數(shù)值分析1-誤差及有效數(shù)字課件

1、數(shù)值分析： 研究各類數(shù)學(xué)問題求解的數(shù)值計算及相關(guān)理論分析。 隨著計算機的產(chǎn)生和發(fā)展，數(shù)值分析越來越多地研究如何借助于計算機求解相關(guān)問題。計算方法： 隨著計算機產(chǎn)生和發(fā)展而建立的一個重要數(shù)學(xué)分支，是研究建立計算機解決各種數(shù)學(xué)問題的數(shù)值計算及相關(guān)理論分析。第一章 緒論1.1數(shù)值分析(計算方法)介紹：(Numerical Analysis)(Computational Method)主要內(nèi)容：（1）數(shù)值計算：非線性方程求根，（非）線性方程組求解，插值，逼近（最小二乘擬合），數(shù)值微分（積分），常微分方程，矩陣特征值求解，偏微分方程數(shù)值解,（2）理論分析：誤差分析，計算過程的收斂性、穩(wěn)定性（數(shù)學(xué)角度上）

2、，算法的計算時間復(fù)雜度，存儲容量大?。ㄓ嬎銠C角度上） 特點 :具有數(shù)學(xué)的抽象性和邏輯嚴密性又具有廣泛的應(yīng)用性和高度的技術(shù)性（與計算機結(jié)合密切的一門課程）使用計算機進行數(shù)值問題求解是主要研究對象。如何學(xué)習這門課？這門課的學(xué)習意義，數(shù)值計算的重要性;如何上這門課（教材）, 學(xué)習方法;上課形式（授課、上機、大型實驗）;成績評定（平時、實驗、期中、期末）.1.2誤差基本概念1.2.1誤差定義及來源真實值與觀察、測量或計算的值之間存在差異，其差稱為誤差。結(jié)合實際問題求解，誤差來源可分為：(1). 模型誤差（實際問題數(shù)學(xué)問題）， 如抽象化、忽略次要因素等.(2). 觀測誤差（數(shù)學(xué)問題中的數(shù)據(jù)初始值觀察 測

3、量時產(chǎn)生）(Error)(3). 截斷誤差（計算過程中存在的一些無限計算），如無窮級數(shù)求和（無限次有限次： ，(4). 舍入誤差（計算結(jié)果中存在數(shù)據(jù)無限位，如Pi，無理數(shù)有理數(shù)，） 整個誤差來源可做圖表示: 總結(jié)：誤差是不可避免的，應(yīng)盡量減少誤差，提高精度（如選擇好的計算方法）1.2.2絕對誤差和絕對誤差限 定義：設(shè) 為準確值， 是近似值 , 為絕對誤差分析：e可正可負（并不因為是絕對誤差，就以為是正值)e值實際上無法知道, 不知道， 但能知道誤差的某個范圍（即誤差限） 例：毫米刻度的尺子，正常情況下誤差不超過 0.5mm. 定義：若 ，則 稱為絕對誤差限， 為正數(shù)，有:1.2.3相對誤差和相

4、對誤差限為什么引入？因為用厘米刻度的尺子測量1米長和10米長的物體，其絕對誤差限都為0.5，但測量精度分別為1/100和1/1000，所以為了較好反應(yīng)測量精確度，引入相對誤差。定義： 為準確值， 為近似值，則分析： (1). 可正可負 (2). (3). 無法知道，因為 不知道， 也可表示為 和 之間關(guān)系為： （可作為習題）因為 無法求出，所以通?？紤]相對誤差限若 或則稱 為相對誤差限。1.2.4 有效數(shù)字當 有很多位數(shù)表示時，可按四舍五入取前幾位。定義：如果近似值 的誤差限是其末位上的半個單位，且該位直到 的第一個非零數(shù)字共有n位，則 有n位有效數(shù)字。具體計算：對 ，從左往右數(shù)，從第一個非零

5、數(shù)字開始，直到最右面的數(shù)共有n個，且其誤差限為末位的 個單位，則有效數(shù)字為n。 有效數(shù)字的位數(shù)確定.例：數(shù)0.00234711，取五位有效數(shù)字，例： =1.732050808若 =1.7321，但若 =1.7320，誤差限為則有5位有效數(shù)字，因為誤差限則只有4位有效數(shù)字，因為誤差限為0.0023471，1.2.5誤差傳播影響計算過程中（如四則運算）的初始數(shù)據(jù)誤差會導(dǎo)致函數(shù)值誤差.泰勒級數(shù)展開分析誤差傳播.設(shè) 為準確值，準確值為為近似值，近似值為先考慮絕對誤差：令利用二元函數(shù)一階泰勒展開公式采用二元函數(shù)所以：再考慮相對誤差：根據(jù)以上兩公式，可得到兩數(shù)相加、減、乘、除的誤差傳播： （避免絕對值很大

