相加

36、法.推導(dǎo)過程設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)分別為a1,a2,a3,an-2,an-1,an,Sn=a1+a2+a3+an-2+an-1+an,依等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,得:Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+a1+(n-1)d.再把項(xiàng)的次序反過來,Sn又可以寫成:Sn=an+(an-d)+(an-2d)+an-(n-1)d.兩邊分別相加,得:2Sn=(a1+an)+(a1+an)+(a1+an)=n(a1+an),Sn= .名師點(diǎn)析(1)兩個(gè)公式均為等差數(shù)列的求和公式,一共涉及a1,an,Sn,n,d五個(gè)量.通常已知其中三個(gè),可求其余兩個(gè),而且方法就是解方程(組),這也是等差數(shù)列的基本問題形式之一.微拓

37、展從函數(shù)角度認(rèn)識等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式:(1)公式的變形(2)從函數(shù)角度認(rèn)識公式當(dāng)d0時(shí),Sn是項(xiàng)數(shù)n的二次函數(shù),且不含常數(shù)項(xiàng);當(dāng)d=0時(shí),Sn=na1,Sn不是項(xiàng)數(shù)n的二次函數(shù).(3)結(jié)論及其應(yīng)用已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=An2+Bn+C,若C=0,則數(shù)列an為等差數(shù)列;若C0,則數(shù)列an不是等差數(shù)列.微練習(xí)記等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若a3=0,a6+a7=14,則S7=.解析:設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,因?yàn)閍3=0,a6+a7=14,所以答案:14 探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及其應(yīng)用例1(1)設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和,且a1=1,a4=7,則S9=

38、.(2)設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和,若S3=3,S6=24,則a9=.(3)在等差數(shù)列an中,若a1=1,an=-512,Sn=-1 022,則公差d=.分析:利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式列方程進(jìn)行計(jì)算求解.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解析:(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,則a4=a1+3d=1+3d=7,所以d=2.解得n=4.又由an=a1+(n-1)d,即-512=1+(4-1)d,解得d=-171.答案:(1)81(2)15(3)-171 探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟a1,d,n稱為等差數(shù)列的三個(gè)基本量,an和Sn都可以用這三個(gè)基本量來表示,五個(gè)量a1,

39、d,n,an,Sn中,可知三求二,即等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式中“知三求二”的問題,一般是通過通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式聯(lián)立方程(組)來求解.這種方法是解決數(shù)列運(yùn)算的基本方法.在運(yùn)算中要注意等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練1(1)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)之和為Sn,已知a2=3,a5=9,則S5等于()A.15B.20C.25D.30(2)若等差數(shù)列an的前5項(xiàng)和S5=25,且a2=3,則a7=()A.12B.13C.14D.15(3)已知Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)的和,若a3=16,S20=20,Sn=110,則n=.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測答案:(1

40、)C(2)B(3)10或11 探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測利用an與Sn的關(guān)系解決問題例2(1)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=5n-1,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn= ,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.分析:利用an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式,注意對首項(xiàng)的檢驗(yàn). 解:(1)當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=51-1=4.當(dāng)n2時(shí),an=Sn-Sn-1=(5n-1)-(5n-1-1)=5n-5n-1=45n-1.由于a1=4也適合an=45n-1,因此數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an=45n-1(nN*).探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn,求通項(xiàng)公式an的步驟1

41、.當(dāng)n=1時(shí),a1=S1.2.當(dāng)n2時(shí),根據(jù)Sn寫出Sn-1,化簡an=Sn-Sn-1.3.如果a1也滿足當(dāng)n2時(shí),an=Sn-Sn-1的通項(xiàng)公式,那么數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=Sn-Sn-1;如果a1不滿足當(dāng)n2時(shí),an=Sn-Sn-1的通項(xiàng)公式,那么數(shù)列an的通探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練2已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=n2-9n,第k項(xiàng)滿足5ak8,則k=()A.9B.8C.7D.6解析:當(dāng)n2時(shí),an=Sn-Sn-1=n2-9n-(n-1)2+9(n-1)=2n-10.當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=-8也適合,所以an=2n-10.因?yàn)?ak8,所以52k-108,解得7.5k0

42、,所以an-an-1-4=0,即an-an-1=4,所以數(shù)列an為首項(xiàng)為2,公差為4的等差數(shù)列,故an=2+4(n-1)=4n-2.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測等差數(shù)列在實(shí)際生活中的應(yīng)用例4 某人用分期付款的方式購買一件家電,價(jià)格為1 150元,購買當(dāng)天先付150元,以后每月的這一天都交付50元,并加付欠款利息,月利率為1%.若交付150元后的一個(gè)月開始算分期付款的第一個(gè)月,則分期付款的第10個(gè)月該交付多少錢?全部貸款付清后,買這件家電實(shí)際花費(fèi)多少錢?探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解:設(shè)每次交款數(shù)額依次為a1,a2,a20,則a1=50+1 0001%=60,a2=50+(1 000

