彈性力學(xué)平面問題極坐標(biāo)課件

1、同理可得各階微分關(guān)系，如二. 極坐標(biāo)系下的平衡微分方程1. 直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)系下的應(yīng)力分量關(guān)系如圖，根據(jù)應(yīng)力狀態(tài)的定義， 過P點(diǎn)分別以 r 方向和 方向?yàn)榉ň€的截面上的應(yīng)力 r、r r ， 作為在極坐標(biāo)系下的應(yīng)力分量。（1）極坐標(biāo)系下的應(yīng)力分量和體力分量ryOxrPrrr（2）應(yīng)力分量的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換 視 P-r 為舊坐標(biāo)，P點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)為 r、r r ；視 O-xy 為新坐標(biāo)，求P點(diǎn)的應(yīng)力分量 x、y、xy yx 。 由應(yīng)力狀態(tài)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式 r稱為徑向應(yīng)力， 稱為環(huán)向向應(yīng)力。ryOxrPFbFbr代入計(jì)算得（3）體力分量的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換 設(shè)極坐標(biāo)系下的體力分量為 Fbr 、Fb 。將其分別向 x、y

2、方向投影得2. 極坐標(biāo)系下的平衡微分方程由直角坐標(biāo)系下的平衡微分方程推導(dǎo)當(dāng)時(shí)ryx以此位置的直角坐標(biāo)系，建立平衡微分方程。即同理代入即得三. 極坐標(biāo)系下的幾何方程1. 直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)系下的位移分量關(guān)系ryOxrPuuruv類似體力分量的投影關(guān)系2. 極坐標(biāo)系下的應(yīng)變分量 將P點(diǎn)分別沿 r 和 方向（相互垂直）兩線元的線應(yīng)變 r、 及其切應(yīng)變 r ，作為P點(diǎn)的應(yīng)變分量。3. 極坐標(biāo)系下的幾何方程可通過微分關(guān)系直接由直角坐標(biāo)系下的幾何方程得到。同前分析，當(dāng) 0 時(shí)，所以即四. 極坐標(biāo)系下的物理方程 因r、 方向正交，則物理方程與直角坐標(biāo)系下具有相同形式。即當(dāng)為平面應(yīng)變問題時(shí)，E1E、1 。五.

3、極坐標(biāo)系下的相容方程 極坐標(biāo)系下如果用應(yīng)力函數(shù)表示相容方程，體力必須為零或關(guān)于 (r ， ) 有勢。（展開共8項(xiàng)）將O-xy坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)至 x 與 r 重合，即 0，此時(shí)ryx在不計(jì)體力的情況下， 可通過微分關(guān)系直接由直角坐標(biāo)系下的相容方程得到。所以五. 極坐標(biāo)系下的應(yīng)力邊界條件 設(shè)邊界S的外法線方向與 r、 方向的方向余弦分別為 l1、l2 ，其上作用的面力沿r、方向的分量分別為 pr、p 。則其應(yīng)力邊界條件與直角坐標(biāo)系下具有相同形式。即當(dāng)體力不為零或無勢時(shí)，可用應(yīng)力表示相容方程例6-6寫出圖示問題的應(yīng)力邊界條件（1）Oxylq0r上邊：斜邊：（2）rPM內(nèi)側(cè)：rrrr外側(cè)：xOyab 0，l

4、1 0，l2 1 ，l1 0，l2 +1r a，l1 1 ，l2 0r b，l1 +1 ，l2 0r上端： 0，l1 0 ，l2 1或向O簡化面力向形心簡化rxOyabPMOMxy（3）半無限平面rrra當(dāng) r 0 時(shí)，上邊當(dāng) r 0 時(shí)，O點(diǎn)受集中力偶， 但無法使用圣維南原理進(jìn)行簡化。 可使用截面法建立外力與內(nèi)力的關(guān)系，即O點(diǎn)的應(yīng)力邊界條件。由半圓上的應(yīng)力和外力的平衡關(guān)系，有五. 極坐標(biāo)系下的基本方程總結(jié)平衡微分方程幾何方程物理方程相容方程應(yīng)力分量應(yīng)力邊界條件位移邊界條件（不計(jì)體力）（無體力）（計(jì)體力）或6-6 平面問題在極坐標(biāo)系下求解一. 軸對(duì)稱問題的應(yīng)力與相應(yīng)的位移1.軸對(duì)稱問題的特征（

