數理方程與特殊函數：總復習part2

1、5.1 Fourier變換5.2 Fourier變換的應用5.3 Laplace變換5.4 Laplace變換的應用5.5 其他的積分變換 第五章 積分變換5.1 Fourier變換一、Fourier變換的定義定理1 若 ,且在一個周期內只有有限個第一類間斷點與極值點，則其中 定義1 稱為f(x)的Fourier變換，f(x)稱為 的Fourier逆變換。Fourier變換有多種形式。這些形式的差異主要體現(xiàn)在積分號前的系數以及被積函數中指數函數的指數符號。本書采用工程應用中典型的定義形式，這樣的Fourier變換許多性質也可以從物理上得到解釋。 二、正（余）弦變換的定義定義2 Fourier余

2、弦變換是指定義3 Fourier逆余弦變換是指定義4 Fourier正弦變換是指定義5 Fourier逆正弦變換是指三、Fourier變換的基本性質性質1 Fourier變換是一個線性變換：對于任意常數 、與任意函數 、 有定義6 設 都滿足Fourier變換的條件，則稱為 的卷積。記為性質2 的卷積的Fourier變換等于 的Fourier變換的乘積： 性質3 乘積的Fourier變換等于它們各自的Fourier變換的卷積再乘以系數 ，即 性質4 性質5 性質6 設為任意常數，則 性質7 設 為任意常數，則 性質8 性質9 性質10 性質11 性質12 四、n維Fourier變換n維Four

3、ier變換具有的性質 五、Fourier變換在常微分方程中的應用例3 求解 5.2 Fourier變換的應用Fourier變換法求解步驟為：（1）對定解問題作Fourier變換；（2）求解像函數；（3）對像函數作Fourier逆變換。5.3 Laplace變換一、Laplace變換的定義定義1 積分變換 稱為 的Laplace變換，記作 稱為 Laplace逆變換，記作二、Laplace變換的存在定理定理1 若f(x)函數滿足下述條件：（1）當x0上的解為推論2 Laplace方程Dirichlet問題在半空間z0上的解為二、圓和半平面上的Green函數定理3 平面Poisson方程Diric

4、hlet問題的解為推論3 平面Laplace方程Dirichlet問題的解為定理4 上半平面Poisson方程Dirichlet問題的解的表達式為推論4 上半平面Laplace方程Dirichlet問題的解的表達式為三、第一象限上的Green函數平面第一象限上的Green函數相當于求解定解問題6.6 Laplace方程與熱傳導方程的基本解一、Lu=0型方程的基本解定義1 方程 的解稱為方程 的Green函數，又稱為基本解。放置于坐標原點的電量為的點電荷的場的勢函數滿足Poisson方程：定義2 方程 的解稱為Poisson方程 的基本解。定理1 若U是一個基本解，u是相應齊次方程 的任一解，則

5、 仍是基本解，而且方程的全體基本解都可以表示成這種形式。定理2 若 是連續(xù)函數， 滿足方程 ，則卷積二、Poisson方程的基本解定理3 空間Poisson方程的特解為其中， 三、熱傳導方程Cauchy問題的基本解定理4 設 是連續(xù)函數，且存在，則定解問題的解為定理5（ 1）一維熱傳導方程Cauchy問題的基本解為（2）二維熱傳導方程Cauchy問題的基本解為（3）三維熱傳導方程Cauchy問題的基本解為四、熱傳導方程邊值問題的基本解定義3 定解問題 的解 稱為的基本解。定理7 熱傳導方程邊值問題的解為6.7 波動方程的基本解一、波動方程Cauchy問題的基本解定義1 定解問題的解 稱為Cau