43、-50)1%=59.5,a10=50+(1 000-950)1%=55.5,即第10個(gè)月應(yīng)付款55.5元.由于an是以60為首項(xiàng),以-0.5為公差的等差數(shù)列,所以有即全部付清后實(shí)際付款1 105+150=1 255(元). 反思感悟等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用的解題策略建立等差數(shù)列的模型時(shí),要根據(jù)題意找準(zhǔn)首項(xiàng)、公差和項(xiàng)數(shù)或者首項(xiàng)、末項(xiàng)和項(xiàng)數(shù).探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練3甲、乙兩物體分別從相距70 m的兩處同時(shí)相向運(yùn)動(dòng),甲第1分鐘走2 m,以后每分鐘比前1分鐘多走1 m,乙每分鐘走5 m.(1)甲、乙開始運(yùn)動(dòng)后幾分鐘相遇?(2)如果甲、乙到達(dá)對方起點(diǎn)后立即返回,甲繼續(xù)每分鐘比前1分鐘多走1

44、 m,乙繼續(xù)每分鐘走5 m,那么開始運(yùn)動(dòng)幾分鐘后第二次相遇?探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測整理得n2+13n-140=0.解得n=7,n=-20(舍去).所以第1次相遇是在開始運(yùn)動(dòng)后7分鐘.(2)設(shè)n分鐘后第2次相遇,由題意,整理得n2+13n-420=0.解得n=15,n=-28(舍去).所以第2次相遇是在開始運(yùn)動(dòng)后15分鐘.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)典例已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=n2+2,求此數(shù)列的通項(xiàng)公式.解:當(dāng)n2時(shí),an=Sn-Sn-1=n2+2-(n-1)2-2=2n-1;當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=12+2=3,不適合上式,方法點(diǎn)睛已知數(shù)列an的

45、前n項(xiàng)和公式Sn,求an時(shí)應(yīng)分三步.第一步,利用a1=S1求a1.第二步,當(dāng)n2時(shí),求an=Sn-Sn-1.第三步,檢驗(yàn)a1是否適合當(dāng)n2時(shí)得到的an.若適合,則an即為所求;若不適合,將an用分段函數(shù)表示.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測1.設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和,公差d=-2,若S10=S11,則a1=()A.18B.20 C.22D.24答案:B 2.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=-n2+3n,若ak+1=-16,則k的值等于()A.9B.8C.7D.6解析:當(dāng)n2時(shí),an=Sn-Sn-1=-n2+3n+(n-1)2-3(n-1)=-2n+4.又a1=S1=2也適合上式,所以an

46、=-2n+4(nN*),由ak+1=-16,得-2(k+1)+4=-16,解得k=9.答案:A探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測3.設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若a6=S3=12,則an的通項(xiàng)an=. 解析:設(shè)an的公差為d, 故an=2+(n-1)2=2n. 答案:2n 探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測4.某電影院中,從第2排開始,每一排的座位數(shù)比前一排多兩個(gè)座位,第1排有18個(gè)座位,最后一排有36個(gè)座位,則該電影院共有個(gè)座位.解析:從第1排開始每排座位數(shù)形成等差數(shù)列an,其中a1=18,an=36.公差為d=2,則36=18+2(n-1),解得n=10.答案:270 探究一探究二探究

47、三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測5.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn=-2n2+3n+1.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)數(shù)列an是否為等差數(shù)列?解:(1)當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=2;當(dāng)n2時(shí),an=Sn-Sn-1=(-2n2+3n+1)-2(n-1)2+3(n-1)+1=-4n+5.又當(dāng)n=1時(shí),a1=2不滿足上式,所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為(2)由(1)知,當(dāng)n2時(shí),an+1-an=-4(n+1)+5-(-4n+5)=-4,但a2-a1=-3-2=-5,所以數(shù)列an不是等差數(shù)列.第2課時(shí)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)及應(yīng)用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是一個(gè)關(guān)于n的函數(shù),那么這個(gè)函數(shù)和二次函數(shù)有什么關(guān)系呢?等差數(shù)列的前n項(xiàng)