5、1）截面的幾何形狀對(duì)稱于中心軸，（2）荷載與約束對(duì)稱于中心軸。如圓環(huán)、圓盤、圓筒。因此環(huán)向體力 Fb 0 ；在邊界上 ，環(huán)向的面力和位移為零；即（3）導(dǎo)致物體的應(yīng)力、應(yīng)變和位移分布也是軸對(duì)稱的。即rxyO 由于任何通過中心軸（z 軸）的平面均為對(duì)稱面，故各分量均與 無關(guān)。即2.軸對(duì)稱問題的基本方程平衡微分方程幾何方程物理方程相容方程應(yīng)力分量邊界條件（不計(jì)體力）（不計(jì)體力） 計(jì)體力時(shí)3.應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力分量將相容方程展開得令同理代入常系數(shù)微分方程特征方程平面軸對(duì)稱問題（不計(jì)體力），應(yīng)力分量的一般表達(dá)式。其中A、B、C為待定系數(shù)，由邊界條件和位移單值條件確定。平面軸對(duì)稱問題（不計(jì)體力）的應(yīng)力函數(shù)4.

6、位移分量由物理方程和幾何方程式積分代入式積分得將ur、u 代入式，整理得欲使之成立，兩端必等于同一常數(shù)。即F為常數(shù)分別解方程所以，無體力應(yīng)力軸對(duì)稱的位移分量其中，A、B、C、H、I、K 為待定常數(shù)， 由應(yīng)力邊界條件、位移邊界條件（約束）和位移單值條件確定。5.幾點(diǎn)說明（1）當(dāng)物體僅幾何和荷載軸對(duì)稱時(shí)，只產(chǎn)生軸對(duì)稱應(yīng)力，位移不一定軸對(duì)稱（從u可見）。稱之為軸對(duì)稱應(yīng)力問題。（2）軸對(duì)稱應(yīng)力問題的位移不一定軸對(duì)稱乃約束不一定軸對(duì)稱所致。 可以證明，I、K 為物體分別沿 x、y 方向的剛體位移，H 則為繞軸心的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)。（3）當(dāng)位移邊界條件（約束）也軸對(duì)稱時(shí)，位移也軸對(duì)稱， 應(yīng)有 u 0，則 B H

7、I K 0（4）多連體中的位移單值條件，實(shí)質(zhì)上就是物體的連續(xù)性條件。（即位移連續(xù)性條件）。 按位移法求解時(shí)：若取位移分量為單值，由此求出的應(yīng)變分量（幾何方程）也為單值，求出的應(yīng)力分量（物理方程）也為單值； 按應(yīng)力法求解時(shí)：若取應(yīng)力分量為單值，由此求出的應(yīng)變分量（物理方程）也為單值，但求出的位移分量（幾何方程積分）常為多值。 對(duì)于單連域，位移單值條件一般自然滿足；但對(duì)于多連域一般需檢驗(yàn)位移單值條件。1.圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫aqbbaO二. 軸對(duì)稱問題示例已知：求：應(yīng)力分布。（1）確定應(yīng)力分量的表達(dá)式：邊界條件：代入應(yīng)力分量表達(dá)式，有式中有三個(gè)未知常數(shù)，二個(gè)方程還不足以完全確定常數(shù) 考察多連體中

8、的位移單值條件。 是多值函數(shù)，如(r , )和(r , )同指一點(diǎn)，但由此計(jì)算卻得出兩個(gè)位移。由位移的單值條件，必有：B = 0所以qbbaO將其代回應(yīng)力分量式（繁分式稱為拉梅解答）討論：（1）外壓無內(nèi)壓： 當(dāng) a 0 時(shí)：二向等壓（2）內(nèi)壓無外壓：qaba 當(dāng) b 時(shí)：具有圓孔的無限大薄板若 a 0但 a 0 當(dāng) r a 時(shí)：（針孔問題）可見針孔處有應(yīng)力集中現(xiàn)象，最大應(yīng)力為無孔的二倍。 當(dāng) b a t R (半徑) 時(shí)：薄壁圓環(huán)與材力結(jié)果相同2. 壓力隧洞問題：厚壁圓筒（E， ）埋在無限大彈性體（E ， ）內(nèi) ，受內(nèi)壓 q 作用，求圓筒的應(yīng)力。分析：相當(dāng)于兩個(gè)軸對(duì)稱問題，（1）內(nèi)外半徑分別為