6、chy問題定理1 設 都是連續(xù)函數，都存在，則Cauchy問題的解為二、波動方程邊值問題的基本解定義2 定解問題的解 稱為邊值問題的基本解。定理3 設 都是連續(xù)函數，則邊值問題的解為6.8 Poisson方程邊值問題近似求法簡介一、Ritz法定義1 稱為極值問題的EulerLagrange方程。二、Ritz法Dirichlet定理定理1（Dirichlet） Laplace方程第三邊值問題的解，使泛函取得最小值；反之，使泛函取得最小值的函數 ，一定是Laplace方程第三邊值問題的解。7.1 Bessel方程及其冪級數解7.2 Bessel函數的母函數及遞推公式7.3 Bessel函數的正交性

7、及其應用7.4 Bessel函數的其他類型 第七章 Bessel函數7.1 Bessel方程及其冪級數解一、Bessel方程的引出例1 設有一個半徑為的薄圓盤，其側面絕緣，若圓盤邊界上的溫度恒保持為零度，且初始溫度為已知。求圓盤內的瞬時溫度分布規(guī)律。例2 在圓柱內傳播的電磁波問題。設沿方向均勻的電磁波在底半徑為1的圓柱域內傳播，在側面沿法向方向導數為零，從靜止狀態(tài)開始傳播，初始速度為。求其傳播規(guī)律（假設對極角對稱）。二、Bessel方程的求解定義1 Neumann函數稱為第二類Bessel函數。這個無窮級數所確定的函數，稱為階第一類Bessel函數，記作7.2 Bessel函數的母函數及遞推公

8、式一、Bessel函數的母函數（生成函數）定義1 函數 稱為Bessel函數的母函數。二、Bessel函數的積分表達式三、Bessel函數的遞推公式第二類Bessel函數也具有與第一類Bessel函數相同的遞推公式： 四、漸近公式、衰減振蕩性和零點Bessel函數的漸近公式 零點的近似公式的無窮多個實零點是關于原點對稱分布的，必有無窮多個正零點。 1 有無窮多個單重實零點，且這無窮多個零點在軸上關于原點是對稱分布的。因而， 必有無窮多個正的零點；2 的零點與 的零點是彼此相間分布的，即 的任意兩個相鄰零點之間必存在一個且僅有一個 的零點；3以 表示 的正零點，則 當時無限地接近于 ，即 幾乎是

9、以2 為周期的周期函數。7.3 Bessel函數的正交性及其應用一、Bessel函數的正交性定理1 Bessel函數系 具有正交性：定義1 定積分 的平方根，稱為Bessel函數的模值。定理2 若 在區(qū)間0, R至多有有限個跳躍型間斷點，則f(x)在區(qū)間（0, R）內在連續(xù)點處的Bessel展開級數收斂于該點的函數值，在間斷點收斂于該點左右極限的平均值。二、Bessel函數應用舉例例1 設 是方程的 所有正根，試將函數展開成Bessel函數 的級數。例2 半徑為b，高為h的均勻圓柱體，下底和側面保持為零度，上底溫度分布為 。求圓柱內的穩(wěn)定溫度分布。7.4 Bessel函數的其他類型一、第三類B

10、essel函數第三類Bessel函數又名Hankel函數，它是由下列公式來定義的：，二、虛宗量的Bessel函數關于第二類虛宗量Bessel函數 定義如下：（1）當是非整數時（2）當為整數時 三、Kelvin函數（Thomson函數）四、球Bessel函數不論是對熱傳導方程或對波動方程分離變量，都會導出所謂的球Bessel方程8.1 Legendre方程及其冪級數解8.2 Legendre多項式的母函數及遞推公式8.3 Legendre多項式的展開及其應用8.4 連帶Legendre多項式 第八章 Legendre多項式8.1 Legendre方程及其冪級數解一、Legendre方程的引出在球

11、坐標系中Laplace方程為二、Legendre方程的求解三、Legendre多項式1Legendre多項式其中2Legendre多項式的微分表達式Rodrigues公式定理1 滿足Rodrigues公式3Legendre多項式的積分表達式定理2 滿足積分表達式8.2 Legendre多項式的母函數及遞推公式一、Legendre多項式的母函數稱為Legendre多項式的母函數。二、Legendre多項式的遞推公式定理1 Legendre多項式滿足以下的遞推公式：8.3 Legendre多項式的展開及其應用一、Legendre多項式的正交性定理1 Legendre多項式序列 在區(qū)間-1,1上正交