48、和公式又具有什么獨(dú)特的性質(zhì)呢?這一節(jié)課我們就來研究一下這些問題.一、等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)特征 名師點(diǎn)析(1)若a10,則數(shù)列的前面若干項(xiàng)為負(fù)數(shù)項(xiàng)(或0),所以將這些項(xiàng)相加即得Sn的最小值.(2)若a10,d0,d0,則S1是Sn的最小項(xiàng);若an0,d0,則S1是Sn的最大項(xiàng).微練習(xí)已知在公差d0的等差數(shù)列an中,S8=S18,則此數(shù)列的前多少項(xiàng)和最大?因?yàn)镾8=S18,d0,當(dāng)n13時(shí),an0;當(dāng)n14時(shí),an0,d0,則其前n項(xiàng)和Sn有最大值;若a10,則其前n項(xiàng)和Sn有最小值,具體求解方法如下:(2)利用等差數(shù)列的性質(zhì),找出數(shù)列an中正、負(fù)項(xiàng)的分界項(xiàng).當(dāng)a10,d0時(shí),前n項(xiàng)和Sn有最大

49、值,可由an0且an+10,求得n的值;當(dāng)a10時(shí),前n項(xiàng)和Sn有最小值,可由an0且an+10,求得n的值.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練2已知an為等差數(shù)列,a3=7,a1+a7=10,Sn為其前n項(xiàng)和,則使Sn取得最大值的n等于.答案:6 探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測求數(shù)列|an|的前n項(xiàng)和問題 分析:先求出通項(xiàng)an,再確定數(shù)列中項(xiàng)的正負(fù),最后利用Sn求解. 當(dāng)n2時(shí),an=Sn-Sn-1=-3n+104.n=1也適合上式,數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=-3n+104(nN*).即當(dāng)n34時(shí),an0;當(dāng)n35時(shí),an1,a10或0q1,a11,a10或0q0時(shí),an是遞減數(shù)

50、列.(3)當(dāng)q=1時(shí),an是常數(shù)列;當(dāng)q0,S4=28.(2)由題意知S奇+S偶=-240,S奇-S偶=80,探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)1.若數(shù)列an為非常數(shù)列的等比數(shù)列,且其前n項(xiàng)和為Sn=Aqn+B(A0,B0,q0,q1),則必有A+B=0;反之,若某一非常數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn=Aqn-A(A0,q0,q1),則該數(shù)列必為等比數(shù)列.2.若等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,則(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n).特別地,如果公比q-1或雖q=-1但n為奇數(shù)時(shí),Sn,S2n-Sn,S3n-S2n構(gòu)成等比數(shù)列.3.當(dāng)?shù)缺葦?shù)列an的項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時(shí),偶數(shù)項(xiàng)的和

51、與奇數(shù)項(xiàng)的和之比探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題 (1)求S2和S3;(2)求數(shù)列an的前n項(xiàng)和;(3)求數(shù)列Sn的前n項(xiàng)和.分析:先利用等差中項(xiàng)與等比中項(xiàng)求出S2與S3,進(jìn)而求出a1與公比q,再寫出Sn,根據(jù)Sn的特點(diǎn)求Sn的前n項(xiàng)和.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟數(shù)列綜合問題的關(guān)注點(diǎn)1.等差數(shù)列與等比數(shù)列相結(jié)合的綜合問題是高考考查的重點(diǎn),特別是等差與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式,以及等差中項(xiàng)、等比中項(xiàng)問題是歷年命題的熱點(diǎn).2.利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)應(yīng)注意公比q的取值,熟悉兩

52、種數(shù)列的性質(zhì),知道它們的推導(dǎo)過程,利用好性質(zhì),可降低題目的難度,解題時(shí)有時(shí)還需利用條件聯(lián)立方程組求解.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解:(1)設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1,公差為d, 所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=4n+1.(2)由an=4n+1,得bn=24n+1,所以bn是首項(xiàng)為b1=25,公比為q=24的探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用例3小華準(zhǔn)備購買一臺售價(jià)為5 000元的電腦,采用分期付款方式,并在一年內(nèi)將款全部付清.商場提出的付款方式為:購買2個(gè)月后第1次付款,再過2個(gè)月后第2次付款,購買12個(gè)月后第6次付款,每次付款金額相同,約定月利率為0.8%,每月利息按

53、復(fù)利計(jì)算,求小華每期付款金額是多少?分析:根據(jù)題意,列出第k個(gè)月末付款后的欠款本利或第k個(gè)月時(shí)的已付款及利息是解題的關(guān)鍵.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解:(方法一)設(shè)小華每期付款x元,第k(k取2,4,6,8,10,12)個(gè)月末付款后的欠款本利為Ak元,則A2=5 000(1+0.008)2-x=5 0001.0082-x,A4=A2(1+0.008)2-x=5 0001.0084-1.0082x-x,A12=5 0001.00812-(1.00810+1.0088+1.0082+1)x=0,故小華每期付款金額約為880.8元. 探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(方法二)設(shè)小華每期付款