9、 a、b，受內(nèi)壓 q、外壓 p 的厚壁圓筒；qpbaO（2）內(nèi)半徑為 b，外半徑為 ，受內(nèi)壓 p 的厚壁圓筒；qbaOE，E ， pbO且均為平面應(yīng)變問題。確定壓力 p 的兩個(gè)條件：徑向變形連續(xù)徑向應(yīng)力連續(xù)求解：厚壁圓筒的應(yīng)力分量及其邊界條件無限大彈性體的應(yīng)力分量及其邊界條件將應(yīng)力分量代入邊界條件四個(gè)方程，五個(gè)未知量（p未知）補(bǔ)充位移連續(xù)條件平面應(yīng)變問題欲使對(duì)任意的 成立，須有令上式整理為因與前三式聯(lián)立求解 A、C、A、p，并代入得3. 圓弧曲梁的純彎曲問題：矩形截面曲梁, rxyabMM O 為曲梁的曲率中心，內(nèi)半徑為 a ，外半徑為 b ， 在兩端受有大小相等而轉(zhuǎn)向相反的彎矩 M 作用，兩

10、端面間極角為 。分析： 取曲梁的曲率中心 O 為坐標(biāo)的原點(diǎn)，并按圖示建立坐標(biāo)系。O 由于各截面上彎矩 M 相同，因而可假定各截面上應(yīng)力相同，構(gòu)成一軸對(duì)稱問題（對(duì)稱軸為 z 軸）。求解：（1）應(yīng)力分量由于是單連域，位移式中無多值項(xiàng)，故（2）邊界條件內(nèi)外側(cè)：自然滿足自然滿足端面：取 = 端自然滿足兩式直接積分有一定困難， 可利用應(yīng)力分量與應(yīng)力函數(shù)的關(guān)系簡化積分由滿足聯(lián)立求解得其中所以討論：a）r = a 時(shí)， 取得最大值（絕對(duì)值）；b）中性軸不過截面形心，而偏于內(nèi)側(cè)；c） 關(guān)于截面不成線性分布，且擠壓應(yīng)力r 與同量級(jí)。三. 圓孔的孔邊應(yīng)力集中1. 問題的提法 無體力的矩形薄板，薄板內(nèi)有一個(gè)小圓孔

11、（半徑 a 遠(yuǎn)小于板的尺寸）。薄板對(duì)邊均勻拉力q作用， 由于板內(nèi)有微小圓孔，孔邊應(yīng)力將遠(yuǎn)大于距孔稍遠(yuǎn)處的應(yīng)力，稱應(yīng)力集中問題。2a 本問題即是求解圖示彈性體的應(yīng)力解答。qq2. 問題的分析以孔心作為原點(diǎn)建立坐標(biāo)yxr（1）無孔時(shí)在極坐標(biāo)系下yxba(r)r = b(r)r = bqqyxa（2）有孔時(shí)b應(yīng)力分布將發(fā)生變化，但在距孔邊較遠(yuǎn)處，其應(yīng)力分布與無孔時(shí)幾乎一致。 因此用較大半徑 ba ，以孔心為圓心作圓， 該圓周上的應(yīng)力即與無孔時(shí)的應(yīng)力相同。(r)r = b(r)r = b 由截面法，以半徑為b的大圓將板截為內(nèi)外半徑分別為a、b的圓環(huán)。 視圓周上的應(yīng)力為圓環(huán)的面力，即 將面力分解為兩組，

12、即 問題轉(zhuǎn)化為圓環(huán)分別在兩組面力作用下應(yīng)力解答的疊加。yxbaprpyxbaprpyxbapr3. 問題的求解 第一組解答 在第一組面力作用下，系圓環(huán)僅受外壓應(yīng)力解答的軸對(duì)稱問題。=4. 問題的求解 第二組解答 在第二組面力作用下，圓環(huán)受非對(duì)稱荷載，系非對(duì)稱問題。用應(yīng)力函數(shù)半逆解法求解。（1）應(yīng)力函數(shù)由應(yīng)力邊界條件可知，只要 r 不接近 a ，由應(yīng)力分量與應(yīng)力函數(shù)的關(guān)系可知，故設(shè)代入相容方程得解該Euler方程得所以（2）應(yīng)力分量（3）邊界條件內(nèi)邊界：外邊界：將應(yīng)力分量代入聯(lián)立解之，并令所以5. 問題的應(yīng)力解答解答的此形式稱為齊爾西（G. Kirsch）解6. 討論（1）應(yīng)力集中孔邊（r a）