12、，即二、Legendre多項式的歸一性定理2 Legendre多項式滿足三、展開定理的敘述定理3 若在區(qū)間1, 1至多有有限個跳躍型間斷點，則f(x)在區(qū)間(1, 1)內連續(xù)點處的Legendre多項式展開級數收斂于該點的函數值，在間斷點處收斂于該點左右極限的平均值。8.4 連帶Legendre多項式一、連帶Legendre多項式的定義連帶Legendre方程二、連帶Legendre多項式的正交性和歸一性三、Laplace方程在球形區(qū)域上的Dirichlet問題9.1 保角變換及其性質9.2 保角變換降維法9.3 Laplace方程的保角變換解法 第九章 保角變換法9.1 保角變換及其性質區(qū)域

13、D內第一類保角變換有如下性質：（1）在z平面上區(qū)域D內任意一個以點為中心的無窮小圓周，當只考慮 的線性部分時，對應于w平面上一個以 為中心的圓周，且其環(huán)繞的方向與原圓周相同。（2）變換具有保角性，在 連續(xù)映射之下，若則通過已知點 的任兩條有向連續(xù)曲線間的夾角的大小及方向保持不變。（3）變換具有保形性。對于D內的第一類保角變換，若變換是單葉的，即對于 ，有 ，則稱是保形變換。 9.1 保角變換及其性質9.2 保角變換降維法1保角變換降維法有半無限大平板y0，在邊界y=0上，處保持溫度 。在 處溫度保持為零度。求平板上溫度分布。2保角變換降維法一般定理定理1 如果 是Laplace方程 的解，那么

14、當 由一保角變換成一個 的函數，仍滿足Laplace方程。9.3 Laplace方程的保角變換解法經常要求一個二元的實函數在已知的區(qū)域中調和并滿足已知區(qū)域的邊界條件，也就是求解Laplace方程的問題。把復雜的邊界化為簡單邊界，不妨利用保角變換法。前面已經證明，一個Laplace方程的解經過保角變換后仍然是相應的Laplace方程的解。下面舉例說明如何通過保角變換法來解Laplace方程。對于Laplace方程，可用分離變量法或解的積分公式來解決。但如果邊界的形狀比較復雜，分離變量法和積分公式用起來都有困難，則?？捎帽＝亲儞Q把某個（邊界形狀比較復雜）區(qū)域內的Laplace邊值問題變換為某個新區(qū)

15、域（邊界形狀比較簡單，比如圓、上半平面或帶形域等）的Laplace邊值問題。10.1 典型非線性方程10.2 行波解10.3 HopfCole變換10.4 逆散射方法10.5 Bcklund變換 第十章 非線性數學物理方程簡介10.1 典型非線性方程定義1定義2 稱為Burgers方程。稱為KdV方程。定義3 稱為KdVB方程。定義4 稱為KleinGordon方程。定義5 稱為非線性Schrdinger方程或NLS方程。定義6 稱為KuramotoSivashinsky（KS）方程。定義7 偏微分方程的行波解是指具有形式的解。10.2 行 波 解一、Burgers方程的行波解Burgers方程的行波解： 三、SineGordon方程的行波解設SineGordon方程的行波解為 二、KdV方程的行波解KdV方程的行波解為 四、NLS方程的行波解NLS方程有一個非常簡單的單頻解10.3 HopfCole變換定理1 擴散方程 與Burgers方程的解之間滿足定理2 若 是線性方程 與的解，則是KdV方程 的解。定理3 若 是線性方程與 的解，則 是KdVB方程 的解。10.4 逆散射方法求解KdV方程的Cauchy問題的逆散射法可以歸納