54、x元,到第k(k取2,4,6,8,10,12)個(gè)月時(shí)已付款及利息為Ak元,則A2=x,A4=A2(1+0.008)2+x=x(1+1.0082),A6=A4(1+0.008)2+x=x(1+1.0082+1.0084),A12=x(1+1.0082+1.0084+1.0086+1.0088+1.00810).年底付清欠款,A12=5 0001.00812,即5 0001.00812=x(1+1.0082+1.0084+1.00810),探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟分期付款問題的求解策略分期付款問題是典型的求等比數(shù)列前n項(xiàng)和的應(yīng)用題,此類題目的特點(diǎn)是:每期付款數(shù)相同,且每期間距相同

55、.解決這類問題通常有兩種處理方法,一是按欠款數(shù)計(jì)算,由最后欠款為0列出方程求解;二是按付款數(shù)計(jì)算,由最后付清全部欠款列方程求解.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練2某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè),并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè).據(jù)規(guī)劃,本年度投入800萬元,以后每年投入將比上一年減少 .本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計(jì)為400萬元,由于該項(xiàng)建設(shè)對旅游業(yè)的促進(jìn)作用,預(yù)計(jì)今后的旅游業(yè)收入每年會比上一年增長 .求n年內(nèi)的總投入與n年內(nèi)旅游業(yè)的總收入.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測分類討論思想在數(shù)列求和中的應(yīng)用 分析:數(shù)列的通項(xiàng)公式為分段函數(shù)的

56、形式,因此該數(shù)列的奇、偶項(xiàng)呈現(xiàn)不同的規(guī)律,奇數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為1,公差為4的等差數(shù)列,偶數(shù)項(xiàng)為首項(xiàng)為9,公比為9的等比數(shù)列,在求和時(shí),應(yīng)對奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別求解.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測方法總結(jié)分段數(shù)列求和的技巧性很強(qiáng),一般是轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列與等比數(shù)列求解.解題時(shí)需要對數(shù)列的項(xiàng)數(shù)及奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)進(jìn)行分類討論.需要特別說明的是在分段數(shù)列中,規(guī)律是隔項(xiàng)成等差數(shù)列或成等比數(shù)列,因此數(shù)列的公差或公比與平時(shí)的公差、公比有所不同,解題時(shí)要特別留意.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測1.已知等比數(shù)列an,an=23n-1,則由此數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)所組成的新數(shù)列的前n項(xiàng)和為

57、()A.3n-1 B.3(3n-1)解析:由此數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)所組成的新數(shù)列是以6為首項(xiàng),9為公比的等比數(shù)列,所以其前n項(xiàng)和為答案:D 探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測2.已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為54,前2n項(xiàng)和為60,則前3n項(xiàng)和為()解析:設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,則由題意知Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也構(gòu)成等比數(shù)列,所以(60-54)2=54(S3n-60),解得答案:D 3.若等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=2n-2+r,則r=. 探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測4.某住宅小區(qū)計(jì)劃植樹不少于100棵,若第一天植樹2棵,以后每天植樹的棵數(shù)是前一天的3倍,則需要的最少天數(shù)n(nN*)為.解

58、析:記第n天植樹的棵數(shù)為an,則數(shù)列an是以2為首項(xiàng),3為公比的等比數(shù)列.答案:5 探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測5.已知數(shù)列an的首項(xiàng)a1= ,前n項(xiàng)和為Sn,且滿足2an+1+Sn=3(nN*).(1)求a2及an;探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測4.4數(shù)學(xué)歸納法平面內(nèi)有n(n2)條直線,其中任何兩條不平行,任何三條不過同一 數(shù)學(xué)歸納法的定義一般地,證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題,可按下列步驟進(jìn)行:歸納奠基證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(n0N*)時(shí)命題成立歸納遞推以當(dāng)“n=k(kn0,kN*)時(shí)命題成立”為條件,推出“當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立”只要完成這兩個(gè)步驟,就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立.這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法.微思考數(shù)學(xué)歸納法的第一步n0的初始值是否一定為1?提示:不一定.如證明n邊形的內(nèi)角和為(n-2)180,第一個(gè)值n0=3.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測用數(shù)學(xué)歸納法證明等式例1(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明(n+1)(n+2)(n+n)=2n13(2n-1)(nN*),“從k到k+1”左端增乘