13、最大應(yīng)力無孔時(shí)可見,應(yīng)力集中系數(shù)（2）應(yīng)力分布qqyxq3q 沿水平方向（ 0） q0.16q之后趨近于零，與無孔時(shí)的分布相同。 沿豎直方向（ 2）之后趨近于q，與無孔時(shí)的分布相同。 說明應(yīng)力集中的影響范圍僅限于局部區(qū)域，與力的局部作用原理（圣維南原理）相同。yx（3）結(jié)果應(yīng)用 雙向均勻拉壓矩形薄板，距邊界遠(yuǎn)處開小圓孔的計(jì)算q2q1yxrq1y1x1r1分解為兩個(gè)齊爾西解疊加q2y2r2 2x2 均勻應(yīng)力任意形狀薄板，距邊界遠(yuǎn)處開小圓孔的計(jì)算yx1212xy 由無孔時(shí)計(jì)算所得的均勻應(yīng)力狀態(tài)，計(jì)算任一點(diǎn)的主應(yīng)力和主方向； 以主方向?yàn)閤、y軸，以圓心為原點(diǎn)作矩形； 由于各點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)相同，所以矩形兩

14、對(duì)邊的面力即為主應(yīng)力。 問題化為。 需注意問題轉(zhuǎn)化前后研究點(diǎn)的坐標(biāo)方位。 工程中近似計(jì)算孔邊應(yīng)力的方法 先求出無孔時(shí)相應(yīng)于圓孔中心處的應(yīng)力分量 sx 、sy 、txy ；再由應(yīng)力分量求出相應(yīng)的主應(yīng)力和主方向； 最后將圓孔附近部分當(dāng)作沿兩個(gè)主方向受均布拉力 q1 = s1 及 q2 = s2 ，從而由前述的疊加法求得孔邊應(yīng)力。非均勻應(yīng)力狀態(tài)四. 楔形體的楔頂與楔面受力1. 楔頂受集中力作用xyOPr 楔形體頂角為，下端為無限長（單位厚度）。 求楔頂與楔面受力時(shí)的應(yīng)力分布。 設(shè)集中力P與中心線的夾角為 。（1）應(yīng)力函數(shù) 量綱分析法： 問題的條件中，所有的量僅有P (Nm)、r (m)、 。 要由這

15、些量構(gòu)成應(yīng)力的量綱 (Nm2)，只有且僅含 Pr 的一次項(xiàng)。所以，應(yīng)力分量 r 1應(yīng)力函數(shù)比應(yīng)力分量高兩次 故設(shè)代入相容方程得即整理得所以xy線性項(xiàng)（2）應(yīng)力分量（3）邊界條件楔面：自然滿足楔頂：截取含楔頂?shù)拿撾x體建立平衡關(guān)系。以楔頂為圓心任作一圓弧 ， 取其上部建立平衡方程。xyOPr0rrab將應(yīng)力分量代入自然滿足積分得代入應(yīng)力分量得密切爾（ Michell ）解答（4）討論 0 ：豎向力P作用 2 ：水平力P作用Pr正對(duì)稱分布反對(duì)稱分布Pr 當(dāng) r 0 時(shí)：r ，不可能（？） 、 0 ：半平面體邊界受法向力P作用PxyOr2. 楔頂受集中力偶作用xyOrM（1）應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力分量 r 2

16、故設(shè)代入相容方程得 注意到集中力偶矩應(yīng)為單位厚度的矩，即M 的量綱為(N) 。因此若受分布力作用，可由疊加法對(duì)上式積分。（2）應(yīng)力分量 考慮到反對(duì)稱載荷下，對(duì)稱體的應(yīng)力分布應(yīng)反對(duì)稱。即r 應(yīng)是 的奇函數(shù)，r 應(yīng)是 的偶函數(shù)。所以，A 0（3）邊界條件楔面：自然滿足楔頂：以楔頂為圓心任作一圓弧 ， 取其上部建立平衡方程。自然滿足自然滿足聯(lián)立求解得xyOr0rrabM代入應(yīng)力分量英格立斯（Inglis）解答3. 楔面受分布力作用Oxyrq（1）應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力分量 r 0 故設(shè) 注意到分布力q 的量綱為(Nm2) 。因此，代入相容方程得（2）應(yīng)力分量（3）邊界條件豎面：斜面：聯(lián)立求解回代應(yīng)力分量（3）特例當(dāng) 時(shí)，半平面體之半受均布力作用。qxyOr為便于應(yīng)用，將其轉(zhuǎn)換到直角坐標(biāo)系：五. 半平面體在法向力作用下的位移PxyOr1. 受集中力作用（1）應(yīng)力分量（2）應(yīng)變分量（3）位移分量由幾何方程由物理方程積分第一式代入第二式積分得將 ur、u 代入第三式，并整理得式中，H、I、J、K為任意常數(shù)由對(duì)稱性所以所以常數(shù) I 須由鉛垂方向（x方向）位移條件確定。 工程所關(guān)注的是邊界上的鉛垂位移（地面沉陷），即（4）邊界沉陷由于常數(shù) I 無法確定，所以只能求