6、的數(shù)為乘數(shù)） （避免 為很小的數(shù)為除數(shù)） （避免兩相近數(shù)相減運算)1.3 機器數(shù)系. (略.主要防止計算機處理過程中的數(shù)字溢出和含入誤差) 這里，主要介紹計算機中浮點數(shù)的表示形式及表示范圍（4個參數(shù)）：其中， =0.a1a2a3at 稱為尾數(shù)-1,1, 中的正負號用一位數(shù)字區(qū)分；為基數(shù)，如取2、10、8、16；p為階數(shù)，有上限U和下限L, 由計算機存儲字節(jié)長度決定。 1.4 誤差危害的防止（1）使用數(shù)值穩(wěn)定的計算公式數(shù)值穩(wěn)定是指計算過程中舍入誤差對計算影響不大的算法，若第n+1步的誤差en+1 與第n步的誤差en滿足，則稱該計算公式是絕對穩(wěn)定的例：建立積分In= （n=0,1.,20）遞推關(guān)系

7、式，并分析誤差傳播影響。解： In+5In-1= I0=ln6-ln5 遞推式： 在計算I0時，設(shè)近似值為I0為 可設(shè) e0=I0-In- =即初始誤差對第n步的影響是擴大5n倍，誤差范圍變大，不穩(wěn)定. 對可改用另一種計算過程：（ 可通過積分第一中值定理算出）則 ，誤差范圍逐步減少。即若函數(shù)f(x)連續(xù), g(x)在區(qū)間a,b上不變號且可積, 則有設(shè)（2）避免兩相近數(shù)相減 例. 計算設(shè)和有六位有效數(shù)字,即x1=44.7325 x2=44.7102x1-x2=44.7325-44.7102（可以根據(jù)需要取任意位有效數(shù)字,這里取6位）方法1：直接相減：方法2:分子有理化：=0.0223 （事實上只

8、有2位有效數(shù)字）也可進行理論分析，這里考慮絕對誤差：第一種方法只有2位有效數(shù)字理論上分析, 可以有6位有效數(shù)字(分子為常數(shù)2,分母為x1+x2兩變量之和)（3）避免絕對值大的數(shù)作乘數(shù)， 同樣，避免x2為很小的數(shù)作除數(shù)， （4）防止大數(shù)吃小數(shù)： （計算機硬件發(fā)展，浮點數(shù)表示位數(shù)增加，此問題已很少出現(xiàn)） 主要原因是計算機運算處理時，需對階處理（即取較大的階值運算,較小數(shù)的尾數(shù)則會變的很小,計算機浮點數(shù)表示不出來）, 會出現(xiàn): 大數(shù)+小數(shù)=大數(shù)求和時，可先按絕對值從小到大排序，先對小數(shù)運算，再對大數(shù)運算。(5)簡化計算步驟，減少計算次數(shù)例：計算方法1：直接計算30次乘法方法2：（這里4次乘法）（4次

9、乘法）共8次乘法空間上:需存儲x,x2,x4,x8,x16, 方法1只需要存儲x.例：計算常規(guī)方法：乘法： 加法：Horner方法（秦九韶方法）: 需n次乘法，n次加法空間上:除了an和x, 多存儲一個變量用來保存ai-1x+ai第2章 方程求根(Non-linear equation)2.1問題提出對方程 ，若存在 ，使得 ， 則稱 為 的根，或稱為零點。當為多項式形式時，即則 稱為代數(shù)方程。若可寫成形式,為的m重根，或稱m重零點。則代數(shù)方程 的公式解（當次數(shù) 時有）令 ，原方程又可寫為：對三次方程（卡當公式）：此類方程有公式解： 其中,（有可能出現(xiàn)復(fù)數(shù)根）對四次方程，可找相關(guān)文獻。對高次方程，使用數(shù)值方法求解，即在滿足一定精度的前提下，求根的近似值。具體步驟：找到根的隔離區(qū)間當 在 內(nèi)連續(xù)，且則 內(nèi)有解； 當 在 內(nèi)嚴格單調(diào)，則 內(nèi)